广东省湛江市2020届高三数学（文）普通高考测试（一）试题（Word版有答案）

绝密★启用前 湛江市 2020 年普通高考测试(一) 文科数学 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的 1.已知集合퐴 = {2,3,5,7,11},퐵 = {푥|푥2 > 9},则퐴 ∩ 퐵 = A. {3,5,7,11} B. {7,11} C．{11} D. {5,7,11} 2.已知子是复数z的共轭复数当z = |1 + 푖 1 ― 푖| + 1 + 푖 1 ― 푖(푖是虚数单位)时,푧•푧 A.1 B. 2 C.2 D. 2 2 3.已知푎 = 6 1 3,푏 = log2 2 2,푐 = 1.22,则푎,푏,푐的大小关系是 퐴 .푏 > 푐 > 푎 퐵. 푎 > 푐 > 푏 퐶. 푎 > 푏 > 푐 퐷 .푏 > 푎 > 푐 4.在中国园林建筑中,花窗是建筑中窗的一种装饰和美化的形式,既 具备实用功能,又带有装饰效果,体现了人们对美好生活的憧憬.苏州 园林作为中国园林建筑的代表,在很多亭台楼阁中都采用了花窗的形 式,右图就是其中之一.该花窗外框是边长为 80cm 的正方形,正中间 有一个半径为 20cm 的园,如果窗框的宽度忽咯不计,将一个小球(半 径足够小)随机投花窗上,则小球恰好从圆中穿过的概率为 A.휋 6 B. 휋 8 C. 휋 16 D. 휋 325.已知푆푛是等差数列{푎푛}的前푛项和.若푆15 = 45,则5푎5 ― 3푎3的值为 A.6 B.15 C.34 D.17 6.已知函数푓(푥) = {푎 + 퐼푛 푥,푥 > 1 2푥,푥 ≤ 1 若푓(푥)在푅上为增函数,则实数푎的取值范围是 A. [2,+∞) B. [0,2] C. (2,+∞) D. (-∞，2] 7. 已知풂 = (2, ― 6),풃 = (3,1),则向量풂 + 풃在풃方向上的投影为 A . ― 6 퐵. ― 10 퐶. 2 D . 10 8. 已知훼,훽是两个不同的平面,直线푎,푏满足푎 ⊂ 훼,푏 ⊂ 훼,则“푎//훽且푏//훽”是“훼//훽”成立的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 9.函数푦 = 푓(푥 +1)为奇函数,且在푅上为减函数若푓(2) = ―1,则满足 ― 1 ≤ 푓(푥 ― 1) ≤ 1的푥 的取值范围是 A.[-1,1] B.[1,3] C.[0,2] D.[2,4] 10. 在三棱柱퐴퐵퐶 ― 퐴1퐵1퐶1中,퐴퐴1⊥平面퐴퐵퐶.若所有的棱长都 是 2,则异面直线퐴퐶1与B퐶所成的角的正弦值为 11.如图,퐹1,퐹2是双曲线l：푥2 푎2 ― 푦2 푏2 = 1(푎 > 0,푏 > 0)的左、右焦点,过퐹1的直线 与双曲线左、右两支分别交于点푃,푄.若퐹1푄 = 5퐹1푃,푀为푃푄的中点,且퐹1푄 ⊥ 퐹2푀,则双曲线的离心率为12.已知휋 6,2휋 3 为函数푓(푥) = 2푠푖푛(휔푥 + 휑)(휔 > 0,|휑| < 휋 2)的图象与푥轴的两个相邻交点的横坐 标,将푓(푥)的图象向左平移휋 4个单位得到푔(푥)的图象,퐴,퐵,퐶为两个函数图象的交点,则 △ 퐴퐵퐶面积的最小值为 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13. 一组样本数据10,23,12,5,9,푎,21,푏,22的平均数为16,中位数为21,则푎 ― 푏 = 14 已知实数푥,푦满足{ x - y ≤ 0 5푥 + 푦 ― 10 ≥ 0 x + y - 6 ≤ 0 ,则实数푧 = ― 푥 ― 2푦的最大值为 15. 已知푆n为数列{푎n}的前 n 项和,且푆n +2푎n = 2(푛 ∈ 푁+)则푎n = 16.在平面直角坐标系中,푂为坐标原点,F 是抛物线퐶:푦2 = 푥的焦点,过 F 的直线与抛物线 交于퐴,퐵两点若|퐴퐵| = 2,则 △ 푂퐴퐵的面积为 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考 题,每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题:共 60 分. 17.(12 分) 如图,在△ABC 中,BD 是 AC 边上的高,E 为 AB 边上一点,CE 与 BD 交于点 O,∠BOC=135°,CD=1,DE= 5 (1)求∠BDE 的正弦值; (2)若퐵푂 = 2푂퐷,求△ADE 的面积. 18.(12 分) 如图,在三棱柱퐴퐵퐶 ― 퐴1퐵1퐶1中,侧面퐴퐴1퐶1퐶 ⊥ 底面 ABC,E 为퐶퐶1的中点,퐴퐹 = 2퐹퐵 (1)求证:퐵퐶1∥平面퐴1퐸퐹; (2)若퐴퐶 = 퐴퐴1 = 2,퐴퐵 = 퐵퐶 = 2,∠퐴1퐴퐶 = 60°,求四棱锥퐶1 ― 퐵퐹퐴1퐵1的体积 19.(12 分) 我国全面二孩政策已于 2016 年 1 月 1 日起正式实施. 国家统计局发布的数据显示,从 2012 年到 2017 年,中国的人口自然增长率变化始终不 大,在5‰上下波动(如图) 为了了解年龄介于 24 岁至 50 岁之间的适孕夫妻对生育 二孩的态度如何,统计部门按年龄分为 9 组,每组选取 150 对夫妻进行调查统计有生育二 孩意愿的夫妻数,得到下表: (1)设每个年龄区间的中间值为푥,有意愿数为푦,求样本数据的线性回归直线方程, 并求该模型的相关系数 r(结果保留两位小数) (2)从[24,26],[33,35],[39,41],[45,47],[48,50]这五个年龄段中各选出一对夫妻(能代表该年 龄段超过半数夫妻的意愿)进一步调研,再从这 5 对夫妻中任选 2 对夫妻.求其中恰有一对 不愿意生育二孩的夫妻的概率。 20.(12 分) 已知퐹1,퐹2是椭圆 C: 푥2 푎2 + 푦2 푏2 = 1(푎 > 0,푏 > 0)的左右焦点，椭圆与푦轴正半轴交 于点 B,直线퐵퐹1的斜率为 3 3 ,且퐹2到直线퐵퐹1的距离为 3 (1)求椭圆 C 的方程 (2)P 为椭圆 C 上任意一点,过퐹1,퐹2分别作直线푙1,푙2,且푙1与푙2相交于푥轴上方一点 M,当 ∠퐹1푀퐹2 = 휋 3时,求푃,푀两点间距离的最大值 21.(12 分) 已知函数푓(푥) = 푙푛푎푥 ― 푏푥 +1,푔(푥) = 푎푥 ― 푙푛푥,푎 > 1. (1)求函数푓(푥)的极值; (2)直线푦 = 2푥 +1为函数푓(푥)图象的一条切线,若对任意的푥1 ∈ (0,1),푥2 ∈ [1,2]都有 푔(푥1) > 푓′(푥2)成立,求实数푎的取值范围 (二)选考题:共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一 题计分 22.[选修 4-4:坐标系与参数方程](10 分) 在平面直角坐标系中,直线 l 的参数方程为{푥 = 1 ― 4푡 푦 = 3푡 (푡为参数),以坐标原点푂为极点,푥轴 的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为휌2 ― 2 2휌sin(휃 + 휋 4) + 1 = 0 (1)求曲线 C 的直角坐标方程及直线푙的普通方程; (2)设直线휃 = 휋 4(휌 ∈ 푅)与曲线 C 交于 A,B 两点(A 点在 B 点左边)与直线푙交于点 M 求 |퐴푀|和|퐵푀|的值 23.[选修 4-5:不等式选讲](10 分) 已知函数푓(푥) = |푥 ― 푎| + |푥 +3| (1)若푎 = 1,解不等式푓(푥) ≥ 3푥; (2)若对任意푎,푥 ∈ 푅,求证:푓(푥) ≥ 2 ― |푎 +1|