涟水县第一中学 2019-2020 高三第二次月考
高三文科数学试题
2019.12.15
一、填空题（共 14 题，每题 5 分，合计 70 分）
1.已知集合 ， ，则 ___
2.复数 （ 是虚数单位）的共轭复数为
3.已知 ， ， ， ，类比这些等式，若
（ ， 均为正整数），则 ______
4.函数 f（x）=log3（1+x）+ 的定义域是______
5．设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则数列 的公差等于____
6.设 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为______
7.点 P 是双曲线 左支上的一点，其右焦点为 ，若 为线段 的中点, 且 到
坐标原点的距离为 7，则 ___________
8.如图，正方体 的棱长为 1，E 为棱 上的点，为 AB 的中点，则三棱锥
的体积为
9.直线 过点 ， 且被圆 截得的弦长为 8，则 的方程为_____.
{ }3,4A = { }1,2,3B = A B =
i
iz 21+= i
2 22 23 3
+ = 3 33 38 8
+ = 4 44 415 15
+ =
9 9a a
b b
+ = a b a b+ =
3 4x−
{ }na n nS 11 22S = 7 1a = { }na
x y
1 0
2 0
2
x y
x y
x
− + ≤
− ≥
≤
2 3z x y= +
2 2
116 9
x y− = F M FP M
PF =
l (4, 7)− 2 2( 1) ( 2) 25x y− + − = l （第 8 题图） （第 10 题图）
10 如图，在矩形 中， ， ，点 为 的中点，点 在边 上，若
，则 的值是______
11.已知 ，则 的值为______________
12.已知关于 的不等式 在区间 上恒成立，则实数 的
取值范围为____________.
13.已知函数 是定义在 上的偶函数，若对于 ，都有 ，
且当 时， ，则 ____________
14.已知 ，若关于 的方程 有四个实根 则
这四根之和 的取值范围是_______________
二、解答题
15.（本大题 14 分）
如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心， 面 ABCD，E 是 PC 的中点．
求证:（1） 平面 BDE；（2）平面 平面 BDE．
16．（本大题 14 分）
已知向量 ， ，设函数 ．
（1）求 f（x）的最小正周期与单调递减区间；
ABCD 3AB = 3BC = E BC F CD
3AB AF⋅ = AE BF⋅
1sin cos6 3
πα α + − = cos 2 3
πα −
x ( )2 1 13ax a x a x− + < − + [ ]2,3 a
( )f x R 0x ≥ ( ) ( )
32f x f x
+ = −
[ )0,2x∈ ( ) ( )2log 1f x x= + ( ) ( )2017 2019f f− + =
sin , 2 0( ) 2
ln , 0
x xf x
x x
π− − ≤ ≤=
>
x ( )f x k= 1 2 3 4, , ,x x x x
1 2 3 4x x x x+ + +
PO ⊥
/ /PA PAC ⊥
( 3sin 2 2,cos )m x x= + (1,2cos )n x= ( )f x m n= ⋅ （2）在△ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，若 ， ，△ABC 的
面积为 ，求 a 的值．
17.（本大题 14 分）
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 的左焦点为 ，右顶点为 ，
上顶点为 ．
（1）已知椭圆的离心率为 ，线段 中点的横坐标为 ，求椭圆的标准方程；
（2）已知△ 外接圆的圆心在直线 上，求椭圆的离心率 的值．
18（本大题 16 分）
首届中国国际进口博览会于 2018 年 11 月 5 日至 10 日在上海的国家会展中心举办.国
家展、企业展、经贸论坛、高新产品汇集……首届进博会高点纷呈.一个更加开放和自信的
中国，正用实际行动为世界构筑共同发展平台，展现推动全球贸易与合作的中国方案.
某跨国公司带来了高端智能家居产品参展，供购商洽谈采购，并决定大量投放中国市
场.已知该产品年固定研发成本 30 万美元，每生产一台需另投入 90 美元.设该公司一年内生
产该产品 万台且全部售完，每万台的销售收入为 万美元,
( ) 4f A = b 1=
3
2
x ( )G x（1）写出年利润 （万美元）关于年产量 （万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本）
（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润.
19.（本大题 16 分）
已知函数 .
（Ⅰ）求曲线 的斜率为 1 的切线方程；
（Ⅱ）当 时，求证： ；
（Ⅲ）设 ，记 在区间 上的最大值为 M（a），当
M（a）最小时，求 a 的值．
20.（本大题 16 分）
定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M－数列”.
( )
( )
240 3 ,0 20,
3000 600080 , 20.1 1
x x
G x xx x x
− < ≤
= + − > + +
S x
3 21( ) 4f x x x x= − +
( )y f x=
[ 2,4]x∈ − 6 ( )x f x x− ≤ ≤
( ) | ( ) ( ) | ( )F x f x x a a= − + ∈R ( )F x [ 2,4]−（1）已知等比数列{an}满足： ，求证:数列{an}为“M－数列”；
（2）已知数列{bn}满足: ，其中 Sn 为数列{bn}的前 n 项和．
①求数列{bn}的通项公式；
②设 m 为正整数，若存在“M－数列”{cn} ，对任意正整数 k，当 k≤m 时，都有
成立，求 m 的最大值．
文科参考答案
一、填空题
1． 2． 3．89 4． 5． ；
6. 8 7．22 8． 9. 或 10.
11. 12. 13．0 14．
二、解答题
15．解：（1）连接
是正方形 的中心
2 4 5 13 2, 4 4 0a a a a a a= − + =
1
1
1 2 21,
n n n
b S b b +
= = −
θ 1k k kc b c +
{ }1,2,3,4 i+2 31 4x x
− < ≤
1−
4x = 4 3 5 0x y+ + = 9
2
−
7
9 6a < 10, 2e e
+ −
OE
O ABCD 为 中点，又 为 中点
.........................3 分
平面 ， 平面 .........................5 分
平面 .........................7 分
（2） 是正方形 的中心
.........................9 分
平面 ， 平面
.........................11 分
平面 ，
平面 .........................13 分
平面
平面 平面 .........................14 分
16.解（1）∵ ， ，
∴
............3 分
∴ ............4 分
令 （ ），∴ （ ）
∴ 的单调区间为 ， ............7 分
（2）由 得， ，
∴
O∴ AC E PC
/ /OE PA∴
OE ⊂ BDE PA ⊄ BDE
/ /PA∴ BDE
O ABCD
AC BD∴ ⊥
PO ⊥ ABCD BD ⊂ ABCD
PO BD∴ ⊥
,AC PO ⊂ PAC AC PO O=
BD∴ ⊥ PAC
BD ⊂ BDE
∴ PAC ⊥ BDE
( )3sin2 2 cosm x x= + ， ( )1 2cosn x= ，
( ) 23sin2 2 2cosf x m n x x= ⋅ = + +
3sin2 cos2 3x x= + +
2sin 2 36x
π = + +
2
2T
π π= =
32 2 22 6 2k x k
π π ππ π+ ≤ + ≤ + k Z∈ 2
6 3k x k
ππ π π+ ≤ ≤ + k Z∈
( )f x 2
6 3k k，ππ π π + + k Z∈
( ) 4f A = ( ) 2sin 2 3 46f A A
π = + + =
1sin 2 6 2A
π + = 又∵ 为 的内角，∴ ，∴ ，∴ ............10 分
∵ ， ，∴ ，∴ ............12 分
∴ ，∴ .............14 分
17．解:（1）因为椭圆 的离心率为，
所以 ，则 ．.............2 分
因为线段 中点的横坐标为 ，
所以 ．.............4 分
所以 ，则 ， ．
所以椭圆的标准方程为 ． .............6 分
（2）因为 ，
所以线段 的中垂线方程为： ．.............7 分
又因为△ 外接圆的圆心 C 在直线 上，
所以 ．.............9 分
因为 ，
所以线段 的中垂线方程为： ．.............11 分
由 C 在线段 的中垂线上，得 ，.............12 分
A ABC
1326 6 6A
π π π< + < 52 6 6A
π π+ =
3A
π=
3
2ABCS
= 1b = 1 3sin2 2bc A = 2c =
2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 14 1 2 2 1 32
= + − × × × = 3a =整理得， ，
即 ．
因为 ，所以 ．
所以椭圆的离心率 ．.............14 分
18．解：（1）当 时， ；...........3 分
当 时， .............6 分
函数解析式为 ............8 分
（2）当 时，因为 ， 在 上单调递增，
所以当 时， .............10 分
当 时，
.............13 分
当且仅当 ，即 时等号成立.............14 分
因为 ，所以 时， 的最大值为 2380 万美元.............15 分
答：当年产量为 29 万台时，该公司在该产品中获得的利润最大，最大利润为 2380 美
元 .............16 分
19．解：（Ⅰ） ，令 得 或者 .
............2 分
0 20x< ≤ ( ) ( )90 30S xG x x= − + 23 150 30x x= − + −
20x > ( ) ( )90 30S xG x x= − + = ( )3000 210 301
xx x
−− + −+
( )
23 150 30,0 20,
3000 210 30, 20.1
x x x
S xx xx
− + − < ≤= −− + − > +
0 20x< ≤ ( )23 25 1845S x= − − + S ( ]0,20
20x = ( )max 20 1770S S= =
20x > ( )3000 210 301
xS x x
−= − + −+
9000= 10 29701x x
− − ++
( ) 900010 1 29801x x
= − + − ++
( )90002 ·10 1 2980 23801 xx
≤ − + + =+
( )9000 10 11 xx
= ++ 29x =
2380 1770> 29x = S
23( ) 2 14f x x x′ = − + 23( ) 2 1 14f x x x′ = − + = 0x = 8
3x =当 时， ，此时切线方程为 ，即 ；
当 时， ，此时切线方程为 ，即 ；
综上可得所求切线方程为 和 .............4 分
（Ⅱ）设 ，............5 分
令 得 或者 ，
所以当 时， ， 为增函数；
当 时， ， 为减函数；
当 时， ， 为增函数；............7 分
而 ，所以 ，即 ；............8 分
同理令 ，可求其最小值为 ，所以 ，即
，............9 分
综上可得 .............10 分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知 ，
所以 是 中的较大者，............12 分
若 ，即 时， ；...........13 分
若 ，即 时， ............14 分
所以当 最小时， ，此时 .............16 分
20．解（1）设等比数列{an}的公比为 q，所以 a1≠0，q≠0.
由 ，得 ，解得 ．
因此数列 为“M—数列”.............4 分
（2）①因为 ，所以 ．
0x = (0) 0f = y x= 0x y− =
8
3x = 8 8( )3 27f = 64
27y x= − 27 27 64 0x y− − =
0x y− = 23( ) 24g x x x′ = − 27 27 64 0x y− − =
3 21( ) ( ) 4g x f x x x x= − = −
23( ) 2 04g x x x′ = − = 0x = 8
3x =
[ 2,0]x∈ − ( ) 0g x′ ≥ ( )g x
8(0, )3x∈ ( ) 0g x′ < ( )g x
8[ ,4]3x∈ ( ) 0g x′ ≥ ( )g x
(0) (4) 0g g= = ( ) 0g x ≤ ( )f x x≤
3 21( ) ( ) 6 64h x f x x x x= − + = − + ( 2) 0h − = ( ) 0h x ≥
( ) 6f x x≥ −
6 ( )x f x x− ≤ ≤
6 ( ) 0f x x− ≤ − ≤
( )M a , 6a a +
6a a≥ + 3a ≤ − ( ) 3M a a a= = − ≥
6a a< + 3a > − ( ) 6 6 3M a a a= + = + >
( )M a ( ) 3M a = 3a = −
2 4 5
3 2 14 4 0
a a a
a a a
=
− + =
2 4 4
1 1
2
1 1 14 4 0
a q a q
a q a q a
=
− + =
1 1
2
a
q
=
=
{ }na
1
1 2 2
n n nS b b +
= − 0nb ≠由 得 ，则 .............5 分
由 ，得 ，............6 分
当 时，由 ，得 ，
整理得 ．............9 分
所以数列{bn}是首项和公差均为 1 的等差数列.
因此，数列{bn}的通项公式为 bn=n .............10 分
②由①知，bk=k， .
因为数列{cn}为“M–数列”，设公比为 q，所以 c1=1，q>0
因为 ck≤bk≤ck+1，所以 ，其中 k=1，2，3，…，m.
当 k=1 时，有 q≥1；
当 k=2，3，…，m 时，有 ．
设 f（x）= ，............13 分
则 ．
令 ，得 x=e.列表如下：
x e (e，+∞)
+ 0 –
f（x） 极大值
因为 ，所以 ．............14 分
1 1 11,b S b= =
2
1 2 2
1 1 b
= −
2 2b =
1
1 2 2
n n nS b b +
= − 1
12( )
n n
n
n n
b bS b b
+
+
= −
2n ≥ 1n n nb S S −= − ( ) ( )1 1
1 12 2
n n n n
n
n n n n
b b b bb b b b b
+ −
+ −
= −− −
1 1 2n n nb b b+ −+ =
( )*n N∈
*k N∈
1k kq k q− ≤ ≤
ln lnln 1
k kqk k
≤ ≤ −
ln ( 1)x xx
>
2
1 ln( ) xf ' x x
−=
( ) 0f ' x =
(1,e)
( )f ' x
ln 2 ln8 ln9 ln3
2 6 6 3
= < = max
ln3( ) (3) 3f k f= =取 ，当 k=1，2，3，4，5 时， ，即 ，
经检验知 也成立．
因此所求 m 的最大值不小于 5．
若 m≥6，分别取 k=3，6，得 3≤q3，且 q5≤6，从而 q15≥243，且 q15≤216，
所以 q 不存在.因此所求 m 的最大值小于 6.
综上，所求 m 的最大值为 5．............16 分
3 3q = ln lnk qk
kk q≤
1kq k− ≤
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