2020 年高考数学（4 月份）第一次模拟试卷
一、选择题（共 10 小题）.
1．已知集合 A＝{x|x（x+1）≤0}，集合 B＝{x|﹣1＜x＜1}，则 A∪B＝（ ）
A．{x|﹣1≤x≤1} B．{x|﹣1＜x≤0} C．{x|﹣1≤x＜1} D．{x|0＜x＜1}
2．已知复数 z＝ （其中 i 是虚数单位），则|z|＝（ ）
A． B． C．1 D．2
3．抛物线 x2＝4y 的准线与 y 轴的交点的坐标为（ ）
A． B．（0，﹣1） C．（0，﹣2） D．（0，﹣4）
4．设函数 f（x）＝x+ ﹣2（x＜0），则 f（x）（ ）
A．有最大值 B．有最小值 C．是增函数 D．是减函数
5．已知曲线 C 的方程为 ，则“a＞b”是“曲线C 为焦点在 x 轴上的椭圆”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．一排 6 个座位坐了 2 个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ ）
A．12 B．36 C．72 D．720
7．已知圆 C 与直线 y＝﹣x 及 x+y﹣4＝0 的相切，圆心在直线 y＝x 上，则圆 C 的方程为（ ）
A．（x﹣1）2 +（y﹣1）2 ＝2 B．（x﹣1）2 +（y+1）2 ＝2
C．（x+1）2 +（y﹣1）2 ＝4 D．（x+1）2 +（y+1）2 ＝4
8．已知正项等比数列{an}中，a1a5a9＝27，a6 与 a7 的等差中项为 9，则 a10＝（ ）
A．729 B．332 C．181 D．96
9．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的 2
倍，若荷叶 20 天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长
了（ ）
A．10 天 B．15 天 C．19 天 D．2 天
10．某学校高三教师周一、周二、周三坐地铁上班的人数分别是 8，10，14，若这三天中至少
有一天开车上班的职工人数是 20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5二、填空题共 5 题，每题 5 分，共 25 分．
11．设向量 ， 不平行，向量 λ + 与 +2 平行，则实数 λ＝ ．
12．已知角 α 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，将角 α 的终边按逆时针方向旋
转 后经过点（﹣1， ），则 sinα＝ ．
13．某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为 ．
14．若顶点在原点的抛物线经过四个点（1，1）， ，（2，1），（4，2）中的 2 个
点，则该抛物线的标准方程可以是 ．
15．某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为 y，观影人数记为 x，其函
数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图
（2）、图（3）中的实线分别为调整后 y 与 x 的函数图象．
给出下列四种说法：
①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；
②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；
③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；
④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．
其中，正确的说法是 ．（填写所有正确说法的编号）
三、解答题16．如图 1，在△ABC 中，D，E 分别为 AB，AC 的中点，O 为 DE 的中点，AB＝AC＝2 ，
BC＝4．将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置，使得平面 A1DE⊥平面 BCED，如图．
（Ⅰ）求证：A1O⊥BD；
（Ⅱ）求直线 A1C 和平面 A1BD 所成角的正弦值；
17．在①b2+ ac＝a2+c2，②acosB＝bsinA，③sinB+cosB＝ ，这三个条件中任选一个，
补充在下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，
c，_______，A＝ ，b＝ ，求△ABC 的面积．
18．为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，
现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30 天）的快递件数记录结果中
随机抽取 10 天的数据，制表如图：
每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件 4.5 元；乙公司
规定每天 35 件以内（含 35 件）的部分每件 4 元，超出 35 件的部分每件 7 元．
（Ⅰ）根据表中数据写出甲公司员工 A 在这 10 天投递的快递件数的平均数和众数；
（Ⅱ）为了解乙公司员工 B 的每天所得劳务费的情况，从这 10 天中随机抽取 1 天，他所
得的劳务费记为 X（单位：元），求 X 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．
19．已知函数 f（x）＝lnx﹣ ．
（1）若曲线 y＝f（x）存在斜率为﹣1 的切线，求实数 a 的取值范围；
（2）求 f（x）的单调区间；
（3）设函数 g（x）＝ ，求证：当﹣1＜a＜0 时，g（x）在（1，+∞）上存在极小值．
20．已知椭圆 C：x2+3y2＝6 的右焦点为 F．
（Ⅰ）求点 F 的坐标和椭圆 C 的离心率；
（Ⅱ）直线 l：y＝kx+m（k≠0）过点 F，且与椭圆 C 交于 P，Q 两点，如果点 P 关于 x 轴
的对称点为 P′，判断直线 P'Q 是否经过 x 轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如
果不经过，说明理由．
21．各项均为非负整数的数列{an}同时满足下列条件：
①a1＝m（m∈N*）；②an≤n﹣1（n≥2）；③n 是 a1+a2+…+an 的因数（n≥1）．
（Ⅰ）当 m＝5 时，写出数列{an}的前五项；
（Ⅱ）若数列{an}的前三项互不相等，且 n≥3 时，an 为常数，求 m 的值；
（Ⅲ）求证：对任意正整数 m，存在正整数 M，使得 n≥M 时，an 为常数．参考答案
一、选择题共 10 题，每题 4 分，共 40 分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的
一项．
1．已知集合 A＝{x|x（x+1）≤0}，集合 B＝{x|﹣1＜x＜1}，则 A∪B＝（ ）
A．{x|﹣1≤x≤1} B．{x|﹣1＜x≤0} C．{x|﹣1≤x＜1} D．{x|0＜x＜1}
【分析】先求出集合 A，集合 B，由此能求出 A∪B．
解：∵集合 A＝{x|x（x+1）≤0}＝{x|﹣1≤x≤0}，
集合 B＝{x|﹣1＜x＜1}，
∴A∪B＝{x|﹣1≤x＜1}．
故选：C．
2．已知复数 z＝ （其中 i 是虚数单位），则|z|＝（ ）
A． B． C．1 D．2
【分析】利用复数模长的性质即可求解．
解：∵复数 z＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
故选：A．
3．抛物线 x2＝4y 的准线与 y 轴的交点的坐标为（ ）
A． B．（0，﹣1） C．（0，﹣2） D．（0，﹣4）
【分析】利用抛物线 x2＝4y 的准线方程为 y＝﹣1，即可求出抛物线 x2＝4y 的准线与 y 轴
的交点的坐标．
解：抛物线 x2＝4y 的准线方程为 y＝﹣1，
∴抛物线 x2＝4y 的准线与 y 轴的交点的坐标为（0，﹣1），
故选：B．
4．设函数 f（x）＝x+ ﹣2（x＜0），则 f（x）（ ）
A．有最大值 B．有最小值 C．是增函数 D．是减函数【分析】根据 x＜0 即可根据基本不等式得出 ，从而可得出 f（x）≤﹣4，并且 x
＝﹣1 时取等号，从而得出 f（x）有最大值，没有单调性，从而得出正确的选项．
解：∵x＜0，
∴ ，当且仅当 ，即 x＝﹣1 时取等号，
∴f（x）有最大值，
∴f（x）在（﹣∞，0）上没有单调性．
故选：A．
5．已知曲线 C 的方程为 ，则“a＞b”是“曲线C 为焦点在 x 轴上的椭圆”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据椭圆方程的特点，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
解：若 a＞b＞0，则对应的曲线为双曲线，不是椭圆，即充分性不成立，
若曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆，则满足 a＞﹣b＞0，即 a＞0，b＜0，满足 a＞b，即必要
性成立，
即“a＞b”是“曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆”的必要不充分条件，
故选：B．
6．一排 6 个座位坐了 2 个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ ）
A．12 B．36 C．72 D．720
【分析】根据题意，由捆绑法分析：先将 2 个三口之家的成员进行全排列，再对 2 个三口
之家整体进行全排列，由分步计数原理计算可得答案．
解：根据题意，先将 2 个三口之家的成员进行全排列，有 ＝36 种情况，
再对 2 个三口之家整体进行全排列，有 ＝2 种情况，
则有 36×2＝72 种不同的坐法；
故选：C．
7．已知圆 C 与直线 y＝﹣x 及 x+y﹣4＝0 的相切，圆心在直线 y＝x 上，则圆 C 的方程为（ ）
A．（x﹣1）2 +（y﹣1）2 ＝2 B．（x﹣1）2 +（y+1）2 ＝2
C．（x+1）2 +（y﹣1）2 ＝4 D．（x+1）2 +（y+1）2 ＝4【分析】根据圆心在直线 y＝x 上，设出圆心坐标为（a，a），利用圆 C 与直线 y＝﹣x 及
x+y﹣4＝0 的相切，求得圆心坐标，再求圆的半径，可得圆的方程．
解：圆心在 y＝x 上，设圆心为（a，a），
∵圆 C 与直线 y＝﹣x 及 x+y﹣4＝0 的相切，
∴圆心到两直线 y＝﹣x 及 x+y﹣4＝0 的距离相等，
即： ⇒a＝1，
∴圆心坐标为（1，1），R＝ ＝ ，
圆 C 的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．
故选：A．
8．已知正项等比数列{an}中，a1a5a9＝27，a6 与 a7 的等差中项为 9，则 a10＝（ ）
A．729 B．332 C．181 D．96
【分析】正项等比数列{an}的公比设为 q，q＞0，运用等差数列的中项性质和等比数列的通
项公式及性质，解方程可得公比 q，再由等比数列的通项公式计算可得所求值．
解：正项等比数列{an}的公比设为 q，q＞0，
由 a1a5a9＝27，可得 a53＝27，即 a5＝3，即 a1q4＝3，①
a6 与 a7 的等差中项为 9，可得 a6+a7＝18，即 a1q5+a1q6＝18，②
①②相除可得 q2+q﹣6＝0，解得 q＝2（﹣3 舍去），
则 a10＝a5q5＝3×32＝96．
故选：D．
9．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的 2
倍，若荷叶 20 天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长
了（ ）
A．10 天 B．15 天 C．19 天 D．2 天
【分析】由题意设荷叶覆盖水面的初始面积，再列出解析式，并注明 x 的范围，列出方程
求解即可．
解：设荷叶覆盖水面的初始面积为 a，则 x 天后荷叶覆盖水面的面积 y＝a•2x（x∈N+），
根据题意，令 2（a•2x）＝a•220，解得 x＝19，
故选：C．
10．某学校高三教师周一、周二、周三坐地铁上班的人数分别是 8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是 20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【分析】设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为 A，B，C，集合 A，B，C
中元素个数分别为 n（A），n（B），n（C），根据 n（A∪B∪C）＝n（A）+n（B）+n
（C）﹣n（A∩B）﹣n（A∩C）﹣n（B∩C）+n（A∩B∩C），且 n（A∩B）≥n（A∩B
∩C），n（A∩C）≥n（A∩B∩C），n（B∩C）≥n（A∩B∩C）可得．
解：设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为 A，B，C，集合 A，B，C 中
元素个数分别为 n（A），n（B），n（C），
则 n（A）＝14，n（B）＝10，n（C）＝8，n（A∪B∪C）＝20，
因为 n（A∪B∪C）＝n（A）+n（B）+n（C）﹣n（A∩B）﹣n（A∩C）﹣n（B∩C）+n
（A∩B∩C），且 n（A∩B）≥n（A∩B∩C），n（A∩C）≥n（A∩B∩C），n（B∩C）≥
n（A∩B∩C），
所以 14+10+8﹣20+n（A∩B∩C）≥3n（A∩B∩C），即 n（A∩B∩C）≤ ＝
6．
故选：C．
二、填空题共 5 题，每题 5 分，共 25 分．
11．设向量 ， 不平行，向量 λ + 与 +2 平行，则实数 λ＝ ．
【分析】利用向量平行的条件直接求解．
解：∵向量 ， 不平行，向量 λ + 与 +2 平行，
∴λ + ＝t（ +2 ）＝ ，
∴ ，解得实数 λ＝ ．
故答案为： ．12．已知角 α 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，将角 α 的终边按逆时针方向旋
转 后经过点（﹣1， ），则 sinα＝ 1 ．
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，先求得 α 的值，可得 sinα 的值．
解：∵角 α 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，将角 α 的终边按逆时针方向旋
转 后经过点（﹣1， ），
∴tan（α+ ）＝ ＝﹣ ，故 α+ 为第二象限角．
∴可令 α+ ＝ ，此时，α＝ ，sinα＝1，
故答案为：1．
13．某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为 ．
【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的体积．
解：几何体的直观图如图：是长方体的一部分，
长方体的棱长为：2，1，2，
四棱锥的体积为： ×1×2×2＝ ．
故答案为： ．
14．若顶点在原点的抛物线经过四个点（1，1）， ，（2，1），（4，2）中的 2 个
点，则该抛物线的标准方程可以是 x2＝8y 或 y2＝x ．【分析】由题意可设抛物线方程为 y2＝2px（p＞0）或 x2＝2py（p＞0），然后分类求解得
答案．
解：由题意可得，抛物线方程为 y2＝2px（p＞0）或 x2＝2py（p＞0）．
若抛物线方程为 y2＝2px（p＞0），代入（1，1），得 p＝ ，
则抛物线方程为 y2＝x，此时（4，2）在抛物线上，符合题意；
若抛物线方程为 x2＝2py（p＞0），代入（2，1），得 p＝2，
则抛物线方程为 x2＝8y，此时（2， ）在抛物线上，符合题意．
∴抛物线的标准方程可以是 x2＝8y 或 y2＝x．
故答案为：x2＝8y 或 y2＝x．
15．某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为 y，观影人数记为 x，其函
数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图
（2）、图（3）中的实线分别为调整后 y 与 x 的函数图象．
给出下列四种说法：
①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；
②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；
③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；
④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．
其中，正确的说法是 ②③ ．（填写所有正确说法的编号）
【分析】解题的关键是理解图象表示的实际意义，进而得解．
解：由图可知，点 A 纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价，
故图（2）降低了成本，但票价保持不变，即②对；图（3）成本保持不变，但提高了票价，
即③对；
故选：②③．
三、解答题共 6 题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．如图 1，在△ABC 中，D，E 分别为 AB，AC 的中点，O 为 DE 的中点，AB＝AC＝2 ，
BC＝4．将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置，使得平面 A1DE⊥平面 BCED，如图．
（Ⅰ）求证：A1O⊥BD；
（Ⅱ）求直线 A1C 和平面 A1BD 所成角的正弦值；
【分析】（Ⅰ）推导出 A1O⊥DE，从而 A1O⊥平面 BCDE，由此能证明 A1O⊥BD．
（Ⅱ）以 O 为原点，在平面 BCED 中过点 O 作 DE 的垂线为 x 轴，以 OE 为 y 轴，OA1 为
z 轴，建立空间直角坐标系，由此能求出直线 A1C 和平面 A1BD 所成角的正弦值．
解：（Ⅰ）证明：∵在△ABC 中，D，E 分别为 AB，AC 的中点，
O 为 DE 的中点，AB＝AC＝2 ，BC＝4．
∴A1O⊥DE，
∵将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置，使得平面 A1DE⊥平面 BCED，
∴A1O⊥平面 BCDE，
∵BD⊂平面 BCDE，∴A1O⊥BD．
（Ⅱ）解：以 O 为原点，在平面 BCED 中过点 O 作 DE 的垂线为 x 轴，
以 OE 为 y 轴，OA1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，
A1（0，0，2），C（2，2，0），B（2，﹣2，0），D（0，﹣1，0），
＝（2，2，﹣2）， ＝（2，﹣1，0）， ＝（0，1，2），
设平面 A1BD 的法向量为 ＝（x，y，z），
则 ，取 x＝1，得 ＝（1，2，﹣1），
设直线 A1C 和平面 A1BD 所成角为 θ，
则直线 A1C 和平面 A1BD 所成角的正弦值为：
sinθ＝ ＝ ＝ ．17．在①b2+ ac＝a2+c2，②acosB＝bsinA，③sinB+cosB＝ ，这三个条件中任选一个，
补充在下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，
c，_______，A＝ ，b＝ ，求△ABC 的面积．
【分析】取① ，由余弦定理可得 cosB＝ 进而解得 B，C 的大小也
可得出，再由正弦定理可得 a，最后利用三角形的面积公式计算即可得出；
取②acosB＝bsinA，由正弦定理可得：tanB＝1，B∈（0，π），解得 B，可得 sinC＝sin
（A+B），由正弦定理可得：a，利用三角形面积计算公式即可得出；
取③ ，可得 ，由此可求出 B 的大小，C 的大小也可
得出，再由正弦定理可得 a，最后利用三角形的面积公式计算即可得出；
解：（1）若选择① ，
由余弦定理 ，……………
因为 B∈（0，π），所以 ；……………………
由正弦定理 ，得 ，……………
因为 ， ，所以 ，……………
所以 ………
所以 ．……………
（2）若选择②acosB＝bsinA，则 sinAcosB＝sinBsinA，……………
因为 sinA≠0，所以 sinB＝cosB，……………因为 B∈（0，π），所以 ；……………
由正弦定理 ，得 ，……………
因为 ， ，所以 ，……………
所以 ，…
所以 ．……………
（3）若选择③ ，
则 ，所以 ，……………
因为 B∈（0，π），所以 ，
所以 ，所以 ；……………
由正弦定理 ，得 ，……………
因为 ， ，所以 ，……………
所以 ，………
18．为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，
现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30 天）的快递件数记录结果中
随机抽取 10 天的数据，制表如图：
每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件 4.5 元；乙公司
规定每天 35 件以内（含 35 件）的部分每件 4 元，超出 35 件的部分每件 7 元．
（Ⅰ）根据表中数据写出甲公司员工 A 在这 10 天投递的快递件数的平均数和众数；
（Ⅱ）为了解乙公司员工 B 的每天所得劳务费的情况，从这 10 天中随机抽取 1 天，他所得的劳务费记为 X（单位：元），求 X 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．
【分析】（Ⅰ）由茎叶图能求出甲公司员工 A 投递快递件数的平均数和众数．
（Ⅱ）由题意能求出 X 的可能取值为 136，147，154，189，203，分别求出相对应的概率，
由此能求出 X 的分布列和数学期望．
（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结果能估算算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．
解：（Ⅰ）甲公司员工 A 投递快递件数的平均数为：
＝ （32+33+33+38+35+36+39+33+41+40）＝36，
众数为 33．
（Ⅱ）设 a 为乙公司员工 B 投递件数，则
当 a＝34 时，X＝136 元，当 a＞35 时，X＝35×4+（a﹣35）×7 元，
∴X 的可能取值为 136，147，154，189，203，
P（X＝136）＝ ，
P（X＝147）＝ ，
P（X＝154）＝ ，
P（X＝189）＝ ，
P（X＝203）＝ ，
X 的分布列为：
X 136 147 154 189 203
P
＝ ．
（Ⅲ）根据图中数据，由（Ⅱ）可估算：
甲公司被抽取员工该月收入＝36×4.5×30＝4860 元，
乙公司被抽取员工该月收入＝165.5×30＝4965 元．
19．已知函数 f（x）＝lnx﹣ ．（1）若曲线 y＝f（x）存在斜率为﹣1 的切线，求实数 a 的取值范围；
（2）求 f（x）的单调区间；
（3）设函数 g（x）＝ ，求证：当﹣1＜a＜0 时，g（x）在（1，+∞）上存在极小
值．
【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为 x2+x+a＝0 存在大于 0 的实数根，根据 y＝
x2+x+a 在 x＞0 时递增，求出 a 的范围即可；
（2）求出函数 f（x）的导数，通过讨论 a 的范围，判断导函数的符号，求出函数的单调
区间即可；
（3）求出函数 g（x）的导数，根据 f（e）＝﹣ ＞0，得到存在 x0∈（1，e）满足 g′
（x0）＝0，从而得到函数的单调区间，求出函数的极小值，证出结论即可．
解：（1）由 f（x）＝lnx﹣ ﹣1 得：
f′（x）＝ ，（x＞0），
由已知曲线 y＝f（x）存在斜率为﹣1 的切线，
∴f′（x）＝﹣1 存在大于 0 的实数根，
即 x2+x+a＝0 存在大于 0 的实数根，
∵y＝x2+x+a 在 x＞0 时递增，
∴a 的范围是（﹣∞，0）；
（2）由 f′（x）＝ ，（x＞0），
得：a≥0 时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）递增；
a＜0 时，若 x∈（﹣a，+∞）时，f′（x）＞0，
若 x∈（0，﹣a），则 f′（x）＜0，
故 f（x）在（﹣a，+∞）递增，在（0，﹣a）递减；
（3）由 g（x）＝ 及题设得：
g′（x）＝ ＝ ，
由﹣1＜a＜0，得：0＜﹣a＜1，
由（2）得：f（x）在（﹣a，+∞）递增，∴f（1）＝﹣a﹣1＜0，取 x＝e，显然 e＞1，
f（e）＝﹣ ＞0，
∴存在 x0∈（1，e）满足 f（x0）＝0，
即存在 x0∈（1，e）满足 g′（x0）＝0，
令 g′（x）＞0，解得：x＞x0，
令 g′（x）＜0，解得：1＜x＜x0，
故 g（x）在（1，x0）递减，在（x0，+∞）递增，
∴﹣1＜a＜0 时，g（x）在（1，+∞）存在极小值．
20．已知椭圆 C：x2+3y2＝6 的右焦点为 F．
（Ⅰ）求点 F 的坐标和椭圆 C 的离心率；
（Ⅱ）直线 l：y＝kx+m（k≠0）过点 F，且与椭圆 C 交于 P，Q 两点，如果点 P 关于 x 轴
的对称点为 P′，判断直线 P'Q 是否经过 x 轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如
果不经过，说明理由．
【分析】（I）由椭圆的标准方程即可得出；
（II）直线 l：y＝kx+m（k≠0）过点 F，可得 l：y＝k（x﹣2）．代入椭圆的标准方程可得：
（3k2+1）x2﹣12k2x+12k2﹣6＝0．（依题意△＞0）．
设 P（x1，y1），Q（x2，y2），可得根与系数的关系．点 P 关于 x 轴的对称点为 P'，则 P'
（ x1 ， ﹣ y1 ） ． 可 得 直 线 P'Q 的 方 程 可 以 为 ， 令 y ＝ 0 ，
，把根与系数的关系代入化简即可得出．
解：（Ⅰ）∵椭圆 C： ，
∴c2＝a2﹣b2＝4，解得 c＝2，
∴焦点 F（2，0），离心率 ．
（Ⅱ）直线 l：y＝kx+m（k≠0）过点 F，
∴m＝﹣2k，
∴l：y＝k（x﹣2）．由 ，得（3k2+1）x2﹣12k2x+12k2﹣6＝0．（依题意△＞0）．
设 P（x1，y1），Q（x2，y2），
则 ， ．
∵点 P 关于 x 轴的对称点为 P'，则 P'（x1，﹣y1）．
∴直线 P'Q 的方程可以设为 ，
令 y＝0，
＝
＝
＝ ＝3．
∴直线 P'Q 过 x 轴上定点（3，0）．
21．各项均为非负整数的数列{an}同时满足下列条件：
①a1＝m（m∈N*）；②an≤n﹣1（n≥2）；③n 是 a1+a2+…+an 的因数（n≥1）．
（Ⅰ）当 m＝5 时，写出数列{an}的前五项；
（Ⅱ）若数列{an}的前三项互不相等，且 n≥3 时，an 为常数，求 m 的值；
（Ⅲ）求证：对任意正整数 m，存在正整数 M，使得 n≥M 时，an 为常数．
【分析】（Ⅰ）当 m＝5 时，写出数列{an}的前五项；
（Ⅱ）对 a2、a3 分类取值，再结合各项均为非负整数列式求 m 的值；
（Ⅲ）令 Sn＝a1+a2+…+an，则 ．进一步推得存
在正整数 M＞m，当 n＞M 时，必有 成立．再由 成立证明 an 为常
数．
【解答】（Ⅰ）解：m＝5 时，数列{an}的前五项分别为：5，1，0，2，2．（Ⅱ）解：∵0≤an≤n﹣1，∴0≤a2≤1，0≤a3≤2，
又数列{an}的前 3 项互不相等，
（1）当 a2＝0 时，
若 a3＝1，则 a3＝a4＝a5＝…＝1，
且对 n≥3， 都为整数，∴m＝2；
若 a3＝2，则 a3＝a4＝a5＝…＝2，
且对 n≥3， 都为整数，∴m＝4；
（2）当 a2＝1 时，
若 a3＝0，则 a3＝a4＝a5＝…＝0，
且对 n≥3， 都为整数，∴m＝﹣1，不符合题意；
若 a3＝2，则 a3＝a4＝a5＝…＝2，
且对 n≥3， 都为整数，∴m＝3；
综上，m 的值为 2，3，4．
（Ⅲ）证明：对于 n≥1，令 Sn＝a1+a2+…+an，
则 ．
又对每一个 n， 都为正整数，∴ ，其中“＜”至多出现 m﹣
1 个．
故存在正整数 M＞m，当 n＞M 时，必有 成立．
当 时，则 ．
从而 ．
由题设知 ，又 及 an+1 均为整数，
∴ ＝an+1＝ ，故 ＝常数．
从而 ＝常数．
故存在正整数 M，使得 n≥M 时，an 为常数．
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