天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
阅读理解题
一、知识梳理
二、教学重、难点
三、作业完成情况
四、典题探究
例 1 阅读理解:
如图 1,若在四边形 ABCD 的边 AB 上任取一点 E(点 E 与点 A,B 不重合),分别连结
ED,EC,可以把四边形 ABCD 分成三个三角形,如果其中有两个三角形相似,我们就把 E
叫做四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点;如果这三个三角形都相似,我们就把 E 叫做四边形
ABCD 的边 AB 上的强相似点.解决问题:
(1)如图 1,若∠A=∠B=∠DEC=55°,试判断点 E 是否是四边形 ABCD 的边 AB 上的相
似点,并说明理由;
(2)如图 2,在矩形 ABCD 中,AB=5,BC=2,且 A,B,C,D 四点均在正方形网格
(网格中每个小正方形的边长为 1)的格点(即每个小正方形的顶点)上,试在图
2 中画出矩形 ABCD 的边 AB 上的一个强相似点 E;
拓展探究:
(3)如图 3,将矩形 ABCD 沿 CM 折叠,使点 D 落在 AB 边上的点 E 处.若点 E 恰好是
四边形 ABCM 的边 AB 上的一个强相似点,请直接写出 的值.BC
AB天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
①
F
E
P
B
O
A
N
M
图 1 图 2 图 3
例 2 小华遇到这样一个问题,如图 1, △ABC 中,∠ACB=30º,BC=6,AC=5,在△ABC
内部有一点 P,连接 PA、PB、PC,求 PA+PB+PC 的最小值.
小华是这样思考的:要解决这个问题,首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分
离,然后再将它们连接成一条折线,并让折线的两个端点为定点,这样依据“两点之间,线
段最短”,就可以求出这三条线段和的最小值了.他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法,
发现通过旋转可以解决这个问题.他的做法是,如图 2,将△APC 绕点 C 顺时针旋转 60º,
得到△EDC,连接 PD、BE,则 BE 的长即为所求.
(1)请你写出图 2 中,PA+PB+PC 的最小值为 ;
(2)参考小华的思考问题的方法,解决下列问题:
①如图 3,菱形 ABCD 中,∠ABC=60º,在菱形 ABCD 内部有一点 P,请在图 3 中画
出并指明长度等于 PA+PB+PC 最小值的线段(保留画图痕迹,画出一条即可);②若①中菱
形 ABCD 的边长为 4,请直接写出当 PA+PB+PC 值最小时 PB 的长.
例 3 老师要求同学们在图①中 内找一点 P,使点 P 到 OM、ON 的距离相等.
小明是这样做的:在 OM、ON 上分别截取 OA=OB,连结 AB,取 AB 中点 P,点 P 即为所求.
请你在图②中的 内找一点 P,使点 P 到 OM 的距离是到 ON 距离的 2 倍.要求:简单
叙述做法,并对你的做法给予证明.
MON∠
MON∠
D
E
A
CB
P
图 2
DA
CB
图 3
A
CB
P
图 1天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
例 4 . 如图,在菱形纸片 ABCD 中,AB=4cm,∠ABC=120°,按下列步骤进行裁剪和拼图:
第一步:如图 1,在线段 AD 上任意取一点 E,沿 EB,EC 剪下一个三角形纸片 EBC(余
下部分不再使用);
第二步:如图 2,沿三角形 EBC 的中位线 GH 将纸片剪成两部分,并在线段 GH 上任意
取一点 M,线段 BC 上任意取一点 N,沿 MN 将梯形纸片 GBCH 剪成两部分;
第三步:如图 3,将 MN 左侧纸片绕 G 点按顺时针方向旋转 180°,使线段 GB 与 GE
重合,将 MN 右侧纸片绕 H 点按逆时针方向旋转 180°,使线段 HC 与 HE 重合,再与三角
形纸片 EGH 拼成一个与三角形纸片 EBC 面积相等的四边形纸片.
(注:裁剪和拼图过程均无缝且不重叠)
(1)请你在图 3 中画出拼接成的四边形;
( 2 ) 直 接 写 出 拼 成 的 四 边 形 纸 片 周 长 的 最 小 值 为 ________cm , 最 大 值 为
________cm.
五、演练方阵
A 档(巩固专练)
1. 小明遇到这样一个问题:如图 1,在边长为 的正方形 ABCD 各边上分别截取
AE=BF=CG=DH=1,当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时,求正方形 MNPQ 的面积。
)2( >aa天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
小明发现:分别延长 QE,MF,NG,PH,交 FA,GB,HC,ED 的延长线于点 R,S,T,
W,可得△RQF,△SMG,△TNH,△WPE 是四个全等的等腰直角三角形(如图 2)
请回答:
(1)若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形(无缝隙,不重叠),则这个新
的正方形的边长为__________;
(2)求正方形 MNPQ 的面积。
参考小明思考问题的方法,解决问题:
如图 3,在等边△ABC 各边上分别截取 AD=BE=CF,再分
别过点 D,E,F 作 BC,AC,AB 的垂线,得到等边△RPQ,若
,则 AD 的长为__________。
2. 先阅读材料,再解答问题:
小明同学在学习与圆有关的角时了解到:在同圆或等圆中,
同弧(或等弧)所对的圆周角相等.如图,点 A、B、C、D 均
为⊙O 上的点,则有∠C=∠D.
小明还发现,若点 E 在⊙O 外,且与点 D 在直线 AB 同侧,
则有∠D>∠E.
请你参考小明得出的结论,解答下列问题:
(1) 如图 1,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 的坐标为(0,7),点 B 的坐标为(0,3),
点 C 的坐标为(3,0) .
①在图 1 中作出△ABC 的外接圆(保留必要的作图痕迹,不写作法);
②若在 轴的正半轴上有一点 D,且∠ACB =∠ADB,则点 D 的坐标为 ;
(2) 如图 2,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 的坐标为(0,m),点 B 的坐标为(0,n),
其中 m>n>0.点P 为 轴正半轴上的一个动点,当∠APB 达到最大时,直接写出此时
点 P 的坐标.
3
3=∆RPQS
x
x天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
3. 阅读并回答问题:
数学课上,探讨角平分线的作法时,李老师用直尺和圆规作角平分线,方法如下:
作法:①在 OA,OB 上分别截取 OD,OE,使 OD=OE.
②分别以 D,E 为圆心,以大于 为半径作弧,
两弧在 内交于点 C.
③作射线 OC,则 OC 就是 的平分线
小聪只带了直角三角板,他发现利用三角板也可以作角平分线,方法如下:
作法: ①利用三角板上的刻度,在 OA,OB 上分
别截取 OM,ON,使 OM=ON.
②分别过以 M,N 为 OM,ON 的垂线,交于
点 P.
③作射线 OP,则 OP 就是 的平分
线.
小颖的身边只有刻度尺,经过尝试,她发现利用刻度尺也可以作角平分线.根据以上情
境,解决下列问题:
(1)小聪的作法正确吗?请说明理由;
(2) 请你帮小颖设计用刻度尺作 平分线的方法.(要求:不与小聪方法相同,
请画出图形,并写出画图的方法,不必证明).
4.问题背景:在△ABC 中,AB、BC、AC 三边的长分别为 、 、 ,求这个三角形
的面积.
小辉同学在解答这道题时,先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为 1),再在网
格中画出格点△ABC(即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处),如图 1 所示.这样不需
求△ABC 的高,而借用网格就能计算出它的面积.
1
2 DE
AOB∠
AOB∠
AOB∠
AOB∠
2 13 17天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
(1)请你将△ABC 的面积直接填写在横线上.________
思维拓展:
(2)我们把上述求△ ABC 面积的方法叫做构图法.若△ABC 三边的长分别为 、
、 ,请利用图 2 的正方形网格(每个小正方形的边长为 )画出
相应的△ABC,并求出它的面积是: .
探索创新:
(3) 若 △ ABC 三 边 的 长 分 别 为 、 、
,请运用构图法在图 3 指定区域内画出示意图,并求出△ABC
的面积为:
5. 如图,将正方形沿图中虚线(其 )剪成① ② ③ ④ 四块图形,用这
四块图形恰好能拼成一个矩形(非正方形).
(1)画出拼成的矩形的简图;
(2)求 的值.
6.将正方形 ABCD(如图 1)作如下划分:
第 1 次划分:分别联结正方形 ABCD 对边的中点(如图 2),得线段 HF 和 EG,它们交于
点 M,此时图 2 中共有 5 个正方形;
第 2 次划分:将图 2 左上角正方形 AEMH 按上述方法再作划分,得图 3,则图 3 中共有
_______个正方形;
若每次都把左上角的正方形依次划分下去,则第 100 次划分后,图中共有
_______个正方形;
继续划分下去,能否将正方形 ABCD 划分成有 2011 个正方形的图形?需说明
理由.
A
B
C
图3图2图1
2a
2 5a 26 ( 0)a a > a
2 24m n+ 2 216m n+ 2 22 m n+
( 0, , )m n o m n> > ≠
x y<
x
y y
y
x
y
x
y x
x
④③
② ①天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
图2图1
D
B
A
CGQ
P
F
E D
CB
A
7. 已知正方形纸片 ABCD 的边长为 2.
操作:如图 1,将正方形纸片折叠,使顶点 A 落在边 CD 上的点 P 处(点 P 与 C、D 不重
合),折痕为 EF,折叠后 AB 边落在 PQ 的位置,PQ 与 BC 交于点 G.
探究:(1)观察操作结果,找到一个与 相似的三角形,并证明你的结论;
(2)当点 P 位于 CD 中点时,你找到的三角形与 周长的比是多少(图 2 为
8. 正方形 的边长为 ,等腰直角三角形 的斜边 ( ),且边
和 在同一直线上.小明发现:当 时,如图①,在 上选取中点 ,连结 和
,裁掉 和 的位置构成正方形 .
(1)类比小明的剪拼方法,请你就图②和图③两种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示
意图.
(2)要使(1)中所剪拼的新图形是正方形,须满足 .
A D A H D A H D
E M G E M G
B C B F C B F C
图 1 图 2 图 3
EDP△
EDP△
ABCD a FAE AE b= ab 2< AD
AE b a= BA G FG
CG FAG∆ CHD∆ FGCH
=
AE
BG天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
9. 在数学小组活动中,小聪同学出了这样一道“对称跳棋”题:如图,在作业本上画一条
直线 l,在直线 l 两边各放一粒跳棋子 A、B,使线段 AB 长 a cm,并关于直线 l 对称,在图
中 P1 处有一粒跳棋子,P1 距 A 点 b cm,与直线 l 的距离 c cm,按以下程序起跳:第 1 次,
从 P1 点以 A 为对称中心跳至 P2 点;第 2 次,从 P2 点以 l 为对称轴跳至 P3 点;第 3 次,从
P3 点以 B 为对称中心跳至 P4 点;第 4 次,从 P4 点以 l 为对称轴跳至 P1 点.
(1)画出跳棋子这 4 次跳过的路径并标注出各点字母(画图工具不限);
(2)棋子按上述程序跳跃 15 次后停下,假设 a=8,b=6,c=3,计算这时它与点 A 的
距离.
10. 取一副三角板按图①拼接,固定三角板 ,将三角板 绕点 依顺时针方向旋
转一个大小为 的角 得到 ,如图所示.
试问:(1)当 为多少度时,能使得图②中 ?
(2)连结 ,当 时,探寻 值的大小变化
情况,并给出你的证明.
B 档(提升精练)
11. 我们给出如下定义:若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方,则
称这个四边形为勾股四边形,这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边.
(1)写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称_________,________;
ADC ABC A
α (0 45 )α 0b a> >
, , .BC b BE a EC b a= = = − 1 1 ( ) ,2 2ACES EC AB b a a∆ = ⋅ = −
1 1 ( ) .2 2FCES EC FE b a b∆ = ⋅ = −
0b a> > FCES ACES∆ ∆> aabbab )(2
1)(2
1 −>−
2 2b ab ab a− > − 2 2 2a b ab+ >
图 1 图 2
图 3 图 4 图 5
D E
A
B C
F
m
图 2
m
F
E(D) CB
A
图 1天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
(1)现将△ 沿直线 向右平移,设 ,且 .如图 2,
当 时, .利用此图,仿照上述方法,证明不等式:
( ).
(2)用四个与 全等的直角三角形纸板进行拼接,也能够借助图形证明上述不等式.
请你画出一个示意图,并简要说明理由.
27. 我们给出如下定义:如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等,则把
这对顶点叫做这个四边形的一对等高点.例如:如图①,平行四边形 ABCD 中,可证
点 A、C 到 BD 的距离相等,所以点 A、C 是平行四边形 ABCD 的一对等高点,同理可
知点 B、D 也是平行四边形 ABCD 的一对等高点.
(1)如图②,已知平行四边形 ABCD,请你在图②中画出一个只有一对等高点的四边形
ABCE(要求:画出必要的辅助线);
(2)已知 P 是四边形 ABCD 对角线 BD 上任意一点(不与 B、D 点重合),请分别探究图③、
图④中 S1,S2,S3,S4 四者之间的等量关系(S1,S2,S3,S4 分别表示△ABP,△CBP,△
CDP,△ADP 的面积):
①如图③,当四边形 ABCD 只有一对等高点 A、C 时,你得到的一个结论是________;
②如图④,当四边形 ABCD 没有等高点时,你得到的一个结论是________.
28. 请阅读下列材料:
圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.即如图①,若弦 AB、CD 交于
点 P 则 PA·PB=PC·PD.请你根据以上材料,解决下列问题.
已知⊙O 的半径为 2,P 是⊙O 内一点,且 OP=1,过点 P 任作一弦 AC,过 A、C 两点分
别作⊙O 的切线 m 和 n,作 PQ⊥m 于点 Q,PR⊥n 于点 R.(如图②)
(1)若 AC 恰经过圆心 O,请你在图③中画出符合题意的图形,并计算: 的值;
(2)若 OP⊥AC,请你在图④中画出符合题意的图形,并计算: 的值;
DEF m ( )BD k b a= − 0 1k≤ ≤
BD EC= k =
2 2 2a b ab+ > 0b a> >
ABC∆
PRPQ
11 +
PRPQ
11 +天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
(3)若 AC 是过点 P 的任一弦(图②),请你结合(1)(2)的结论,猜想: 的值,
并给出证明.
① ②
29. 将图①,将一张直角三角形纸片 ABC 折叠,使点 A 与点 C 重合,这时 DE 为折痕,
△CBE 为等腰三角形;再继续将纸片沿△CBE 的对称轴 EF 折叠,这时得到了两个完全重合
的矩形(其中一个是原直角三角形的内接矩形,另一个是拼合成的无缝隙、无重叠的矩
形),我们称这样两个矩形为“叠加矩形”.
图① 图② 图③
(1)如图②,正方形网格中的△ABC 能折叠成“叠加矩形”吗?如果能,请在图②中画出
折痕;
(2)如图③,在正方形网格中,以给定的 BC 为一边,画出一个斜三角形 ABC,使其顶点 A
在格点上,且△ABC 折成的“叠加矩形”为正方形;
(3)如果一个三角形所折成的“叠加矩形”为正方形,那么它必须满足的条件是 ;
(4)如果一个四边形一定能折成“叠加矩形”,那么它必须满足的条件是 .
PRPQ
11 +
C B
A A
CB天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
30. 注意:为了使同学们更好地解答本题,我们提供了一种解题思路,你可以依照这个
思路填空,并完成本题解答的全过程.如果你选用其他的解题方案,此时,不必填空,只需
按照解答题的一般要求,进行解答即可.
如图①,要设计一幅宽 20cm,长 30cm 的矩形图案,其中有两横两竖的彩条,横、竖彩
条的宽度比为 2∶3,如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一,应如何设
计每个彩条的宽度?
分析:由横、竖彩条的宽度比为 2∶3,可设每个横彩条的宽为 ,则每个竖彩条的宽为
.为更好地寻找题目中的等量关系,将横、竖彩条分别集中,原问题转化为如图②的情
况,得到矩形 .
结合以上分析完成填空:如图②,用含 的代数式表示:
=____________________________cm;
=____________________________cm;
矩形 的面积为_____________cm;
列出方程并完成本题解答.
六、成长足迹
七、课后检测
2x
3x
ABCD
x
AB
AD
ABCD
演练方阵统计
独立完成题号( )部分掌握题号( )有待提高题号( )
20cm 20cm
30cm
D C
A B
图②图①
30cm天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
阅读理解答案
四、典题探究
例 1:
22
.
解:(1)点 E 是四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点.
理由:∵∠A = 55°,
∴∠ADE +∠DEA = 125°.
∵∠DEC = 55°,
∴∠BEC +∠DEA=125°.
∴∠ADE =∠BEC.
∵∠A =∠B,
∴△ADE∽△BEC.
∴点 E 是四边形 ABCD 的 AB 边上的相似点. ………………..2 分
(2)作图如下:
图 1 图 2 ………………..4 分
(3) . ………….. 5 分
例 2: (1) .………………………………………………………………………………1 分
(2)①如图,
…………………………………………2 分
3
2
BC
AB
=
61
DA
CB天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
BD; ……………………………………………………………………………3 分
(3) . …………………………………………………………………………5 分
例 3:做法:
(1)在 OM、ON 上分别截取 OA=OB,连结 AB.
(2)在 内做射线 AH,并在 AH 上顺次截取 AC=CD=DG,连结 BG.
(3)分别过 C、D 两点做 DP∥BG、CQ∥BG.
点 P 即为所求.-----------------------------------------------2 分
(若没有用尺规作图,直接叙述在 OM、ON 上分别截取 OA=OB,连结 AB.在 AB 上取一点
P,使 AP=2BP 也不扣分)
证明:作 , ,垂足分别为 E、
F.
则有 .-------------3 分
∵OA=OB,∴
∴ ∽ ---------------------------4
分
∴
∴ 点 P 即 为 所
求.-------------------------------5 分
例 4:(1)拼接成的四边形所图虚线所示; ………………2 分
(2) ; . …………………………5 分
(注:通过操作,我们可以看到最后所得的四边形纸片是一个平行四边形,其上下两条边的
长度等于原来菱形的边 AB=4,左右两边的长等于线段 MN 的长,当 MN 垂直于 BC 时,其长
度最短,等于原来菱形的高的一半,于是这个平行四边形的周长的最小值为 2( +4)=
;当点 E 与点 A 重合,点 M 与点 G 重合,点 N 与点 C 重合时,线段 MN 最长,等于
,此时,这个四边形的周长最大,其值为 .)
MAB∠
OMPE ⊥ ONPF ⊥
°=∠=∠ 90BFPAEP
OBPOAP ∠=∠
AEP∆ BFP∆
2==
BP
AP
PF
PE
8 2 3+ 8 4 7+
3
8 2 3+
2 7 8 4 7+
4 3
3天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
五、演练方阵
A 档(巩固专练)
1.(1)a (2)2
2. 解:(1)①如图 5; ………………………… 1 分
②点 D 的坐标为 ; ………………… 3 分
(2)点 P 的坐标为 . ……………… 5 分
3. 解:(1)小聪的作法正确. …………………1 分
理由:∵PM⊥OM , PN⊥ON,
∴∠OMP=∠ONP=90°.
在 Rt△OMP 和 Rt△ONP 中,
∵OP=OP ,OM=ON,
∴Rt△OMP≌Rt△ONP(HL).
∴ .
∴OP 平分∠AOB. …………………2 分
(2)解:如图所示. …………………3 分
作法:①利用刻度尺在 OA,OB 上分别截取 OG=OH.
②连结 GH,利用刻度尺作出 GH 的中点 Q.
③作射线 OQ,则 OQ 为∠AOB 的平分线.
4. (1) .
(2)面积: .
(3)面积:3mn.
5. 解:(1)如图
(2)面积可得 ----------------------3 分
3
2
( )7 0,
( )0mn,
MOP NOP∠ = ∠
2
5
23a
2( ) ( 2 )x y x y y+ = +
2 2 22 2x xy y xy y+ + = +
2 2 0x xy y+ − =
图2
A
B
C
A
C
B
4m
2m 2m
n
n
2n
图3
④
③
②
①天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
P
E
F Q
G
D
B
A
C
(舍去)
6. 解:第 2 次划分,共有 9 个正方形;
第 100 次划分后,共有 401 个正方形;
依题意,第 n 次划分后,图中共有 4n+1 个正方形,
而方程 4n+1=2011 没有整数解,
所以,不能得到2011个正方形.
7. 解:(1)与 相似的三角形是 . ……………………………… 1 分
证明:∵四边形 ABCD 是正方形,
∴∠A=∠C=∠D=90°.
由折叠知 ∠EPQ=∠A=90°.
∴∠1+∠3=90°,∠1+∠2=90°.
∴∠2=∠3.
∴ ∽ . ……… 2 分
(2)设 ED=x,则 AE= ,
由折叠可知:EP=AE= .
∵点 P 是 CD 中点,
∴DP=1.
∵∠D=90°,
∴ ,
即
解得 .
∴ . ………………………………………………………… 3 分
∵ ∽ ,
∴ .
∴ 与 周长的比为 4∶3. ………………………… 4 分
8.解:(1)
2( ) 1 0x x
y y
+ − = 5 1
2
x
y
− −= 5 1
2
x
y
−=
EDP△ PCG△
PCG△ EDP△
2 x−
2 x−
2 2 2ED DP EP+ =
2 2 21 (2 )x x+ = −
3
4x =
3
4ED =
PCG△ EDP△
1 4
3 3
4
PC
ED
= =
PCG△ EDP△天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
(2) .
9. 解:(1)跳棋子跳过路径及各点字母如图.
(2)跳跃 15 次后,停在 P4 处, 过 P4 作 P4C⊥AB,垂足为 C 点,
则 ; 由 AC=7, .
10. (1)由题意 ,
要使 ,须 ,
.
,
即 时,能使得 .---------------------------2 分
(2) 的值的大小没有变化, 总是 105°.-------------------3 分
当 时,总有 存在.
,
又 ,
.
又 ,
.
B 档(提升精练)
11. 解:
(1)正方形、长方形、直角梯形.(任选两个均可) ··························2 分(填正确一个得 1 分)
(2)答案如图所示. 或 .(没有写出不扣分)
2
1
351364 =−=CP 2128449354 ==+=∴ AP
CAC α′ =∠
AB DC∥ BAC ACD=∠ ∠
30BAC∴ = ∠
45 30 15CAC BAC BACα ′ ′= = − = − = ∠ ∠ ∠
15α = AB DC∥
DBC CAC BDC′ ′∠ + ∠ + ∠
0 45α ab FBDABD SS ∆∆ < ( )1
4 a b a− ( )1
4 b b a< −
abbaab −+
0>> ab IBCE ABCDSS >矩形 矩形 )()( abaabb −>−
22 aababb −>− abba 222 >+
1
14 22S a b ab= × ⋅ =
2 2
2S a b= +
0>> ab 2 1SS > abba 222 >+
3
2
4
1
S
S
S
S =
I
G
H
m
F
CB
A
E
D
D E
A
B C
F
m天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
②S1·S3=S2·S4 或 等.
28. 解:(1)AC 过圆心 O,且 m,n 分别切⊙O 于点 A,C,如图①所示,
∴AC⊥m 于点 A,AC⊥n 于点 C,∴Q 与 A 重合,R 与 C 重合,OP=1,AC=4,
.
(2)连结 OA,如图②所示,
OP⊥AC 于点 P,且 OP=1,OA=2,
∴∠OAP=30°,
∴AP= .
OA⊥直线 m,PQ⊥直线 m,
∴OA∥PQ,∠PQA=90°,
∴∠APQ=∠OAP=30°,
∴在 Rt△AQP 中, .
同理, ,
.
(3)猜想
证明:过点 A 作直径交⊙O 于点 E,连结 CE,如图③所示,∴ECA=90°.
AE⊥直线 m,PQ⊥直线 m,
∴AE∥PQ 且∠PQA=90°.
∴∠EAC=∠APQ.
∴△AEC∽△PAQ.
同理可得:∴
①+②,得
,
3
4
2
1
S
S
S
S =
3
4
3
1111 =+=+∴
PRPQ
3
2
3=PQ
2
3=PR
3
4
3
2
3
211 =+=+∴
PRPQ
3
411 =+
PRPQ
①.AP
AE
PQ
AC =∴
②.PC
AE
PR
AC =
PC
AE
AP
AE
PR
AC
PQ
AC +=+∴天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
.
过点 P 作直径交 O 于点 M,N
由阅读材料可知:AP·PC=PM·PN=3.
29. (1)
…………………………………………………………………1 分
(说明:只需画出折痕.)
(2)
………………………………………………………………2 分
(说明:只需画出满足条件的一个三角形;答案不惟一,所画三角形的一边长与该边上的高相等
即可.)
( 3 ) 三 角 形 的 一 边 长 与 该 边 上 的 高 相 等 . … … … … … … … … … … … … … … … … 3 分
( 4 ) 对 角 线 互 相 垂 直 . ( 注 : 回 答 菱 形 、 正 方 形 不 给 分 ) … … … … … … … … … 5 分
.30. 解(Ⅰ) ; 3 分
(Ⅱ)根据题意,得 . ······················································5 分
整理,得 .
解方程,得 (不合题意,舍去).
则 .
答:每个横、竖彩条的宽度分别为 cm, cm. ·············································································8 分
PCAP
AE
PCAP
APPC
AC
AE
PCAPAC
AE
PRPQ ⋅⋅⋅ =+=
+=+∴ 1111
3
411 =+∴
PRPQ
220 6 30 4 24 260 600x x x x− − − +, ,
2 124 260 600 1 20 303x x − + = − × ×
26 65 50 0x x− + =
1 2
5 106x x= =,
5 52 33 2x x= =,
5
3
5
2
A
CB