淮安市高中教学协作体 2019—2020 学年度第一学期期中考试
高二数学试卷
考试时间为 120 分钟,满分 150 分
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题所给出的四个选项中,
只有一项是正确的,请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上)
1. 命题“ , ”的否定为 ( )
A. , B. ,
C. , D. ,
2.“ ”是“ ”的 条件. ( )
A.充分不必要条件; B.必要不充分条件
C.充要条件; D.既不充分也不必要条件
3.不等式 的解集为 ( )
A、 B、 C、 D、
4.已知等比数列 中, , ,则 等于 ( )
A、 B、4 C、 D、不确定
5.下列命题正确的是 ( )
A.若 ,则 B.若 ,则
C.若 ,则 D.若 ,则
6.下列命题正确的个数为 ( )
(1)已知定点 满足 ,动点 满足 ,则动点 的轨迹是椭圆;
(2)已知定点 满足 ,动点 满足 ,则动点 的轨迹是
一条射线;
(3)当 时,曲线 : 表示椭圆;
(4)曲线方程 的化简结果为 .
[ ]1,3x∀ ∈ − 2 3 2 0x x− + ≤
[ ]0 1,3x∃ ∈ − 2
0 03 2 0x x− + > [ ]1,3x∀ ∉ − 2 3 2 0x x− + >
[ ]1,3x∀ ∈ − 2 3 2 0x x− + > [ ]0 1,3x∃ ∉ − 2
0 03 2 0x x− + >
M N< 3 3log logM N<
(2 )(1 ) 0x x+ − >
( , 2) (1, )−∞ − +∞ ( 2,1)− ( , 1) (2, )−∞ − +∞ ( 1,2)−
{ }na 1 0a < 3 7 16a a = 5a
4± 4−
bcac > ba > 22 ba > ba >
ba
11 > ba < ba < ba <
1 2,F F 1 2 8F F = P 1 2 8PF PF+ = P
1 2,F F 1 2 8F F = M 1 2 8MF MF− = M
1 4k< < C
2 2
14 1
x y
k k
+ =− −
2 2 2 2+ 4) + 4) 10x y x y+ + − =( (
2 2
125 9
y x+ =A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个
7.若 分别是双曲线 的左、右焦点, 为双曲线 上一点,且 ,
则 的长为 ( )
A. B. 或 C. D.
8. 已知 、 分别为椭圆 的左、右焦点,
过 的直线 交椭圆 于 两点.若 周长是 ,则该椭圆方程是( )
A. B.
C. D.
9. 已知等差数列 的前 项和为 ,若 , ,则 等于( )
A.2 B.3 C.4 D.8
10. 已知等差数列 中,首项为 ( ),公差为 ,前 项和为 ,
且满足 ,则实数 的取值范围是 ( )
A. ; B. C. D.
二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共计 30 分.不需要写出解答过程,请将答案填
写在答题卡相应的位置上.)
11.若双曲线 的焦距为 8,点 在其渐近线上,则双曲线 的方程
为
12.设 为等差数列 的前 项和,若 ,则
13.已知椭圆 ,长轴在 轴上.若焦距为 ,则 等于
1 2,F F
2 2
116 20
x y− = P C 1 9PF =
2PF
1 17 1 17 12
1( 2,0)F − 2 ( 2,0)F
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
1F l C ,A B 2ABF∆ 4 3
2
2 13
x y+ =
2 2
13 2
x y+ =
2 2
112 10
x y+ =
2 2
14 3
x y+ =
{ }na n nS 15 30S = 10 4a = 9a
}{ na 1a 01 ≠a d n nS
01551 =+Sa d
[ 3, 3]− ( , 3]−∞ − [ 3, )+∞ ( , 3] [ 3, )−∞ − +∞
2 2
2 2: 1x yC a b
− = (1, 3)M C
nS { }na n 5
3
5
9
a
a
= 9
5
S
S
=
2 2
110 2
x y
m m
+ =− −
y 2 2 m14. 若函数 ,则该函数的最小值为
15. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 , 是短轴的一个端点
若 为钝角,则椭圆离心率的取值范围是 .
16.已知数列 ,记数列 的前 项和为 ,若对任意的 ,
恒成立,则实数 的取值范围
三、解答题(本大题共 5 小题,12 分+12 分+14 分+16 分+16 分,共计 70 分.请在答题纸指定
区域内作答,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分 12 分)
已知等差数列 中, , .
(1)求 , ;
(2)设 ,求数列 的前 项和 .
18.(本小题满分 12 分)
设数列 的前 项和为 ,数列 为等比数列,且 , .
(1)求数列 和 的通项公式;
(2)设 ,求数列 的前 项和 .
9 , ( 2, )2y x xx
= + ∈ − +∞+
)0(12
2
2
2
>>=+ bab
y
a
x
21, FF P
21PFF∠
3n
na = { }na n nT *n N∈
3( ) 3 62nT k n+ ≥ − k
{ }na 3 8a = 6 17a =
1a d
12n
n nb a −= + { }nb n nS
{ }na n 2
nS n= { }nb 1 1a b= 2 2 1 1( )b a a b− =
{ }na { }nb
n
n
n
ac b
= { }nc n nT19.(本小题满分 14 分)
(1)解不等式:
(2)若关于 的不等式 的解集为 ,求实数 的取值范围;
(3)若对一切 ,均有 成立,求实数 的取值范围.
20. (本小题满分 16 分)
如图,在平面直角坐标系 中, 是椭圆 的右顶点, 是上顶点,
是左焦点, 为线段 上一点,且 .
(1)若椭圆的离心率为 ,且 的面积为 ,求椭圆的方程;
(2)若直线 与直线 的交点 恰在椭圆上,求椭圆的离心率 .
2 1 13
x
x
+ ≥−
x 2 3 0ax ax+ − < R a
1x > 2 2 8 ( 2) 15x x m x m− − ≥ + − − m
xOy A
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > B
F D AB 2AD DB=
1
2 ABF∆ 6 3
DO BF C e
A x
y
O
B
F
C
DC
x
A D
B
60
21. (本小题满分 16 分)
某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边成角为 (如图),考虑到防洪
堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为 平方米,且高度不低于
米.记防洪堤横断面的腰长为 (米),外周长(梯形的上底线段 与两腰长的和)为
(米).
⑴求 关于 的函数关系式,并指出其定义域;
⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过 14 米,则其腰长 应在什么范围内?
⑶当防洪堤的腰长 为多少米时,堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即断面的外周长最
小)?求此时外周长的值.
60
16 3 2 3
x BC y
y x
x
x淮安市高中教学协作体 2019—2020 学年度第一学期期中考试
高二数学试卷参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.)
1.A 2.B 3. B 4. C 5. D 6.C 7. C 8. A 9. B 10. D
二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共计 30 分.
11. ; 12. 1; 13.7; 14. 4; 15. ; 16. 或 .
三、解答题(本大题共 5 小题,12 分+12 分+14 分+16 分+16 分,共计 70 分.请在答题纸指定
区域内作答,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分 12 分)
已知等差数列 中, , .
(1)求 , ;(2)设 ,求数列 的前 项和 .
解:(1)由 …………2 分
可解得: , . ……………6 分
(2)由(1)可得 ,所以 , …………8 分
所以 …………12 分
18. (本小题满分 12 分)
设数列 的前 项和为 ,数列 为等比数列,且 , .
(1)求数列 和 的通项公式;(2)设 ,求数列 的前 项和 .
解:(1)当 时, ,
当 时, ,
所以 , , ………………3 分
设数列 的公比为 ,因为 ,所以 ,
2 2
14 12
x y− = 2( ,1)2
2
27k ≥ 2[ , )27
+∞
{ }na 3 8a = 6 17a =
1a d 12n
n nb a −= + { }nb n nS
3 1
6 1
2 8
5 17
a a d
a a d
= + =
= + =
1 2a = 3d =
3 1na n= − 13 1 2n
nb n −= − +
2[2 (3 1)] 1 2 3 2 12 1 2 2
n
n
n
n n n nS
+ − − += + = + −−
{ }na n 2
nS n= { }nb 1 1a b= 2 2 1 1( )b a a b− =
{ }na { }nb n
n
n
ac b
= { }nc n nT
1n = 1 1 1a S= =
2n ≥ 2 2
1 ( 1) 2 1n n na S S n n n−= − = − − = −
1
1
,( 1) 1,( 1) 2 1,( 2) 2 1,( 2)n
n n
S n na nS S n n n−
= = = = = − − ≥ − ≥ *n N∈
{ }nb q 1 1a b= 1 1b =因为 ,所以 , ,
所以 ,所以 , ……………………6 分
(2) ,所以
………8 分
又
两式相减得 ………10 分
,所以 ………12 分
19.(本小题满分 14 分)
(1)解不等式:
(2)若关于 的不等式 的解集为 ,求实数 的取值范围;
(3)若对一切 ,均有 成立,求实数 的取值范围.
解:(1)原不等式等价于 , ……………2 分
等价于 , 所以原不等式的解集为 .……4 分
(2)当 时,原不等式是 ,恒成立,符合题意; …………………5 分
当 时,不等式 是二次不等式,结合二次函数图象,得
,即 ,解得 , …………………7 分
综上所述,实数 的取值范围是 …………………8 分
(3)不等式可等价转化为 对 恒成立,
2 2 1 1( )b a a b− = 2 (3 1) 1b − = 2
1
2b =
1
2q = 11( )2
n
nb −= *n N∈
1
1
2 1 (2 1) 21( )2
nn
n
nn
a nc nb
−
−
−= = = − ⋅
1 2 3 1n n nT c c c c c−= + + + + +
0 1 2 2 11 2 3 2 5 2 (2 3) 2 (2 1) 2n n
nT n n− −= × + × + × + + − ⋅ + − ⋅
1 2 3 12 1 2 3 2 5 2 (2 3) 2 (2 1) 2n n
nT n n−= × + × + × + + − ⋅ + − ⋅
0 1 2 2 11 2 (2 1)2 2 [2 2 2 2 ]n n n
nT n − −− = × − − + × + + + +
12(1 2 )1 (2 1)2 2 1 2
n
n
nT n
−−− = − − + × −
11 (2 1)2 4(2 1)n nn −= − − + −
3 (2 1)2 2 2 3 (3 2 )2n n n
nT n n− = − − − + × = − + − 3 (2 3)2n
nT n= + −
2 1 13
x
x
+ ≥−
x 2 3 0ax ax+ − < R a
1x > 2 2 8 ( 2) 15x x m x m− − ≥ + − − m
4 03
x
x
+ ≥−
( )( )4 3 0
3 0
x x
x
+ − ≥
− ≠
{ }4 3x x x≤ − >或
0a = 3 0− <
0a ≠ 2 3 0ax ax+ − <
0
0
a 4 4( 1) 2 2 ( 1) 2 2( 1) 1x xx x
− + − ≥ − − =− −
3x = min( ) 2g x =
2m ≤ m ( ,2]−∞
xOy A
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > B
F D AB 2AD DB=
1
2 ABF∆ 6 3
DO BF C e
( ,0)F c− 2 2c a b= −
1
2
1
2
c
a
= 2a c=
ABF∆ 6 3 1 ( ) 6 32 a c b+ = 4 3bc =
2 2 3b a c c= − = 2 4c = 2c = 4, 2 3a b= =
2 2
116 12
x y+ =
(0, )B b ( ,0)F c− :BF 1x y
c b
+ =−
A x
y
O
B
F
C
DC
x
A D
B
60
∵ , 且 ,∴
∴ ,得 , ……………10 分
∴直线 , ………………………………………12 分
联立方程组 ,解得 ,所以 ,………14 分
∵点 恰在椭圆上,∴ ,即 ,
化简得 ,即 ,
又 , ∴ …………16 分
21. (本小题满分 16 分)
某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边成角为 (如图),考虑到防洪
堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为 平方米,且高度不低于
米.记防洪堤横断面的腰长为 (米),外周长(梯形的上底线段 与两腰长的和)为
(米).
⑴求 关于 的函数关系式,并指出其定义域;
⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过 14 米,则其腰长 应在什么范围内?
⑶当防洪堤的腰长 为多少米时,堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即断面的外周长最
小)?求此时外周长的值.
解:⑴∵ ,∴ , ,
( ,0)A a (0, )B b 2AD DB= 2( )OD OA OB OD− = −
2 1 2( , )3 3 3 3
a bOD OA OB= + = 2( , )3 3
a bD
:DO 2
by xa
=
1
2
x y
c b
by xa
+ =−
=
2
2
2
acx a c
bcy a c
− = − − = −
2( , )2 2
ac bcC a c a c
− −
− −
C
2 2
2 2
2( ) ( )2 2 1
ac bc
a c a c
a b
− −
− −+ =
2 2
2 2
4 1(2 ) (2 )
c c
a c a c
+ =− −
2 2 0c ac a+ − = 2 1 0e e+ − =
(0,1)e∈ 5 1
2e
−=
60
16 3 2 3
x BC y
y x
x
x
xBCy 2+= xyBC 2−= xyxBCxAD −=++=
22
3
2h x=,
, , …………………4 分
又∵ ,∴ ,
∴ ; ……………………6 分
⑵ 得 ,
∵ , ∴腰长 的范围是 . …………………10 分
⑶∵ ,
∴ ,当且仅当 即 时等号成立.
∴外周长的最小值为 米,此时腰长为 米. …………………16 分.
1 1 316 3 ( ) ( 2 )2 2 2AD BC h y x y x x= + = − + −
22 3 64yx x− = 32 3
2
xy x
= +
3 2 32
322 02
h x
xBC y x x
= ≥
= − = − >
4 8x≤ <
32 3 ,( [4,8))2
xy xx
= + ∈
32 3 142
xy x
= + ≤ 164 3x≤ ≤
16[4, ] [4,8)3
⊆ x 16[4, ]3
[4,8)x∈
32 3 32 32 8 32 2
x xy x x
= + ≥ ⋅ = 32 3
2
x
x
= 8 [4,8)
3
x = ∈
8 3 8 33