高三考试数学试卷（理科）
考生注意：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分。考试时间 120 分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.已知复数 满足 ，则 的虚部是（ ）
A. B. C. D.
3.某单位去年的开支分布的折线图如图 1 所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）
如图 2 所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）
A. B. C. D.
4.将甲、乙、丙、丁、戊 5 名护士派往 5 所医院（含 医院），每所医院派 1 名护士，则甲和
乙都不派往 医院的总派法数为（ ）
{ }3, 2,2,4,6A= − − { }2| 3 10 0B x x x= − − < A B =
{ }2,4 { }2,2,4− { }2,2− { }3, 2,2− −
z 3(2 3) 13i z i− = z
3 2i− 2 2−
7.5% 6.25% 10.25% 31.25%
A
AA.48B.60C.72D.96
5.设非零向量 ， 满足 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
6.设双曲线 ， ， ，的离心率分别为 ，则（ ）
A. B. C. D.
7.将 60 个个体按照 01，02，03，…，60 进行编号，然后从随机数表的第 9 行第 9 列开始向右
读数（下表为随机数表的第 8 行和第 9 行）
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
则抽取的第 11 个个体的编号是（ ）
A.38B.13C.42D.02
8.若 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
9.若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
10.如图，在正四棱柱 中， ， 分别为 的中点，
异面直线 与 所成角的余弦值为 ，则（ ）
A.直线 与直线 异面，且
B.直线 与直线 共面，且
a b 3a b= 1cos , 3a b = ( ) 16a a b⋅ − = b =
2 3 2 5
2
2 13
yx − =
2 2
12 5
x y− =
2 2
12 7
y x− = 1 2 3, , e e e
3 2 1e e e< < 3 1 2e e e< < 1 2 3e e e< < 2 1 3e e e< <
2 4log log 1x y+ = 2x y+
2 2 3 4 2 2
1tan 3tan
α α+ = cos4α =
7
9
− 1
9
− 7
9
1
9
1 1 1 1ABCD ABCD− 12AB AA= E F， AB BC，
1AB 1CF m
1AE 1CF 2
3m =
1AE 1CF 2
3m =C.直线 与直线 异面，且
D.直线 与直线 共面，且
11.已知函数 ，将 的图象向右平移 个单位长度后，得到
的图象.若 的图象关于直线 对称，则 （ ）
A. B. C. D.
12.设定义在 上的函数 的导函数为 ，对 都有 ，当
且 时， ，则（ ）
A. ，且
B. ，且
C. ，且
D. ，且
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上.
13. 分别为 内角 的对边.已知 ，则 ___________.
14.四面体 的每个顶点都在球 的球面上， 两两垂直，且
， ，则四面体 的体积为___________，球 的表面积为
___________.
15.函数 的值域为____________.
16.设 ，若直线 上存在一点 满足 ，且
的内心到 轴的距离为 ，则 ___________.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤.17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答.
1AE 1CF 3
3m =
1AE 1CF 3
3m =
( ) sin 2 cos 2f x x a x= + ( )f x 6
π ( )g x
( )g x 4x
π= ( )f π =
3
3
− 3
3 3− 3
R ( )f x ( )f x′ Rx∈ ( ) ( )1 1f x f x+ = − −
1x > 2x ≠ ( ) 02
f x
x
′ >−
( ) ( )2 1,5log 5 log 3.5f f< ( ) ( )3 2log 2 log 3 0f f+ <
( ) ( )1,5 2log 3,5 log 5f f< ( ) ( )23log 2 log 3 0f f+ <
( ) ( )2 1,5log 5 log 3,5f f< ( ) ( )23log 2 log 3 0f f+ >
( ) ( )1,5 2log 3,5 log 5f f< ( ) ( )23log 2 log 3 0f f+ >
a b c， ， ABC△ A B C， ， 5 sina b A= sin B =
ABCD O AB AC AD， ，
1 2AB AC= =， 3AD = ABCD O
1
2( ) ( 0)1 2
x
xf x x+= >+
( ) ( )2,0 2,0A B− ， ( )0y ax a= > P | | | | 6PA PB+ =
PAB△ x 3 30
20
a =（一）必考题：共 60 分.
17.如图，四棱锥 的底面是正方形， 为 的中点， ， ，
， .
（1）证明： 平面 .
（2）求 与平面 所成角的正弦值.
18.某厂加工的零件按箱出厂，每箱有 10 个零件，在出厂之前需要对每箱的零件作检验，人工
检验方法如下：先从每箱的零件中随机抽取 4 个零件，若抽取的零件都是正品或都是次品，
则停止检验；若抽取的零件至少有 1 个至多有 3 个次品，则对剩下的 6 个零件逐一检验.已知
每个零件检验合格的概率为 0.8，每个零件是否检验合格相互独立，且每个零件的人工检验费
为 2 元.
（1）设 1 箱零件人工检验总费用为 元，求 的分布列；
（2）除了人工检验方法外还有机器检验方法，机器检验需要对每箱的每个零件作检验，每个
零件的检验费为 1.6 元.现有 1000 箱零件需要检验，以检验总费用的数学期望为依据，在人工
检验与机器检验中，应该选择哪一个？说明你的理由.
19.设 为数列 的前 项和， ，且 .
（1）证明:数列 为等比数列，并求 .
（2）求数列 的前 项和 .
20.已知函数 .
（1）讨论 在 上的单调性；
（2）若 ，求不等式 的解集.
21.已知抛物线 的焦点为 ，直线 与抛物线 交于 两点.
（1）若 过点 ，抛物线 在点 处的切线与在点 处的切线交于点 .证明：点 在定
直线上.
P ABCD- E AB PD CE⊥ 1AE =
3PD = 13PC=
AD⊥ PCD
DA PCE
X X
nS { }na n 1 1a = 1 2 1n nS S n− = + −
{ }nS n+ na
2
n
n
a n nT
2( )f x x ax= +
( )f x ( ),a +∞
3a ≥ − ( ) ( )262 4 22 4 3 6 12 8 2f x x x x x a x− + < + + + + +
2: 2 ( 0)C x py p= > F l C P Q，
l F C P Q G G（2）若 ，点 在曲线 上， 的中点均在抛物线 上，求
面积的取值范围.
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第
一题计分.
22.[选修 4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系 中,已知点 ， 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原
点 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
.
（1）求 的普通方程和 的直角坐标方程；
（2）设曲线 与曲线 相交于 两点，求 的值.
23.[选修 4-5：不等式选讲]
已知函数 .
（1）求不等式 的解集；
（2）设 的最小值为 ，正数 满足 ，证明： .
高三考试数学试卷
参考答案（理科）
1.A 因为 ，所以 .
2.D 因为 ，所以 的虚部是 .
3.B 水费开支占总开支的百分比为 .
4.C 因为甲和乙都不去 医院，所以去 医院的只有丙、丁、戊 3 名护士，故甲和乙都不派
往 医院的总派法数为 .
2p = M 21y x= − MP MQ， C M PQ△
xOy 31, 2M
1C
1
2
3
x t
y t
= +
=
t
O x 2C
2
2
3 2 cos θρ = +
1C 2C
1C 2C A B， 1 1
| | | |MA MB
+
( ) | 3 | | 1 |f x x x= − + −
( ) 6f x ≤
( )f x M a b， 2 24a b M+ = 2 4a b ab+ ≥
{ } { }2| 3 10 0 | 2 5B x x x x x= − − < = − < < { }2,4A B =
13 13 (2 3 ) 3 22 3 (2 3 )(2 3 )
i i iz ii i i
− − += = = −− − + z 2−
250 20% 6.25%250 450 100
× =+ +
A A
A 4
43 72A =5.A ， ， ，
.
6.D 因为双曲线 的离心率为 ，且 ，所以 .
7.D 随机数表第 9 行第 9 列为 2，抽取的个体分别为 29，56，07，52，42，44，38，15，51，
13，02，第 11 个个体为 02.
8.C 因为 ，所以 ，
则 ，当且仅当 时，等号成立，故 的最小值为 4.
9.D 因为 ，所以 ，所以
.
10.B 连接 ，易证 ，所以直线 与直线 共面.易证
，所以异面直线 与 所成角为 .设 ，则
，则 ， ， ，由余弦定理，得
.
11.D ，因为 的图象关于直线
对称，所以 ，即 ，解得 ，
故 .
12.A ， 当 时， ， 在 上单调递增，
， .
| | 3| |a b=
1cos , 3a b〈 〉 = 2 2 2( ) 9| | | | 8| | 16a a b b b b∴ ⋅ − = − = =
| | 2b∴ =
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 2
21 b
a
+ 5 3 7
2 1 2
< < 2 1 3e e e< <
( )2 2
2 4 1 4 1log log log log log 1x y x y x y+ = + = = 2 4( 0, 0)x y x y= > >
2 22 4x y x y+ =
2 2x y= = 2x y+
1 sin cos 2tan 3tan cos sin sin 2
α αα α α α α+ = + = = 2sin 2 3
α =
2 1cos 4 1 2sin 2 9
α α= − =
1 1 1EF AC CD DF， ， ， 1 1EF AC∥ 1AE 1CF
1AB CD∥ 1AB 1CF 1DC F∠ 1 2AA =
12 2AB AA= = 5DF = 1 3C F = 1 6C D =
1
3 6 5 2cos 32 3 6
m DC F
+ −= ∠ = =
× ×
( ) sin 2 cos 26 3 3g x f x x a x
π π π = − = − + −
( )g x 4x
π=
2sin cos 14 6 6g a a
π π π = + = ± +
21 3 12 2 a a+ = ± + 3a=
( ) 3f aπ = =
( ) 02
f x
x
′ >− ∴ 2x > ( ) 0f x′ > ( )f x∴ ( )2,+∞
3
1.5 1.5 2log 3.5 log 1.5 3 log 5> = > ( ) ( )2 1.5log 5 log 3.5f f∴ =
3 3
1log 2 log 3 2
> =
( )f x ( )1,2 ( ) ( )3 2log 2 log 3 0f f∴ + <
1
5 5 sina b A= sin 5sin sinA B A= sin 0A > 1sin 5B =
1 14π , , AB AC AD 1, 2, 3AB AC AD= = =
ABCD 1 11 2 3 13 2V = × × × × = O
2
2 2 21 2 34 142
π π
+ +× =
1 1,3 2
1( ) 2 2 xf x −= + 0x > 0x∴− < 0 2 1x−< < 1 1( )3 2f x∴ < <
3 P ( 0)y ax a= >
2 2
19 5
x y+ =
y ax= 2 2
19 5
x y+ = y 2
2
45
9 5x a
= +
2
2
2
45
9 5
ay a
= +
APB△ x 3 30
20
PAB△ 3 30
20r =
APB△ 1 1| | | | (| | | | | |)2 2AB y r AB PA PB× × = × × + +
2
2 2
2
5 45 5 25 27| | ,2 9 5 4 4 40
ay r y ra
= = = = ×+
2 3a = 0a > 3a=
E AB 1AE =
2CD AB= =
2 2 2CD PD PC+ = PD CD⊥
PD CE CD CE C⊥ =，
PD⊥ ABCD PD AD⊥
ABCD AD CD⊥
CD PD D= AD⊥ PCD
D D xyz−
(2,0,0)A (0,0,3)P (2,1,0)E (0, 2, 0)C所以 ， ， .
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，得 .
，
故 与平面 所成角的正弦值为 .
18.解：（1） 的可能取值为 ， ，
，
，
则 得分布列为
（2）由（1）知， ，
所以 1000 箱零件的人工检验总费用的数学期望为 元.
因为 1000 箱零件的机器检验总费用的数学期望为 元，
且 ，
所以应该选择人工检验.
19.（1）证明： ，
，
又 ，故数列 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，
则 ， ，
当 时， ，
(2,1, 3)PE = − ( 2,1,0)EC = − (2,0,0)DA=
PCE ( ), ,n x y z=
0PE n EC n⋅ = ⋅ = 2 3 0
2 0
x y z
x y
+ − =
− + =
3x = ( )3,6,4n =
3 61cos , 61| || |
n DAn DA
n DA
⋅〈 〉 = =
DA PCE 3 61
61
X 8 20
4 4( 8) 0.8 0.2 0.4112P X = = + =
( 20) 1- 0.4112 0.5888P X = = =
X
X 8 20
P 0.4112 0.5888
8 0.4112 20 0.5888 15.0656EX = × + × =
1000 15065.6EX =
1.6 10 1000 16000× × =
16000 15065.6>
1 2 1n nS S n+ = + −
( )1 1 2 2 2n n nS n S n S n+∴ + + = + = +
1 1 2S + = { }nS n+
2n
nS n+ = 2n
nS n= −
∴ 2n ≥ 1 1
1 2 2 ( 1) 2 1n n n
n n na S S n n− −
− = − = − − − − = − 故 .
（2）解：当 时， ，
则 ，
.
又 ，
.
20.解：（1） .
当 时， ，则 在 上单调递增.
当 时，令 ，得 .
（i）当 时， ，
令 ，得 ；令 ，得 .
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
（ii）当 时， ，
令 ，得 ；
令 ，得 或 .
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， .
（iii）当 时， ，
1
1, 1
2 1, 2n n
na n−
== − ≥
2n ≥ 1 1
2 2 2
n
n n
a = −
2 3 2 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2n n n
nT = + − + − +⋅⋅∂⋅+ − = − + +…+
1
1 1
1 14 2
12 2 21 2
n
n n
n nT
+− −∴ = − = +
−
1
1 1 1 1
2 2 2T
−= = +
1 1
2 2n n
nT
−∴ = +
2( ) 3f x x a′ = +
0a ≥ ( ) 0f x′ ( )f x ( ),a +∞
0a < ( ) 0f x′ =
3
ax = ± −
1
3a = −
3
a a− − =
( ) 0f x′ < a x a< x a>−
( )f x ( ),a a− ( ),a− +∞
1
3a < −
3
a a− − >
( ) 0f x′ <
3 3
a ax− − < < −
( ) 0f x′ >
3
aa x< < − −
3
ax > −
( )f x ,3 3
a a − − −
, 3
aa
− −
,3
a − +∞
1 03 a− < <
3
a a− −
3
ax > −
( )f x , 3
aa
−
,3
a − +∞
3a ≥ − 2 2( ) 3 3 3f x x a x′ = + − 1x≥ ( ) 0f x′ ≥ ( )f x
[ )1,+∞
( ) ( ) ( ) ( )36 4 2 2 2 2 26 12 8 2 2 2 2x x x a x x a x f x+ + + + + = + + + = +
( ) ( )2 22 4 3 2f x x f x− + < +
2 22 4 3 2( 1) 1 1x x x− + = − +
2 2 1x + >
2 22 4 3 2x x x− + < +
2 3 2 3x− < < + (2 3,2 3)− +
0, 2
pF
2
1
1 , 2
xP x p
2
2
2 , 2
xQ x p
l 2
py kx= +
2
2
2
py kx
x py
= +
=
2 22 0x pkx p− − = 2
1 2x x p= −
2 2x py= 2
2
xy p
= xy p
′ = 1
PG
xk p
=
PG ( )2
1 1
12
x xy x xp p
− = −
2
1 1 02
x xx yp p
− − =
QG
2
2 2 02
x xx yp p
− − =
( ) ( )1 2 1 2
1 2 2
x x x xx x y p
−− =
1 2x x≠ 1 2
2 2
x x py p
= =− G 2
py = −（2）解：设 ， 的中点分别为 ， .
因为 得中点均在抛物线 上，所以 为方程 的解，
即方程 的两个不同的实根，
则 ， ， ，
即 ，
所以 的中点 的横坐标为 ，则
，
，
所以 的面积 .
由 ，得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 面积的取值范围为 .
22.解：（1）由 的参数方程 ，（ 为参数），消去参数可得 .
由曲线 的极坐标方程为 ，得 ，
所以 的直角坐标方程为 ，即 .
( )0 0,M x y ,MP MQ
2
1
0
1 0 4,2 2
x yx x
+ +
2
2
0
2 0 4,2 2
x yx x
+ +
, MP MQ C 1 2,x x
2
2 0
0 442 2
x yx x ++ = ×
2 2
0 0 02 8 0x x x y x− + − =
1 2 02x x x+ = 2
1 2 0 08x x y x= − ( ) ( )2 2
0 0 02 4 8 0x y x∆ = − − >
2
0 04x y>
PQ N 0x ( ) ( )22 2
1 2 0 1 2 1 2 0
1 1| | 28 8MN x x y x x x x y = + − = + − −
2
0 0
3 34 x y= −
( ) ( )2 2
1 2 1 2 1 2 0 04 2 2 4x x x x x x x y− = + − = −
M PQ△ ( )3
2 2
1 2 0 0
1 3 2| | 42 4S MN x x x y= ⋅ − = −
2
0 01y x= − − ( )2 2
0 0 01 1 0x y y= − −
( )22 2
0 0 0 0 04 4 1 2 5x y y y y− = − − + = − + +
01 0y− ( )2
01 2 5 4y− + +
M PQ△ 3 2 ,6 24
1C
1
2
3
x t
y t
= +
=
t 33 2y x= −
2C 2
2
3 2 cos θρ = + 2 2 22 cos 3ρ ρ θ+ =
2C 2 23 2 3x y+ = 2
2 2 13
yx + =（2）因为 在曲线 上，
故可设曲线 的参数方程为 （ 为参数），
代入 ，化简可得 .
设 对应的参数分别为 ，则 ， ，
所以 .
23.（1）解： ，
不等式 ，即 或 或 ，
即 或 或 ，
所以所求不等式的解集为 .
（2）证明： ， .
因为 ， ，
所以要证 ，只需证 ，
即证 ，
因为 ，所以只要证 ，
即证 ，
即证 ，因为 ，所以只需证 ，
因为 ，所以 成立，
所以 .
31, 2M
1C
1C
11 2
3 3
2 2
x t
y t
= +
= +
t
2 23 2 3x y+ = 23 8 2 0t + + =
A B， 1 2,t t 1 2
8
3t t+ = − 1 2
2
3t t =
1 2
1 2 1 2
1 1 1 1 4| | | |
t t
MA MB t t t t
++ = + = =
4 2 , 1
( ) 2,1 3
2 4, 3
x x
f x x
x x
−
= <
2 4a b ab+ ( )2 2 22 16a b a b+ ≥
2 2 2 24 4 16a b ab a b+ + ≥
2 24 2a b+ = 2 22 4 16ab a b+ ≥
( )28 2 1 0ab ab− − ≤
( )( )4 1 2 1 0ab ab+ − ≤ 4 1 0ab + > 1
2ab ≤
2 22 4 4a b ab= + ≥ 1
2ab ≤
2 4a b ab+ ≥
微信/支付宝扫码支付