广东省湛江市2020届高三数学（理）普通高考测试（一）试题（Word版有答案）

1 / 13 绝密★启用前 湛江市 2020 年普通高考测试(一) 理科数学 注意事项 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动 ,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本 试卷上无效 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的 1 设集合푀 = {푥| 1 |x| < 1},푁 = {푥|lgx > 0},则 퐴.∅ 퐵.( ― 1,1) 퐶.(1, + ∞) 퐷.( ― ∞, ― 1) 2 已知复数푧满足|푧 ― 푖| ≤ 2(푖是虚数单位),则|푧|的最大值为 A .2 퐵.3 퐶.4 퐷.5 3.已知푎 = 6 1 3,푏 = log2 2 2,푐 = 1.22,则푎,푏,푐的大小关系是 퐴 .푏 > 푐 > 푎 퐵. 푎 > 푐 > 푏 퐶. 푎 > 푏 > 푐 퐷 .푏 > 푎 > 푐 4.已知훼,훽是两个不同的平面,直线푎,푏满足푎 ⊂ 훼,푏 ⊂ 훼,则“푎//훽且푏//훽”是“훼//훽”成立的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 5.已知풂 = (2, ― 6),풃 = (3,1),则向量풂 + 풃在풃方向上的投影为 A . ― 6 퐵. ― 10 퐶. 2 D . 10 6.已知훼 ∈ (0,휋),2푠푖푛훼 + 푐표푠훼 = 1,则 푐표푠2훼 1 ― sin2훼= A . - 24 25 2 / 13 B . - 7 25 C. ― 7 D . - 1 7 7.已知函数푓(푥) = 푎푥2 ― 푥 ― 푎 +2,若푦 = 푙푛푓(푥)在(1 2, + ∞)为增函数,则实数푎的取值范围 是 A . [1, + ∞) 퐵.[1,2) 퐶.[1,2] 퐷.( ― ∞,2] 8.“岂曰无衣,与子同袍”,“山川异域,风月同天”.自新冠肺炎疫情爆发以来,全国各省 争相施援湖北.截至 3 月初,山西省共派出 13 批抗疫医疗队前往湖北,支援抗击新型冠状 病毒感染的肺炎疫情.某医院组建的由 7 位专家组成的医疗队,按照 3 人、2 人、2 人分成 了三个小组,负责三个不同病房的医疗工作,则不同的安排方案共有 A.105 种 B.210 种 C.630 种 D.1260 种 9 点 P 的坐标(푥,푦)满足{ x - y ≤ 0 5푥 + 푦 ― 10 ≥ 0 x + y - 6 ≤ 0 ,若直线푙:푥 +2푦 + 푧 = 0经过点푃,则实数푧的最大值 为 A．-3 B.-5 C.-9 D.-11 10.如图,퐹1,퐹2是双曲线l：푥2 푎2 ― 푦2 푏2 = 1(푎 > 0,푏 > 0)的左、右焦点,过퐹1的直线 与双曲线左、右两支分别交于点푃,푄.若퐹푄 = 5퐹1푃卢,푀为푃푄的中点,且퐹1푄 ⊥ 퐹2푀,则双曲线的离心率为 11.在三棱柱퐴퐵퐶 ― 퐴1퐵1퐶1中,퐴퐴1⊥平面퐴퐵퐶,퐴퐵 = 퐵퐶 = 퐶퐴 = 퐴퐴1 = 2,则三棱柱 퐴퐵퐶 ― 퐴1퐵1퐶1的外接球的体积与三棱柱的体积之比为 3 / 13 12 已知函数푓(푥) = 2푠푖푛(휔푥 + 휑)(휔 > 0,|휑| < 휋 2)的图象与푥轴的两个相邻交点的横坐标为휋 6, 2휋 3 ,下面 4 个有关函数푓(푥)的结论: ①函数푦 = 푓(푥 + 휋 3)的图象关于原点对称; ②在区间[ ― 휋 6,휋 3]上,푓(푥)的最大值为 3; ③푥 = 휋 6是푓(푥)的一条对称轴; ④将푓(푥)的图象向左平移휋 4个单位,得到푔(푥)的图象,若퐴,퐵,퐶为两个函数图象的交点,则 △ 퐴퐵퐶面积的最小值为 2휋 其中正确的结论个数为 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.一组样本数据10,23,12,5,9,푎,21,푏,22的平均数为16,中位数为21,则푎 ― 푏 = 14.2019 国际乒联世界巡回赛男子单打决赛在甲、乙两位选手间进行,比赛实行七局四胜 制(先获得四局胜利的选手获胜),已知每局比赛甲选手获胜的概率是1 3,且前五局比赛甲3:2 领先,则甲获得冠军的概率是 15.已知푎,푏,푐分别为 △ 퐴퐵퐶三个内角퐴,퐵,퐶的对边, 푎푠푖푛 B = 3 푏푐표푠 A,且푎 = 2.若퐷,퐸分 别为边퐵퐶,퐴퐵的中点,且퐺为△ABC 的重心,则 △ 퐺퐷퐸面积的最大值为 16.在平面直角坐标系中,푂为坐标原点,F 是抛物线퐶:푦2 = 푥的焦点,过 F 的直线与抛物线 交于퐴,퐵两点若|퐴퐵| = 2,则 △ 푂퐴퐵的面积为 三、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证朋过程或演算步骤第 17~21 题为必考 题,毎个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题:共 60 分 17.(12 分) 已知푆n为数列{푎n}的前 n 项和,且푆n +2푎n = 2(푛 ∈ 푁+)。 (1)求数列{푎n}的通项公式; (2)若数列{bn}满足bn an = 2푛(푛 ∈ 푁+),求数列{bn}的前푛项和푇n 18.(12 分) 如图 1,在△ABC 中,퐴퐵 = 2퐵퐶 = 2 2,∠퐴퐵퐶 = 3휋 4 ,D 为 AC 的中点,将△ABD 沿 BD 折起 ,得到如图 2 所示的三棱锥푃一퐵퐶퐷,二面角푃一퐵퐷一퐶为直二面角 (1)求证:平面푃퐵퐶 ⊥ 平面푃퐵퐷; (2)设퐸,퐹分别为푃퐶,퐵퐶的中点,求二面角퐶 ― 퐷퐸一퐹的余弦值. 4 / 13 19.(12 分) 我国全面二孩政策已于 2016 年 1 月 1 日起正式实施. 国家统计局发布的数据显示,从 2012 年到 2017 年,中国的人口自然增长率变化始终不 大,在5‰上下波动(如图) 为了了解年龄介于 24 岁至 50 岁之间的适孕夫妻对生育 二孩的态度如何,统计部门按年龄分为 9 组,每组选取 150 对夫妻进行调查统计有生育二 孩意愿的夫妻数,得到下表: (1)设每个年龄区间的中间值为푥,有意愿数为푦,求样本数据的线性回归直线方程, 并求该模型的相关系数 r(结果保留两位小数 (2)从[24,26],[33,35],[39,41],[45,47],[48,50]这五个年龄段中各选出一对夫妻(能代表该年 龄段超过半数夫妻的意愿)进一步调研,再从这 5 对夫妻中任选 2 对夫妻.设其中不愿意生 育二孩的夫妻数为푋,求푋的分布列和数学期望. 20.(12 分) 已知原点 O 到动直线푙的距离为 2,点 P 到 A(-1,0),B(1,0)的距离分别与 A，B 到直线l 的距离相等 (1)证明|푃퐴| + |푃퐵|为定值,并求点푃的轨迹方程; (2)是否存在过点(0,-3)的直线푙,与 P 点的轨迹交于 M,N 两点,Q 为线段 MN 的中点,且 |푀푁| = 2퐴푄?若存在,请求出直线푙的方程;若不存在,请说明理由 21.(12 分) 已知函数푓(푥) = 푒2x ― 푎푥2 ― 1(푥 ∈ 푅) (1)设푔(푥) = 푓(푥) ― 푥·푓′(푥),当푎 = 1时,求函数푔(푥)的单调减区间及极大值; 5 / 13 (2)设函数푦 = 푓(푥)有两个极值点푥1,푥2, ①求实数푎的取值范围 ②求证: (二)选考题:共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一 题计分 22.[选修 4-4:坐标系与参数方程](10 分) 在平面直角坐标系中,直线 l 的参数方程为{푥 = 1 ― 4푡 푦 = 3푡 (푡为参数),以坐标原点푂为极点,푥轴 的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为휌2 ― 2 2휌sin (휃 + 휋 4) + 1 = 0 (1)求曲线 C 的直角坐标方程及直线푙的普通方程; (2)设直线휃 = 휋 4(휌 ∈ 푅)与曲线 C 交于 A,B 两点(A 点在 B 点左边)与直线푙交于点 M 求 |퐴푀|和|퐵푀|的值 23.[选修 4-5:不等式选讲](10 分) 已知函数푓(푥) = |푥 ― 푎| + |푥 +3| (1)若푎 = 1,解不等式푓(푥) ≥ 3푥; (2)若对任意푎,푥 ∈ 푅,求证:푓(푥) ≥ 2 ― |푎 +1| 6 / 13 7 / 13 8 / 13 9 / 13 10 / 13 11 / 13 12 / 13 13 / 13