高三复习宝典
目 录
1 集合与简易逻辑……………………………………………………………1
2 函数…………………………………………………………………………2
3 导数…………………………………………………………………………10
4 数列…………………………………………………………………………14
5 三角函数……………………………………………………………………17
6 解三角形……………………………………………………………………21
7 平面向量……………………………………………………………………22
8 不等式………………………………………………………………………25
9 立体几何……………………………………………………………………28
10 直线与圆………………………………………………………………… 31
11 圆锥曲线………………………………………………………………… 35
12 复数……………………………………………………………………… 43
13 概率和统计……………………………………………………………… 44
14 选讲部分………………………………………………………………… 471
高考文科数学必会知识点总结
§1 集合与简易逻辑
一、集合间的关系及其运算
（1）符号“ ”是表示元素与集合之间关系的，如立体几何中的体现 点与直线（面）的
关系 ；
符号“ ”或“ ， ”或“ ”等是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现： 面
与直线(面)的关系 .
（2） ：取 A，B 公共部分 ； ：取 A 与 B 的全部； ：在全集 U 中，除了 A
以外的部分.
（3）交、并、补的运算性质：对于任意集合 A、B，
（摩根定律）
切记： .
空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集，解题时别忽略空集的情况.
（4）集合中元素的个数的计算：
若集合 A 中有 个元素，则集合 A 的所有不同的子集个数为 ，所有真子集的个数是
，所有非空真子集的个数是 .
二、常用逻辑用语：
1、四种命题：
（1）原命题：若 则 ； （2）逆命题：若 则 ；
（3）否命题：若 则 ； （4）逆否命题：若 则
注意：1、原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价.判断命题真假时注意转化.
∉∈,
⊄⊂, ⊆ ̹
A B A B UC A
( ) ; ( )U U U U U UC A B C A C B C A B C A C B= =
A B A B A⊆ ⇔ ∩ = A B A B B⊆ ⇔ ∪ =
n 2n
2 1n − 2 2n −
p q q p
p¬ q¬ q¬ p¬2
2、注意命题的否定与否命题的区别：命题：若 则 ，否定形式是：若 则 ；
否命题是：若 则 .命题“ 或 ”的否定是“ 且 ”；
“ 且 ”的否定是“ 或 ”.
3、逻辑联结词：
（1）且(and) ：命题形式 ；
（2）或（or）： 命题形式 ；
（3）非（not）：命题形式 .
“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；
“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；
“非命题”的真假特点是“一真一假”
4、充要条件
由条件可推出结论，则条件是结论成立的充分条件；
由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件.
例如： ，则 是 的充分条件；
，则 是 的必要条件；
，则 是 的充要条件；
， ，则 是 的既不充分也不必要条件.
谨记：小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围
5、全称命题与特称命题：
短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号 表示.含有
全体量词的命题，叫做全称命题.
短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做
ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ
真 真 假 真 真
真 假 假 真 假
假 真 真 真 假
假 假 真 假 假
p q p q¬
p¬ q¬ p q p¬ q¬
p q p¬ q¬
p q∧
p q∨
p¬
A B⇒ A B
B A⇒ A B
A B⇔ A B
A B≠> B A≠> A B
∀3
存在量词，并用符号 表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题.
注意：记住符号的含义，任意: ,存在：
全称命题 ； 全称命题 的否定 .
特称命题 ； 特称命题 的否定 ；
§2 函数和导数
一、函数的性质
1、常见函数定义域：
（1）分母不能为零
（2）偶次根号下的数大于等于零
（3）
（4）
2、函数的单调性
(1)设 ，那么
上是增函数；
上是减函数.
(2)设函数 在某个区间内可导，如果 ，则 为增函数；
如果 ，则 为减函数.
判断函数单调性的常用方法：
（1）定义法(熟练利用定义法证明函数单调性的步骤).
（2）两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；
一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数.
∃
∀ ∃
:p )(, xpMx ∈∀ p :p¬ )(, xpMx ¬∈∃
:p )(, xpMx ∈∃ p :p¬ )(, xpMx ¬∈∀
0 ( 0)x x ≠
log ( 0,, 0, 1)ay x x a a= > > ≠
[ ]1 2 1 2, , ,x x a b x x∈ ≠
[ ]1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0x x f x f x− − > ⇔ [ ]baxfxx
xfxf ,)(0)()(
21
21 在⇔>−
−
[ ]1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0x x f x f x− − < ⇔ [ ]baxfxx
xfxf ,)(0)()(
21
21 在⇔′ xf )(xf
0)( > , ,b b
a a
−∞ − +∞
或
,0 0b b
a a
−
或 ，
)0,0( >>+= bax
baxy
( )y f x= ( 0)a a > ( )y f x a= +
( )y f x= ( 0)b b > ( )y f x b= −
( )y f x= ( 0)h h > ( )y f x h= ±
( )y f x= − ( )y f x= y
( )y f x= − ( )y f x= x
( )y f x= − − ( )y f x=
| ( ) |y f x= ( )y f x= x x
x
(| |)y f x= ( )y f x= y y7
折到 轴的左侧即可.
三、函数的零点及二分法
(1)函数零点的定义：对于函数 ，我们把使 的实数 叫做函数 的零点.
(2)几个等价关系：
方程 有实数根⇔函数 的图象与 轴有交点⇔函数 有零点.
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，
函数 在区间 内有零点，即存在 ，使得 ，这个 也就是方程
的根.
二分法求方程的近似解
(1)二分法的定义：
对于在区间 上连续不断且 的函数 ，通过不断地把函数 的零点
所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分
法.
(2)给定精确度 ，用二分法求函数 零点近似值的步骤如下：
①确定区间 ，验证 ，给定精确度 ；
②求区间 的中点 ；
③计算 ；
(ⅰ)若 ，则 就是函数的零点；
(ⅱ)若 ，则令 (此时零点 )；
(ⅲ)若 ，则令 (此时零点 )．
④判断是否达到精确度 ε.即：若 ，则得到零点近似值 ；否则重复②③④.
四、指数函数与对数函数
1．指数式与对数式：
y
( )y f x= ( ) 0f x = x ( )y f x=
( ) 0f x = ( )y f x= x ( )y f x=
( )y f x= [ ],a b ( ) ( ) 0f a f b > ∈
logay x= 0x > 0a > 1a ≠
10lg logx x= ln log ( 2.71828 )ex x e= =
0N > log 1 0a = log 1a a =
loga Na N= loglog log
m
a
m
NN a
= log logm
n
aa
nM Mm
=
log log log ( )a a aM N MN+ = log logn
a aM n M=
log log loga a a
MM N N
− = ( 0. 1, 0, 0)a a M N> ≠ > >
xy a= 0, 1( )a a> ≠ logay x= 0, 1( )a a> ≠
0 1a< < 1a > 0 1a< < 1a >
( , )−∞ +∞ (0, )+∞
(0, )+∞ ( , )−∞ +∞
(0,1) (1,0)
0x < 1y >
0x > 0 1y< <
0x < 0 1y< <
0x > 1y >
0 1x< <
0y >
0 1x< < 0y <
1x > 0y >
x
y
x
y9
时，
（2）有用的结论
①函数 与 （ 且 ）图象关于直线 对称；函数 与
（ 且 ）图象关于 轴对称；函数 与 （ 且 ）图象
关于 轴对称.
②记住两个指数（对数）函数的图象如何区别？
§3 导数
1、几种常见函数的导数
(1) （C 为常数） (2) (3)
(4) (5) （6）
(7) （8）
导数的运算法则
（1）
（2）
（3）
也可这样记忆：（1） （2） （3） .
3、单调区间的求解过程：已知
①分析 的定义域；
②求导数 ；
1x > 0y <
xy a= logay x= 0a > 0a ≠ y x= xy a=
xy a−= 0a > 1a ≠ y 1log
a
y x= logay x= 0a > 0a ≠
x
0=′C ' 1( ) ( )n nx nx n Q−= ∈ xx cos)(sin =′
xx sin)(cos −=′
xx 1)(ln =′ 1(log ) lna x x a
′ =
xx ee =′)( aaa xx ln)( =′
[ ]( ) ( ) ' '( ) '( )f x g x f x g x± = ±
[ ]( ) ( ) ' '( ) ( ) ( ) '( )f x g x f x g x f x g x= +
[ ]2
( ) '( ) ( ) ( ) '( )' ( ( ) 0)( ) ( )
f x f x g x f x g x g xg x g x
−= ≠
' ' '( )u v u v± = ± ' ' '( )uv u v uv= +
' '
'
2( ) ( 0)u u v uv vv v
−= ≠
)(xfy =
)(xfy =
)(xfy ′=′10
③解不等式 ，解集在定义域内的部分为增区间；
解不等式 ，解集在定义域内的部分为减区间.（或用列表法）
注意：若函数 在区间 内单调递增，则在这个区间内 恒成立；
若函数 在区间 内单调递减，则在这个区间内 恒成立.
§4 数列
一、数列的定义和基本问题
1．通项公式： （用函数的观念理解和研究数列，特别注意其定义域的特殊性）；
2．前 n 项和： ；
3．通项公式与前 项和的关系（是数列的基本问题也是考试的热点）：
二、等差数列：
1．定义和等价定义： 是等差数列；
2．通项公式： ； 推广： ；
3．前 项和公式： ；
4．重要性质举例：
①等差中项：若 成等差数列，则 ；
② 下 标 和 公 式 ： 若 ， 则 ； 特 别 地 ： 若 ， 则
；
③奇数项 ，…成等差数列，公差为 ；偶数项 ，…成等差数列，公差为 .
④ 若 有 奇 数 项 项 ， 则 ； ， ， ，
（ ）；
0)( >′ xf
0)( < nS 1 0, 0a d< > nS
nS
n
{ }na 12 −n 12 −nS { }nb 12 −n '
12 −nS
'
12
12
−
−=
n
n
n
n
S
S
b
a
1
( 2, 0, 0) { }n
n n
n
a q n a q aa −
= ≥ ≠ ≠ ⇔
1
1
−= n
n qaa n m
n ma a q −=
n
1
11
( 1)
(1 ) ( 1)1 1
n
n n
na q
S a a qa q qq q
=
= −− = ≠ − −
, ,a b c 2ac b=
m n p q+ = + m n p qa a a a⋅ = ⋅ 2m n p+ = 2
m n pa a a⋅ =
nA S= 2n nB S S= − 3 2-n nC S S= 2B A C= ⋅
1 0a > 1q > 0 1q< <
1 0a < 1q > 0 1q< 2T
π
ω= ω 2
| |T
π
ω=
tan( )y xω ϕ= + ,2x k k Z
ππ≠ + ∈ , ,A ω ϕ 0A ≠ 0ω > T
π
ω=
siny x= cosy x= tany x=15
图
象
定义域
值域
周期性
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单调性
上递增
上递减
上递增
上递减
上
递增
对称轴 无
对称中心
§6 解三角形
1．在 中，内角和： ；
①、 ；
②、 ，
③、
2．三个重要结论
R R ,2x x k k z
π π ≠ + ∈
[ ]1,1− [ ]1,1− R
2T π= 2T π= T π=
]22,22[ ππππ
kk ++−
]22
3,22[ ππππ
kk ++
)( zk ∈
]2,2[ πππ kk+−
]2,2[ πππ kk +
)( zk ∈
)22,22( ππππ
kk ++−
)( zk ∈
( )
2x k k Z
ππ= + ∈ ( )x k k Zπ= ∈
( )( ),0k k Zπ ∈ ( ),02k k Z
ππ + ∈
( )0kπ， ( )k Z∈
ABC∆ A B C π+ + =
sin( )A B+ = sinC cos( )A B+ = cosC−
cos( )2
A B+ = sin 2
C sin( ) cos2 2
A B C+ =
tan tan tan tan tan tanA B C A B C+ + = 16
（1）正弦定理： （ 为三角形 ABC 的外接圆直径）
变式有：① （边角互换）；
② ；
③ ；
（2）余弦定理： ，或写成
，或写成
，或写成
常考技巧：
（1）配方： （常用于求值）
（2）均值不等式： （常用于求范围）
（3）三角形 ABC 面积公式：
海伦（Heran）公式，已知△ 中， ，则三角形面积
.
§7 平面向量
一、向量的基本概念
向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量.
(1)单位向量:长度为 1 的向量. （注： 就是单位向量）.
(2)相等向量:同向且等长的有向线段表示同一向量，又叫相等向量.
(3)共线(平行)向量:通过有向线段 的直线,叫做向量 的基线.如果向量的基线互相平行或
2sin sin sin
a b c RA B C
= = = 2R
CBAcba sin:sin:sin:: =
CRcBRbARa sin2,sin2,sin2 ===
CBA
cba
C
c
B
b
A
a
sinsinsinsinsinsin ++
++===
2 2 2 2 cosa b c bc A= + −
2 2 2
cos 2
b c aA bc
+ −=
2 2 2 2 cosb a c ac B= + −
2 2 2
cos 2
a c bB ac
+ −=
2 2 2 2 cosc a b ab C= + −
2 2 2
cos 2
a b cC ab
+ −=
2 2 2
cos 2
b c aA bc
+ −=
2 2( ) 2cos 2
b c bc aA bc
+ − −=
22cos 2
bc aA bc
−≥
1 1 1sin sin sin2 2 2S ab C bc A ca B= = =
ABC 1, , , ( )2AB c BC a CA b p a b c= = = = + +
( )( )( )S p p a p b p c= − − −
a
a
AB AB17
重合,则称这些向量为共线向量或平行向量.
二、加法与减法运算
1．代数运算
(1) ．
(2)若 , 则 =（ ）．
2．几何表示：平行四边形法则、三角形法则.
以向量 = 、 = 为邻边作平行四边形 ABCD，则两条对角线的向量 = ,
, .且有 ．
3．运算律
向量加法有如下规律： (交换律)；
（结合律）； , .
4．若 ， ，则
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.
三、实数与向量的积
实数 与向量 的积是一个向量.
1． ；
(1) 当 ＞0 时， 与 的方向相同；当 ＜0 时， 与 的方向相反；当 =0 时， ．
(2)若 =（ ），则 · =（ ）．
2．两个向量共线的充要条件：
向量 与非零向量 共线的充要条件是：有且仅有一个实数 ，使得 ．
3、三点共线定理： 若 ，则 共线的充要条件是
四、平面向量基本定理
1 2 2 3 1 1n n nA A A A A A A A−+ + + =
1 1( , )a x y=
2 2( , )b x y= a b±
2121 , yyxx ±±
AB a AD b AC a b+
BD b a= − DB a b= − a b a b a b− ≤ ± ≤ +
a b b a+ = +
( ) ( )a b c a b c+ + = + + 0a a+ = ( ) 0a a+ − =
),( 11 yxA ),( 22 yxB ( )2 1 2 1,AB x x y y= − −
λ a
a aλ λ= ⋅
λ aλ a λ aλ a λ 0aλ =
a
11, yx λ a
11, yx λλ
b a λ b aλ=
OA xOB yOC= + , ,A B C 1x y+ =18
1．若 、 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只
有一对实数 ， ，使得 = + ．
2．有用的结论：若 、 是同一平面内的两个不共线向量，若一对实数 ，使得
，则 .
五、向量的数量积；
1．向量的夹角：
已知两个非零向量 与 ，作 , ，则 （ ）叫做向量
与 的夹角（两个向量必须有相同的起点）.
2．两个向量的数量积：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，
则 ． 其中 称为向量 在 方向上的投影.
3．向量的数量积的性质：若 （ ）, （ ）
（1） ，
（2） ；
（3） ；
(4) ∥ ．
⊥ （ ， 为非零向量）；
（5） = ．（可用于判定角是锐角还是钝角）
4．向量的数量积的运算律：
· = · ；( )· = ( · )= ·( )；( ＋ )· = · + · ．
§8 不等式
1e
2e a
1λ 2λ a 1λ 1e
2λ 2e
1e
2e
1 2,λ λ
1 1 2 2 0e eλ λ+ =
1 2 0λ λ= =
a b OA a= OB b= AOB θ∠ = 00 1800 ≤≤ θ a
b
a b θ
cosa b a b θ⋅ = cosb θ b a
a =
11, yx b =
22 , yx
a b± 1 2 1 2( , )x x y y= ± ±
ba ⋅ 2121 yyxx +=
2 2
1 1a a x ya ⋅ == +
a b
1 2 2 1 0a b x y x yλ⇔ = ⇔ − =
a b ⇔ 0a b⋅ = ⇔ 02121 =+ yyxx a b
cosθ = a b
a b
⋅
⋅
2
2
2
2
2
1
2
1
2121
yxyx
yyxx
+⋅+
+
a b b a λ a b λ a b a λ b a b c a c b c19
一、不等式的基本性质与定理
1．实数的大小顺序与运算性质之间的关系：
； ； .
2．不等式的性质：
（1） 或 （反对称性）
（2） 或 （传递性）；
（3）
推论 1： （移项法则）；
推论 2： （同向不等式相加）；
（4） ，
推论 1： ； 推论 2：
（5） （ ）；
（6） （倒数法则）
3．常用的基本不等式和重要的不等式
（1） ， 当且仅当 取“=”.
（2） （当且仅当 时取“=”）
（3）均值不等式： ，则 （变形 ）（当且仅当 时取
“=”）
注： ——算术平均数， ——几何平均数.
（4） （当且仅当 时取“=”）
均值不等式使用时，最常用配凑法和构造法！
4、最值定理：设 得
0>−⇔> baba 0⇔<
cacbba >⇒>> , cacbba
bcacba −>⇒>+
dbcadcba +>+⇒>> ,
bcaccba >⇒>> 0, bcaccba ⇒>>>> 0,0 nn baba >⇒>> 0
nn baba >⇒>> 0 , 2n N n∈ ≥
1 10,ab a b a b
> > ⇒ <
0,0, 2 ≥≥∈ aaRa 0a =
abbaRba 2,, 22 ≥+∈ 则 a b=
+∈ Rba, abba 2≥+ 2( )2
a bab
+≤ a b=
2
a b+
ab
2 2
2( )2 2
a b a b+ +≥ a b=
, 0, 2x y x y xy> + ≥由20
（1）如积 为定值，则当且仅当 时， 有最小值 ；
（2）如和 为定值，则当且仅当 时， 有最大值 .
即：积定和最小，和定积最大.
注意：运用最值定理求最值的三要素：一正，二定，三相等.
5．含绝对值的不等式性质： （注意等号成立的情况）.
二、解不等式
1．一元一次不等式 （1） ；（2） .
2．（1）一元二次不等式 ，如果 与
同号，则其解集在两根之外；如果 与 异号，则其解集在两根之间.简言之：同
号两根之外，异号两根之间.（或者： 时，大于取两边，小于取中间）
；
.
（2）重要结论： 解集为 （即 对 恒成立），则
.（注意：若二次函数系数含参数且未指明不为零时，需验证 ）.
3．绝对值不等式：
（1）零点分段讨论 ，
（2）转化法： ；
；
（3）数形结合
4．指数不等式与对数不等式
(1)当 时, ; .
xy P= x y= x y+ 2 P
x y S+ = x y= x y⋅ 2( )2
S
bababa +≤±≤±
)0( ≠> abax
>>
a
bxxa ,0
a 2ax bx c+ +
a 2ax bx c+ +
0a >
1 2 1 2 1 2( )( ) 0( )x x x x x x x x x< < ⇔ − − < <
1 2 1 2 1 2, ( )( ) 0( )x x x x x x x x x x< > ⇔ − − > ( 0)a ≠ R 02 >++ cbxax Rx ∈
0, 0a > ∆ < 0=a
≤−
≥=←
0
0
aa
aaa
)()()()()()( xgxfxgxfxgxf −⇒> 或
)()()()()( xgxfxgxgxf ⇔ >
( ) 0
log ( ) log ( ) ( ) 0
( ) ( )
a a
f x
f x g x g x
f x g x
>
> ⇔ >
>21
(2)当 时, ;
§9 立体几何
一、直线、平面、简单几何体：
1、学会三视图的分析：
2、斜二测画法应注意的地方：
（１）在已知图形中取互相垂直的轴 .画直观图时，把它画成对应轴 、使
（或 135° ）；
（２）平行于 轴的线段长不变，平行于 轴的线段长减半.
（３）直观图中的 度原图中就是 度，直观图中的 度原图一定不是 度.
3、表（侧）面积与体积公式：
面 积 体 积
圆柱 S 侧＝2πrh V＝Sh＝πr2h
圆锥 S 侧＝πrl V＝1
3Sh＝1
3πr2h＝1
3πr2 l2－r2
圆台 S 侧＝π(r1＋r2)l
V＝1
3(S 上＋S 下＋ S上S下)h
＝1
3π(r21＋r22＋r1r2)h
直棱柱 S 侧＝Ch V＝Sh
正棱锥 S 侧＝1
2Ch′ V＝1
3Sh
正棱台 S 侧＝1
2(C＋C′)h′ V＝1
3(S 上＋S 下＋ S上S下)h
0 1a< < ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x> ⇔ <
( ) 0
log ( ) log ( ) ( ) 0
( ) ( )
a a
f x
f x g x g x
f x g x
>
> ⇔ >
),(),,( 2211 yxByx
2 2 2 2
2 1 2 1 1 2(1 )( ) (1 )[( ) 4 ]AB k x x k x x x x= + − = + + − 2
2 12
1(1 )( )AB y yk
= + −
1 1( )y y k x x− = − l 1 1 1( , )P x y k
y kx b= + b l y
1 1
2 1 2 1
y y x x
y y x x
− −=− − 1 2y y≠ 1 1 1( , )P x y 2 2 2( , )P x y 1 2x x≠
1x y
a b
+ = ,a b x y 0, 0a b≠ ≠
0Ax By C+ + = 025
注意：（1）（2）经常会在考试中用到，但是一定要注意斜率 是否存在！
三、两条直线的位置关系：
（1）若 ，
① ；
② .
注意： 并不一定能够得出 ， 也不一定能够得出 ，
如一条斜率存在，另一条斜率不存在.
(2)若 , ,
① ；
② ；
解题小技巧：1、与直线 平行的直线可设为 ；
2、与直线 垂直的直线可设为 .
四、点到直线的距离
1．点到点的距离 （点 与 之间的距离）
2．点 到直线 的距离：
3．平行线间距离：若 、 ，则 .
注意： 对应项系数应相等.且 .
六、圆：
1．确定圆需三个独立的条件
（1）标准方程： ， 其中圆心为 ，半径为 .
（2）一般方程： （ 其中圆心为 ，
0Ax By C+ + = 0( )Ax By m m C+ + = ≠
0Ax By C+ + = 0Bx Ay m− + =
k
1 1 1:l y k x b= + 2 2 2:l y k x b= +
1 2 1 2 1 2/ / ,l l k k b b⇔ = ≠
1 2 1 2 1l l k k⊥ ⇔ = −
1 2/ /l l 1 2k k= 1 2l l⊥ 1 2 1k k = −
1 1 1 1: 0l A x B y C+ + = 2 2 2 2: 0l A x B y C+ + =
1 2 1 2 2 1 1 2 2 1/ / 0 0l l A B A B AC A C⇔ − = − ≠且
1 2 1 2 1 2 0l l A A B B⊥ ⇔ + =
2 2
1 2 1 2( ) ( )d x x y y= − + − 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y
0 0( , )P x y 0=++ CByAx 22
00
BA
CByAxd +
++=
1 0Ax By C+ + = 2 0Ax By C+ + = 1 2
2 2
C Cd
A B
−=
+
x y, 1 2C C≠
222 )()( rbyax =−+− ( , )a b r
022 =++++ FEyDxyx )0422 >−+ FED ( , )2 2
D E− −26
半径为 .
（3）圆的参数方程 ，圆心为 ，半径为 .
（4）点和圆的位置关系：已知点 和圆
将点 代入圆 中得到： 则在圆外， 则在圆上， 则在圆
内.
2．直线 与圆 的位置关系：
设圆心 C 到直线 的距离为 ，则相切 ，相交 ，相离 ；
3．弦长公式
①、用半径与圆心到直线的距离：弦长公式
②、用交点坐标和直线的斜率
设两交点为 ，
弦长公式：
4．两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为 ，半径分别为 ， （用两点间的距离公式求圆心距离）
相离 外切 相交 内切 内含
图形
量的关系
公切线的条数 4 3 2 1 无
2 2 4
2
D E Fr
+ −=
cos
sin
x a r
y b r
θ
θ
= +
= + ( , )a b r
0 0( , )P x y 222 )()( rbyax =−+−
P 2 2
0 0( ) ( )x a y b− + − 2r> 2r= 2r<
: 0l Ax By C+ + = 2 2 2:( ) ( )C x a y b r− + − =
l d ⇔ d r= ⇔ d r< ⇔ d r>
2 22AB r d= −
( ) ( )2211 ,,, yxByxA bkxy +=
21
21 l −+=
1 2,O O 1 2,r r dOO =21
21 rrd +> 21 rrd += 2121 rrdrr +=+ ba
b
y
a
x )0(12
2
2
2
>>=+ bab
x
a
y
2 2 2a b c= +
1 2( ,0), ( ,0)F c F c− 1 2(0, ), (0, )F c F c−
2c
,x a y b≤ ≤ ,y a x b≤ ≤
( ,0),( ,0),(0, ),(0, )a a b b− − (0, ),(0, ),( ,0),( ,0)a a b b− −
1 0 2 0,PF a ex PF a ex= + = − 1 0 2 0,PF a ey PF a ey= + = −
x y28
通径
离心率
准线
椭圆 的参数方程是 .
注意：椭圆上的点到焦点的最短距离为： 最长距离为：
3．几何性质（以焦点在 轴上为例）：
（1）范围： 、
（2）对称性：长轴长 ，短轴长 ，焦距 （ 的关系： ）
（3）离心率 ， 准线方程：
（4）通径：过焦点作垂线与椭圆的交点为 ，通径长为： .
（5）有用的结论： ， ，
， ，
顶点与准线距离、焦点与准线距离分别与 有关.
椭圆 焦半径公式：
， , 分别为左右焦点.
（6） 中经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段 、 、 ，有关
角 结合起来，建立 + 、 · 等关系.
22b
a
2
21 (0,1)c be a a
= = − ∈
2ax c
= ±
2ay c
= ±
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > cos
sin
x a
y b
θ
θ
=
=
a c− a c+
x
a x a− ≤ ≤ b y b− ≤ ≤
: 2a : 2b : 2c , ,a b c 2 2 2a b c= +
2
21c be a a
= = −
c
ax
2
±=
,A B
22bAB a
=
21 2 PFaPF −= caPFca +≤≤− 1
=11FA caFA −=22 =21FA caFA +=12
cba ,,
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
1PF a ex= + 2PF a ex= − 1 2,F F
21FPF∆ 1PF 2PF 2c
21PFF∠ 1PF 2PF 1PF 2PF29
焦点三角形：三角形 的面积
特别地，若 ，此三角形面积为 ；
例如：在椭圆 上存在点 ，使 的条件是 ,即椭圆的离心
率 的范围是 ；
4. 判断点与椭圆的位置关系
（1）点 在椭圆 的内部 .
（2）点 在椭圆 的外部 .
（3）点 在椭圆 上 .
5、点差法（中点弦公式）
设 、 ， 为椭圆 的弦 中点则有
， ；两式相减得
.
焦点在 轴上时：
二、双曲线
1．定义：
（1）第一定义：若 是两定点， （ 为常数），则动点 的轨迹是
双曲线.
（2）第二定义：若动点 到定点 与定直线 的距离之比是常数 ，则动点 的轨迹是
双曲线.
1 2PF F 2 1 2tan ;2
F PFS b
∠= •
1 2PF PF⊥ 2b
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > P 1 2PF PF⊥ c b≥
e 2[ ,1)2
0 0( , )P x y
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
2 2
0 0
2 2 1x y
a b
⇔ + <
0 0( , )P x y
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
2 2
0 0
2 2 1x y
a b
⇔ + >
0 0( , )P x y
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
2 2
0 0
2 2 1x y
a b
⇔ + =
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )0 0,M x y
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > AB
2 2
1 1
2 2 1x y
a b
+ =
2 2
2 2
2 2 1x y
a b
+ =
( ) ( )2 2 2 2
1 2 1 2
2 2 0
x x y y
a b
− −
+ =
⇒ ( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 2
2 2
x x x x y y y y
a b
− + − += − ⇒ 0 0
2 2 0AB
x y ka b
+ =
y 0 0
2 2 0AB
y xka b
+ =
1 2,F F 2121 2 FFaPFPF P30
2．标准方程
焦点在 轴上 焦点在 轴上
标准方程
图 形
范 围
顶点坐标
焦点坐标
准线方程
渐近线方程
焦半径
对称轴方程 、
离心率 ， ，其中
性
性
质
关系
3．几何性质（以焦点在 轴上为例）
（1）范围： 或 、
（2）对称性：实轴长 ， 虚轴长 ， 焦距
（ 的关系： ）
（3）离心率 ， 准线方程
（4）通径：过焦点作垂线与双曲线的交点 ，通径长为： .
x y
2 2
2 2 1x y
a b
− = ( 0, 0)a b> >
2 2
2 2 1y x
a b
− = ( 0, 0)a b> >
| | ,x a y R≥ ∈ | | ,y a x R≥ ∈
( ,0),( ,0)a a− (0, ),(0, )a a−
2ax c
= ±
2ay c
= ±
by xa
= ± ay xb
= ±
0x = 0y =
, ,a b c 2 2 2 ( 0, 0)c a b c a c b= + > > > >
1 2( ,0), ( ,0)F c F c− 1 2(0, ), (0, )F c F c−
1 0 2 0,MF ex a MF ex a= + = − 1 0 2 0,MF ey a MF ey a= + = −
2
21c be a a
= = + 1( )e∈ ∞, + 2 2c a b= +
x
x a≥ x a≤ − ( , )y∈ −∞ +∞
: 2a : 2b : 2c
, ,a b c 2 2 2c a b= +
2
21c be a a
= = +
c
ax
2
±=
,A B
22bAB a
=31
（5）渐近线方程： .
与此有关的结论：若渐近线方程为 双曲线可设为 ；若
双曲线与 有公共渐近线，可设为 （ ，焦点在 轴上； ，焦点
在 轴上）.
小技巧：在求渐近线时，直接将 1 变为 0.
（6）双曲线 的焦半径公式：
， .点 在双曲线上.
（7）当 时，称为等轴双曲线 离心率 两渐近线互相垂直，分别为 ，
此时双曲线为等轴双曲线，可设为 ；
（8）注意 中结合定义 与余弦定理 ，将有关线段 、
、 和角结合起来.
焦点三角形：三角形 的面积
特别地，若 此三角形面积为 ；
4. 判断点与双曲线的位置关系
(1)点 在双曲线 的内部 .
(2)点 在双曲线 的外部 .
5、点差法（中点弦公式）
设 、 ， 为双曲线 的弦 中点则有
⇒=− 02
2
2
2
b
y
a
x xa
by ±=
xa
by ±= ⇒ 0=±
b
y
a
x ⇒
2 2
2 2
x y
a b
λ− =
12
2
2
2
=−
b
y
a
x 2 2
2 2
x y
a b
λ− = 0λ > x 0λ <
y
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > >
1 0| |PF ex a= + 2 0| |PF ex a= − 0 0( , )P x y
a b= ⇔ 2=e ⇔ y x= ±
λ=− 22 yx
21FPF∆ aPFPF 221 =− 21cos PFF∠ 1PF
2PF 21FF
1 2PF F 2 1 2cot ;2
F PFS b
∠= •
1 2 ,PF PF⊥ 2b
0 0( , )P x y
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > >
2 2
0 0
2 2 1x y
a b
⇔ − >
0 0( , )P x y
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > >
2 2
0 0
2 2 1x y
a b
⇔ − <
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )0 0,M x y
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > AB32
， ；两式相减得
.
交点在 轴上时：
三、抛物线
1．定义：到定点 与定直线 的距离相等的点的轨迹是抛物线.
即：到定点 的距离与到定直线 的距离之比是常数 .
标准
方程
p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离
图形
顶点
对称轴
焦点
离心率
准线
方程
范围
开口方向 向右 向左 向上 向下
焦半径
2 ． 标 准 方 程 （ 以 焦 点 在 轴 的 正 半 轴 为 例 ） ：
2 2
1 1
2 2 1x y
a b
− =
2 2
2 2
2 2 1x y
a b
− =
( ) ( )2 2 2 2
1 2 1 2
2 2 0
x x y y
a b
− −
− =
⇒ ( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 2
2 2
x x x x y y y y
a b
− + − += ⇒ 0 0
2 2 0AB
x y ka b
− =
y 0 0
2 2 0AB
y xka b
− =
F l
F l ( 1)e e =
2 2y px=
( 0)p >
2 2y px= −
( 0)p >
2 2x py=
( 0)p >
2 2x py= −
( 0)p >
( )0,0O
0y = 0x =
( ,0)2
pF ( ,0)2
pF − (0, )2
pF (0, )2
pF −
1e =
2
px = −
2
px =
2
py = −
2
py =
0,x y R≥ ∈ 0,x y R≤ ∈ 0,y x R≥ ∈ 0,y x R≤ ∈
0 2PF px= + 0 2PF x p= − + 0 2PF py= + 0 2PF y p= − +
x
2 2 ( 0)y px p= >33
（其中 为焦点到准线的距离——焦参数）；
3．几何性质
（1） 焦点： ，通径 ，准线： ；
（2） 焦半径： ，
过焦点弦长 .
（3）几何特征：焦点到顶点的距离 ；焦点到准线的距离 ；通径长 （通径是
最短的焦点弦），顶点是焦点向准线所作垂线段中点.
（4）抛物线 上的动点可设为
重 要 结 论 ： 已 知 是 过 抛 物 线 的 焦 点 的 弦 , 为 抛 物 线 的 焦 点 ,
,则 ：(1) ，
（2） （ 为直线 的倾斜角）；
（3） ，
（4） ；
（5） 为定值
（6）以 为直径的圆与抛物线的准线相切.
（7）以 或 为直径的圆与 轴相切.
（8）过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为 .
4、设 A、B 为抛物线 上的点,且 ( 为原点),则直线 必过的定点坐标
为 .
p
)0,2( p pAB 2=
2
px −=
0 2
pCF x= +
pxxpxpxCD ++=+++= 2121 22
2
p= p= 2p=
pxy 22 = P
2
0
0( , )2
y yp
AB 2 2 ( 0)y px p= > F
( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y
2
1 2 4
px x⋅ = 2
1 2y y p⋅ = −
1 2 2
2| | sin
pAB x x p θ= + + = θ AB
1| | 2 1 cos
p pAF x θ= + = − 2| | 2 1 cos
p pBF x θ= + = +
2
2sinAOB
pS θ∆ =
1 1
AF BF
+ 2
p
AB
AF BF y
2p
2 2y px= 90AOB∠ = ° O AB
(2 ,0)p34
四、直线与圆锥曲线的关系判断
1、弦长公式
直线 上两点 间的距离：
或
（ ）
2、联立消元法：
解答直线与圆锥曲线相交问题的一般步骤：
设线、设点，联立、消元，韦达、代入、化简.
第一步：讨论直线斜率的存在性，斜率存在时设直线的方程为 （或斜率不为零时，
设 ）；
第二步：设直线与圆锥曲线的两个交点为 ;
第三步：联立方程组 ，消去 得关于 的一元二次方程；
第四步：化简整理后由判别式和韦达定理列出直线与曲线相交满足的条件 ，
第五步：把所要解决的问题转化为 、 ，然后代入、化简.
§12 复数
1、虚数的定义：规定：
① ， ， ， ， ，
②
y kx b= + 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y
2
1 21AB k x x= + − 2 2
1 2 1 2(1 )[( ) 4 ]k x x x x= + + − 1 22
11AB y yk
= + −
1 2 1 2,b cx x x xa a
+ = − =
y kx b= +
x my a= +
( ) ( )1 1 2 2,, ,A x y B x y
( , ) 0f x
y kx b
y
=
= +
y x
0
∆ >
二次系数不为零
1 2
1 2
x x
x x
+ =
⋅ =
1 2x x+ 1 2x x⋅
2 1i = −
4 1ni = 4 1ni i+ = 4 2 1ni + = − 4 3ni i+ = − 4 4 1ni + = 1 2 3 0( )n n n ni i i i n Z+ + ++ + + = ∈
2(1 ) 2i i± = ±35
③
2、复数的有关概念
(1)复数的概念
形如 的数叫复数，其中 分别是它的实部和虚部．
若 ，则 为实数，若 ，则 为虚数，
若 且 ，则 为纯虚数．
(2)复数在复平面一一对应点为:
(3)复数相等： 且 ( )．
(4)共轭复数： 的共轭复数为：
(5)复数的模
向量OZ→
的模 叫做复数 的模，记作 或 ，即 .
2．复数的四则运算
设 ，则
(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
(4)除法：z1
z2＝a＋bi
c＋di＝a＋bic－di
c＋dic－di＝ac＋bd＋bc－adi
c2＋d2 (c＋di≠0)．
§13 概率和统计
一、 概率
1，古典概率
⑴定义：我们把试验中所有可能出现的基本事件是有限个；每个基本事件出现的可能性相
等，具备以上两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概率.
⑵求法：如果一次试验中的等可能基本事件共有 个，那么每一个等可能事件的概率都是
1 ,1
i ii
+ =−
1
1
i ii
− = −+
( )a bi a b+ ∈R, ,a b
0b = a bi+ 0b ≠ a bi+
0a = 0b ≠ a bi+
( , )a b
a bi c di+ = + a c⇔ = b d= , , ,a b c d R∈
z a bi= + z a bi= −
r ,( , )z a bi a b R= + ∈ z a bi+ z a bi= + 2 2a b= +
1 2 ( )z a bi z c di a b c d= + = + ∈R， , , ,
n36
，如果某个事件 包含了其中的 个等可能的基本事件，那么事件 发生的概率为：
⑶利用概率的古典定义来求等可能事件概率的步骤：
（1）先判断 ，（2）确定基本事件总个数 ，（3）算出事件 中包含的基本事件的个数 ，
（4）代入公式计算.
2．几何概型：
3．互斥事件 A，B 中有一个发生的概率：
加法公式
特例： 时， ，即对立事件的概率和为 1
对于 n 个互斥事件 ，其加法公式为
4.独立事件 A，B 同时发生的概率 .
个独立事件同时发生的概率 ．
二、统计与线性回归
1．总体、个体、样本、，样本个体、样本容量的定义；
2．抽样方法：统计抽样的基本方法有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种，这三种简单
的抽样都是等概率抽样，各方法的适用范围及相互关系如下表：
类 别 共同点 各 自 特 点 相 互 联 系 适 用 范 围
简单随机抽样
抽样过
程中每
个个体
从总体中逐个抽取（一般
有抽签法和随机数表法两
种）
总体中的
个体较少
1
n A m A
( ) mP A n
= [0 ]( ) 1P A ∈ ，
n A m
A ( )P(A)= ( )
构成事件 的区域长度 面积或体积
试验的全部结果所构成的区域长度 面积或体积
( ) ( ) ( )P A B P A P B+ = +
B A= ( ) ( ) 1P A P A+ =
1 2 nA A A, , , 1 2 1 2) ) ) )( ( ( (n nP A A A P A P A P A+ + + = + + +
( ) ( )( )·P A B P A P B= ⋅
n 1 2 1 2( )· ( ) ( ) ( )n nP A A A P A P A P A= ⋅ 37
系统抽样
（等距抽样）
将总体分成几部分，按确
定的规则（抽取必须是等
距抽取）在各部分抽取
在起始部分抽样时
采用简单随机抽样
总体中的个
数较多
分层抽样
(等比例抽样)
被抽到
的概率
都相同，
都为 将总体分成几层，
分层进行抽取（每层中抽
取的比例数为 ）
各层抽样时采用简
单随机抽样或系统
抽样
总体由差异明
显的几部分组
成
3．频率分布直方图
作频率分布直方图的步骤：
①求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)． ②决定组距与组数．
③将数据分组． ④列频率分布表． ⑤画频率分布直方图．
注意：（1）频率=
频率
组距×组距（即每个小长方形的面积），（2）频数= 频率×总体
（3）所有的频率之和为 1,（4）求平均数时往往取组距的中间数作为这一段的平均数.
4、回归方程
(1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离平方和最小的方法叫最小二乘法．
(2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：
，其回归方程为 ，则
；其中，b 是回归方程的斜率，a 是在 y 轴上的截距.
注意：（1） 时 与 正相关； 时 与 负相关，（2）回归方程一定经过样本中心
.
5、样本相关系数
n
N
n
N
1 1 2 2( ) ( ) ( )n nx y x y x y…， ， ， ， ， ， y bx a= +
1 1
22 2
1 1
( )( )
( )
n n
i i i i
i i
n n
i i
i i
x x y y x y nxy
b
x x x nx
a y bx
= =
= =
− − −
= = − −
= −
∑ ∑
∑ ∑
0b > y x 0b < y x
( , )x y38
，用它来衡量两个变量间的线性相关关系．
(1)当 时，表明两个变量正相关；
(2)当 时，表明两个变量负相关；
(3) 的绝对值越接近 1，表明两个变量的线性相关性越强； 的绝对值越接近于 0，表明两个
变量之间几乎不存在线性相关关系．通常当| 时，认为两个变量有很强的线性相关关
系．
独立性检验
(1)用变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，这种变量称为分类变量．例如：是否吸烟，宗
教信仰，国籍等．
(2)列出的两个分类变量的频数表，称为列联表．
(3)一般地，假设有两个分类变量 X 和 Y，它们的值域分别为 和 ，其样本频数列
联表(称为 2×2 列联表)为：
2×2 列联表
y1 y2 总计
x1 a b a＋b
x2 c d c＋d
总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
K2＝ (其中 为样本容量)，可利用独立性检验判断表来
判断“x 与 y 的关系”．
这种利用随机变量 K2 来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分
类变量的独立性检验.
§14 选讲部分（二选一）
1、极坐标与参数方程
1
2 2
1 1
( )( )
( ) ( )
n
i i
i
n n
i i
i i
x x y y
r
x x y y
=
= =
− −
=
− −
∑
∑ ∑
0r >
0r <
r r
0.75r >
{ }1 2x x, { }1 2y y,
( )
( )( )( )( )
2n ad bc
a b a c c d b d
-
+ + + + n a b c d= + + +39
1、极坐标系的概念
在平面上取一个定点 叫做极点；自点 引一条射线 叫做极轴；再选定一个长度单位、角
度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系(如
图)．设 是平面上的任一点，极点 与点 的距离|OM|叫做点 的极径，记为 ；以极轴
为始边，射线 为终边的 叫做点 M 的极角，记为 有序数对 称为点 的极坐
标，记作 ．
2、直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如
图，设 M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为 和 ，
则： 或
3、经过点 ，倾斜角为 的直线的参数方程为 ( 为参数).
4、圆的参数方程： ( 为参数)．圆心： ，半径:
5、椭圆的参数方程： ( 为参数)．
2、不等式选讲
常用方法：零点分段，分类讨论思想
1、两个非常有用的结论：1、
2、
2、含有绝对值的不等式的性质
O O Ox
M O M M ρ Ox
OM xOM∠ θ ( , )ρ θ M
( , )M ρ θ
( , )x y ( , )ρ θ
cos
sin
x
y
ρ θ
ρ θ
=
=
2 2 2
tan ( 0)
x y
y xx
ρ
θ
= + = ≠
0 0 0( )P x y, α 0
0
cos
sin
x x t
y y t
α
α
= +
= +
t
cos
sin
x a r
y b r
θ
θ
= +
= +
θ ( , )a b r
cos
sin
x a
y b
θ
θ
=
=
θ
| |x a x b a b− + − ≥ −
| | | | | | | |a b x a x b a b− − ≤ − − −≤−40
注意：多数题目求最值及取值范围时，都需要转化为恒成立问题，必要时需要借助图像分析！
3、基本不等式
定理 1：设 ，则 .当且仅当 时，等号成立.
定理 2：如果 为正数，则 ，当且仅当 时，等号成立.
.a b a b a b− ≤ ± ≤ +
a b R∈, 2 2 2a b ab+ ≥ a b=
a b、 2a b ab+ ≥ a b=
微信/支付宝扫码支付