湖南长望浏宁四县（区、市）2020届高三数学（理）4月联考试题（Word版有答案）

湖南省长望浏宁四县（区、市）2020 届高三 4 月联考 数学（理科）试题 第 I 卷(选择题共 60 分) 一.选择题:共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求. 1.已知复数 z 满足 i 为虚数单位,则 z 等于( ) A.1-i B.1+i 2.设 A= 则 () A. {x|x>- 1} B. {x|- 1 2 2 6 5 0x y x+ − + = 6. 3A 6. 2B 3 5. 5C 5. 2D { },na { }na ( )f x′ 2 11( ) (0) (1) ,2 xf x x f x f e′ −= − + 21( ) ( ) ,2g x f x x x= − + 1.A e 1. ( , ]B e −∞ 1. (0, ]C e 12, 0] { }e ∪ 6,SA = 5. 6A 3. 3B 2. 3C 1. 3D { }na 1 2 4, ,a a a 1a d 2 2 ( 0)y px p= > 0(1, )P y的准线引垂线，垂足为 D,若△PDF 为等边三角形,则 p=____ 16.若函数 在区间[1, 2]上单调递增，则 a + 4b 的最小值是____ 三.解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第题为必考题，每个试题考生 都必须作答;第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题:共 60 分 17. (本小题满分 12 分) △ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a,b,c,已知 2a+b=2c·cosB, (1)求角 C; (2)延长线段 AC 到点 D,使 CD=CB, 求△ABD 周长的取值范围. 18、(本小题满分 12 分) 如图，在四棱锥 P- ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PA⊥底面 ABCD, PA= AB, E 为线段 PB 的中点，F 为线段 BC 上的动点. (1)求证:平面 AEF⊥平面 PBC. (2)试确定点 F 的位置，使平面 AEF 与平面 PCD 所成的锐二面角为 30°. 19. (本小题满分 12 分) 如图，在平面直角坐标系 x0y 中，已知椭圆 C: 的右焦点为 F (c, 0)， 下顶点为 P,过点 的动直线 1 交椭圆 C 于 A, B 两点. (1)当直线 1 平行于 x 轴时，P, F, A 三点共线,且 求椭圆 C 的方程; (2)当椭圆 C 的离心率为何值时,对任意的动直线 1,总有 PA⊥PB ? 21( ) ln 22f x a x x bx= + + 3.c = 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > (0, )2 bM 3 3 ,2PA =20. (本小题满分 12 分)绿水青山就是金山银山.某山村为做好水土保持，退耕还林,在本村的山 坡上种植水果，并推出山村游等旅游项目.为预估今年 7 月份游客购买水果的情况，随机抽样统计 了去年 7 月份 100 名游客的购买金额.分组如下: [0,20)，[20,40), …[100,120]，得到如图所示的频率 分布直方图: (1)请用抽样的数据估计今年 7 月份游客人均购买水果的金额(同一组中的数据用该组区间中点 作代表). (2)若把去年 7 月份购买水果不低于 80 元的游客，称为“水果达人”.填写下面列联表，并根据列 联表判断是否有 95%的把握认为“水果达人”与性别有关系? (3)为吸引顾客，商家特推出两种促销方案. 方案一:每满 80 元可立减 10 元; 方案二:金额超过 80 元可抽奖三次，每次中奖的概率为 且每次抽奖互不影响，中奖 1 次打 9 折，中奖 2 次打 8 折，中奖 3 次打 7 折.若每斤水果 10 元，你打算购买 12 斤水果，请从实际付款 金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案. 附:参考公式和数据: 1 ,2n=a+b+c+d 21. (本小题满分 12 分)设函数 (1)讨论 f(x)的单调性; (2) 当 a=1 时，若不等式 )恒成立,求整数 m 的最大值. (二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、 23 题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题计 分. 22. (本小题满分 10 分) 在直角坐标系 xOy 中,直线 1 的参数方程为 (t 为参数),在以坐标原点为极点,x 轴 正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的方程为 ρ=4cosθ +6sinθ . (1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)设曲线 C 与直线 1 交于点 M, N,点 A 的坐标为(3, 1),求|AM|+|AN|. 23. (本小题满分 10 分) 2 2 ( ) ,( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + 21( ) ln( 2).2f x x a x= + + 21 ( ) 02 xe x f x m+ − − > 23 2 21 2 x t y t  = −  = +已知函数 f(x)=|x-2|. (1)解不等式 f(x)+ f(2x+1)≥6; (2)对 a+b=1(a>0,b>0)及任意实数 x,不等式 恒成立，求实数 m 的取 值范围. 4 1( ) ( )f x m f x a b − − − ≤ +