2020 年高考（理科）数学模拟试卷
一、选择题（共 12 小题）.
1．i 是虚数单位，复数 z＝1﹣i 在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知随机变量 X 服从正态分布 N（1，4），P（X＞2）＝0.3，P（X＜0）＝（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8
3．已知集合 A＝{x|x＜1}，B＝{x|ex＜1}，则（ ）
A．A∩B＝{x|x＜1} B．A∪B＝{x|x＜e}
C．A∪B＝{x|x＜1} D．A∩B＝{x|0＜x＜1}
4．已知 α 满足 sinα＝ ，那么 值为（ ）
A． B． C． D．
5．设平面 α 与平面 β 相交于直线 m，直线 a 在平面 α 内，直线 b 在平面 β 内，且 b⊥m，则
“α⊥β”是“a⊥b”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．函数 的值域为（ ）
A． B． C．[0，1] D．
7．在区间[﹣1，1]上随机取一个数 k，使直线 y＝k（x+3）与圆 x2+y2＝1 相交的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经
被数学家证明，如“费马大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角
谷猜想”．“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘以 3 再
加 1；如果它是偶数，则将它除以 2；如此循环，最终都能够得到 1．如图为研究“角谷猜
想”的一个程序框图．若输入 n 的值为 10，则输出 i 的值为（ ）A．5 B．6 C．7 D．8
9．设 m＝ln2，n＝lg2，则（ ）
A．m﹣n＞mn＞m+n B．m﹣n＞m+n＞mn C．m+n＞mn＞m﹣n D．m+n＞m﹣n＞mn
10．过抛物线 C：y2＝4x 的焦点 F，且斜率为 的直线交 C 于点 M（M 在 x 轴上方），l 为
C 的准线，点 N 在 l 上，且 MN⊥l，则 M 到直线 NF 的距离为（ ）
A． B．2 C．2 D．3
11．在一个数列中，如果∀n∈N*，都有 anan+1an+2＝k（k 为常数），那么这个数列叫做等积数
列，k 叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且 a1＝1，a2＝2，公积为 8，则 a1+a2+…
+a2020＝（ ）
A．4711 B．4712 C．4713 D．4715
12．已知函数 f（x）＝lnx，g（x）＝（2m+3）x+n，若∀x∈（0，+∞）总有 f（x）≤g（x）
恒成立，记（2m+3）n 的最小值为 F（m，n），则 F（m，n）的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
二、填空题：共 4 小题，每小题 5 分.
13．已知向量 ＝（2，﹣6）， ＝（3，m），若| + |＝| ﹣ |，则 m＝ ．
14．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一 2400 人、高二 2000 人、高三 n
人中，抽取 90 人进行问卷调查．已知高一被抽取的人数为 36，那么高三被抽取的人数为 ．
15．点 P 在双曲线 ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的右支上，其左、右焦点分别为 F1，F2，直
线 PF1 与以坐标原点 O 为圆心、a 为半径的圆相切于点 A，线段 PF1 的垂直平分线恰好过
点 F2，则该双曲线的渐近线的斜率为 ．
16．某校 13 名学生参加军事冬令营活动，活动期间各自扮演一名角色进行分组游戏，角色按
级别从小到大共 9 种，分别为士兵、排长、连长、营长、团长、旅长、师长、军长和司
令．游戏分组有两种方式，可以 2 人一组或者 3 人一组．如果 2 人一组，则必须角色相同；
如果 3 人一组，则 3 人角色相同或者 3 人为级别连续的 3 个不同角色．已知这 13 名学生扮
演的角色有 3 名士兵和 3 名司令，其余角色各 1 人，现在新加入 1 名学生，将这 14 名学生
分成 5 组进行游戏，则新加入的学生可以扮演的角色的种数为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋
钮旋转的弧度数 x 与烧开一壶水所用时间 y 的一组数据，且作了一定的数据处理（如表），
得到了散点图（如图）．
1.4
7
20.
6
0.7
8
2.35 0.81 ﹣19.3 16.2
表中 ．
（1）根据散点图判断，y＝a+bx 与 哪一个更适宜作烧水时间 y 关于开关旋钮旋转
的弧度数 x 的回归方程类型？（不必说明理由）
（2）根据判断结果和表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；
（3）若旋转的弧度数 x 与单位时间内煤气输出量 t 成正比，那么 x 为多少时，烧开一壶水
最省煤气？
附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），（u3，v3），…，（un，vn），其回归直线 v＝α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ．
18．△ABC 中的内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 b＝4c，B＝2C
（Ⅰ）求 cosB
（Ⅱ）若 c＝5，点 D 为边 BC 上一点，且 BD＝6，求△ADC 的面积
19．底面 ABCD 为菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如图所示的几何体．若 DA＝DH＝DB
＝4，AE＝CG＝3．
（1）求证：EG⊥DF；
（2）求二面角 A﹣HF﹣C 的正弦值．
20．已知椭圆 ，与 x 轴负半轴交于 A（﹣2，0），离心率 ．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设直线 l：y＝kx+m 与椭圆 C 交于 M（x1，y1），N（x2，y2）两点，连接 AM，AN
并延长交直线 x＝4 于 E（x3，y3），F（x4，y4）两点，若 ，求证：直线
MN 恒过定点，并求出定点坐标．21．设函数 ．
（1）若 恒成立，求整数 k 的最大值；
（2）求证：（1+1×2）•（1+2×3）…[1+n×（n+1）]＞e2n﹣3．
请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题
号.[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．已知曲线 C1 的参数方程为 （θ 为参数），以直角坐标系的原点 O 为极点，
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρsin2θ＝4cosθ．
（1）求 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程；
（2）若过点 F（1，0）的直线 l 与 C1 交于 A，B 两点，与 C2 交于 M，N 两点，求
的取值范围．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知 f（x）＝|x﹣1|+1， ．
（1）解不等式 f（x）≤2x+3；
（2）若方程 F（x）＝a 有三个解，求实数 a 的取值范围．参考答案
一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．i 是虚数单位，复数 z＝1﹣i 在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】由已知求得 z 的坐标得答案．
解：复数 z＝1﹣i 在复平面上对应的点的坐标为（1，﹣1），位于第四象限．
故选：D．
2．已知随机变量 X 服从正态分布 N（1，4），P（X＞2）＝0.3，P（X＜0）＝（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8
【分析】由已知求得正态分布曲线的对称轴方程，再由已知结合对称性求解．
解：∵随机变量 X 服从正态分布 N（1，4），
∴正态分布曲线的对称轴为 X＝1，μ＝2，
又 P（X＞2）＝0.3，P（X＜0）＝P（X＞2）＝0.3，
故选：B．
3．已知集合 A＝{x|x＜1}，B＝{x|ex＜1}，则（ ）
A．A∩B＝{x|x＜1} B．A∪B＝{x|x＜e} C．A∪B＝{x|x＜1} D．A∩B＝{x|0＜x＜1}
【分析】可以求出集合 B，然后进行交集和并集的运算即可．
解：∵A＝{x|x＜1}，B＝{x|x＜0}，
∴A∩B＝{x|x＜0}，A∪B＝{x|x＜1}．
故选：C．
4．已知 α 满足 sinα＝ ，那么 值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用两角和差的三角公式、二倍角公式，求得要求式子的值．
解：∵sinα＝ ，那么 ＝（ cosα﹣ sinα）•（ cosα+
sinα）＝ ﹣ •sin2α＝ cos2α＝ （1﹣2sin2α）＝ （1﹣2× ）＝ ，
故选：C．
5．设平面 α 与平面 β 相交于直线 m，直线 a 在平面 α 内，直线 b 在平面 β 内，且 b⊥m，则
“α⊥β”是“a⊥b”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合面面垂直的性质即可得到结论．
解：∵b⊥m，∴当 α⊥β，则由面面垂直的性质可得 a⊥b 成立，
若 a⊥b，则 α⊥β 不一定成立，
故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，
故选：A．
6．函数 的值域为（ ）
A． B． C．[0，1] D．
【分析】由 0≤x≤ ，可得 ≤2x+ ≤ ，利用正弦函数的单调性即可得出．
解：∵0≤x≤ ，∴ ≤2x+ ≤ ，
∴y＝sin（2x+ ）∈ ．
故选：A．
7．在区间[﹣1，1]上随机取一个数 k，使直线 y＝k（x+3）与圆 x2+y2＝1 相交的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的 k，最
后根据几何概型的概率公式可求出所求．
解：圆 x2+y2＝1 的圆心为（0，0）
圆心到直线 y＝k（x+3）的距离为
要使直线 y＝k（x+3）与圆 x2+y2＝1 相交，则 ＜1，解得﹣ ＜k＜ ．∴在区间[﹣1，1]上随机取一个数 k，使 y＝k（x+3）与圆 x2+y2＝1 相交的概率为 ＝
．
故选：C．
8．很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经
被数学家证明，如“费马大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角
谷猜想”．“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘以 3 再
加 1；如果它是偶数，则将它除以 2；如此循环，最终都能够得到 1．如图为研究“角谷猜
想”的一个程序框图．若输入 n 的值为 10，则输出 i 的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算 n 的值并输出变量
i 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
解：模拟程序的运行，可得
i＝0
n＝10
不满足条件 n＝1，满足条件 n 是偶数，n＝5，i＝1
不满足条件 n＝1，不满足条件 n 是偶数，n＝16，i＝2不满足条件 n＝1，满足条件 n 是偶数，n＝8，i＝3
不满足条件 n＝1，满足条件 n 是偶数，n＝4，i＝4
不满足条件 n＝1，满足条件 n 是偶数，n＝2，i＝5
不满足条件 n＝1，满足条件 n 是偶数，n＝1，i＝6
此时，满足条件 n＝1，退出循环，输出 i 的值为 6．
故选：B．
9．设 m＝ln2，n＝lg2，则（ ）
A．m﹣n＞mn＞m+n B．m﹣n＞m+n＞mn C．m+n＞mn＞m﹣n D．m+n＞m﹣n＞mn
【分析】利用倒数，作差法，判断即可．
解：∵0＜m＜1，0＜n＜1，m＞n，
＝ ，
故 m﹣n＞mn，
所以 ，故 m+n＞mn，
由 m+n＞m﹣n
故 m+n＞m﹣n＞mn，
故选：D．
10．过抛物线 C：y2＝4x 的焦点 F，且斜率为 的直线交 C 于点 M（M 在 x 轴上方），l 为
C 的准线，点 N 在 l 上，且 MN⊥l，则 M 到直线 NF 的距离为（ ）
A． B．2 C．2 D．3
【分析】利用已知条件求出 M 的坐标，求出 N 的坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．
解：抛物线 C：y2＝4x 的焦点 F（1，0），且斜率为 的直线：y＝ （x﹣1），
过抛物线 C：y2＝4x 的焦点 F，且斜率为 的直线交 C 于点 M（M 在 x 轴上方），l
可知： ，解得 M（3，2 ）．
可得 N（﹣1，2 ），NF 的方程为：y＝﹣ （x﹣1），即 ，
则 M 到直线 NF 的距离为： ＝2 ．
故选：C．
11．在一个数列中，如果∀n∈N*，都有 anan+1an+2＝k（k 为常数），那么这个数列叫做等积数
列，k 叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且 a1＝1，a2＝2，公积为 8，则 a1+a2+…
+a2020＝（ ）
A．4711 B．4712 C．4713 D．4715
【分析】anan+1an+2＝k（k 为常数），且 a1＝1，a2＝2，公积为 8，可得 anan+1an+2＝8，a1＝
1，a2＝2，可得其周期性，进而得出数列的和．
解：anan+1an+2＝k（k 为常数），且 a1＝1，a2＝2，公积为 8，
∴anan+1an+2＝8，a1＝1，a2＝2，
∴1×2a3＝8，解得 a3＝4，
∴2×4a4＝8，a4＝1，
同理可得：a5＝2，a6＝4．
∴an+3＝an．
则 a1+a2+…+a2020＝a1+（1+2+4）×673＝4712．
故选：B．
12．已知函数 f（x）＝lnx，g（x）＝（2m+3）x+n，若∀x∈（0，+∞）总有 f（x）≤g（x）
恒成立，记（2m+3）n 的最小值为 F（m，n），则 F（m，n）的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】由题意可得 lnx﹣（2m+3）x﹣n≤0 在 x∈（0，+∞）恒成立，设 h（x）＝lnx﹣
（2m+3）x﹣n，只要 h（x）的最大值不大于 0．求出 h（x）的导数和单调区间，讨论 2m+3
的符号，可得最小值 f（m，n），再令 t＝2m+3（t＞0），可令 k（t）＝t（﹣lnt﹣1），求
出导数和单调区间，可得极大值，且为最大值．解：若对任意的 x∈（0，+∞），总有 f（x）≤g（x）恒成立，
即为 lnx﹣（2m+3）x﹣n≤0 在 x∈（0，+∞）恒成立，
设 h（x）＝lnx﹣（2m+3）x﹣n，则 h（x）的最大值不大于 0．
由 h′（x）＝ ﹣（2m+3），
若 2m+3≤0，h′（x）＞0，h（x）在（0，+∞）递增，h（x）无最大值；
若 2m+3＞0，则当 x＞ 时，h′（x）＜0，h（x）在（ ，+∞）递减；
当 0＜x＜ 时，h′（x）＞0，h（x）在（0， ）递增．
可得 x＝ 处 h（x）取得最大值，且为﹣ln（2m+3）﹣1﹣n，
则﹣ln（2m+3）﹣1﹣n≤0，可得 n≥﹣ln（2m+3）﹣1，
（2m+3）n≥（2m+3）[﹣ln（2m+3）﹣1]，
可得 f（m，n）＝（2m+3）[﹣ln（2m+3）﹣1]，
令 t＝2m+3（t＞0），可令 k（t）＝t（﹣lnt﹣1），
k′（t）＝﹣lnt﹣1﹣1＝﹣lnt﹣2，
当 t＞ 时，k′（t）＜0，k（t）在（ ，+∞）递减；
当 0＜t＜ 时，k′（t）＞0，k（t）在（0， ）递增．
可得 t＝ 处 h（t）取得极大值，且为最大值 （﹣ln ﹣1）＝ ．
则 f（m，n）最大值为 ．
故选：C．
二、填空题：共 4 小题，每小题 5 分.
13．已知向量 ＝（2，﹣6）， ＝（3，m），若| + |＝| ﹣ |，则 m＝ 1 ．
【分析】由题意可得 • ＝0，再利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出
m 的值．
解：∵向量 ， ，若 ，则 • ＝0，
即 2×3﹣6m＝0，则 m＝1，
故答案为：1．
14．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一 2400 人、高二 2000 人、高三 n
人中，抽取 90 人进行问卷调查．已知高一被抽取的人数为 36，那么高三被抽取的人数为 24 ．
【分析】根据分层抽样的定义，建立比例关系即可．
解：高二年级抽取的人数为：2000× ＝30 人，则高三被抽取的人数 90﹣36﹣30＝
24，
故答案为：24．
15．点 P 在双曲线 ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的右支上，其左、右焦点分别为 F1，F2，直
线 PF1 与以坐标原点 O 为圆心、a 为半径的圆相切于点 A，线段 PF1 的垂直平分线恰好过
点 F2，则该双曲线的渐近线的斜率为 ± ．
【分析】运用线段的垂直平分线的性质定理可得|PF2|＝|F1F2|＝2c，设 PF1 的中点为 M，
由中位线定理可得|MF2|＝2a，再由勾股定理和双曲线的定义可得 4b﹣2c＝2a，结合 a，b，
c 的关系，可得 a，b 的关系，即可得到双曲线的渐近线的斜率．
解：由线段 PF1 的垂直平分线恰好过点 F2，
可得|PF2|＝|F1F2|＝2c，
由直线 PF1 与以坐标原点 O 为圆心、a 为半径的圆相切于点 A，
可得|OA|＝a，
设 PF1 的中点为 M，由中位线定理可得|MF2|＝2a，
在直角三角形 PMF2 中，可得|PM|＝ ＝2b，
即有|PF1|＝4b，
由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a，
即 4b﹣2c＝2a，即 2b＝a+c，
即有 4b2＝（a+c）2，
即 4（c2﹣a2）＝（a+c）2，
可得 a＝ c，b＝ c，
即有双曲线的渐近线方程 y＝± x，
该双曲线的渐近线的斜率为± ．
故答案为：± ．16．某校 13 名学生参加军事冬令营活动，活动期间各自扮演一名角色进行分组游戏，角色按
级别从小到大共 9 种，分别为士兵、排长、连长、营长、团长、旅长、师长、军长和司
令．游戏分组有两种方式，可以 2 人一组或者 3 人一组．如果 2 人一组，则必须角色相同；
如果 3 人一组，则 3 人角色相同或者 3 人为级别连续的 3 个不同角色．已知这 13 名学生扮
演的角色有 3 名士兵和 3 名司令，其余角色各 1 人，现在新加入 1 名学生，将这 14 名学生
分成 5 组进行游戏，则新加入的学生可以扮演的角色的种数为 9 ．
【分析】根据题意，分析可得 14 名学生分成 5 组，则一定是 4 个 3 人组和 1 个 2 人组；据
此分类讨论新加入学生可以扮演的角色，将其数目相加即可得答案．
解：根据题意：14 名学生分成 5 组，则一定是 4 个 3 人组和 1 个 2 人组；
①若新加入的学生是土兵，则可以将这 14 个人分组如下：3 名士兵；士兵、排长、连长各
1 名；营长、团长、旅长各 1 名；师长、军长、司令各 1 名；2 名司令；所以新加入的学生
可以是士兵，由对称性可知加入的学生也可以是司令；
②若新加入的学生是排长，则可以将这 14 个人分组下：3 名士兵；连长、营长、団长各 1
名；旅长、师长、军长各 1 名；3 名司令；2 名排长；所以新加入的学生可以是排长，由对
称性可知加入的学生也可以是军长；
③若新加入的学生是连长，则可以将这 14 个人分组如下：2 名士兵；士兵、排长、连长 1
名；连长、营长、团长各 1 名；旅长、师长、军长各 1 名；3 名司令；所以新加入的学生
可以是连长；由对称性可知加入的学生也可以是师长；
④若新加入的学生是营长，则可以将这 14 个人分组如下：3 名士兵；排长、连长、营长 1
名；营长、团长、旅长各 1 名；师长、军长、司令答 1 名；2 名司令；所以新加入的学生可以是营长，由对称性可知加入的学生也可以是旅长；
⑤若新加入的学生是团长，则可以将这 14 个人分组如下：3 名士兵；排长、连长、营长各
1 名；旅长、师长、军长各 1 名；3 名司令；2 名团长；所以新加入的学生可以是团长；
综上所述：新加入学生可以扮演 9 种角色；
故答案为：9
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋
钮旋转的弧度数 x 与烧开一壶水所用时间 y 的一组数据，且作了一定的数据处理（如表），
得到了散点图（如图）．
1.4
7
20.
6
0.7
8
2.35 0.81 ﹣19.3 16.2
表中 ．
（1）根据散点图判断，y＝a+bx 与 哪一个更适宜作烧水时间 y 关于开关旋钮旋转
的弧度数 x 的回归方程类型？（不必说明理由）
（2）根据判断结果和表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；
（3）若旋转的弧度数 x 与单位时间内煤气输出量 t 成正比，那么 x 为多少时，烧开一壶水
最省煤气？
附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），（u3，v3），…，（un，vn），其回归直线 v＝
α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ．【分析】（1）根据散点图是否按直线型分布作答；
（2）根据回归系数公式得出 y 关于 ω 的线性回归方程，再得出 y 关于 x 的回归方程；
（3）利用基本不等式得出煤气用量的最小值及其成立的条件．
解：（1） 更适宜作烧水时间 y 关于开关旋钮旋转的弧度数 x 的回归方程类型．…
（1 分）
（2）由公式可得： ，…
，…
所以所求回归方程为 ．…
（3）设 t＝kx，则煤气用量 ，…
当且仅当 时取“＝”，即 x＝2 时，煤气用量最小．…
答：x 为 2 时，烧开一壶水最省煤气． …
18．△ABC 中的内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 b＝4c，B＝2C
（Ⅰ）求 cosB
（Ⅱ）若 c＝5，点 D 为边 BC 上一点，且 BD＝6，求△ADC 的面积
【分析】（Ⅰ）利用已知条件和三角函数关系式的恒等变换，求出相应的结果．
（Ⅱ）利用上步的结论和余弦定理及三角形的面积公式求出结果．
解：（Ⅰ）由题意 B＝2C，
则 sinB＝sin2C＝2sinCcosC又 ，
所以 …
所以 …
（Ⅱ）因为 c＝5， ，
所以 …
由余弦定理得，b2＝a2+c2﹣2accosB，
则 ，
化简得，a2﹣6a﹣55＝0，
解得 a＝11，或 a＝﹣5（舍去），…
由 BD＝6 得，CD＝5，
由 ，
得 …
所以△ADC 的面积 …
19．底面 ABCD 为菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如图所示的几何体．若 DA＝DH＝DB
＝4，AE＝CG＝3．
（1）求证：EG⊥DF；
（2）求二面角 A﹣HF﹣C 的正弦值．
【分析】（1）连接 AC，证明 EG∥AC．推出 EG⊥BD，EG⊥BF，证明 EG⊥平面
BDHF，然后证明 EG⊥DF．
（2）OA，OB，OP 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系 O﹣xyz，OP＝3，DH＝4，求
出平面 AFH 的法向量，平面 CFH 的一个法向量利用空间向量的数量积求解二面角的正弦
函数值即可．
【解答】（1）证明：连接 AC，由 可知四边形 AEGC 为平行四边形，所以 EG∥AC．
由题意易知 AC⊥BD，AC⊥BF，所以 EG⊥BD，EG⊥BF，
因为 BD∩BF＝B，所以 EG⊥平面 BDHF，
又 DF⊂平面 BDHF，所以 EG⊥DF．
（2）解：设 AC∩BD＝O，EG∩HF＝P，
由已知可得：平面 ADHE∥平面 BCGF，
所以 EH∥FG，同理可得：EF∥HG，
所以四边形 EFGH 为平行四边形，
所以 P 为 EG 的中点，O 为 AC 的中点，
所以 ，从而 OP⊥平面 ABCD，
又 OA⊥OB，所以 OA，OB，OP 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系 O﹣xyz，OP＝3，
DH＝4，由平面几何知识，得 BF＝2．
则 ， ，F（0，2，2），H（0，﹣2，4），
所以 ， ， ．
设平面 AFH 的法向量为 ，
由 ，可得 ，
令 y＝1，则 z＝2， ，所以 ．
同理，平面 CFH 的一个法向量为 ．
设平面 AFH 与平面 CFH 所成角为 θ，
则 ，所以 ．20．已知椭圆 ，与 x 轴负半轴交于 A（﹣2，0），离心率 ．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设直线 l：y＝kx+m 与椭圆 C 交于 M（x1，y1），N（x2，y2）两点，连接 AM，AN
并延长交直线 x＝4 于 E（x3，y3），F（x4，y4）两点，若 ，求证：直线
MN 恒过定点，并求出定点坐标．
【分析】（1）利用已知条件求出 a、c，得到 b，即可求椭圆 C 的方程；
（2）法 1： ，通过韦达定理，结合 kAM
＝kAE 推出 y＝kx+m＝k（x﹣1），说明直线 MN 恒过定点（1，0）．
法 2：设直线 AM 的方程为：x＝t1y﹣2，通过 求出
同理 ，得到直线系方程说明直线过定点（1，0）．
解：（1）由题有 a＝2， ．∴c＝1，∴b2＝a2﹣c2＝3．
∴椭圆方程为 ．
（2）法 1： ，
△＝64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0⇒m2＜12k2+9，
， ．
又 kAM＝kAE
∴ 同理
又∴
⇒4（y1+y2）＝x1y2+x2y1
⇒4（kx1+m+kx2+m）＝x1（kx2+m）+x2（kx1+m）
⇒（4k﹣m）（x1+x2）﹣2kx1x2+8m＝0，
．
∴m＝﹣k，此时满足 m2＜12k2+9
∴y＝kx+m＝k（x﹣1）∴直线 MN 恒过定点（1，0）．
法 2：设直线 AM 的方程为：x＝t1y﹣2
则 ，
∴y＝0 或 ，
∴ 同理 ， ，
当 x3＝4 时，由 x3＝t1y3﹣2 有 ．
∴ 同理 ，
又 ，
∴ ， ，
当 t1+t2≠0 时，t1t2＝﹣4，
∴直线 MN 的方程为，
∴直线 MN 恒过定点（1，0）当 t1+t2＝0 时，此时也过定点（1，0）
综上直线 MN 恒过定点（1，0）．
21．设函数 ．
（1）若 恒成立，求整数 k 的最大值；
（2）求证：（1+1×2）•（1+2×3）…[1+n×（n+1）]＞e2n﹣3．
【 分 析 】 （ 1 ） 根 据 题 意 可 得 k ＜ ， 令 h （ x ） ＝
，求导得 h′（x）＝ ，令 g（x）＝x﹣1﹣ln
（x+1），求导得 g′（x）＞0 对∀x＞0 恒成立，函数 y＝g（x）在（0，+∞）上单调递增，
因为 g（0）＝﹣1＜0，g（1）＜0，g（2）＜0，g（3）＞0，所以存在 x0∈（2，3）使得 g
（x0）＝0，即 x0﹣1＝ln（x0+1），当 x＞x0 时，有 g（x）＞g（x0）＝0，h′（x）＞0，
所以函数 y＝h（x）在（x0，+∞）上单调递增，当 x＜x0 时，有 g（x）＜g（x0）＝0，h′
（x）＜0，所以函数 y＝h（x）在（0，x0）上单调递减，所以 h（x）min＝h（x0）＝
＝ ＝x0+1∈（3，4），所以 k≤
3，进而可得出结论．
（2） ） 由 （1） 可 得 ln（x+1） ＞ ＝2﹣ ＞2﹣ ， 令 x＝n（n+1） ，
（n∈N*），则 ln[1+n（n+1）]＞2﹣ ＝2﹣3（ ），所以 ln（1+1×2）＞2﹣
3（1﹣ ），ln（1+2×3）＞2﹣3（ ﹣ ），…ln[1+n（n+1）]＞2﹣3（ ﹣ ），上
述等式全部相加得 ln[（1+1×2）（1+2×3）…（1+n（n+1））＞2n﹣3，因此[（1+1×2）
（1+2×3）…（1+n（n+1））＞e2n﹣3．解：（1）由 f（x）＝ ＞ 得 k＜ ，
令 h（x）＝ ，
h′（x）＝ ，
令 g（x）＝x﹣1﹣ln（x+1），
所以 g′（x）＝1﹣ ＞0 对∀x＞0 恒成立，
所以函数 y＝g（x）在（0，+∞）上单调递增，
因为 g（0）＝﹣1＜0，g（1）＜0，g（2）＜0，g（3）＞0，
故存在 x0∈（2，3）使得 g（x0）＝0，即 x0﹣1＝ln（x0+1），
从而当 x＞x0 时，有 g（x）＞g（x0）＝0，h′（x）＞0，所以函数 y＝h（x）在（x0，+
∞）上单调递增，
当 x＜x0 时，有 g（x）＜g（x0）＝0，h′（x）＜0，所以函数 y＝h（x）在（0，x0）上单
调递减，
所以 h（x）min＝h（x0）＝ ＝ ＝
x0+1∈（3，4），
所以 k≤3，因此整数 k 的最大值为 3．
（2）由（1）知 恒成立，
所以 ln（x+1）＞ ＝2﹣ ＞2﹣ ，
令 x＝n（n+1），（n∈N*）
则 ln[1+n（n+1）]＞2﹣ ＝2﹣3（ ），
所以 ln（1+1×2）＞2﹣3（1﹣ ），ln（1+2×3）＞2﹣3（ ﹣ ），…ln[1+n（n+1）]＞
2﹣3（ ﹣ ），
上述等式全部相加得 ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln[1+n（n+1）]＞2n﹣3（1﹣ ）
＞2n﹣3，
所以 ln[（1+1×2）（1+2×3）…（1+n（n+1））＞2n﹣3，
因此[（1+1×2）（1+2×3）…（1+n（n+1））＞e2n﹣3．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题
号.[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．已知曲线 C1 的参数方程为 （θ 为参数），以直角坐标系的原点 O 为极点，
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρsin2θ＝4cosθ．
（1）求 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程；
（2）若过点 F（1，0）的直线 l 与 C1 交于 A，B 两点，与 C2 交于 M，N 两点，求
的取值范围．
【分析】（1）直接利用参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．
（2）直接建立方程组利用根和系数的关系求出结果．
解：（1）曲线 C1 的普通方程为 ，曲线 C2 的直角坐标方程为 y2＝4x；
（2）设直线 l 的参数方程为 （t 为参数）
又直线 l 与曲线 C2：y2＝4x 存在两个交点，因此 sinα≠0．
联立直线 l 与曲线 C1： ，
可得（1+sin2α）t2+2tcosα﹣1＝0，
则： ，
联立直线 l 与曲线 C2：y2＝4x 可得 t2sin2α﹣4tcosα﹣4＝0，
则 ，
即 ．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知 f（x）＝|x﹣1|+1， ．
（1）解不等式 f（x）≤2x+3；
（2）若方程 F（x）＝a 有三个解，求实数 a 的取值范围．
【分析】（1）由 f（x）＝|x﹣1|+1 为分段函数，可分段讨论①当 x≥1 时，②当 x＜1 时，
求不等式的解集，（2）方程 F（x）＝a 有三个解等价于直线 y＝a 与函数 y＝F（x）的图象有三个公共点，
先画出 y＝F（x）的图象，再画直线 y＝a 观察图象即可
解：（1）f（x）＝|x﹣1|+1＝ ，
①当 x≥1 时，解不等式 x≤2x+3 得：x≥1，
②当 x＜1 时，解不等式﹣x+2≤2x+3 得：﹣ ≤x＜1，
综合①②得：
不等式 f（x）≤2x+3 的解集为：[﹣ ，+∞）
（2） ，即 ．
作出函数 F（x）的图象如图所示，
当直线 y＝a 与函数 y＝F（x）的图象有三个公共点时，方程 F（x）＝a 有三个解，所以 1
＜a＜3．
所以实数 a 的取值范围是（1，3）．
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