2019-2020 学年怀柔区第二学期适应性练习
数 学
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷 1 至 2 页、第Ⅱ卷 3 至 4 页，共 150 分．考试
时长 120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷
和答题卡一并交回．
第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项．）
1．已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
2．若复数 满足 ，则
A． B． C． D．
3．函数 的最小正周期为
A． B． C． D．
4．函数 的图象是
A． B． C． D．
5．在等差数列 中，若 ，则
A．6 B．10 C．7 D．5
{1,2}A = { 0 2}B x x= < < A B =
{1} {1,2} {0,1,2} { 0 2}x x< <
z i 1 iz = − z =
1 i+ 1 i− 1 i− + 1 i− −
22cos 1y x= −
2
π π 2π 4π
2logy x=
{ }na 4 5 6 15a a a+ + = 2 8a a+ =6．已知圆 C 与圆(x－1)2＋y2＝1 关于原点对称，则圆 C 的方程为
A．x2＋y2＝1 B．x2＋(y＋1)2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．(x＋1)2＋y2＝1
7．已知 ，则“ ”是“ ”的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
8．如图，网格纸上小正方形的边长均为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的
体积为
A． B． C． D．
9．已知 ，则下列不等式成立的是
A． B． C． D．
10．“割圆术”是我国古代计算圆周率 的一种方法．在公元 年左右，由魏晋时期的数学家
刘徽发明．其
原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，进而求 ．当时刘微就是利用
这种方法，把
的近似值计算到 和 之间，这是当时世界上对圆周率 的计算最精确的数
据．这种方法
的可贵之处就是利用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限的来逼近无穷的．为
此，刘微把
它概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失
矣”．这种方法极其
重要，对后世产生了巨大影响，在欧洲，这种方法后来就演变为现在的微积分．根据“割
圆术”，若用正
1a = ( )a a b⊥ + 1a b⋅ = −
2
3
4
3 3 3
2
0a b< <
1b
a
< 2 2a b< 1 1
a b
< 2a ab<
π 263
π
π
3.1415 3.1416 π二十四边形来估算圆周率 ，则 的近似值是（精确到 ）
（参考数据 ）
A． B．
C． D．
第二部分 (非选择题 共 110 分)
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．）
11．已知抛物线 的焦点与双曲线 的右顶点重合，则抛物线的焦点坐标
为 ；
准线方程为 ．
12． 的展开式中 的系数是 ．
13 ． 在 中 ， ， ， 为 的 中 点 ， 则
．
14．某网店“五一”期间搞促销活动，规定：如果顾客选购商品的总金额不超过 600 元，则不享
受任何折扣优
惠；如果顾客选购商品的总金额超过 600 元，则超过 600 元部分享受一定的折扣优惠，
折扣优惠按下
表累计计算．
如果某人在网店所购商品获得的折扣优惠金额为 30 元，则他实际所付金额为
元．
可以享受折扣优惠金额 折扣优惠率
不超过 500 元的部分 5%
超过 500 元的部分 10%
π π 0.01
sin15 0.2588≈
3.05 3.10
3.11 3.14
2 2y px= 2
2 14
x y− =
7( 1)x + 3x
ABC∆ 60ABC∠ = 2 2BC AB= = E AC
AB BE⋅ = 15．若函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围
是 ．
三、解答题（共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）
16．（本题满分 14 分）
已知在 中， ， ，同时还可能满足以下某些条件：
① ；② ；③ ；④ ．
（Ⅰ）直接写出所有可能满足的条件序号；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求 及 的值．
17．（本题满分 14 分）
如图，四棱锥 的底面 是正方形， 底面 ， 分别是
的中点， ．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的大小．
18．（本题满分 14 分）
某校高一、高二年级的全体学生都参加了体质健康测试，测试成绩满分为 分，规定
测试成绩在 之间为“体质优秀”，在 之间为“体质良好”，在 之间为“体
质合格”，在 之间为“体质不合格”．现从这两个年级中各随机抽取 名学生，测试成绩
如下：
学生编号 1 2 3 4 5 6 7
高一年级 60 85 80 65 90 91 75
高二年级 79 85 91 75 60
其中 是正整数．
（Ⅰ）若该校高一年级有 学生，试估计高一年级“体质优秀”的学生人数；
（Ⅱ）若从高一年级抽取的 名学生中随机抽取 人，记 为抽取的 人中为“体质良好”的
学生人数，求 的分布列及数学期望；
（Ⅲ）设两个年级被抽取学生的测试成绩的平均数相等，当高二年级被抽取学生的测试成绩
的方差最小时，写出 的值．（只需写出结论）
19．（本小题 15 分）
已知函数 ．
( ) (cos )xf x e x a= − ( , )2 2
π π− a
ABC∆ 2a = 2b =
π
4A = B A> sin sinB A< 4c =
B c
P ABCD− ABCD PA⊥ ABCD ,E F
,BC PC 2AB AP= =
BD ⊥ PAC
E AF C− −
100
[85,100] [75,85) [60,75)
[0,60) 7
m n
,m n
280
7 2 X 2
X
,m n
( ) ln , ( ) xf x x g x e= =（Ⅰ）求 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）当 时，证明： ；
（Ⅲ）判断曲线 与 是否存在公切线，若存在，说明有几条，若不存在，说明理
由．
20．（本小题满分 14 分）
已知椭圆 的短半轴长为 ，离心率为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设 是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且点 在第一象限， 轴，垂足为 ，
连接 并延长交椭圆于点 ，证明： 为直角三角形．
21．（本小题满分 14 分）
已知数列 ，且 ．若 是一个非
零常数列，则称 是一阶等差数列，若 是一个非零常数列，则称 是二阶等差数
列．
（Ⅰ）已知 ，试写出二阶等差数列 的前五项；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明： ；
（Ⅲ）若 的首项 ，且满足 ，判断 是否为二
阶等差数列．
参考答案及评分标准
一、选择题(共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分)．
二、填空题(共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．)
11. ； 12. ； 13.
；
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B D B D C D A C
( )y f x= (1, (1))f
0x > ( ) ( )f x x g x< <
( )f x ( )g x
:C
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 2 2
2
C
,A B A AE x⊥ E
BE D ABD∆
{ } { } { }, ,n n na b c 1 1, ( )n n n n n nb a a c b b n N ∗
+ += − = − ∈ { }nb
{ }na { }nc { }na
1 11, 1, 1na b c= = = { }na
2 2
2n
n na
− +=
{ }na 21 =a )(23 1
1
∗+
+ ∈−=+− Nnabc n
nnn
{ }na
(2, 0 ); 2x = − 35
1−14. ； 15. ．
三、解答题(共 6 小题，共 85 分．)
16．（本题满分 14 分）
解：（Ⅰ）①，③．-------------------------------------------------------4 分
（Ⅱ）由 得 --------------------------6 分
-----------------------8 分
--------------------------9 分
解法一：
由 ．----------------14 分
解法二：
解得 或 （舍）．-----------------------------------------14 分
17．（本题满分 14 分）
（Ⅰ）证明：连接 -------------------------------1 分
四边形 为正方形
，------------------------2 分
底面 ，
，------------------------4 分
--------------------5 分
（ Ⅱ ） 解 ： ，
---------------------------------------------------------------6 分
以 为原点、 为 轴、 为 轴、 为 轴，建立空间直角坐标系---------7
分
则 , , , , , ,
--------9 分
(2,1,0)AE = (1,1,1)AF =
1120 [ 2, )+∞
sin sin
a b
A B
=
2 2
sinsin 4
Bπ =
22 sin 2 14 2sin 2 22B
π ×
∴ = = =
2 2 6a b A B B
π= > = ⇒ > ⇒ =
7 6 2sin sin( ( )) sin12 4C A Bπ π += − + = =
6 22sin 4 3 1sin sin sin 2
2
a c a CcA C A
+×
= ⇒ = = = +
2 2 2 2 2 2 22 cos 2 ( 2) 2 2 2a b c bc A c c= + − ⇒ = + − × × ×由
3 1c = + 3 1c = − +
BD
ABCD
∴ BDAC ⊥
PA ⊥又 ,ABCD BD ABCD⊂ 平面
∴ BDPA ⊥
PA AC C=而
∴ PACBD 平面⊥
ABCDPA 平面⊥ ADAB ⊥
∴ A AB x AD y AP z
)0,0,0(A )0,0,2(B )0,1,2(E (0,2,0)D )1,1,1(F 设 的一个法向量为
,即 --------------------------------10 分
令 ，则 ------------------------11 分
由（Ⅰ）知 为 的法向量------------12 分
--------------------------------13 分
所以，二面角 的大小为 ．--------------------------14 分
18．（本题满分 14 分）
解：（Ⅰ）高一年级随机抽取的 7 名学生中，“体质优秀”的有 3 人，优秀率为 ，将此频率视
为概率，估
计高一年级“体质优秀”的学生人数为 ．---------------------3 分
（Ⅱ）高一年级抽取的 7 名学生中“体质良好”的有 2 人，非“体质良好”的有 5 人。所以
的可能取值
为 ------------------------------------------------------------------------------------5 分
所以 --------8
分
所以随机变量 的分布列为：
--------------------------------------------------------11 分
（ Ⅲ ）
．--------------------------------------------------------------------------------------------14 分
19．（本小题 15 分）
解：（Ⅰ） 的定义域 -----------------------------------1 分
E AF C− −
6
π
AEF平面 ),,( zyxn =
∴ 0
0
n AE
n AF
⋅ = ⋅ =
=++
=+
0
02
zyx
yx
1=x 1,2 =−= zy ∴ )1,2,1( −=n
)0,2,2(−=BD ACF平面
3cos , 2| || |
n BDn BD
n BD
⋅∴ < >= =
3
7
3 280 1207
× = 人
X
0,1,2
0 2 1 1 2 0
2 5 2 5 2 5
2 2 2
7 7 7
10 10 1( 0) , ( 1) , ( 2)21 21 21
C C C C C CP X P X P XC C C
= = = = = = = = =
X
10 10 1 12 4( ) 0 1 221 21 21 21 7E X = × + × + × = =
78m n= =
( ) lnf x x= (0, )+∞
X 0 1 2
P 10
21
10
21
1
21 -------------------------------------2 分
又 --------------------------------------------------------------3 分
所以 在点 处的切线方程为: ．--------------------4 分
（Ⅱ）设 ，
，
↑ 极大值 ↓
-------------------------------------------------------------7 分
设 ，
-----------------------------------9 分
综上 ----------------------------------------------------10 分
（Ⅲ）曲线 与 存在公切线，且有 2 条，理由如下：---------------------11 分
由（Ⅱ）知曲线 与 无公共点，设 分别切曲线 与 于
，则
，若 ，即曲线 与 有
公切线，则
令 ，则曲线 与
有公切线，当且仅当 有零点，
，
，
1( ) (1) 1f x k fx
= ⇒ ′=′ =由
(1) 0f =
( )y f x= (1, (1))f 1y x= −
( ) ( ) ln ( 0)h x f x x x x x= − = − >
1 1'( ) 1 0 1xh x xx x
−= − = = ⇒ =由
'( ), ( )h x h x x随 变化如下:
x (0,1) 1 (1, )+∞
'( )h x + 0 −
( )h x
max( ) (1) ln1 1 1 0h x h∴ = = − = − <
( )f x x∴ <
( ) ( ) '( ) 1 0 (0, ), xx s xs x x g x xx e e= − = − = − < ∈ +∞在则 上恒成立
(0,( ) )xs x ∈ +∴ ∞在 上单调递减
( ) (0) 1 0 ( )s x s x g x∴ ≤ = − < ⇒ <
( ) ( )f x x g x< <
( )f x ( )g x
( )f x ( )g x 1 2,l l ( )f x ( )g x
2
1 1 2( ,ln ),( , )xx x x e
2 2
1 1 2 2
1
1: ln 1; : (1 )x xl y x x l y e x e xx
= ⋅ + − = ⋅ + −
1 2l l= ( )f x ( )g x
2
2
2
1 2 2
1 2
1
(1 ) 1 0
ln 1 (1 )
x
x
x
ex e x x
x e x
= ⇒ − + + =
− = −
( ) (1 ) 1xh x e x x= − + + ( )f x ( )g x
( )h x
'( ) 1xh x xe= − +
0 '( ) 0, ( ) ( ,0)x h x h x≤ > −∞当 时, 在 单调递增 ，
，
，
，
，
，
，
，
故曲线 与 存在 2 条公切线。------------------------------------------15 分
另解：曲线 与 存在公切线，且有 2 条，理由如下：
设 是曲线 与 的公切线，切点分别为 ，则
当 ，
分别做出 的图象，如图，图象有二个交点，
有二个根，
故曲线 与 存在 2 条公切线。（酌情给分）
20．（本题满分 14 分）
解：（Ⅰ）依题意可得 -----------------------------------2 分
，得 -----------------------4 分
0 ''( ) ( 1) 0, '( ) (0, )xx h x x e h x> = − + < +∞当 时, 在 单调递减
'(0) 1 0, '(1) 1 0h h e= > = − 且 时, 单调递增
0( , ) '( ) 0, ( )x x h x h x∈ +∞
2 2( 2) 3 1 0, (2) 3 0h e h e−− = − < = − +
微信/支付宝扫码支付