2019-2020 学年高三下学期第三次联考（文科）数学试卷
一、选择题（共 12 小题）.
1．已知集合 A＝{x∈Z|﹣1＜x＜5}，B＝{x|0＜x≤2}，则 A∩B＝（ ）
A．{x|﹣1＜x≤2} B．{x|0＜x＜5} C．{0，1，2} D．{1，2}
2．已知 a，b∈R，3+ai＝b﹣（2a﹣1）i，则（ ）
A．b＝3a B．b＝6a C．b＝9a D．b＝12a
3．已知向量 ＝（0，2）， ＝（2 ，x），且 与 的夹角为 ，则 x＝（ ）
A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣l
4．若 x，y 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．3
5．如图所示的程序框图，当其运行结果为 31 时，则图中判断框①处应填入的是（ ）
A．i≤3？ B．i≤4？ C．i≤5？ D．i≤6？
6．已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x＞0 时，f（x）＝3﹣2x，则不等式 f（x）＞0 的
解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．某班 45 名同学都参加了立定跳远和 100 米跑两项体育学业水平测试，立定跳远和 100 米
跑合格的人数分别为 30 和 35，两项都不合格的人数为 5．现从这 45 名同学中按测试是否
合格分层（分成两项都合格、仅立定跳远合格、仅 100 米跑合格、两项都不合格四种）抽
出 9 人进行复测，那么抽出来复测的同学中两项都合格的有（ ）
A．1 人 B．2 人 C．5 人 D．6 人
8．在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E，F 分别为 CC1，DD1 的中点，则异面直线 AF，DE 所
成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．9．已知椭圆 与直线 交于 A，B 两点焦点 P（0，﹣c），其中 c
为半焦距，若△ABF 是直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10．将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 g（x）的图
象，给出下列关于 g（x）的结论：
①它的图象关于直线 对称；②它的最小正周期为
③它的图象关于点 对称；④它在 上单调递增．
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
11．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算
经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，
五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？现有这样一个相关的问题：将 1 到 2020 这 2020
个自然数中被 5 除余 3 且被 7 除余 2 的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，
则该数列各项之和为（ ）
A．56383 B．57171 C．59189 D．61242
12．已知函数 f（x）＝aex（a＞0）与 g（x）＝2x2﹣m（m＞0）的图象在第一象限有公共点，
且在该点处的切线相同，当实数 m 变化时，实数 a 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知数列{an}为等比数列，a1+a2＝﹣2，a2+a3＝6，则 a5＝ ．
14．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一．直角三角形最短的边称为勾，另一直角
边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据成为勾股数．现从 1～5 这 5 个数中随机选取
3 个不同的数，这三个数为勾股数的概率为 ．
15．已知双曲线 ﹣ ＝1（a＞b＞0）与抛物线 y2＝8x 有一个共同的焦点 F，两曲线的一
个交点 P，若|PF|＝5，则点 F 到双曲线的渐近线的距离为 ．
16．如图，在三棱锥 A﹣BCD 中，点 E 在 BD 上，EA＝EB＝EC＝ED，BD＝ CD，△ACD为正三角形，点 M，N 分别在 AE，CD 上运动（不含端点），且 AM＝CN，则当四面体 C
﹣EMN 的体积取得最大值 时，三棱锥 A﹣BCD 的外接球的表面积为 ．
三、解答题：共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为
必考题，每道试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题
共 60 分.
17．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2a﹣c＝2bcosC．
（1）求 的值；
（2）若 b＝ ，求 c﹣a 的取值范围．
18．某校高三（1）班在一次语文测试结束后，发现同学们在背诵内容方面失分较为严重．为
了提升背诵效果，班主任倡议大家在早、晩读时间站起来大声诵读，为了解同学们对站起
来大声诵读的态度，对全班 50 名同学进行调查，将调查结果进行整理后制成如表：
考试分数 [85，95） [95，105） [105，115） [115，125） [125，135） [135，145]
频数 5 10 15 5 10 5
赞成人数 4 6 9 3 6 4
（1）欲使测试优秀率为 30%，则优秀分数线应定为多少分？
（2）依据第 1 问的结果及样本数据研究是否赞成站起来大声诵读的态度与考试成绩是否
优秀的关系，列出 2×2 列联表，并判断是否有 90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是
否优秀有关系．
参考公式及数据： ．
P（K2≥k0） 0.100 0.050 0.025 0.010
k0 2.706 3.841 5.024 6.635
19．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AD∥BC，∠DAB＝90°，AB＝BC＝
PA＝ AD＝2，E 为 PB 的中点，F 是 PC 上的点．（1）若 EF∥平面 PAD，证明：F 为 PC 的中点．
（2）求点 C 到平面 PBD 的距离．
20．设抛物线 C：y2＝2px（p＞0）的焦点为 F，准线为 l，AB 为过焦点 F 且垂直于 x 轴的抛
物线 C 的弦，已知以 AB 为直径的圆经过点（﹣1，0）．
（1）求 p 的值及该圆的方程；
（2）设 M 为 l 上任意一点，过点 M 作 C 的切线，切点为 N，证明：MF⊥NF．
21．已知函数 ，g（x）＝﹣mx+lnx（m∈R）．
（1）求函数 g（x）的单调区间与极值．
（2）当 m＞0 时，是否存在 x1，x2∈[1，2]，使得 f（x1）＞g（x2）成立？若存在，求实数
m 的取值范围，若不存在，请说明理由．
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 两题中任选题作答，如果多做，则按所做的第一
题计分.[选修 4-4 坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C 的参数方程为 （α 为参数）．以坐标原
点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ρsinθ+ρcosθ＝6．
（1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程；
（2）若射线 m 的极坐标方程为 ．设 m 与 C 相交于点 M，m 与 l 相交于
点 N，求|MN|．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．设函数 的最小值为 m．
（1）求 m 的值；
（2）若 a，b，c 为正实数，且 ，证明： ．参考答案
一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合
题目要求的.
1．已知集合 A＝{x∈Z|﹣1＜x＜5}，B＝{x|0＜x≤2}，则 A∩B＝（ ）
A．{x|﹣1＜x≤2} B．{x|0＜x＜5} C．{0，1，2} D．{1，2}
【分析】求出集合 A 和 B，由此能求出 A∩B．
解：∵集合 A＝{x∈Z|﹣1＜x＜5}＝{0，1，2，3，4}，
B＝{x|0＜x≤2}，
∴A∩B＝{1，2}．
故选：D．
2．已知 a，b∈R，3+ai＝b﹣（2a﹣1）i，则（ ）
A．b＝3a B．b＝6a C．b＝9a D．b＝12a
【分析】直接利用复数相等的条件列式求得 a，b 的值得答案．
解：由 3+ai＝b﹣（2a﹣1）i，
得 ，即 a＝ ，b＝3．
∴b＝9a．
故选：C．
3．已知向量 ＝（0，2）， ＝（2 ，x），且 与 的夹角为 ，则 x＝（ ）
A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣l
【分析】由题意利用两个向量的数量积的定义和公式，求出 x 的值．
解：∵向量 ＝（0，2）， ＝（2 ，x），且 与 的夹角为 ，
∴ ＝0+2x＝2• •cos ，即 2x＝ ，求得 x＝2，
故选：B．
4．若 x，y 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．3【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值即可．
解：因为 表示经过点 D（﹣3，﹣2）和可行域内的点（x，y）的直线的斜率；
画出可行域；
可知可行域的三个顶点分别为 A（﹣1，3），B（﹣1，﹣1），C（1，1）；
且 KAD＝ ；
故 z ．
即 的最大值为 ．
故选：C．
5．如图所示的程序框图，当其运行结果为 31 时，则图中判断框①处应填入的是（ ）
A．i≤3？ B．i≤4？ C．i≤5？ D．i≤6？
【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，
模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
解：模拟程序的运行，可得
当 S＝1 时，i＝9；
当 S＝1+9＝10 时，i＝8；
当 S＝1+9+8＝18 时，i＝7；
当 S＝1+9+8+7＝25 时，i＝6；
当 S＝1+9+8+7+6＝31 时，i＝5．此时输出 S＝31，则图中判断框①处应填入的是 i≤5？．
故选：C．
6．已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x＞0 时，f（x）＝3﹣2x，则不等式 f（x）＞0 的
解集为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意，结合函数的解析式以及奇偶性分析可得 f（x）的图象，据此分析可得
答案．
解：根据题意，f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x＞0 时，f（x）＝3﹣2x，
则其图象如图：
且 f（ ）＝f（﹣ ）＝0，
则不等式 f（x）＞0 的解集为（﹣∞，﹣ ）∪（0， ）；
故选：C．
7．某班 45 名同学都参加了立定跳远和 100 米跑两项体育学业水平测试，立定跳远和 100 米
跑合格的人数分别为 30 和 35，两项都不合格的人数为 5．现从这 45 名同学中按测试是否
合格分层（分成两项都合格、仅立定跳远合格、仅 100 米跑合格、两项都不合格四种）抽
出 9 人进行复测，那么抽出来复测的同学中两项都合格的有（ ）
A．1 人 B．2 人 C．5 人 D．6 人
【分析】设这两项成绩均合格的人数为 x，根据集合关系建立方程进行求解即可，再根据
分层抽样即可求出．
解：设这两项成绩均合格的人数为 x，
则立定跳远合格 100 米跑不合格的人数为 30﹣x，
则 30﹣x+35+5＝45，
得 x＝25，即这两项成绩均合格的人数是 25 人，
则抽出来复测的同学中两项都合格的有 9× ＝5，
故选：C．
8．在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E，F 分别为 CC1，DD1 的中点，则异面直线 AF，DE 所
成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】可画出图形，连接 BE，从而可得出∠DEB 为异面直线 AF，BE 所成的角，并连
接 DB，然后可设正方体的棱长为 2，从而可得出△BDE 三边的长度，根据余弦定理即可
求出 cos∠DEB 的值．
解：如图，连接 BE，则 BE∥AF，则∠DEB 为异面直线 AF，DE 所成的角，连接 DB，
设正方体的棱长为 2，则：
，
∴在△BDE 中，由余弦定理得， ＝ ．
故选：D．
9．已知椭圆 与直线 交于 A，B 两点焦点 P（0，﹣c），其中 c
为半焦距，若△ABF 是直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用已知条件求出 A、B 坐标，结合三角形是直角三角形，推出 a、b、c 关系，
然后求解离心率即可．解：椭圆 与直线 交于 A，B 两点焦点 P（0，﹣c），其中 C
为半焦距，
若△ABF 是直角三角形，不妨设 A（0，a），B（﹣b，0），
则 ＝0，解得 b2＝ac，即 a2﹣c2＝ac，即 e2+e﹣1＝0，e∈（0，1），
故 e＝ ．
故选：A．
10．将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 g（x）的图
象，给出下列关于 g（x）的结论：
①它的图象关于直线 对称；②它的最小正周期为
③它的图象关于点 对称；④它在 上单调递增．
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
【分析】由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得
出结论．
解：将函数 ＝2sin（3x﹣ ）+1 的图象向左平移 个单位长
度，
得到函数 g（x）＝2sin（3x+ ﹣ ）+1＝2sin（3x+ ）+1 的图象．
令 x＝ ，求得 g（x）＝2sin +1＝0，不是最值，故 g（x）的图象不关于直线
对称，故①不正确；
它的最小正周期为 ，故②正确；
当 x＝ 时，g（x）＝1，故 g（x）的图象关于点 对称，故③正确；
在 上，3x+ ∈[5π+ ，6π+ ]，g（x）没有单调性，故④错误，
故选：B．
11．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算
经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？现有这样一个相关的问题：将 1 到 2020 这 2020
个自然数中被 5 除余 3 且被 7 除余 2 的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，
则该数列各项之和为（ ）
A．56383 B．57171 C．59189 D．61242
【分析】由已知可得被 5 除余 3 且被 7 除余 2 的正整数构成首项为 23，公差为 5×7＝35
的等差数列，求其通项公式，由 an≤2020 求得 n 值，再由等差数列的前 n 项和求解．
解：被 5 除余 3 且被 7 除余 2 的正整数构成首项为 23，公差为 5×7＝35 的等差数列，记
数列{an}．
则 an＝23+35（n﹣1）＝35n﹣12，
令 an＝35n﹣12≤2020，解得 n ．
故该数列各项之和为 58× ．
故选：C．
12．已知函数 f（x）＝aex（a＞0）与 g（x）＝2x2﹣m（m＞0）的图象在第一象限有公共点，
且在该点处的切线相同，当实数 m 变化时，实数 a 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先设出切点，根据切点是公共点且切点处导数值相等构造方程，由此将 m 用切点
的横坐标 x0 表示出来，根据 m 的范围求出 x0 的范围，再将 a 表示成 x0 的函数，利用导数
求其值域即可．
解：设切点为 A（x0，y0），
所以 ，整理得 ，
由 ，解得 x0＞2．
由上可知 ，令 ，则 ．
因为 x＞2，所以 在（2，+∞）上单调递减，
所以 ，即 ．
故选：D．二、填空题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知数列{an}为等比数列，a1+a2＝﹣2，a2+a3＝6，则 a5＝ 81 ．
【分析】由已知结合等比数列的通项公式即可直接求解．
解：设公比为 q，则 q＝ ＝﹣3，
由 a1+a2＝a1﹣3a1＝﹣2 可得 a1＝1，
故 a5＝81．
故答案为：81．
14．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一．直角三角形最短的边称为勾，另一直角
边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据成为勾股数．现从 1～5 这 5 个数中随机选取
3 个不同的数，这三个数为勾股数的概率为 ．
【分析】基本事件总数 n＝ ＝10，这三个数为勾股数包含的基本事件（a，b，c）有：
（3，4，5），共 1 个，由此能求出这三个数为勾股数的概率．
解：现从 1～5 这 5 个数中随机选取 3 个不同的数，
基本事件总数 n＝ ＝10，
这三个数为勾股数包含的基本事件（a，b，c）有：（3，4，5），共 1 个，
∴这三个数为勾股数的概率为 p＝ ．
故答案为： ．
15．已知双曲线 ﹣ ＝1（a＞b＞0）与抛物线 y2＝8x 有一个共同的焦点 F，两曲线的一
个交点 P，若|PF|＝5，则点 F 到双曲线的渐近线的距离为 ．
【分析】根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得 p 和 c 的关系，根据抛物线的定义可以求
出 P 的坐标，代入双曲线方程与 p＝2c，b2＝c2﹣a2，解得 a，b，得到渐近线方程，再由点
到直线的距离公式计算即可得到．
解：∵抛物线 y2＝8x 的焦点坐标 F（2，0），p＝4，
抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，
∴p＝2c，即 c＝2，
∵设 P（m，n），由抛物线定义知：|PF|＝m+ ＝m+2＝5，∴m＝3．
∴P 点的坐标为（3， ）
∴ 解得：a＝1，b＝ ，
则渐近线方程为 y＝ x，
即有点 F 到双曲线的渐近线的距离为 d＝ ＝ ，
故答案为： ．
16．如图，在三棱锥 A﹣BCD 中，点 E 在 BD 上，EA＝EB＝EC＝ED，BD＝ CD，△ACD
为正三角形，点 M，N 分别在 AE，CD 上运动（不含端点），且 AM＝CN，则当四面体 C
﹣EMN 的体积取得最大值 时，三棱锥 A﹣BCD 的外接球的表面积为 32π ．
【分析】设 ED＝a，则 CD＝ a．可得 CE⊥ED．当平面 ABD⊥平面 BCD 时，当四面体
C﹣EMN 的体积才有可能取得最大值，设 AM＝x．则四面体 C﹣EMN 的体积＝ （a﹣
x）× ×a×x× ＝ ax（a﹣x）．利用基本不等式的性质可得最大值，进而得出结
论．
解：设 ED＝a，则 CD＝ a．可得 CE2+DE2＝CD2，∴CE⊥ED．
当平面 ABD⊥平面 BCD 时，当四面体 C﹣EMN 的体积才有可能取得最大值，设 AM＝
x．
则四面体 C﹣EMN 的体积＝ （a﹣x）× ×a×x× ＝ ax（a﹣x）≤ a
＝ ，当且仅当 x＝ 时取等号．
解得 a＝2 ．
此时三棱锥 A﹣BCD 的外接球的表面积＝4πa2＝32π．
故答案为：32π．三、解答题：共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为
必考题，每道试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题
共 60 分.
17．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2a﹣c＝2bcosC．
（1）求 的值；
（2）若 b＝ ，求 c﹣a 的取值范围．
【分析】（1）由已知结合余弦定理进行化简求解 cosB，进而可求 B，代入即可求解；
（2）由已知结合正弦定理可表示 c﹣a，然后结合和差角公式及正弦函数的性质即可求
解．
解：（1）因为 2a﹣c＝2bcosC＝ ，
整理可得，a2+c2﹣b2＝ac，
由余弦定理可得，cosB＝ ，
故 B＝60°，A+C＝120°，
所以 ＝sin120°＝ ；
（2 由正弦定理可得， ，
所以 a＝2sinA，c＝2sinC，
所以 c﹣a＝2sinC﹣2sinA＝2sinC﹣2sin（120°﹣C）＝sinC﹣ cosC，
＝2sin（C﹣60°），
因为 0°＜C＜120°，所以﹣60°＜C﹣60°＜60°，
所以﹣ sin（C﹣600）＜ ，
故﹣ ＜c﹣a
18．某校高三（1）班在一次语文测试结束后，发现同学们在背诵内容方面失分较为严重．为
了提升背诵效果，班主任倡议大家在早、晩读时间站起来大声诵读，为了解同学们对站起
来大声诵读的态度，对全班 50 名同学进行调查，将调查结果进行整理后制成如表：
考试分数 [85，95） [95，105） [105，115） [115，125） [125，135） [135，145]
频数 5 10 15 5 10 5
赞成人数 4 6 9 3 6 4（1）欲使测试优秀率为 30%，则优秀分数线应定为多少分？
（2）依据第 1 问的结果及样本数据研究是否赞成站起来大声诵读的态度与考试成绩是否
优秀的关系，列出 2×2 列联表，并判断是否有 90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是
否优秀有关系．
参考公式及数据： ．
P（K2≥k0） 0.100 0.050 0.025 0.010
k0 2.706 3.841 5.024 6.635
【分析】（1）计算测试成绩优秀的人数，结合表中数据得出结论；
（2）由题意计算并填写列联表，求出观测值，对照临界值得出结论．
解：（1）因为测试的优秀率为 30%，所以测试成绩优秀的人数为 50×30%＝15，
由表中数据知，优秀分数线应定为 125 分．
（2）由（1）知，测试成绩优秀的学生有 50×0.3＝15 人，其中“赞成的”有 10 人；
测试成绩不优秀的学生有 50﹣15＝35 人，其中“赞成的”有 22 人；
填写 2×2 列联表如下：
赞成 不赞成 合计
优秀 10 5 15
不优秀 22 13 35
合计 32 18 50
计算 ，
因此，没有 90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系．
19．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AD∥BC，∠DAB＝90°，AB＝BC＝
PA＝ AD＝2，E 为 PB 的中点，F 是 PC 上的点．
（1）若 EF∥平面 PAD，证明：F 为 PC 的中点．
（2）求点 C 到平面 PBD 的距离．【分析】（1）由线面平行的判定定理可得 BC∥平面 PAD，再由线面平行的性质定理可得
EF∥PM，进而得到所求结论；
（2）运用线面垂直的性质定理，结合勾股定理求得 PB，PD，BD，由三角形的面积公式
可得三角形 PBD 的面积，设点 C 到平面 PBD 的距离为 d，由 VC﹣PBD＝VP﹣BCD，运用棱锥
的体积的公式，计算可得所求值．
【解答】（1）证明：因为 BC∥AD，BC⊄平面 PAD，AD⊂平面 PAD，
所以 BC∥平面 PAD．
因为 P∈平面 PBC，P∈平面 PAD，所以可设平面 PBC∩平面 PAD＝PM，
又因为 BC⊂平面 PBC，所以 BC∥PM．
因为 EF∥平面 PAD，EF⊂平面 PBC，
所以 EF∥PM，
从而得 EF∥BC．
因为 E 为 PB 的中点，所以 F 为 PC 的中点．
（2）解：因为 PA⊥底面 ，
所以 ， ，
所以 ．
设点 C 到平面 PBD 的距离为 d，
由 VC﹣PBD＝VP﹣BCD，得 ，
即 •6d＝ •2•2•2，
解得 ．20．设抛物线 C：y2＝2px（p＞0）的焦点为 F，准线为 l，AB 为过焦点 F 且垂直于 x 轴的抛
物线 C 的弦，已知以 AB 为直径的圆经过点（﹣1，0）．
（1）求 p 的值及该圆的方程；
（2）设 M 为 l 上任意一点，过点 M 作 C 的切线，切点为 N，证明：MF⊥NF．
【分析】（1）易知 A（ ，±p），所以 p＝ ，即可解得 p 的值，得到圆心坐标为
（1，0），半径为 2，从而求出改圆的方程；
（2）设 M（﹣1，y0），MN 的方程为 y＝k（x+1）+y0，与抛物线方程联立，由△＝0 可
得令△＝0 可得 ，所以 ，与抛物线方程联立可求出 N 点的坐标，从而得到
＝0，故 MF⊥NF．
解：（1）易知 A 点的坐标为（ ，±p），
所以 p＝ ，解得 p＝2，
又圆的圆心为 F（1，0），
所以圆的方程为（x﹣1）2+y＝4；
（2）证明：易知直线 MN 的斜率存在且不为 0，
设 M（﹣1，y0），MN 的方程为 y＝k（x+1）+y0，代入 C 的方程得 ky2﹣4y+4（y0+k）＝
0，
令△＝16﹣16k（y0+k）＝0．得 ，
所以 ky2﹣4y+4（y0+k）＝ ＝0，解得 ，
将 代入 C 的方程，得 x＝ ，即 N 点的坐标为（ ， ），
所以 ＝（﹣2，y0）， ＝（ ， ），
所以 ＝2﹣ +y0 ＝2﹣ +（ ） ＝0
故 MF⊥NF．21．已知函数 ，g（x）＝﹣mx+lnx（m∈R）．
（1）求函数 g（x）的单调区间与极值．
（2）当 m＞0 时，是否存在 x1，x2∈[1，2]，使得 f（x1）＞g（x2）成立？若存在，求实数
m 的取值范围，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解函数的单调区间与极
值，
（2）由题意可得，对 x∈[1，2]，满足 f（x）max＞g（x）min，结合导数及单调性关系可
求．
解：（1）g′（x）＝﹣m+ ，x＞0，
当 m≤0 时，g′（x）＞0 恒成立，函数 g（x）的单调增区间为（0，+∞），无单调减区
间，所以不存在极值，
当 m＞0 时，当 0＜x＜ 时，g′（x）＞0 此时函数单调递增，当 x＞ 时，g′（x）＜0，
此时函数，单调递减
故函数 g（x）的单调增区间为 ，单调减区间为（ ），
此时函数 g（x）在 x＝ 处取得极大值，极大值为 g（ ）＝﹣1﹣lnm，无极小值，
综上，当 m≤0 时，函数 g（x）的单调增区间为（0，+∞），无单调减区间，不存在极
值．
当 m＞0 时，函数 g（x）的单调增区间为（0， ），单调减区间为（ ），极大值
为﹣1﹣lnm，无极小值，
（2）当 m＞0 时，假设存在 x1，x2∈[1，2]，使得 f（x1）＞g（x2）成立
则对 x∈[1，2]，满足 f（x）max＞g（x）min，
∵f′（x）＝ x∈[1，2]，
令 h（x）＝x﹣lnx，x∈[1，2]，则 ≥0，
所以 h（x）在[1，2]上单调递增，
所以 h（x）≥h（1）＝1，所以 f′（x）＞0，所以 f（x）在[1，2]上单调递增，
所以 f（x）max＝f（2）＝ ﹣3m，由（1）可知，①当 0 时，即 m≥1 时，函数 g（x）在[1，2]上单调递减，
所以 g（x）的最小值是 g（2）＝﹣2m+ln2，
②当 ，即 0 时，函数 g（x）在[1，2]上单调递增，
所以 g（x）的最小值是 g（1）＝﹣m，
③当 时，即 时，函数 g（x）在[1， ]上单调递增，在[ ，2]
上单调递减．又 g（2）﹣g（1）＝ln2﹣m，
，所以当 时，g（x）在[1，2]上的最小值是 g（1）＝﹣m．
当 ln2≤m＜1 时，g（x）在 1，2]上的最小值是 g（2）＝ln2﹣2m，
所以当 0＜m＜ln2 时，g（x）在[1，2]上的最小值是 g（1）＝﹣m，
故 ，
解得 ，所以 ln2＞m＞0，
当 ln2≤m 时，函数 g（x）在[1，2]上的最小值是 g（2）＝ln2﹣2m，
故 ，
解得 m ，
所以 ln2 ．
故实数 m 的取值范围是（0， ）．
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 两题中任选题作答，如果多做，则按所做的第一
题计分.[选修 4-4 坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C 的参数方程为 （α 为参数）．以坐标原
点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ρsinθ+ρcosθ＝6．
（1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程；
（2）若射线 m 的极坐标方程为 ．设 m 与 C 相交于点 M，m 与 l 相交于
点 N，求|MN|．
【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行
转换．（2）利用直线和曲线组成的方程组，进一步求出极径，利用极径的应用求出|MN|结的长．
解 ： （1） 已 知 曲 线 C 的 参 数 方 程 为 （α 为 参 数 ） ． 消 去 参 数 α， 得
，
所以曲线 C 的普通方程为 ．
直线 l 的极坐标方程为 ρsinθ+ρcosθ＝6．转换为直角坐标方程为 x+y﹣6＝0．
（2）曲线 C 的极坐标方程为 ．
将 代入 ，
解得 ，
将 代入 ρsinθ+ρcosθ＝6，
解得 ．
故 ．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．设函数 的最小值为 m．
（1）求 m 的值；
（2）若 a，b，c 为正实数，且 ，证明： ．
【分析】（1）将函数 f（x）化为分段函数的形式，利用其单调性即可求得最小值 m；
（2）依题意， ，利用基本不等式可证 a+2b+3c≥9，由此得证．
解：（1） ，
当 x∈（﹣∞，1）时，f（x）单调递减；当 x∈[1，+∞）时，f（x）单调递增．
所以当 x＝1 时，f（x）取最小值 ．（2）证明：由（1）可知 ．
因为 a，b，c 为正实数，
所 以 ＝
＝9．
当且仅当 a＝2b＝3c，即 时取等号，
所以 ．
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