房山区 2020 年第一次模拟检测
高三数学
本试卷共 4 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作
答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分 （选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选
出符合题目要求的一项。
（1）复数
（A） （B）
（C） （D）
（2）函数 的最小正周期为
（A） （B）
（C） （D）
（3）已知向量 ， ，若 与 共线，则
（A） （B）
（C） （D）
（4）在二项式 的展开式中， 的系数为
（A） （B）
（C） （D）
（5）下列函数中，既是偶函数又在 上单调递减的是
（A） （B）
（C） （D）
（6）某三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的体积为
（A） （B）
（C） （D）
i(3 i)+ =
1 3i+ 1 3i− +
1 3i− 1 3i− −
π( ) tan( )6f x x= +
π
3
π
2
π 2π
1(1, )2
= −a ( 2, )m= −b a b | |=b
3 5
6 2 2
5(1 2 )x− 3x
40 40−
80 80−
(0, )+∞
2y x−= | ln |y x=
2 xy −= siny x x=
4
3
8
3
4 8 左视图
11
4
俯视图
主视图
2（7）已知函数 若 ，且 在 上单调递增，则 的取值
范围是
（A） （B）
（C） （D）
（8）设 是公差为 的等差数列， 为其前 项和，则“ ”是“ ， ”
的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（9）已知直线 ： 与圆 ： 交于 ， 两点，则使弦长 为
整数的直线 共有
（A） 条 （B） 条
（C） 条 （D） 条
（10）党的十八大以来，脱贫工作取得巨大成效，全国农村贫困人口大幅减少．下面的统计
图反映了
年我国农村贫困人口和农村贫困发生率的变化情况（注：贫困发生率 贫
困人数（人） 统计人数（人） ）．根据统计图提供的信息，下列推断不正确的
是
（A） 年，全国农村贫困人口逐年递减
（B） 年，全国农村贫困发生率较上年下降最多的是 年
（C） 年，全国农村贫困人口数累计减少 万
（D） 年，全国各省份的农村贫困发生率都不可能超过
9899
8249
7017
5575
4335
3046
1660
551
10.2
8.5
7.2
5.7
4.5
3.1
1.7
0.6
0.0%
2.0%
4.0%
6.0%
8.0%
10.0%
12.0%
0
2000
4000
6000
8000
10000
2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019
全国农村贫困人口（万人） 全国农村贫困发生率(%)
, 1,( )
1, 1.
xa xf x
bx x
> −= + − ≤
( 2) 0f − = ( )f x R a
(0,2] (1,2]
(1, )+∞ [2, )+∞
{ }na d nS n 0d < n∀ ∈ *N 1n nS S+ <
l ( 2) 2y m x= − + C 2 2 9x y+ = A B | |AB
l
6 7
8 9
2012 2019− =
÷ 100%×
2012 2019−
2013 2019− 2013
2012 2019− 9348
2019 0.6%第二部分 （非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
（11）已知集合 ， ， ，则 ___________．
（12）设抛物线 经过点 ，则抛物线的焦点坐标为___________．
（13）已知 是各项均为正数的等比数列， ， ，则 的通项公式
；设数列 的前 项和为 ，则 ．
（14）将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象经过点
，则 的最小值是 ．
（15）如果方程 所对应的曲线与函数 的图象完全重合，那么对于函数
有如下结论：
①函数 在 上单调递减；
② 的图象上的点到坐标原点距离的最小值为 ；
③函数 的值域为 ；
④函数 有且只有一个零点．
其中正确结论的序号是 ．
注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得 5 分，不选或有错选得 分，
其他得 3 分。
三、解答题共 6 题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题 14 分）
在△ 中， ， ， ．（补充条件）
（Ⅰ）求△ 的面积；
（Ⅱ）求 ．
从① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在上面问题
中并作答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
（17）（本小题 14 分）
0
{1,2, }A m= {1,3,4}B = {1,3}A B = m =
2 2x py= (2,1)
{ }na 1 1a = 3 100a = { }na
na = {lg }na n nT nT =
π( ) sin(2 )3f x x= − s ( 0)s >
π( ,1)2 s
2
| | 14
x y y+ = ( )y f x=
( )y f x=
( )f x R
( )y f x= 1
( )f x ( ,2]−∞
( ) ( )F x f x x= +
ABC 2a = 10c =
ABC
sin( )A B+
4b = 5cos 5B = − 10sin 10A =随着移动互联网的发展，越来越多的人习惯用手机应用程序（简称 app）获取新闻
资讯．为了解用户对某款新闻类 app 的满意度，随机调查了 名用户，调研结果如下表：
（单位：人）
青年人 中年人 老年人
满意
一般
不满意
（Ⅰ）从所有参与调研的人中随机选取 人，估计此人“不满意”的概率；
（Ⅱ）从参与调研的青年人和中年人中各随机选取 人，估计恰有 人“满意”的概率；
（Ⅲ）现需从参与调研的老年人中选择 人作进一步访谈，若在“满意”、“一般”、“不满意”
的老年人中各取 人，这种抽样是否合理？说明理由．
（18）（本小题 14 分）
如 图 ， 在 四 棱 锥 中 ， 平 面 ， ， ，
， ，点 为棱 的
中点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求证： 平面 ；
（Ⅲ）求二面角 的余弦值．
（19）（本小题 14 分）
已知椭圆 过 ， 两点．
（Ⅰ）求椭圆 的方程和离心率的大小；
（Ⅱ）设 ， 是 轴上不同的两点，若两点的纵坐标互为倒数，直线 与椭圆 的另
一个交点为 ，直线 与椭圆 的另一个交点为 ，判断直线 与 轴的位置关
系，并证明你的结论．
（20）（本小题 15 分）
已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数 的单调性；
（Ⅲ）若 ，设函数 ， 在 上的最大值不小于 ，求 的取值范
围．
（21）（本小题 14 分）
300
60 70 x
55 25 y
25 5 10
1
1 1
6
2
P ABCD− PB ⊥ ABCD AB BC⊥ // AD BC
2 2AD BC= = AB BC PB= = E PD
// CE PAB
AD ⊥ PAB
E AC D− −
2 2
2 2: 1x yC
a b
+ = ( 0)a b> > (2,0)A (0,1)B
C
M N y AM C
P AN C Q PQ x
3 2( ) 2 2f x x ax= − +
( )y f x= (0, (0))f
( )f x
0a > ( ) | ( ) |g x f x= ( )g x [ 1,1]− 3 a
BC
E
D A
P在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作
称为该数列的一次“ 拓展”．如数列 ， 第 次“ 拓展”后得到数列 ， ， ，第 次
“ 拓展”后得到数列 ， ， ， ， ．设数列 ， ， 经过第 次“ 拓展”后所得
数列的项数记为 ，所有项的和记为 ．
（Ⅰ）求 ， ；
（Ⅱ）若 ，求 的最小值；
（Ⅲ）是否存在实数 ， ， ，使得数列 为等比数列？若存在，求 ， ， 满足的条
件；若不存
在，说明理由．
房山区 2020 年第一次模拟检测答案
高三数学
一、选择题（每小题 4 分，共 40 分）
二、填空题（每小题 5 分，共 25 分，有两空的第一空 3 分，第二空 2 分）
（11）
（12）
（13） ；
（14）
（15）②④（注：只写②或④得 3 分）
三、解答题（共 6 小题，共 85 分）
（16）（本小题 14 分）
解：
选择①
（Ⅰ）在△ 中，因为 ， ， ，
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B D A A B D C D
Z 1 2 1 Z 1 3 2 2
Z 1 4 3 5 2 a b c n Z
nP nS
1P 2P
2020nP ≥ n
a b c { }nS a b c
3
(0,1)
110n− ( 1)
2
n n −
π
12
ABC 2a = 10c = 4b =由余弦定理得 ，
因为 ，所以
所以 ．
（Ⅱ）在△ 中， ．
所以 ．
选择②
（Ⅰ）因为 ， ，所以
因为 ， ，所以
（Ⅱ）因为 ， ， ，
由 ，得 ，
解得 ，
由 ，解得 ，
在△ 中， ，
选择③
依题意， 为锐角，由 得
在△ 中，因为 ， ， ，
由余弦定理 ，得
ABC
2 2 2 2 2 22 4 10 2cos 2 22 2 4
a b cC ab
+ − + −=
× ×
（ ） （ ）＝ ＝
(0, )C ∈ π 2 2sin 1 cos 2C C= − =
1 1 2sin 2 4 22 2 2S ab C= = × × × =
ABC πA B C+ = −
2sin( ) sin 2A B C+ = =
5cos 5B = − (0, )B∈ π 2 2 5sin 1 cos 5B B= − =
2a = 10c = 1 1 2 5sin 2 10 22 2 5S ac B= = × × × =
2a = 10c = 5cos 5B = −
2 2 2 2 cosb a c ac B= + − 2 2 2 52 10 2 2 10 ( ) 165b = + − × × × − =（ ） （ ）
4b =
sin sin
b c
B C
= 2sin 2C =
ABC πA B C+ = − 2sin( ) sin 2A B C+ = =
A 10sin 10A = 2 3 10cos 1 sin 10A A= − =
2a = 10c = 3 10cos 10A =
2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 2 2 3 102 10 2 10 10b b= + − × ×( ) ( )解得 或
（Ⅰ）当 时， ．
当 时， ．
（Ⅱ）由 ， ， ， ，得
在 中， ，
（17）（本小题 14 分）
解：
（Ⅰ）从所有参与调研的人共有 人，不满意的人数是
记事件 为“从所有参与调研的人中随机选取 人此人不满意”，则所求概率为
.
（Ⅱ）记事件 为“从参与调研的青年人中随机选取 人，此人满意”，则 ;
记事件 为“从参与调研的中年人中随机选取 人，此人满意”，则 ；
则“从参与调研的青年人和中年人各随机选取 人，恰有 人满意”的概率为
（Ⅲ）这种抽样不合理。
理由：参与调研的 名老年人中不满意的人数为 ，满意和一般的总人数为
，说明满意度之间存在较大差异，所以从三种态度的老年中各取 人不合理。
合理的抽样方法是采用分层抽样，根据 ， ， 的具体数值来确定抽样数值。
（18）（本小题 14 分）
证明：
（Ⅰ）取 中点 ，连接 ， ，因为 为 中点， 为 中点，
所以 ，且
又因为 ，且
所以 ，且
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，
ABC△
2b = 4b =
2b = 1 1 10sin 2 10 12 2 10S bc A= = × × × =
4b = 1 1 10sin 4 10 22 2 10S bc A= = × × × =
2a = 10c = 10sin 10A =
sin sin
a c
A C
= 2sin 2C =
πA B C+ = − 2sin( ) sin 2A B C+ = =
300 25 5 10 40+ + =
D 1
40 2( )= =300 15P D
M 1 60 3( )= =140 7P M
N 1 70 7( )= =100 10P N
1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )P M N M N P M P N P M P N+ = ⋅ + ⋅ 3 7 3 7 37= 1 ) 1 )7 10 7 10 70
× − + − × =( (
60 20
50x y+ = 2
x y 10
PA F EF BF E PD F PA
/ /EF AD 1
2EF AD=
/ /BC AD 1
2BC AD=
/ /EF BC EF BC=
BCEF
/ /CE BF
F
BC
E
D A
P因为 平面 平面
所以 平面 .
（Ⅱ）因为 平面 ， 平面
所以
又因为
所以 ，
又 ， 平面
所以 .
（Ⅲ）因为 平面 ， 平面
所以 ，又 ，
以 为原点，如图建立空间直角坐标系 ，
所以
已知平面 的一个法向量 ；
设平面 的法向量 ，则
即 令 ，则 ；
所以平面 的一个法向量为
所以
由图可知二面角 为锐角，所以二面角 的余弦值为 .
（19）（本小题 14 分）
解：（Ⅰ）依题意得 ，
所以椭圆 的方程为
CE ⊄ ,PAB BF ⊂ PAB
// CE PAB
PB ⊥ ABCD AD ⊂ ABCD
PB AD⊥
, // AB BC AD BC⊥
AD AB⊥
AB PB B= AB PB ⊂、 PAB
AD PAB⊥ 平面
PB ⊥ ABCD AB BC ⊂、 ABCD
,PB AB PB BC⊥ ⊥ AB BC⊥
B B xyz−
1 1(0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (1,0,0), (1, , )2 2B P A C E
1 1(0,0,1), (1, 1,0), (0, , )2 2BP AC CE= = − =
ACD (0,0,1)BP =
ACE ( , , )n x y z=
0
0
n AC
n CE
= =
，
0
1 1 02 2
x y
y z
− = + =
， 1x = 1, 1y z= = −
ACE (1,1, 1)n = −
3cos , 3
BP nBP n
BP n
< >= = −
E AC D− − E AC D− − 3
3
2 1a b= =， C
2
2 14
x y+ =
x
y
z
BC
E
D A
P，离心率的大小
（Ⅱ）因为 ， 是 轴上不同的两点，两点的纵坐标互为倒数，
设 ， 坐标为 ， ，则 ，
由 ， 得直线 的方程为
整理得 或
得交点 的纵坐标为
同理交点 的纵坐标为
所以 ，直线 与 轴平行
解法二：
设直线 的方程为 ，直线 的方程为
令 得 ， 坐标为 ，同理 坐标为
因为 ， 是 轴上不同的两点，两点的纵坐标互为倒数，所以
整理得 或
得交点 的纵坐标为
2 2 3c a b= − = 3
2
ce a
= =
M N y
M N (0, )m (0, )n 1n m
= 0, 0m n≠ ≠
(2,0)A M (0, )m AM mxmy +−=
2
2
2 14
2
x y
my x m
+ =
= + −
02)1( 22 =−+ myym 0444)1( 2222 =−+−+ mxmxm
P
1
2
2 +=
m
myP
Q
1
2
1)1(
12
1
2
2
2
2 +=
+
⋅
=+=
m
m
m
m
n
ny Q
0≠= QP yy PQ x
AM )0(2 ≠+= ttyx AN )0(2 ≠+= ssyx
0x = 2−=Mty M 2(0, )t
−
N 2(0, )s
−
M N y 4=st
2
2 14
2
x y
x ty
+ =
= +
04)4( 22 =++ tyyt 041616)4( 222 =−+−+ txxt
P
4
4
2 +
−=
t
tyP同理得
所以 ，直线 与 轴平行.
解法三：
设直线 的方程为 ，直线 的方程为
令 得 坐标为 ，同理 坐标为
因为 ， 是 轴上不同的两点，两点的纵坐标互为倒数，所以
代入椭圆方程得
或
所以
得交点 的纵坐标为
同理得
所以 ，直线 与 轴平行.
（20）（本小题 15 分）
解：（Ⅰ）
由 ， ，得
曲线 在点 处的切线方程为
（Ⅱ）定义域为 R，
令 ，解得
4
4
4)4(
44
4
4
2
2
2 +
−=
+
⋅−
=+
−=
t
t
t
t
s
syQ
0≠= QP yy PQ x
AM 0)2( 11 ≠−= kxky ， AN 0)2( 22 ≠−= kxky ，
0x = M 1(0, 2 )k− N 2(0, 2 )k−
M N y 14 21 =kk
2
2
1
14
( 2)
x y
y k x
+ =
= −
041616)14( 2
1
2
1
22
1 =−+−+ kxkxk 04)14( 1
22
1 =++ ykyk
14
4162 2
1
2
1
+
−=
k
kxP 14
28
2
1
2
1
+
−=
k
kxP
P
14
4)2
14
28( 2
1
1
2
1
2
1
1 +
−=−
+
−⋅=
k
k
k
kkyP
14
4
1)4
14(
4
14
14
4
2
1
1
2
1
1
2
2
2
+
−=
+
−
=
+
−=
k
k
k
k
k
kyQ
0≠= QP yy PQ x
2( ) 6 2f x x ax′ = −
(0) 0f ′ = (0) 2f =
( )y f x= (0, (0))f 2y =
( )2( ) 6 2 2 3f x x ax x x a′ = − = −
( ) 0f x′ = 1 20, 3
ax x= =若 ， ， 在 上单调递增；
若 ，在 上， ， 单调递增，在 上， ，
单调递减，在 上， ， 单调递增；
若 ， 上， ， 单调递增，在 上， ，
单调递减，在 上， ， 单调递增；
（Ⅲ）若 ，函数 的单调减区间为 ，单调递增区间为 .
当 时，即 ，由（Ⅱ）知， 在 上单调递增，在 上单调递减，
则
当 时，即 ， 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
在 处取得极小值
则 ，
若 ，则 ，即
综上，实数 的取值范围为
（21）（本小题 14 分）
解：（Ⅰ）因原数列有 项，经第 次拓展后的项数 ；
经第 次拓展后的项数 .
（Ⅱ）因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，
由数列经第 次拓展后的项数为 ，则经第 次拓展后增加的项数为 ，
所以
所以 ，
由（Ⅰ）知 ，
0a = 2( ) 6 0f x x′ = ≥ ( )f x R
0a > ( ),0−∞ ( ) 0f x′ > ( )f x (0, )3
a ( ) 0f x′ < ( )f x
,3
a +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x
0a < , 3
a −∞ ( ) 0f x′ > ( )f x ( ,0)3
a ( ) 0f x′ < ( )f x
( )0,+∞ ( ) 0f x′ > ( )f x
0a > ( )f x 0, 3
a
( ,0), ,3
a −∞ +∞
13
a ≥ 3a ≥ ( )f x [ 1,0]− [0,1]
max( ) max{| ( 1) |,| (0) |,| (1) |} max{ ,2,| 4 |} 3g x f f f a a= − = − ≥
13
a < 0 3a< < ( )f x [ 1,0]− [ ,1]3
a [0, ]3
a
( )f x 3
ax =
3
( ) 2 03 27
a af = − >
max( ) max{| ( 1) |,| (0) |,| (1) |} max{ ,2,4 }g x f f f a a= − = −
max( ) 3g x ≥ 4 3a− ≥ 0 1a< ≤
a ]( [ )0,1 3,+∞
3 1 1 3 2 5P = + =
2 2 5 4 9P = + =
n nP 1n + 1nP −
1 ( 1) 2 1n n n nP P P P+ = + − = −
1 1 2 2 2( 1)n n nP P P+ − = − = −
1 1 4P − = 1 11 4 2 2n n
nP − +− = ⋅ =所以 ，
由 ，即 ，解得
所以 的最小值为 10．
（Ⅲ）设第 次拓展后数列的各项为
所以
因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加这两项的和，
所以
即
所以 ，
得
由 ，则
若使 为等比数列，则 或
所以， ， ， 满足的条件为 或者 ．
12 1n
nP += +
12 1 2020n
nP += + ≥ 12 2019n+ ≥ 10n ≥
n
n 1 2 3, , , , , ,ma a a a a c
1 2 3n mS a a a a a c= + + + + + +
1 1 1 1 2 2 2 3( ) ( ) ( ) ( )n m mS a a a a a a a a a a a c c+ = + + + + + + + + + + + + +
1 1 22 3 3 3 2n mS a a a a c+ = + + + + +
1 3 ( )n nS S a c+ = − + 1 3( )2 2n n
a c a cS S+
+ +− = −
1
1( ) 32 2
n
n
a c a cS S −+ +− = − ⋅
1 2 3 2S a b c= + + ( ) 32 2
n
n
a c a cS b
+ += + ⋅ +
nS
02
02
a c
a cb
+ = + + ≠
02
02
a cb
a c
+ + = + ≠
a b c 0
0
a c
b
+ =
≠
2 0
0
b a c
b
+ + =
≠
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