重难点突破：与圆有关的最值问题题型汇编

1 重难点突破：与圆有关的最值问题 角度 1：与截距有关的圆的最值问题 形如 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题 角度 2：与斜率有关的圆的最值问题 形如 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题 角度 3：与距离有关的圆的最值问题 在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，就会出 现一些最值问题，如距离最小，最大等．这些问题常常联系到平面几何知识，利 用数形结合思想可直接得到相关结论，解题时便可利用这些结论直接确定最值问 题．常见的结论有： （1）圆外一点 到圆上距离最近为 ，最远为 （2）过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为该点为中点的弦 （3）直线与圆相离，则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线距离 ， 最近为 （4）过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的 面积 （5）直线外一点与直线上的点的距离中，最短的是点到直线的距离 （6）两个动点分别在两条平行线上运动，这两个动点间最短距离为两条平 行线间距离 角度 4：与面积相关的最值问题[来源:Z.Com] 与圆有关的最值问题，因与平面几何性质联系密切，且与圆锥曲线相结合的 命题趋势，使与圆相关的最值问题成为命题宠儿．与圆的面积的最值问题，一般 转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方 t ax by= + y b x a µ −= − A AO r− AO r+ d r+ d r−2 法，如配方法，基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思 想求解 题型一 与斜率有关的圆的最值问题 例题1： 如果直线 和函数 的 图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆 的内部或圆上， 那么 的取值范围是 【解析】函数 恒过定点 ．将点 代入直线 可得 ，即 ．由点 在 圆 内部或圆上可得 即 ． 或 ．所以点 在以 和 为端点的线段上运动． 表示以 和 为端点的线 段上的点与坐标原点连线的斜率．所以 ， ． 所以 ． 变式1： 过点 的直线 与圆 ： 交于 两点， 为圆心， 当 最小时，直线 的方程是 ( )2 14 0 0, 0ax by a b− + = > > ( ) ( )1 1 0, 1xf x m m m+= + > ≠ ( ) ( )2 21 2 25x a y b− + + + − = b a ( ) 1 1xf x m += + ( )1,2− ( )1,2− 2 14 0ax by− + = 2 2 14 0a b− − + = ( )7, 0, 0a b a b+ = > > ( )1,2− ( ) ( )2 21 2 25x a y b− + + + − = ( ) ( )2 21 1 2 2 25a b− − + + + − ≤ 2 2 25a b+ ≤ ( )0, 0a b> > 2 2 7 3 425 a b a ba b + = = ⇒  =+ =  4 3 a b =  = ( ),a b ( )3,4A ( )4,3B b a ( )3,4A ( )4,3B min 3 0 3 4 0 4 b a −  = =  −  max 4 0 4 3 0 3 b a −  = =  −  3 4 4 3 b a ≤ ≤ ( )1,2M l C ( ) ( )2 23 4 25x y− + − = ,A B C ACB∠ l3 【解析】要使 最小，由余弦定理可知，需弦长 最短．要使得弦长最短， 借助结论可知当 为弦的中点时最短．因圆心和 所在直线的 ， 则所求的直线斜率为 ，由点斜式可得 ． 【点评】此题通过两次转化，最终转化为求过定点的弦长最短的问题． 变式2： 已知实数 x、y 满足 x2+y2=4，则 的最小值为 （ ） A． B． C． D． 变式3： 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 圆 ， 圆 ．若圆 上存在一点 ，使得过点 可作一条射线与圆 依次 交于点 ， ，满足 ，则半径 的取值范围是_______． 【解析】由题，知圆 的圆心为 ，半径为 5，圆 的圆心为 ，半 径为 ，两圆圆心距为 ，如图，可知当 为圆 的直 径时取得最大值，所以当点 位于点 所在位置时 取得最小值，当点 位于点 x yΟ 1C : ( ) ( )2 21 6 25x y+ + − = 2C : ( ) ( )2 2 217 30x y r− + − = 2C P P 1C Α Β 2ΡΑ = ΑΒ r 1C ( 1,6)− 2C (17,30) r 2 2(17 1) (30 6) 30+ + − = AB 1C P 1P r P ACB∠ AB ( )1,2M ( )1,2M 4 2 13 1k −= =− 1− 1 ( 2) 3 0y x x y− = − − ⇒ + − = 2 2 −+ yx xy 222 − 222 − 222 + 222 −−4 所在位置时 取得最大值．因为 ， ，所以 ， ． 题型二 与截距有关的圆的最值问题 例题2： 设퐷为不等式(푥 ― 1)2 + 푦2鈮?表示的平面区域，直线푥 + 3푦 + 푏 = 0与区域퐷有公 共点，则푏的取值范围是_____． 【解析】由题设퐶(1,0)到直线푥 + 3푦 + 푏 = 0的距离푑 = |1 + 푏| 2 鈮?，解之得 变式4： 若直线 与曲线 恰有三个公共点，则实数 的取值范围 是（ ） A． B． C． D． 2P r max| | 10AB = | | 2 | |PA AB= min 5r = max 55r = 2 xy m= − + 21 42y x= − m (1, 2) ( 2 1, 2 1)− + (1, 2 1)+ (2, 2 1)+5 【解析】直线 与曲线 恰有三个公共点，实数 的取值 范围，可以转化为直线 的图象与曲线 的图象有三个交 点时实数 的取值范围，作出两个函数的图象，通过图象观察临界直线，从而求 出 的取值范围；本题曲线 的图象是易错点，画图时要分类讨论， 知图象由椭圆的上一部分与双曲线的上部分组成．选 A 变式5： 已知圆 C 的圆心在 轴的正半轴上，且 轴和直线 均与圆 C 相 切． (1)求圆 C 的标准方程； (2)设点 ，若直线 与圆 C 相交于 M，N 两点，且 为锐角， 求实数 m 的取值范围． 【解析】（1）设圆 C 的标准方程为： 由题意得 ，解得 ，∴圆 C 的标准方程为： （2）由 消去 y 整理得 ． ∵直线 与圆 C 相交于 M，N 两点，∴ ， 解得 ， 设 ，则 ． ∴ 2 xy m= − + 21 | 4 |2y x= − m 2 xy m= − + 21 | 4 |2y x= − m m 21 | 4 |2y x= − x y 3 2 0x y− + = ( )0,1P y x m= + MPN∠ ( )2 2{ 2 4 y x m x y = + − + = y x m= +6 依题意得 ，∴ ， 整理得 ， 解得 或 ．又 ， ∴ 或 ． 故实数 m 的取值范围是 ． 【点评】（1）对于 为锐角的问题（或点 A 在以 BC 为直径的圆外，或 ），都可转化为 ，然后坐标化，转化为代数运算 处理．学科%网 （2）对于直线和圆位置关系的问题，可将直线方程和圆的方程联立消元后根据 所得的二次方程的判别式、根据系数的关系，借助于代数运算处理．解题时注意 “设而不求”、“整体代换”等方法的运用，以减少计算量、提高解题速度． 题型三 与距离有关的圆的最值问题 例题3： 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 ， ， 则 的最小值为（ ） A． B． C． D． ( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 21 1 1 1PM PN x x y y x x x m x m⋅ = + − − = + + − + −  ( )( ) ( )2 1 2 1 22 1 1 0x x m x x m= + − + + − > ( )( ) ( )22 1 2 1 0m m m m+ − − + − > 2 1 0m m+ − > 1 52 2 2 2m − −− − < < 1 5 2 2 22 m − + < < − + BAC∠ 2 2 2AB AC BC>＋ 0AB AC⋅ >  xOy ( )2 2 1 12 5x y− + = 2 22 4 0x y− + = ( ) ( )2 2 1 2 1 2x x y y− + − 5 5 1 5 121 5 11 5 57 变式6： 已知圆 C：푥2 + 푦2 ―2푎푥 ― 2푏푦 + 푎2 + 푏2 ―1 = 0（a 3 2 1l 1x y a b + = C 5 C 1l D 2 2 6 4 0x y x y m+ − − + = D 2l ( )3,0 C E F D M N EF MN⋅ 1l ( ),0a ( )0,b 2 2 5a b+ = 3 2 c a = 2 2 2a b c= + 2 4a = 2 1b = C 2 2 14 x y+ = 1l 12 x y+ = 2 2 0x y+ − = D ( ) ( )2 23 2 13x y m− + − = − ( )3,2 2 2 3 2 2 2 5 1 2 r + × −= = +9 ∴圆 的标准方程为 ． （ii）直线 斜率存在，设 ： ，与椭圆 两个交点 、 ， 由 消去 得 ，由 ，得 ， ， ， ∴ 又圆 的圆心 到直线 ： 的距离 ∴圆 截直线 所得弦长 ∴ 设 ， ，则 D ( ) ( )2 23 2 5x y− + − = 2l 2l ( )3y k x= − C ( )1 1,E x y ( )2 2,F x y ( ) 2 2 3 , { 1,4 y k x x y = + + = y ( )2 2 2 21 4 24 36 4 0k x k x k+ − + − = 0∆ > 2 10 5k≤ < 2 1 2 2 24 1 4 kx x k + = + 2 1 2 2 36 4 1 4 kx x k −= + ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 22 2 22 2 1 2 1 2 22 2 2 1 1 524 36 41 4 1 4 41 4 1 4 1 4 k kk kEF k x x x x k k k k   + −  −   = + + − = + − × =   + +   +  D ( )3,2 2l 3 0kx y k− − = 2 2 3 2 3 2 1 1 k kd k k − −= = + + D 2l 2 2 2 2 5 12 2 1 kMN r d k += − = + ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 2 222 2 1 1 5 5 1 1 254 2 811 4 1 4 k k k kEF MN kk k + − + −⋅ = × =++ + 2 91 4 1, 5t k  = + ∈   2 1 4 tk −= 2 2 2 11 25 1 148 2 9 50 25 t EF MN t t t − −       ⋅ = = − + −      10 ∵ 的对称轴为 ，在 上单调递增， ∴ ，∴ 【点评】本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线，直线与圆的位置 关系，常采取联立直线和圆锥曲线方程，利用一元二次方程的根与系数关系求解 ，对于直线与圆的位置关系，常采取圆的几何性质较多，运算量较少点，圆锥曲 线类的题目的特点就是运算量大，要求学生具有较强的运算能力，属于难题． 29 50 25y x x= − + − 25 9x = 5 ,19      0 16y< ≤ 21 10 9 50 25 16t t    < − + − ≤       0 8EF MN< ⋅ ≤11 题型四 与面积相关的最值问题 例题4： 动圆 C 经过点 ，并且与直线 相切，若动圆 C 与直线 总 有公共点，则圆 C 的面积的最小值_________________． 【解析】设圆心为 ，半径为 ， ，即 ， 即 ，∴圆心为 ， ， 圆心到直线 的距离为 ， ∴ 或 ，当 时， ，∴ 变式10： 设 ，若直线 与 轴相交于点 ，与 轴相交于点 ， 且 与 圆 相交所得弦的长为 ， 为坐标原点，则 面积的最小值为 _______ 【解析】 与圆相交所得弦的长为 2，故弦心距 ， 所以 ， ， 与 轴相交于点 ，与 轴相交于 点 ， ． 变式11： 已知直线 与圆 M： 相交于 A，C 两点， 点 B，D 分别在圆 M 上运动，且位于直线 AC 两侧，则四边形 ABCD 面积的最大值为_______ 【解析】 ，圆心 M 到直线 距离为 ，BD 为过圆心 M 且垂直于 AC 的直径时，四边形 ABCD 面 积取最大值，为 ,m n R∈ 1 0mx ny+ − = x A y B l 2 2 4x y+ = 2 O ABO∆ l 2 2 2 2 1 2 1 3d m n = = − = + 2 2 1 23m n mn+ = ≥ 1 6mn∴ ≤ l x A 1 ,0m      y B 1 ,0n      1 1 1 1 1 1 1 6 32 2 2 2AOBS OA OB m n mn∆∴ = = = ≥ × = (1,0)F 1x = − 2 2 1y x= + + ( , )a b r | | | 1|r CF a= = + 2 2 2( 1) ( 1)a b a− + = + 21 4a b= 21( , )4 b b 21 14r b= + 2 2 1y x= + + 2 2| 2 2 1|4 142 b b bd − + + = ≤ + 2(2 2 3)b ≤ − + 2b ≥ 2b = min 1 4 1 24r = × + = 2 min 4S rπ π= = 1: =− yxl 012222 =−+−+ yxyx 3)1()1(0122 2222 =++−⇒=−+−+ yxyxyx 1: =− yxl 2 1 2 |111| =−+ 30322 1322 1 2 1 =×−×=×× BDAC12 变式12： 已知 P(2,0)为圆 C：x2＋y2－2x＋2my＋m2－7＝0(m>0)内一点，过点 P 的直线 AB 交圆 C 于 A，B 两点，若△ABC 面积的最大值为 4，则正实数 m 的取值范围为________. 【解析】圆的标准方程为 ，则圆心 ，半径 ， ， ∴当 时取最大值 4，此时 为等腰直角三角形， ， 则 到 距离等于 2，∴ ，即 ，∴ ，即 ，∵ ，∴解得 ，故答案为 . 变式13： 已 知 两 动 圆 和 ，把它们的公共点的轨迹记为曲线 ，若曲线 与 轴的正半轴的交点为 ，且曲线 上的相异两点 满足： ． （1）求曲线 的方程；（2）证明直线 恒经过一定点，并求此定点的坐标； （3）求 面积 的最大值． ( ) ( )2 21 8x y m− + + = ( )1C m−， 2 2 21 sin 4sin2ABCS r ACB ACB= ∠ ≤ ∠  90ACB∠ =  ABC 2 4AB r= = C AB 2 2 2PC≤ < ( )2 22 2 1 2 2m≤ − + < 24 1 8m≤ + < 23 7m≤ < 0m > 3 7m≤ < )3, 7 2 2 2 1 :( 3)F x y r+ + = 2 2 2 2 :( 3) (4 ) (0 4)F x y r r− + = − < < C C y M C ,A B 0MA MB =   C AB ABM∆ S13 【解析】（1）设两动圆的公共点为 Q，则有 ．由椭圆的 定义可知 的轨迹为椭圆， ．所以曲线 的方程是： ． （2）证法一：由题意可知： ，设 ， ， 当 的斜率不存在时，易知满足条件 的直线 为： 过定点 当 的斜率存在时，设直线 ： ，联立方程组： ，把②代入①有： ③， ④， 因为 ，所以有 ， ，把③④代入整理： ，（有公因式 m－1）继续化简得： ， 或 （舍）， 综合斜率不存在的情况，直线 恒过定点 ． 。 1 2 1 24( )QF QF F F+ = > Q 2, 3a c= = C 2 2 14 x y+ = (0,1)M 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y AB 0MA MB⋅ =  AB 0x = 3(0, )5N − AB AB y kx m= + 2 2 14 x y y kx m  + =  = + ① ② 2 2 2(1 4 ) 8 4 4 0k x kmx m+ + + − = 1 2 2 8 1 4 kmx x k −+ = + 2 1 2 2 4 4 1 4 mx x k −⋅ = + 0MA MB⋅ =  1 2 1 2( 1)( 1) 0x x kx m kx m⋅ + + − + − = 2 2 1 2 1 2(1 ) ( 1)( ) ( 1) 0k x x k m x x m+ ⋅ + − + + − = 2 2 2 2 2 4 4 8(1 ) ( 1) ( 1) 01 4 1 4 m kmk k m mk k − −+ + − + − =+ + ( 1)(5 3) 0m m− − = 3 5m −= 1m = AB 3(0, )5N −14 题型五 与圆有关的最值问题综合题 例题5： 已知实数 x，y 满足方程 x2＋y2－4x＋1＝0，求： （1）y x 的最大值和最小值；（2）y－x 的最大值和最小值；（3）x2＋y2 的最大值 和最小值． 【点评】研究与圆有关的最值问题时，可借助图形的性质，利用数形结合求解． 常见的最值问题有以下几种类型：①形如 μ＝y－b x－a 形式的最值问题，可转化为动 直线斜率的最值问题；②形如 t＝ax＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距 的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2 形式的最值问题，可转化为动点到定点的距 离的平方的最值问题． 变式14： 已知圆 和圆 只有一条公切线，若 且 ，则 的最小值为________． ( )2 2 1 : 2 4C x a y+ + = ( )22 2 : 1C x y b+ − = ,a b R∈ 0ab ≠ 2 2 1 1 a b +15 【点评】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其 满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必 须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误． 变式15： 已知圆퐶:(푥 ― 3)2 + (푦 ― 1)2 = 1和两点퐴( ― 푡,0)，퐵(푡,0)，(푡 > 0)，若圆퐶上 存在点푃，使得 ，则当푡取得最大值时，点푃的坐标是________． 【解析】设푃(a,b)为圆上一点，由题意知， ，即(푎 + 푡)(푎 ― 푡) + 푏2 = 0， 푎2 ― 푡2 + 푏2 = 0，푡2 = 푎2 ― 푡2 + 푏2 = |푂푃|2，|푂푃|max = 2 + 1 = 3，퐾푂푃 = 3 3 ， 所以OP所在直线倾斜角为 30，所以푃的纵坐标为3 2，P横坐标为3 脳 3 2 = 3 3 2 ，所 以푃(3 3 2 ,3 2)， 变式16： 已知圆 ： 和两点 ， ，若 圆 上存在点 ，使得 ，则 的最小值为________． 【解析】由题意可得点 P 的轨迹方程是以 位直径的圆，当两圆外切时有： ，即 的最小值为 1 【点评】在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白 一些概念及其几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析 C ( ) ( )2 23 1 1x y− + − = ( )0A t− ， ( )0 ( 0)B t t >， C P · 0PA PB =  t AB ( )2 2 min min3 1 1 1t t+ = + ⇒ = t16 其几何又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形， 以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围 变式17： 若直线 （ ， ）被圆 截得 的弦长为 4，则 的最小值为________． 【解析】由题意得 ，所以直线 过圆心， 即 ， 因此 【点评】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满 足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定 值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误． 变式18： 若在圆 O: 上 存在点 N，使得∠OMN=45°，则 的取值范围是 ________． 解析：过 OA⊥MN，垂足为 A，在 中，因为∠OMN=45，所以 = ，解得 ，因为点 M（ ，1），所以 解得 ，故 的取值范围是 2 0ax by− + = 0a > 0b > 2 2 2 4 1 0x y x y+ + − + = 1 1 a b + ( ) ( )2 21 2 4x y+ + − = 2 0ax by− + = 2 2 0, 2 2a b a b− − + = + = 1 1 1 1 2 1 2 1 2 3 2 23 3 22 2 2 2 a b b a b a a b a b a b a b  + +    + = + = + + ≥ + × =              2 2 1x y+ = 0x Rt OMA∆ | | | | sin 45OA OM=  2 | | 12 OM ≤ | | 2OM ≤ 0x 2 0| | 1 2OM x= + ≤ 01 1x− ≤ ≤ 0x [ 1,1]−17 变式19： 在平面直角坐标系 中，圆 ： ．若圆 存在以 为中点的弦 ，且 ，则实数 的取值范围是__________． 【解析】由于原 C 存在以 G 位中点的弦 AB，且 AB=2GO，故 ， 如图所 示，过点 O 作圆 C 的两条切线，切点分别为 B，D，圆上要存在满足题意的点 A， 只需 即 ，连结 CB，由퐶( ― 2,푚) 可得：|퐶푂| = 푚2 + 4 题型六 与圆最值问题常见的种转化方法 方法 1：圆上点到直线距离最值问题应转化为圆心到直线的最值距离 例题6： 知 P 为直线 y=x+1 上任一点，Q 为圆 C： 上任一点，则 的最 小值为 . 【解析】这是求解“圆上一动点到直线距离”的常见考题，可以通过平面几何的 知识得“圆心到直线的距离减半径”即为最短距离，这一结论在解题时可直接应 用． 如图 1，圆心 C 到直线 y=x+1 的距离 ，圆半径 ，故 2 2( 3) 1x y− + = PQ 2 2d = 1r = 2 2 1PQ PC r≥ − = −18 x y O C P Q x y O C B Q A 变式1： 已知 A(0,1),B(2,3),Q 为圆 C 上任一点，则 的最小 值为 . 【解析】本题要求 的最大值，因为线段 AB 为定长，由三角形面积公式可知 ，只需求“Q 到 的最小值”，因此问题转化为“圆上一动点到直线的最小距 离” 如图 2，设 为 Q 到 的距离，则 图 1 图 2 变式2： 由直线 y=x+1 上一点向圆 C： 引切线，则切线长的最 小值为 【解析】一般地，当直线和圆相切时，应连接圆心和切点，构造直销三角形进行 求解．因为 ，故即求 PC 的最小值 如图 3， ，∵ ，∴ 变式3： 已知 P 为直线 y=x+1 上一动点，过 P 作圆 C： 的切线 PA ，PB,A、B 为切点，则当 PC= 时， 最大． 2 2( 3) 1x y− + = QABS QABS ABl Qh ABl 1 2 2(2 2 1) 4 22QAB Q QS AB h h= ⋅ = = + = +  2 2( 3) 1x y− + = 2 2 2PA PC r= − 2 2 2 2 1PA PC r PC= − = − min 2 2PC = min 7PA = 2 2( 3) 1x y− + = APB∠19 x y O C P A x y O C P A B 【解析】如图 4，∵ ， ,∵ ,∴ 时， 最大，即 最大． 图 3 图 4 变式4： 已知 P 为直线 y=x+1 上一动点，过 P 作圆 C： 的切线 PA ，PB,A、B 为切点，则四边形 PACB 面积的最小值为 . 【解析】将四边形面积转化为两个全等的三角形的面积，从而转化为 PA 的最小 值，问题又转化为求切线段的最小值问题． 如图 4， ，易知， ，故四边形 PACB 面积的最小值为 APB APC∠ = ∠ 1sin APC PC ∠ = min 2 2PC = 2 2PC = APC∠ APB∠ 2 2( 3) 1x y− + = 12 2 2PAC PAB PABS S S S PA AC PA∆ ∆ ∆= + = = × ⋅ ⋅ =四边形PACB min 7PA = 720 方法 2：利用圆的参数方程转化为三角函数求最值 例题7： 若实数 x、y 满足 ，求 x-2y 的最大值． 【解析】本题是典型的用圆的参数方程解决的题型，利用圆的参数方程将所求式 转化为三角函数求最值，利用辅助角公式即得最大值． ，令 则 （其中 ） ∴当 时， ，故 x-2y 的最大值为 0． 【点评】和圆有关的一次式的求解，利用圆的参数方程可以比较方便的求到最值 ． 2 2 2 4 0x y x y+ + − = 2 2( 1) ( 2) 5x y+ + − = 1 5 cos ( ) 2 5 sin x R y θ θ θ  = − + ∈ = + 2 5 5 cos 2 5 sin 5cos( ) 5x y θ θ θ ϕ− = − + − = + − 5 2 5cos ,sin5 5 ϕ ϕ= = cos( ) 1θ ϕ+ = max( 2 ) 5 5 0x y− = − =21 方法 3：向函数问题转化 平面解析几何的重要内容，教学重点是让学生从中感受运用代数方法处理几何问 题的思想．有些问题，单纯利用圆的几何性质无法求解．此时应考虑如何利用代 数思想将问题转化为函数问题． 例题8： 已知圆 O： ，PA、PB 为该圆的两条切线，A、B 为两切点，则 的最小值为 【解析】本题中，由于 A、B 都是动点，故将 转化为坐标形式较难求解． 此时考虑到向量数量积的定义，令 ， ， 而切线段 PA=PB 也可用 表示，故所求式可转化为关于 的三角函数求解． 令 ， ， ， ∴ ， 令 ，则 （当且仅当 ，即 时取等号） 2 2 1x y+ = PA PB⋅  PA PB⋅  2APB α∠ = cos2PA PB PA PB α⋅ =    α α 2 ( (0, ))2APB πα α∠ = ∈ cos2PA PB PA PB α⋅ =    1 tanPA PB α= = 2 2 2 2 2 2 cos2 cos cos2 (1 sin )(1 2sin ) tan sin sinPA PB α α α α α α α α ⋅ − −⋅ = = =  2sin ( 0)t tα = > (1 )(1 2 ) 12 3 2 2 3t tPA PB tt t − −⋅ = = + − ≥ −  2 2t = 2 2sin 2 α = P A B O22 【点评】本题以向量定义为载体，巧妙地利用了设角为变量，将与圆有关的问题 转化为三角函数的问题求解．将几何问题代数化，利用函数思想求解．同时运用 了换元思想，基本不等式思想等解题方法，是一道综合题．23 C A E F G H x y O M N 方法 4：向基本不等式问题转化 例题9： 已知圆 C： ， 过点 做两条互相垂直的直线 ， 交 圆 C 与 E、F 两点， 交圆 C 与 G、H 两点， （1）EF+GH 的最大值． (2) 求四边形 EGFH 面积的最大值． 【解析】由于 EF 和 GH 都是圆的弦长，因此可利用 将 EF+GH 转化，难点是转化后要利 用基本不等式的相关知识点． （1）令圆心 C 到弦 EF 的距离为 ，到弦 GH 的距离为 ，则 EF+GH ，又 ， 由： （当且仅当 取等号）故 EF+GH （2）∵ ， ∴ （当且仅当 取等号） 【点评】本题（1）是利用 ，（2）是利用 ．基本不 等式是求最值的基本方法．在利用基本不等式求最值时应注意如何构造“定量” 2 2+2 4x y+ =（ ） ( 1,0)A − 1 2l l、 1l 2l 2 2 2= +半径 半弦长 弦心距 1d 2d 2 2 1 22( 4 4 )d d= − + − 2 2 2 1 2 1d d CA+ = = 2 2 2 2 1 2 1 24 4 8 ( ) 8 1 14 2 2 2 2 d d d d− + − − + −≤ = = 1 2 2 2d d= = 8 12 142 −≤ = EF GH⊥ 2 2 2 2 1 2 1 2 8 ( )1 2 4 4 2 72 2 d dS EF GH d d − += ⋅ = − ⋅ − ≤ ⋅ =四边形EFGH 1 2 2 2d d= = 2 2 2 2 a b a b+ +≤ 2 a bab +≤24 ．由于圆的对称性，在与圆有关的最值问题中，应把握两个“思想”：几何思想 和代数思想．所谓几何思想，即利用圆心，将最值问题转化为与圆心有关的问题 ．所谓代数思想，即利用圆的参数方程．同时，由于最值问题从代数意义上讲和 函数的最值联系紧密，因此在解题过程中灵活的应用函数、不等式等代数思想使 问题代数化、简单化也是需要注意的．