中原名校 2019-2020 学年下学期质量考评高三
数学（理科）试题
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
1．若 为虚数单位，则复数 在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3 ． 若 样 本 的 平 均 数 是 10 ， 方 差 为 2 ， 则 对 于 样 本
，下列结论正确的是（ ）
A．平均数为 20，方差为 4 B．平均数为 11，方差为 4
C．平均数为 21，方差为 8 D．平均数为 20，方差为 8
4．已知向量 ， ，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
5．已知角 的终边经过点 ，则 的值是（ ）
A．1 或 B． 或 C．1 或 D． 或
6．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果后，
甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用．若这三人中仅有一人说法错误，
则下列结论正确的是（ ）
A．甲被录用 B．乙被录用 C．丙被录用 D．无法确定被录用
7 ． 根 据 最 小 二 乘 法 由 一 组 样 本 点 （ 其 中 ），求 得 的 回 归 方 程 是
，则下列说法正确的是（ ）
A．至少有一个样本点落在回归直线 上
B．若所有样本点都在回归直线 上，则变量间的相关系数为 1
i 1
1 2
iz i
+= +
{ }4|0 log 1A x x= < < { }2| 1xB x e −= ≤ A B∪ =
( ,4)−∞ (1,4) (1,2) (1,2]
1 2 31 ,1 ,1 , ,1 nx x x x+ + + +
1 2 32 2 ,2 2 ,2 2 , ,2 2 nx x x x+ + + +
( ,1)a m= (3, 2)b m= − 3m = a b ∥
a ( 4 ,3 )( 0)P m m m− ≠ 2sin cosa a+
1− 2
5
2
5
− 2
5
− 1− 2
5
−
( ),i ix y 1,2, 300i = …
ˆˆ ˆy bx a= +
ˆˆ ˆy bx a= +
ˆˆ ˆy bx a= +C．对所有的解释变量 的值一定与 有误差
D．若回归直线 的斜率 ，则变量 与 正相关
8．已知 ， 满足条件 （ 为常数），若目标函数 的最大值为 9，
则 （ ）
A． B． C． D．
9．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，则该三棱锥外接球的表面积
为（ ）
A． B． C． D．
10．已知 ， 是椭圆与双曲线的公共焦点， 是它们的一个公共点，且 ，椭
圆的离心率为 ，双曲线的离心率为 ， ，则 的最小值为（ ）
A．4 B．6 C． D．8
11 ． 已 知 为 任 意 实 数 ， 且 ， 则 对 任 意 正 实 数 ，
的最小值为（ ）
A． B．18 C． D．
12．已知函数 ，若 有 3 个零点，则 的取值范围为（ ）
ˆ ˆ( 1,2, ,300),i ix i bx a= + iy
ˆˆ ˆy bx a= + ˆ 0b > x y
x y
0, 0
2 0
x y
y x
x y k
≥ ≥
≤
+ + ≤
k 3z x y= +
k =
16− 6− 27
4
− 27
4
27π 28π 29π 30π
1F 2F P 2 1PF PF>
1e 2e 1 1 2PF F F= 2
1
3
3
e
e
+
4 2 2+
,a b 2 2( 2) ( 3) 1a b+ + − = x
2 2( ) (ln )x a x b− + −
3 2 3 2 1− 19 6 2−
1 , 0
( ) ln , 0
xxf x x xx
( ) ( )F x f x kx= − kA． B． C． D．
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．若 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中各项的系数和是
__________．
14． 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， ， 成等差数列，若
， ，则 的面积为___________．
15．割圆术是估算圆周率的科学方法，由三国时期数学家刘徽创立，他用圆内接正多边形面
积无限逼近圆面积，从而得出圆周率．现在半径为 1 的圆内任取一点，则该点取自其内接正
十二边形内部的概率为_________．
16．已知点 是抛物线 的准线上一点， 为抛物线的焦点， 为抛
物线上的点，且 ，若双曲线 中心在原点， 是它的一个焦点，且过 点，
当 取最小值时，双曲线 的离心率为__________．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．设数列 的前 项和为 ，且 ， ，数列 满足 ，点
在 上， ．
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 ．
18．如图 1，在等腰 中， ， ， 分别为 ， 的中点， 为
的中点， 在线段 上，且 ．将 沿 折起，使点 到 的位置（如
图 2 所示），且 ．
2
1 ,0e
−
1 ,02e
−
10, 2e
2
10, e
2
2 n
x x
−
ABC△ A B C a b c A B C
3b = 1c = ABC△
(0, 1)A − 2 2 ( 0)x py p= > F P
| | | |PF m PA= C F P
m C
{ }na n nS 1a = 1 2 1n na S+ = + { }nb 1 1a b=
( )1,n nP b b + 2 0x y− + = *n N∈
{ }na { }nb
n
n
n
bc a
= { }nc n nT
Rt ABC△ 90C∠ = ° D E AC AB F CD
G BC 3BG CG= ADE△ DE A 1A
1A F CD⊥
（1）证明： 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
19．第 7 届世界军人运动会于 2019 年 10 月 18 日至 27 日在湖北武汉举行，赛期 10 天，共设
置射击、游泳、田径、篮球等 27 个大项，329 个小项，共有来自 100 多个国家的近万名现役
军人同台竞技．前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣
传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民．武汉市
体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度
极高，现从大批参与者中随机抽取 200 名幸运参与者，他们得分（满分 100 分）数据，统计
结果如下：
组别
频数 5 30 40 50 45 20 10
（1）若此次问卷调查得分 整体服从正态分布，用样本来估计总体，设 ， 分别为这 200
人得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值作为代表），求 ， 的值（ ，0 的
值四舍五入取整数），并计算 ；
（2）在（1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民
制定如下奖励方案：得分低于 的可以获得 1 次抽奖机会，得分不低于 的可获得 2 次抽奖
机会，在一次抽奖中，抽中价值为 15 元的纪念品 的概率为 ，抽中价值为 30 元的纪念品
的概率为 ．现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记 为他参加活动获
得纪念品的总价值，求 的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金额．
（参考数据： ； ；
BE∥ 1A FG
1A FG 1A BE
[30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100)
X µ σ
µ σ µ
(51 93)P X< <
µ µ
A 2
3 B
1
3 Y
Y
( ) 0.6827P Xµ σ µ σ− < ≤ + ≈ ( 2 2 ) 0.9545P Xµ σ µ σ− < ≤ + ≈．）
20．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ， 为
椭圆上一动点（异于左右顶点）， 面积的最大值为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 与椭圆 相交于 ， 两点，问 轴上是否存在点 ，使得
是以 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点 的坐标；若不存在，请说
明理由．
21．已知函数 ，其中 是自然对数的底数．
（1）求函数 在 处的切线方程；
（2）若不等式 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围．
[选做题）请考生在第 22～23 两题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，
则按所做的第一个题目计分．
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系 中，已知直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为
极点， 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，点
的极坐标是 ．
（1）求直线 的极坐标方程及点 到直线 的距离；
（2）若直线 与曲线 交于 ， 两点，求 的面积．
23．[选修 4-5：不等式选讲]
已知函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若关于 的不等式 的解集包含 ，求实数 的取值范围．
( 3 3 ) 0.9973P Xµ σ µ σ− < ≤ + ≈
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 1F 2F 3
2 A
1 2AF F△ 3
C
:l y x m= + C A B y M
ABM△ M M
( ) ( 1)ln ( )f x a x x ex a R= − + ∈ e
( )f x 1x =
( ) 0xf x e− ≤ [1, )x ∈ +∞ a
xOy l
1
2
3
2
x t
y t
=
=
t
x C 2 2 cos 2 0ρ ρ θ− − =
P 2 15 2,3 3
π
l P l
l C M N PMN△
( ) | | | 1|f x x a x= + + −
2a = ( ) 8f x x≥ +
x ( ) | 5|f x x≤ − [0,2] a中原名校 2019-2020 学年下期质量考评一
高三数学（理）参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D A D A B A D B C D D C
1．【解析】因为 ，所对应的点为 位于第
四象限．故选 D．
2 ．【解 析 】 ， ， 则
．故选 A．
3 ．【解 析 】 样 本 的 平 均 数 是 10 ， 方 差 为 2 ， 所 以 样 本
的平均数为 ，方差为 ．故选 D．
4．【解析】当 时， ，即 ，解得： 或 ，∴
是 的充分不必要条件．故选 A．
5．【解析】由题意得点 与原点间的距离 ．
①当 时， ，∴ ， ，
∴ ．
②当 时， ，∴ ， ，
∴ ．
综上， 的值是 或 ．故选 B．
6．【解析】若乙的说法错误，则甲丙的说法都正确，但两人的说法相矛盾，据此可得，乙的
说法是正确的，即甲被录用了．故选 A．
7．【解析】回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上，故 A 错误；
所有样本点都在回归直线 上，则变量间的相关系数为 ，故 B 错误；若所有的样
1 (1 )(1 2 ) 3 3 1
1 2 (1 2 )(1 2 ) 5 5 5
i i i iz ii i i
+ + − −= = = = −+ + −
3 1,5 5
−
{ }4|0 log 1 { |1 4}A x x x x= < < = < < { }2| 1 { | 2}xB x e x x−= ≤ = ≤
( ,4)A B∪ = −∞
1 2 31 ,1 ,1 , ,1 nx x x x+ + + +
1 2 32 2 ,2 2 ,2 2 , ,2 2 nx x x x+ + + + 2 10 20× = 22 2 8× =
a b ∥ ( 2) 1 3 0m m − − × = 2 2 3 0m m− − = 1m = − 3m =
3m = a b ∥
P 2 2( 4 ) (3 ) 5| |r m m m= − + =
0m > 5r m= 3 3sin 5 5
ma m
= = 4 4cos 5 5
ma m
−= = −
3 4 22sin cos 2 5 5 5a a+ = × − =
0m < 5r m= − 3 3sin 5 5
ma m
= = −−
4 4cos 5 5
ma m
−= =−
3 4 22sin cos 2 5 5 5a a + = × − + = −
2sin cosa a+ 2
5
2
5
−
ˆˆ ˆy bx a= + 1±本点都在回归直线 上，则 的值与 相等，故 C 错误；相关系数 与 符号
相同，若回归直线 的斜率 ，则 ，样本点分布应从左到右是上升的，则
变量 与 正相关，故 D 正确．故选 D．
8．【解析】画出 ， 满足的 （ 为常数）可行域如下图：
由于目标函数 的最大值为 9，可得直线 与直线 的交点 ，使
目标函数 取得最大值，将 ， 代入 得： ．
故选 B．
9．【解析】三棱锥 的实物图如下图所示：
将 其 补 成 直 四 棱 锥 ， 底 面 ， 可 知 四 边 形 为 矩 形 ， 且
， ．矩形 的外接圆直径 ，且 ．所以，
三棱锥 外接球的直径为 ，因此，该三棱锥的外接球的表
面积为 ．故选 C．
10．【解析】由题意得： ，设椭圆方程为 ，双曲线
方程为 ，
ˆˆ ˆy bx a= + ˆ ˆbx a+ iy r ˆb
ˆˆ ˆy bx a= + ˆ 0b > 0r >
x y
x y
0, 0
2 0
x y
y x
x y k
+ +
k
3z x y= + 0y = 9 3x y= + (3,0)B
3z x y= + 3x = 0y = 2 0x y k+ + = 6k = −
P ACD−
P ABCD− PB ⊥ ABCD ABCD
3AB = 4BC = ABCD 2 2 5AC AB BC= + = 2PB =
P ACD− 2 22 29R PB AC= + =
2 24 (2 ) 29R Rπ π π= × =
1 1 2 2PF F F c= = ( )2 2
1 12 2
1 1
1 0x y a ba b
+ = > >
( )2 2
2 22 2
2 2
1 0, 0x y a ba b
− = > >又∵ ， ．
∴ ， ，∴ ，
则
，当且仅当 ，即 时等号成立．
则 的最小值为 8．
11．【解析】由题意得所求为曲线 上的点与以 为圆心，以 1 为半径的圆上的
点的距离的平方的最小值，可以求曲线 上的点与圆心 的距离的最小值，在
曲线 上取一点 ，曲线有 在点 处的切线的斜率为
，从而有 ，即 ，整理得 ，解得
，所以点 满足条件，其到圆心 的距离为 ，
故其结果为 ．故选 D．
12．【解析】由题意，函数 ，要使得函数 在 上有 3 个
零点．当 时，令 ，可得 ，要使 有两个实数解，
即 和 有 两 个 交 点 ， 又 由 ， 令 ， 可 得
．当 时， ，则 单调递增；当 时， ，
则 单 调 速 减 ， 且 ， 所 以 当 时 ， ， 若 直 线 和
有两个交点，则 ．当 时， 和 有一个交点，则
．综上，实数 的取值范围是 ．故选 C．
1 2 12PF PF a+ = 2 1 22PF PF a− =
2 12 2PF c a+ = 2 22 2PF c a− = 1 2 2a a c− =
( ) 22
2 22 1 1 2 2
1 2 2 2 2
9 23 3 9 363 3 3 3 3
c a a ce c a a a c a c
e a c ca ca c a
+ +++ = + = = = + +
2 2
2 2
3 36 2 6 83 3
a c a c
c a c a
= + + ≥ ⋅ + = 2
2
3
3
a c
c a
= 2 3e =
2
1
3
3
e
e
+
lny x= ( 2,3)C −
lny x= ( 2,3)C −
lny x= ( ,ln )( 0)M m m m > lny x= M
1k m
′ = 1CMk k′⋅ = − ln 3 1 12
m
m m
− ⋅ = −+
2ln 2 3 0m m m+ + − =
1m = ( )1,0 ( 2,3)C − 2 2( 2 1) (3 0) 3 2d = − − + − =
2(3 2 1) 19 6 2− = −
1 , 0
( ) ln , 0
xxf x x xx
( ) ( )F x f x kx= − R
0x > ( ) ( ) 0F x f x kx= − = 2
ln xk x
= ( ) 0F x =
y k= 2
ln( ) xg x x
= 3
1 2ln( ) xg x x
−′ = 1 2ln 0x− =
x e= (0, )x e∈ ( ) 0g x′ > ( )g x ( , )x e∈ +∞ ( ) 0g x′ <
( )g x ( ) 0g x > x e= max
1( ) 2g x e
= y k=
2
ln( ) xg x x
= 10, 2k e
∈ 0x < y kx= 1( )g x x
=
0k > k 10, 2e
二、填空题
13．1 14． 15． 16．
13．【解析】 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，∴展开式中共有 11 项，
．令 ，则展开式中各项系数和为 ．
14．【解析】 ， ， 成等差数列，∴ ，又 ，
∴ ，即 ．
由正弦定理 ，所以 ，因为 ，所以 ，
故 ，所以 ．故答案为： ．
15．【解析】圆内接正十二边形的每条边在圆内所对的圆心角为 ，所以，半径为 1 的
圆的内接正十二边形的面积为 ，因此，在半径为 1 的圆内任取一点，则
该点取自其内接正十二边形内部的概率为 ．
16．【解析】由于 在抛物线准线上，故 ，故抛物线方程为 ，焦点坐标为
．
当直线 和抛物线相切时 取得最小值，设直线 的方程为 ，代入抛物线方程
得 ， 判 别 式 ， 解 得 ， 不 妨 设 ， 由
，解得 ，即 ．设双曲线方程为 ，将 点坐标代入得
， 即 ， 而 双 曲 线 ， 故 ， 所 以
，解得 ，故离心率为 ．
三、解答题
17．【解析】
（1）由 可得 ，
3
2
3
π 2 1+
2
2 n
x x
−
10n = 1x = 10(1 2) 1− =
A B C 2A C B+ = 180A B C+ + = °
3 180B = ° 60B = °
sin sin
c b
C B
= 1sin 2C = c b<
6C
π=
2A
π= 1 3
2 2ABCS bc= =△
3
2
2
12 6
π π=
2112 1 sin 32 6
π× × × =
3
π
A 2p = 2 4x y=
(0,1)
PA m PA 1y kx= −
2 4 4 0x kx− + = 216 16 0k − = 1k = ± 1k =
2 4 4 0x x− + = 2x = (2,1)P
2 2
2 2 1y x
a b
− = P
2 2
1 4 1a b
− = 2 2 2 24 0b a a b− − = 1c = 2 2 2 21 , 1a b b a= + = −
( )2 2 2 21 4 1 0a a a a− − − − = 2 1a = − 1 2 1
2 1
c
a
= = +
−
1 2 1n na S+ = + 12 1( 2)n na S n−= + ≥两式相减得 ， ．
又 ，所以 ．
故数列 是首项为 1，公比为 3 的等比数列，所以 ．
因为点 在直线 上，所以 ．
则数列 是首项为 1，公差为 2 的等差数列．
所以
（2）因为 ，
所以 ．
则
两式相碱得：
整理得：
18．【解析】
（1）证明：取 的中点 ，连接 ．
∵ ，∴ 为 的中点，又 为 的中点，∴ ．
依题意可知 ，则四边形 为平行四边形，
∴ ，从而 ．
又 平面 ， 平面 ，∴ 平面
（2）∵ ， ，且 ，
∴ 平面 ，又∵ 平面 ，∴ ，
∵ ，且 ，∴ 平面 ，
如图，以 为原点， 所在直线为 轴，过 作平行于 的直线为 轴， 所在直线
为 轴，建立空间直角坐标系 ，不妨设 ．
1 2n n na a a+ − = 1 3 ( 2)n na a n+ = ≥
2 12 1 3a S= + = 2 13a a=
{ }na 13n
na −=
( )1,n nP b b + 2 0x y− + = 1 2n nb b+ − =
{ }nb
1 ( 1) 2 2 1nb n n= + − ⋅ = −
1
2 1
3
n
n n
n
b nc a −
−= =
0 1 2 1
1 3 5 2 1
3 3 3 3n n
nT −
−= + + +…+
1 2 3 1
1 1 3 5 2 3 2 1
3 3 3 3 3 3n n n
n nT −
− −= + + +…+ +
2 1
2 2 2 2 2 113 3 3 3 3n n n
nT −
−= + + +…+ −
2 1 1
1 2 1 13 32 3 2 3 3n n n n
n nT − − −
− += − − = −⋅ ⋅
BC M DM
3BG CG= G CM F CD FG DM∥
DE BM=∥ DMBE
BE DM∥ BE FG∥
FG ⊂ 1A FG BE ⊄ 1A FG BE∥ 1A FG
1DE A D⊥ DE DC⊥ 1A D DC D∩ =
DE ⊥ 1A DC 1A F ⊂ 1A DC 1DE A F⊥
1A F DC⊥ DE DC D∩ = 1A F ⊥ BCDE
F FC x F CB y 1FA
z F xyz− 2CD =则 ， ， ， ， ， ，
， ， ．
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，得 ．
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，得 ．
从而 ，
故平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ．
19．【解析】
（ 1 ） 由 已 知 频 数 表 得 ：
，
由 ，则 ，而 ，所以 ，
则 服从正态分布 ，
所 以
(0,0,0)F 1(0,0, 3)A (1,4,0)B ( 1,2,0)E − (1,1,0)G 1 (0,0, 3)FA =
(1,1,0)FG =
1 ( 1,2, 3)A E = − − (2,2,0)EB =
1A FG ( )1 1 1, ,n x y z=
1 0
0
n FA
n FG
⋅ = ⋅ =
1
1 1
3 0
0
z
x y
= + = 1 1x = (1, 1,0)n = −
1A BE ( )2 2 2, ,m x y z=
1 0
0
m A E
m EB
⋅ = ⋅ =
2 2 2
2 2
2 3 0
2 2 0
x y z
x y
− + − = + = 2 1x = (1, 1, 3)m = − −
1 1 10cos , 52 5
m n
+< >= =
×
1A FG 1A BE 10
5
5 30 40 50 45 20 10( ) 35 45 55 65 75 85 95 65200 200 200 200 200 200 200E X = × + × + × + × + × + × + × =
2 2 2 2 2( ) (35 65) 0.025 (45 65) 0.15 (55 65) 0.2 (65 65) 0.25 (75 65) 0.225D X = − × + − × + − × + − × + − ×
2 2(85 65) 0.1 (95 65) 0.05 210+ − × + − × =
2196 225σ< < 14 15σ< < 214.5 210.5 210= > 14σ ≈
X (65,14)N
( 2 2 ) ( )(51 93) ( 2 ) 2
P X P XP X P X
µ σ µ σ µ σ µ σµ σ µ σ − < < + + − < < +< < = − < < + =．
（2）显然， ，
所以所有 的取值为 15，30，45，60，
， ，
， ，
所以 的分布列为：
15 30 45 60
所以 ，
需要的总金额为：
20．【解析】
（1） 面积的最大值为 ，则： ，
又 ， ，解得： ， ．
∴椭圆 的方程为： ．
（2）假设 轴上存在点 ，使得 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，
设 ， ，线段 的中点为 ，
由 ，消去 可得： ，
，解得： ，
∴ ， ，
∴ ， ，∴ ，
依题意有 ， ．
0.9545 0.6827 0.81862
+= =
( ) ( ) 0.5P X P Xµ µ< = ≥ =
Y
1 2 1( 15) 2 3 3P Y = = × = 1 1 1 2 2 7( 30) 2 3 2 3 3 18P Y = = × + × × =
1 2 1 1 1 2 2( 45) 2 3 3 2 3 3 9P Y = = × × + × × = 1 1 1 1( 60) 2 3 3 18P Y = = × × =
Y
Y
P 1
3
7
18
2
9
1
18
1 7 2 1( ) 15 30 45 60 303 18 9 18E Y = × + × + × + × =
200 30 6000× =
1 2AF F△ 3 3bc =
3
2
ce a
= = 2 2 2a b c= + 2 4a = 2 1b =
C
2
2 14
x y+ =
y (0, )M t ABM△ M
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y AB ( )0 0,N x y
2
2 14
x y
y x m
+ =
= +
y 2 25 8 4 4 0x mx m+ + − =
( ) ( )2 2 264 20 4 4 16 5 0m m m∆ = − − = − > 2 5m <
1 2
8
5
mx x+ = −
2
1 2
4 4
5
mx x
−=
1 2
0
4
2 5
x x mx
+= = − 0 0 5
my x m= + = 4 ,5 5
m mN −
AM BM⊥ MN l⊥由 可得： ，可得： ，
由 可得： ，
∵ ， ，
代入上式化简可得： ，
则： ，解得： ．
当 时，点 满足题意；当 时，点 满足题意．
故 轴上存在点 ，使得 是以 为直角顶点的等腰直角三角形．
21．【解析】
（1）因为
所以 ，
因为 ，且 ，所以切线方程为 ，即
（2）设 ，
则 ，
①若 ，则 在 上单调递减，又 ，∴ 恒成立，
∴ 在 上单调递减，又 ，∴ 恒成立．
②若 ，令 ，
∴ ，易知 在 上单调递减，
MN l⊥ 5 1 140 15
mt
m
−
× = − − − ×
3
5
mt = −
AM BM⊥ 1 2
1 2
1y t y t
x x
− −⋅ = −
1 1y x m= + 2 2y x m= +
( ) 2
1 2 1 22 ( ) ( ) 0x x m t x x m t+ − + + − =
( )2 2 22 4 4 8 8 05 5 5
m m m− − + = 1m = ±
1m = 30, 5M − 1m = − 30, 5M
y 30, 5M ± ABM△ M
( ) ( 1)ln , 0f x a x x ex x= − + >
1( ) ln xf x a x ex
− ′ = + +
(1)f e′ = (1)f e= ( 1)y e e x− = − y ex=
( ) ( ) ( 1)ln ( 1)x xg x f x e a x x ex e x= − = − + − ≥
1( ) ln 1 xg x a x e ex
′ = + − + −
0a ≤ ( )g x′ [1, )+∞ (1) 0g′ = ( ) 0g x′ ≤
( )g x [1, )+∞ (1) 0g = ( ) 0g x ≤
0a > 1( ) ( ) ln 1 xh x g x a x e ex
′= = + − + −
2
1 1( ) xh x a ex x
′ = + − ( )h x′ [1, )+∞且 ，
（ⅰ）当 即 时， 在 上恒成立，
∴ 在 上单调递减，即 在 上单调递减，
又 ，∴ 恒成立，∴ 在 上单调递减，
又 ，∴ 恒成立
（ⅱ）当 即 时， 使 ，∴ 在 递增，此时
，
∴ ，∴ 在 递增，∴ ，不合题意．
综上所述，实数 的取值范围是
22．【解析】
（1）由 消去 ，得到 ，则 ，
∴ ，所以直线 的极坐标方程为 ．
点 到直线 的距离为 ．
（2）由 ，得 ，
所以 ， ，
所以 ，
则 的面积为
23．【解析】
（1）当 时， 等价于
(1) 2h a e′ = −
2 0a e− ≤ 0 2
ea< ≤ ( ) 0h x′ ≤ [1, )+∞
( )h x [1, )+∞ ( )g x′ [1, )+∞
(1) 0g′ = ( ) 0g x′ ≤ ( )g x [1, )+∞
(1) 0g = ( ) 0g x ≤
2 0a e− >
2
ea > 0 (1, )x∃ ∈ +∞ ( ) 0h x′ = ( )h x ( )01, x
( ) (1) 0h x h> =
( ) 0g x′ > ( )g x ( )01, x ( ) (1) 0g x g> =
a 2
ea ≤
1
2
3
2
x t
y t
=
=
t 3y x= sin 3 cosρ θ ρ θ=
3
πθ = l ( )3
πθ ρ= ∈R
2 15 2,3 3P
π
l 2 15 2 2 15 3sin 53 3 3 3 2d
π π = × − = × =
2 2 cos 2 0
3
ρ ρ θ
πθ
− − = =
2 2 0ρ ρ− − =
1 2 1ρ ρ+ = 1 2 2ρ ρ = −
( )2
1 2 1 2 1 2| | 4 3MN ρ ρ ρ ρ ρ ρ= − = + − =
PMN△ 1 1 3 5| | 3 52 2 2PMNS MN d= × = × × =△
2a = ( ) | 2 | | 1| 8f x x x x= + + − ≥ +或 或 ，
解得 或 或 ．
所以不等式的解集为：
（2）依题意即 在 时恒成立，
当 时， ，即 ，
所以 对 恒成立，
∴ ，得 ；
当 时， ，
即 ，
所以 对任意 恒成立，
∴ ，得 ，∴ ．
综上，
（其它解法酌情给分）
1
2 1 8
x
x x
≥
+ ≥ +
2 1
3 8
x
x
− ≤
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