湖南省长望浏宁四县(区、市)2020 届高三 4 月联考
数学(理科)试题
第 I 卷(选择题共 60 分)
一.选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题
目要求.
1.已知复数 z 满足 i 为虚数单位,则 z 等于( )
A.1-i B.1+i
2.设 A= 则 ()
A. {x|x>- 1} B. {x|- 1 2 2 6 5 0x y x+ − + =
6. 3A 6. 2B 3 5. 5C 5. 2D
{ },na { }na
( )f x′ 2 11( ) (0) (1) ,2
xf x x f x f e′ −= − +
21( ) ( ) ,2g x f x x x= − +
1.A e
1. ( , ]B e
−∞ 1. (0, ]C e
12, 0] { }e
∪
6,SA =
5. 6A 3. 3B 2. 3C 1. 3D
{ }na 1 2 4, ,a a a 1a
d
2 2 ( 0)y px p= > 0(1, )P y的准线引垂线,垂足为 D,若△PDF 为等边三角形,则 p=____
16.若函数 在区间[1, 2]上单调递增,则 a + 4b 的最小值是____
三.解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第题为必考题,每个试题考生
都必须作答;第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共 60 分
17. (本小题满分 12 分)
△ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a,b,c,已知 2a+b=2c·cosB,
(1)求角 C;
(2)延长线段 AC 到点 D,使 CD=CB, 求△ABD 周长的取值范围.
18、(本小题满分 12 分)
如图,在四棱锥 P- ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,PA⊥底面 ABCD, PA= AB, E 为线段 PB
的中点,F 为线段 BC 上的动点.
(1)求证:平面 AEF⊥平面 PBC.
(2)试确定点 F 的位置,使平面 AEF 与平面 PCD 所成的锐二面角为 30°.
19. (本小题满分 12 分)
如图,在平面直角坐标系 x0y 中,已知椭圆 C: 的右焦点为 F (c, 0),
下顶点为 P,过点 的动直线 1 交椭圆 C 于 A, B 两点.
(1)当直线 1 平行于 x 轴时,P, F, A 三点共线,且 求椭圆 C 的方程;
(2)当椭圆 C 的离心率为何值时,对任意的动直线 1,总有 PA⊥PB ?
21( ) ln 22f x a x x bx= + +
3.c =
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
(0, )2
bM
3 3 ,2PA =20. (本小题满分 12 分)绿水青山就是金山银山.某山村为做好水土保持,退耕还林,在本村的山
坡上种植水果,并推出山村游等旅游项目.为预估今年 7 月份游客购买水果的情况,随机抽样统计
了去年 7 月份 100 名游客的购买金额.分组如下: [0,20),[20,40), …[100,120],得到如图所示的频率
分布直方图:
(1)请用抽样的数据估计今年 7 月份游客人均购买水果的金额(同一组中的数据用该组区间中点
作代表).
(2)若把去年 7 月份购买水果不低于 80 元的游客,称为“水果达人”.填写下面列联表,并根据列
联表判断是否有 95%的把握认为“水果达人”与性别有关系?
(3)为吸引顾客,商家特推出两种促销方案.
方案一:每满 80 元可立减 10 元;
方案二:金额超过 80 元可抽奖三次,每次中奖的概率为 且每次抽奖互不影响,中奖 1 次打 9
折,中奖 2 次打 8 折,中奖 3 次打 7 折.若每斤水果 10 元,你打算购买 12 斤水果,请从实际付款
金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案.
附:参考公式和数据:
1 ,2n=a+b+c+d
21. (本小题满分 12 分)设函数
(1)讨论 f(x)的单调性;
(2) 当 a=1 时,若不等式 )恒成立,求整数 m 的最大值.
(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、 23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计
分.
22. (本小题满分 10 分)
在直角坐标系 xOy 中,直线 1 的参数方程为 (t 为参数),在以坐标原点为极点,x 轴
正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 的方程为 ρ=4cosθ +6sinθ .
(1)求曲线 C 的直角坐标方程;
(2)设曲线 C 与直线 1 交于点 M, N,点 A 的坐标为(3, 1),求|AM|+|AN|.
23. (本小题满分 10 分)
2
2 ( ) ,( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
21( ) ln( 2).2f x x a x= + +
21 ( ) 02
xe x f x m+ − − >
23 2
21 2
x t
y t
= −
= +已知函数 f(x)=|x-2|.
(1)解不等式 f(x)+ f(2x+1)≥6;
(2)对 a+b=1(a>0,b>0)及任意实数 x,不等式 恒成立,求实数 m 的取
值范围.
4 1( ) ( )f x m f x a b
− − − ≤ +