绝密★启用前 【考试时间：2020 年 4 月 24 日下午 15∶00~17∶00】
湖南湖北四校 2020 届高三学情调研联考
文科数学试题卷
本试卷共 5 页，满分 150 分，考试用时 120 分钟.
考生注意：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
祝考试顺利
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. ， 互为共轭复数，且 则 （ ）
A.2 B.1 C. D.4
3.如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中
包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为 ，若向
弦图内随机抛掷 200 颗米粒（大小忽略不计，取 ），则落在小正方形（阴影）内的
米粒数大约为（ ）
A.20 B.27 C.54 D.64
{ }0 4P x R x= ∈ ≤ ≤ { }3Q x R x= ∈ < P Q =
[ ]3,4 ( ]3,4− ( ],4−∞ ( )3,− +∞
x y ( )2 3 4 6x y xyi i+ − = − x y+ =
2 2
30°
3 1.732≈4.如图，在 中，点 在线段 上，且 ，若 ，则
（ ）
A. B. C. D.2
5.已知定义在 上的函数 （ 为实数）为偶函数，记 ，
， ，则 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
6.如图所示是某多面体的三视图，左上为正视图，右上为侧视图，左下为俯视图，且图中小方
格单位长度为 1，则该多面体的侧面最大面积为（ ）
A. B. C. D.2
7.已知双曲线 的左，右焦点分别为 ， ，又点
.若双曲线 左支上的任意一点 均满足 ，则双曲线 的离
心率的取值范围为（ ）
ABC△ D BC 3BD DC= AD AB ACλ µ= + λ
µ =
1
3
1
2
2
3
R ( ) 2 1x mf x −= − m ( )0.5log 3a f=
( )2log 5b f= ( )2c f m= + , ,a b c
a b c< < c b a< < c a b< < a c b< <
2 3 6 2 2
( )2 2
2 2: 1 0, 0x yC a ba b
− = > > ( )1 ,0F c− ( )2 ,0F c
23, 2
bN c a
− C M 2 4MF MN b+ > CA. B.
C. D.
8.为计算 ，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入
（ ）
A. B. C. D.
9.已知 的内角 所对的边分别为 ，且 ，则
的最大值为（ ）
A. B. C. D.
10.已知函数 在区间 上是增函
数，且在区间 上恰好取得一次最大值 1，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
11.过双曲线 右焦点 的直线交两渐近线于 、 两点，若
， 为坐标原点，且 内切圆半径为 ，则该双曲线的离心率为
（ ）
13 , 53
( )131, 5,3
+∞
( ) ( )1, 5 13,+∞ ( )5, 13
1 1 1 1 11 2 3 4 99 100S = − + − + + −
1i i= + 2i i= + 3i i= + 4i i= +
ABC△ , ,A B C , ,a b c 3cos cos 5a B b A c− =
( )tan A B−
3
2
3
2
3
4 3
( ) ( )2 2π2sin cos sin 02 4
rf x x x
ωω ω ω = ⋅ − − >
2π 5π,3 6
−
[ ]0,π w
30, 5
1 3,2 5
1 3,2 4
1 5,2 2
( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
− = > > F A B
0OA AB⋅ = O OAB△ 3 1
2 a
−A. B. C. D.
12.已知三棱锥 的四个顶点在球 的球面上， ， 是边长为
2 的正三角形， 分别是 的中点， ，则球 的体积为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.命题“ ， ”的否定是 .
14.观察分析下表中的数据：
多面体 面积（ ） 顶点数（ ） 棱数（ ）
三棱柱 5 6 9
五棱锥 6 6 10
立方体 6 8 12
猜想一般凸多面体中 所满足的等式是 .
15.设函数 ，函数 ，若对于任意的 ，总存在
，使得 ，则实数 的取值范围是 .
16.某小商品生产厂家计划每天生产 型、 型、 型三种小商品共 100 个，生产一个 型小
商品需 5 分钟，生产一个 型小商品需 7 分钟，生产一个 型小商品需 4 分钟，已知总生产
时间不超过 10 小时.若生产一个 型小商品可获利润 8 元，生产一个 型小商品可获利润 9
元，生产一个 型小商品可获利润 6 元.该厂家合理分配生产任务使每天的利润最大，则最大
日利润是 元.
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：60 分.
17.已知数列 满足： ， ， .
（1）证明： 是等差数列，并求数列 的通项公式；
2 3
3 3 4 3
3 3 1+
P ABC− O PA PB PC= = ABC△
,E F ,PA AB 90CEF∠ = ° O
68 π 64 π 62 π 6π
( )0 0,x∃ ∈ +∞ 0 0ln 1x x= −
F V E
, ,F V E
( ) ( )1xf x e x= − ( )g x mx= [ ]1 2,2x ∈ −
[ ]2 1,2x ∈ ( ) ( )1 2f x g x> m
A B C
B C
A B
C
{ } { },n na b 1
1
4a = 1n na b+ = 1 21
n
n
n
bb a+ = −
1
1nb
−
{ }nb（2）设 ，求实数 为何值时 恒成立.
18.如图， 是边长为 2 的菱形， ， 平面 ， 平面
， .
（1）求证： ；
（2）求几何体 的体积.
19.在“挑战不可能”的电视节目上，甲、乙、丙三个人组成的解密团队参加一项解密挑战活
动，规则是由密码专家给出题目，然后由 3 个人依次出场解密，每人限定时间是 1 分钟内，
否则派下一个人.3 个人中只要有一人解密正确，则认为该团队挑战成功，否则挑战失败.根据
甲以往解密测试情况，抽取了甲 100 次的测试记录，绘制了如下的频率分布直方图.
（1）若甲解密成功所需时间的中位数为 47，求 、 的值，并求出甲在 1 分钟内解密成功的
频率；
（2）在“挑战不可能”节目上由于来自各方及自身的心理压力，甲，乙，丙解密成功的概率
分别为 ，其中 表示第 个出场选手解密成功的概率，并且
定义为甲抽样中解密成功的频率代替，各人是否解密成功相互独立.
①求该团队挑战成功的概率；
②该团队以 从小到大的顺序按排甲、乙、丙三个人上场解密，求团队挑战成功所需派出的
人数 的可能值及其概率.
20.如图，设抛物线 的准线 与 轴交于椭圆
1 2 2 3 3 4 1n n nS a a a a a a a a += + + + + a 4 n naS b<
ABCD 60DAB∠ = ° EB ⊥ ABCD FD ⊥
ABCD 2 4EB FD= =
EF AC⊥
EFABCD
a b
( )1
1
9 1 1,2,310 10
n
n
nP P n
− − = + = iP i
1P
iP
X
( )2
1 : 4 0C y mx m= − > l x的右焦点 为 的左焦点.椭圆的离心率为 ，抛物线
与椭圆 交于 轴上方一点 ，连接 并延长其交 于点 ， 为 上一动点，且在
之间移动.
（1）当 取最小值时，求 和 的方程；
（2）若 的边长恰好是三个连续的自然数，当 面积取最大值时，求面积最大
值以及此时直线 的方程.
21.已知函数 ，其中 为常数.
（1）若直线 是曲线 的一条切线，求实数 的值；
（2）当 时，若函数 在 上有两个零点.求实数 的取值
范围.
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一
题计分.
22.[选修 4—4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ，（ 为参数），曲线
.以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程
为 .
（1）若直线 与 ， 轴的交点分别为 ，点 在 上，求 的取值范围；
2 2
2 2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 2 1,F F 2C 1
2e = 1C
2C x P 1PF 1C Q M 1C
,P Q
3
2
a
b
+ 1C 2C
1 2PF F△ MPQ△
MP
( ) lnxf x a xe
= + a
2y xe
= ( )y f x= a
1a = − ( ) ( ) ln xg x f x bx
= − + [ )1,+∞ b
xOy l 2
1
x t
y t
= − −
= + t
2
1 : 1C y x= − x 2C
π4 2 sin 4
ρ α = -
l x y ,A B P 1C BA BP⋅ （2）若直线 与 交于 两点，点 的直角坐标为 ，求 的值.
23.[选修 4–5：不等式选讲]
已知函数 ， .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 ，都有 恒成立，求 的取值范围.
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17∶00】
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文科数学试题卷参考答案及解析
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C B A D C B B C B A D
1.B 【解析】由题意得， ， ， ，故选 B.
2.C 【解析】设 ， ，代入得 ，所以 ，
，解得 ， ，所以 .
3.B 解析：设大正方体的边长为 ，则小正方体的边长为 ，设落在小正方形内的
米粒数大约为 ，则 ，解得： .
4.A 【解析】 ，
所以 ， ，从而求得 .
5.D 解析： 函数 是偶函数， 在 上恒成立， ， 当
l 2C M N, Q ( )2,1− QM QN−
( ) 2 2 3f x x x m= + + + Rm∈
2m = − ( ) 3f x ≤
( ),0x∀ ∈ −∞ ( ) 2f x x x
≥ + m
[ ]0,4P = ( )3,3Q = − ( ]3,4P Q = −∴
x a bi= + y a bi= − ( ) ( )2 2 22 3 4 6a a b i i− + = − ( )22 4a =
( )2 23 6a b+ = 1a = 1b = 2 2x y+ =
x 3 1
2 2x x−
N
2
2
3 1
2 2
200
x x
N
x
−
= 27N ≈
( )3 3 1 3
4 4 4 4AD AB BD AB BC AB AC AB ACAB= + = + = + − = +
1
4
λ = 3
4
µ = 1
3
λ
µ =
( )f x ( ) ( )f x f x∴ = − R 0m∴ = ∴ 0x ≥时，易得 为增函数， ，， ，
， ，
6.C 由三视图可知多面体是棱长为 2 的正方体中的三棱锥 ，
故 ， ， ， ， ，
， ，
，
该多面体的侧面最大面积为 .故选 C.
7.B 解析：双曲线 左支上的任意一点 均满足 ，
即 ，
又
或
， 或
8.B 详解：由 得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，
最后再相减.因此在空白框中应填入 ，选 B.
9.C 【解析】 由正弦定理，得 ，
，
( ) 2 1xf x = − ( ) ( )0.5 2log 3 log 3a f f∴ == ( )2log 5b f=
( )2c f= 2 2log 3 2 log 5<
( )2 min 4MF MN b+ >
2
2 1 2
32 2 2 2
bMF MN a MF MN a NF a a
+ ≥ + + ≥ + = +
2
2 232 4 4 3 82
ba b a b aba
∴ + > ⇒ + >
3 4 8 0 2b a b
a b a
⇒ ⋅ + − > ⇒ > 2
3
b
a
<
2
2
21 be a
∴ = +
5e > 131 3N< <
1 1 1 1 11 2 3 4 99 100S = − + − + + −
2i i= +
3cos cos 5a B b A c− = ∴ 3sin cos sin cos sin5A B B A C− =
( ) ( )sin sinC A B C A Bπ= − + ⇒ = +，
整理，得 ，同除以 ，得 ，由此可得
、 是三角形内角，且
与 同号， 、 都是锐角，即 ， ，
，
当且仅当 ，即 时， 的最大值为 .
10.B 解析： ，
.
令 可得 ， 在区间 上恰好取得一次最大值，
解得 .
令 ，解得： ， 在区间
上是增函数，
，解得 .综上， .故选：B.
11.A 解析：因为 ，所以双曲线的渐近线如图所示，
设内切圆圆心为 ，则 在 平分线 上，
过点 分别作 于 ， 于 ，由 得四边形 为正方形，
由焦点到渐近线的距离为 得 ，又 ，所以 ， ，
( )3sin cos sin cos sin cos cos sin5A B B A A B A B∴ − = +
sin cos 4sin cosA B B A= cos cosA B tan 4tanA B=
( ) 2
tan tan 3tan 3tan 11 tan tan 1 4tan 4tantan
A B BA B A B B BB
−− = = =+ + +
， A B
tan A tan B A∴ B tan 0A > tan 0B >
1 14tan 2 4tan 4tan tanB BB B
+ ≥ ⋅ =
( ) 3 3tan 1 44tantan
A B
BB
− = ≤
+
1 4tantan BB
= 1tan 2B = ( )tan A B− 3
4
2 π π2cos 1 cos 1 sin2 4 2
x x x
ω ω ω − = + − = +
( ) ( ) 2sin 1 sin sin sinf x x x x xω ω ω ω= + − =
π 2 π2x kω = + π 2 π
2
kx ω ω= + ( )f x [ ]0,π
π0 π2ω∴ ≤ ≤ 1
2
ω ≥
π π2 π 2 π2 2k x kω− + ≤ ≤ + π 2 π π 2 π
2 2
k kxω ω ω ω− + ≤ ≤ + ( )f x
2π 5π,3 6
−
2π π
3 2
5π 3
6 5
ω
ω
− ≥ −∴
≤ ≤
3
5
ω ≤ 1 3
2 5
ω≤ ≤
0a b> >
M M AOB∠ OF
M MN OA⊥ N MT AB⊥ T FA OA⊥ MTAN
b FA b= OF c= OA a= 3 1
2NA MN a= = −所以 ，所以 ，得 .故选
A.
12.D 解析：方法一：本题也可用解三角形方法，达到求出棱长的目的.适合空间想象能力略
差学生.
设 ， 分别为 中点，
，且 ， 为边长为 2 的等边三角形，
又 ，
中余弦定理 ，作 于 ， ，
为 中点， ， ，
， ， ， ，又 ，
两两垂直， ， ，
，故选 D.
方法二： ， 为边长为 2 的等边三角形， 为正三棱锥，
，又 ， 分别为 、 中点，
， ，又 ， ， 平面 ， 平
面 ， ， ， 为正方体一部分，
3 3
2NO a= −
tan 3
3
MNb AOFa NO
= ∠ = =
2 321 3
be a
= + =
2PA PB PC x= = = ,E F ,PA AB
EF PB∴ ∥ 1
2EF PB x= = ABC△
3CF∴ = 90CEF∠ = ° 23CE x∴ = − 1
2AE PA x= =
AEC△
( )2 24 3
cos 2 2
x x
EAC x
+ − −
∠ = × × PD AC⊥ D PA PC=
D AC 1cos 2
ADEAC PA x
∠ = =
2 24 3 1
4 2
x x
x x
+ − +∴ =
22 1 2x∴ + = 2 1
2x∴ = 2
2x = 2PA PB PC∴ = = = 2AB BC AC= = =
, ,PA PB PC∴ 2 2 2 2 6R∴ = + + = 6
2R∴ =
34 4 6 6 63 3 8V Rπ π π∴ = = × =
PA PB PC= = ABC△ P ABC∴ −
PB AC∴ ⊥ E F PA AB
EF PB∴ ∥ EF AC∴ ⊥ EF CE⊥ CE AC C= EF∴ ⊥ PAC PB ⊥
PAC PAB∴∠ = 90° 2PA PB PC∴ = = = P ABC∴ −，即 ， ，故选 D.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. ，
14.
解析：凸多面体的面数为 .顶点数为 和棱数为 ，
①正方体： ， ， ，得 ；
②三棱柱： ， ， ，得 ；
③三棱锥： ， ， ，得 .
根据以上几个例子，猜想：凸多面体的面数 . 和棱数 满足如下关系：
再通过举四棱锥、六棱柱、…等等，发现上述公式都成立.
因此归纳出一般结论：
故答案为：
15. 解析： ， ， 对于任意的 ，当
时， ，当 时， ，即 在 上为减函数，在
上为增函数. 为 在 上的极小值点，也是最小值点且最小值为 ，
对于任意的 ， ，而总存在 ，使得 ，
. ， ① 时， ，不合题意，
② 时， ，此时 ，不合题意，③ 时，
，
， ， .
16.850【解析】依题意，每天生产的玩具 型商品 个、 商品 个、 商品的个数等于：
，所以每天的利润 .
2 2 2 2 6R = + + = 6
2R = 34 4 6 6 63 3 8V Rπ π π∴ = = × =
( )0,x∀ ∈ +∞ ln 1x x≠ −
2F V E+ − =
F V E
6F = 8V = 12E = 8 6 12 2F V E+ − = + − =
5F = 6V = 9E = 5 6 9 2F V E+ − = + − =
4F = 4V = 6E = 4 4 6 2F V E+ − = + − =
F V E 2F V E+ − =
2F V E+ − =
2F V E+ − =
1, 2
−∞ −
( ) ( )1xf x e x= − ( ) xf x xe′∴ = ∴ [ ]2,2x∈ −
[ )2,0x∈ − ( ) 0f x′ < ( ]0,2x∈ ( ) 0f x′ > ( )f x [ )2,0−
( ]0,2 0x∴ = ( )f x [ ]2,2− [ ]2,2−
∴ [ ]1 2,2x ∈ − ( )1 min 1f x = − [ ]2 1,2x ∈ ( ) ( )1 2f x g x>
( ) ( )1 2min minf x g x> ( )g x mx=∵ ∴ 0m = ( )2 0g x =
0m > ( ) [ ]2 2 ,2g x mx m m= ∈ 1m < − 0m <
( ) [ ]2 2 2 ,g x mx m m= ∈
( )2 min 2g x m∴ = 2 1m∴ < − 1
2m < −
A x B y C
100 x y− − ( )8 9 6 100 2 3 600T x y x y x y= + + − − = + +约束条件为： ，整理得 .目标函数为
.如图所示，做出可行域.
初始直线 ，平移初始直线经过点 时， 有最大值.由 得
.最优解为 ，此时 （元）.即最大日利润是 850 元.
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
17.（1） ， ，
. 数列 是以 为首项， 为公差的等差数列.
∴ ， ∴ .
（2） .
.由条件可知
恒成立即可满足条件，设 ，当
时， 恒成立，当 时，由二次函数的性质知不可能成立.当
( )
*
5 7 4 100 600
100 0
0, 0, ,
x y x y
x y
x y x y N
+ + − − ≤
− − ≥
≥ ≥ ∈ *
3 200
100
,
x y
x y
x y N
+ ≤
+ ≤
∈
2 3 600T x y= + +
0 : 2 3 0l x y+ = A T 3 200
100
x y
x y
+ =
+ =
50
50
x
y
=
=
( )50,50A max 850T =
( )( ) ( )1
1
1 1 2 2
n n
n
n n n n n
b bb a a b b b+ = = =− + − − 1
11 12n
n
b b+∴ − = −−
1
21 111 1 1
n
n n n
b
b b b+
−∴ = = − +− − − ∴ 1
1nb
−
4− 1−
1 4 ( 1) 31n
n nb
= − − − = − −−
1 21 3 3n
nb n n
+= − =+ +
11 3n na b n
= − = +
( )( ) ( )1 2 2 3 1
1 1 1 1 1
4 5 5 6 3 4 4 4 4 4n n n
nS a a a a a a n n n n+∴ = + +⋅⋅⋅+ = + +⋅⋅⋅ = − =× × + + + +
( ) ( )
( )( )
21 3 6 824 4 3 3 4n n
a n a nan naS b n n n n
− + − −+∴ − = − =+ + + +
( ) ( )21 3 6 8 0a n a n− + − − < ( ) ( ) ( )21 3 2 8f n a n a n= − + − −
1a = ( ) 3 8 0f n n= − − < 1a > 1a
( ) 0f x′ < 0 x e< < ( )f x ( ) 0f e = ( ) 0f x ≥
( ) lnlnx xg x x be x
= − − + ( )0x > lnln x xy x x e
= + −
y b=
( ) ( )lnln 0x xh x x xx e
= + − > ( ) 2
2 2
1 1 ln 1 lnx ex e e x xh x x x e ex
− + − −′ = + − =
( ) 2lnx ex e e x xϕ = + − − ( ) 222e ex e xx e xx x
ϕ − −′ = − − =
22 0ex e x− − < ( ) 0xϕ′ < ( )xϕ ( )0,+∞
( ) 0eϕ = 0 x e< < ( ) 0xϕ > x e> ( ) 0xϕ <
0 x e< < ( ) 0h x′ > x e> ( ) 0h x′ <
( )h x ( )0,e ( ),e +∞
( )h x x e= ( ) 1h e e
=
( ) 11h e
= − ( )3 2 2
3
3 13 4 1h e e ee e
= + − < − < − < −
( )g x [ )1,+∞ b 1 1be e
− ≤
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