高考数学知识点总结及高中数学解题思想方法全部内容精华版

第 1 页 共 169 页 高中数学第一章-集合 榆林教学资源网 http://www.ylhxjx.com 考试内容： 集合、子集、补集、交集、并集． 逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件． 考试要求： 榆林教学资源网 http://www.ylhxjx.com （1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包 含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． （2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充 分条件、必要条件及充要条件的意义． §01. 集合与简易逻辑集合与简易逻辑 知识要点知识要点 一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分： 二、知识回顾： （一） 集合 1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集，记为 ； ②空集是任何集合的子集，记为 ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果 ，同时 ，那么 A = B. 如果 . [注]：①Z= {整数}（√） Z ={全体整数} （×） ②已知集合 S 中 A 的补集是一个有限集，则集合 A 也是有限集.（×）（例：S=N； A= ，则 CsA= {0}） AA ⊆ A⊆φ BA ⊆ AB ⊆ CACBBA ⊆⊆⊆ ，那么， +N 第 2 页 共 169 页 ③ 空集的补集是全集. ④若集合 A=集合 B，则 CBA = ， CAB = CS（CAB）= D （ 注 ：CAB = ）. 3. ①{（x，y）|xy =0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集. ②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R 二、四象限的点集. ③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R} 一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集. 例： 解的集合{(2，1)}. ②点集与数集的交集是 . （例：A ={(x，y)| y =x+1} B={y|y =x2+1} 则 A∩B = ） 4. ①n 个元素的子集有 2n 个. ②n 个元素的真子集有 2n －1 个. ③n 个元素的非空真子 集有 2n－2 个. 5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题 逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题 逆否命题. 例：①若 应是真命题. 解：逆否：a = 2 且 b = 3，则 a+b = 5，成立，所以此命题为真. ② . 解：逆否：x + y =3 x = 1 或 y = 2. ,故 是 的既不是充分，又不是必要条件. ⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 3. 例：若 . 4. 集合运算：交、并、补. 5. 主要性质和运算律 （1） 包含关系： （2） 等价关系： （3） 集合的运算律： 交换律： 结合律: 分配律:. ∅ ∅ ∅ }    =− =+ 132 3 yx yx φ ∅ ⇔ ⇔ 325 ≠≠≠+ baba 或，则 ，且 21 ≠≠ yx 3≠+ yx 21 ≠≠∴ yx 且 3≠+ yx 3≠+ yx 21 ≠≠ yx 且 255  xxx 或，⇒ { | , } { | } { , } A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ⇔ ∈ ∈ ⇔ ∈ ∈ ⇔ ∈ ∉   U 交： 且 并： 或 补： 且C , , , , , ; , ; , . UA A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B ⊆ Φ ⊆ ⊆ ⊆ ⊆ ⊆ ⇒ ⊆ ⊆ ⊆ ⊇ ⊇    C UA B A B A A B B A B U⊆ ⇔ = ⇔ = ⇔ =  C .; ABBAABBA  == )()();()( CBACBACBACBA  == )()()();()()( CABACBACABACBA  == 第 3 页 共 169 页 0-1 律： 等幂律： 求补律：A∩CUA=φ A∪CUA=U CUU=φ CUφ=U 反演律：CU(A∩B)= (CUA)∪(CUB) CU(A∪B)= (CUA)∩(CUB) 6. 有限集的元素个数 定义：有限集 A 的元素的个数叫做集合 A 的基数，记为 card( A)规定 card(φ) =0. 基本公式： (3) card(UA)= card(U)- card(A) (二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式的解法 根轴法（零点分段法） ①将不等式化为 a0(x-x1)(x-x2)…(x-xm)>0(0”,则找“线”在 x 轴上方的区间；若不等 式是“b 解的讨论； ②一元二次不等式 ax2+box>0(a>0)解的讨论. 二次函数 （ ）的图象 , , ,A A A U A A U A UΦ = Φ Φ = = =    ., AAAAAA ==  (1) ( ) ( ) ( ) ( ) (2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) card A B card A card B card A B card A B C card A card B card C card A B card B C card C A card A B C = + − = + + − − − +          + - + -x1 x2 x3 xm- 3 xm- 2 xm- 1 xm x )0)(0(0 0 2 2 1 10 >++++ −− aaxaxaxa n nnn  0>∆ 0=∆ 0a 第 4 页 共 169 页 原 命 题 若 p则 q 否 命 题 若 ┐p则 ┐q 逆 命 题 若 q则 p 逆 否 命 题 若 ┐q则 ┐p 互 为 逆 否 互 逆 否 互 为 逆 否 互 互 逆 否 互 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 R 2.分式不等式的解法 （1）标准化：移项通分化为 >0(或 =++ a cbxax )(, 2121 xxxx < a bxx 221 −== 的解集)0( 02 > >++ a cbxax { }21 xxxxx >< 或       −≠ a bxx 2 的解集)0( 02 > 0)( 0)()(0)( )(;0)()(0)( )( xg xgxf xg xfxgxfxg xf cbax >+ ccbax 第 5 页 共 169 页 原命题：若 P 则 q； 逆命题：若 q 则 p； 否命题：若┑P 则┑q；逆否命题：若┑q 则┑p。 (1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题； (2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题； (3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题． 5、四种命题之间的相互关系： 一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题 逆否命题) ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 6、如果已知 p q 那么我们说，p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。 若 p q 且 q p,则称 p 是 q 的充要条件，记为 p⇔q. 7、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出(与已知、公理、定理…)矛盾，从 而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。 高中数学第二章-函数 考试内容： 映射、函数、函数的单调性、奇偶性． 反函数．互为反函数的函数图像间的关系． 指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数． 对数．对数的运算性质．对数函数． 函数的应用． 考试要求： （1）了解映射的概念，理解函数的概念． （2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法． （3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数． （4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像 和性质． （5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质． （6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题． §02. 函数函数 知识要点知识要点 一、本章知识网络结构： ⇔ ⇒ ⇒ ⇒ 第 6 页 共 169 页 二、知识回顾： （一） 映射与函数 1. 映射与一一映射 2.函数 函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因 为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数 才是同一函数. 3.反函数 反函数的定义 设函数 的值域是 C，根据这个函数中 x,y 的关系，用 y 把 x 表 示出，得到 x= (y). 若对于 y 在 C 中的任何一个值，通过 x= (y)，x 在 A 中都有唯一 的值和它对应，那么，x= (y)就表示 y 是自变量，x 是自变量 y 的函数，这样的函数 x= (y) (y C)叫做函数 的反函数，记作 ,习惯上改写成 （二）函数的性质 ⒈函数的单调性 定义：对于函数 f(x)的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1,x2, ⑴若当 x1   AB a=  l e l l A l A′ B l B′ A B′ ′ AB l e A B′ ′ | | | | cos , | |A B AB a e a e′ ′ = < >= ⋅      | | cos ,a e a a e⋅ = < >     0a b a b⊥ ⇔ ⋅ =   2| |a a a= ⋅   ( ) ( ) ( )a b a b a bλ λ λ⋅ = ⋅ = ⋅     a b b a⋅ = ⋅   ( )a b c a b a c⋅ + = ⋅ + ⋅      第 31 页 共 169 页 应为纵轴），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）. ①令 =(a1,a2,a3), ，则 ∥ (用到常用的向量模与向量之间的转化： ) ②空间两点的距离公式： . （2）法向量：若向量 所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ，记作 ， 如果 那么向量 叫做平面 的法向量. （3）用向量的常用方法： ①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设 n 是平面 的法向量，AB 是平面 的一条射 线，其中 ，则点 B 到平面 的距离为 . ②利用法向量求二面角的平面角定理：设 分别是二面角 中平面 的法向量， 则 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（ 方向相同，则为补角， 反方，则为其夹角）. ③证直线和平面平行定理：已知直线 平面 ， ，且 CDE 三点不共线， 则 a∥ 的充要条件是存在有序实数对 使 .（常设 求 解 若 存在即证毕，若 不存在，则直线 AB 与平面相交）. a ),,( 321 bbbb = ),,( 332211 babababa ±±±=+ ))(,,( 321 Raaaa ∈= λλλλλ 332211 babababa ++=⋅ a )(,, 332211 Rbababab ∈===⇔ λλλλ 3 3 2 2 1 1 b a b a b a ==⇔ 0332211 =++⇔⊥ babababa 222 321 aaaaaa ++=⋅= aaaaaa ⋅=⇒⋅=2 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 332211 |||| ,cos bbbaaa bababa ba baba ++⋅++ ++= ⋅ ⋅>=<   2 12 2 12 2 12 )()()( zzyyxxd −+−+−= a α α α⊥a α⊥a a α α α α∈A α || || n nAB⋅ 21 , nn βα −−l βα, 21 , nn 21 , nn 21 , nn ≠⊄a α α∈⋅∈⋅ DCaBA , α µλ ⋅ CECDAB µλ += CECDAB µλ += µλ, µλ, µλ, α ▲ n B C A α β ▲ n2 n1 α C E D A B 第 32 页 共 169 页 高中数学第六章-不等式 考试内容： 不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 考试要求： （1）理解不等式的性质及其证明． （2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会 简单的应用． （3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （4）掌握简单不等式的解法． （5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│ §06. 不不 等等 式式 知识要点知识要点 1. 不等式的基本概念 （1） 不等（等）号的定义： （2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3） 同向不等式与异向不等式. （4） 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 （1） （对称性） （2） （传递性） （3） （加法单调性） （4） （同向不等式相加） （5） （异向不等式相减） （6） （7） （乘法单调性） （8） （同向不等式相乘） （异向不等式相除） （倒数关系） （11） （平方法则） （12） （开方法则） 3.几个重要不等式 （1） .0;0;0 babababababa − abba cacbba >⇒>> , cbcaba +>+⇒> dbcadcba +>+⇒>> , dbcadcba −>−⇒ , bcaccba >⇒>> 0,. bcaccba ⇒>>>> 0,0 (9) 0,0 a ba b c d c d > > < < ⇒ > 1 1(10) , 0a b ab a b > > ⇒ < )1,(0 >∈>⇒>> nZnbaba nn 且 )1,(0 >∈>⇒>> nZnbaba nn 且 0,0||, 2 ≥≥∈ aaRa 则若 第 33 页 共 169 页 （2） （当仅当 a=b 时取等号） （3）如果 a,b 都是正数，那么 （当仅当 a=b 时取等号） 极值定理：若 则： ○1 如果 P 是定值, 那么当 x=y 时，S 的值最小； ○2 如果 S 是定值, 那么当 x=y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等. （当仅当 a=b=c 时取等号） （当仅当 a=b 时取等号） （7） 4.几个著名不等式 （1）平均不等式： 如果 a,b 都是正数，那么 （当仅当 a=b 时 取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b 为正数）： 特别地， （当 a = b 时， ） 幂平均不等式： 注：例如： . 常用不等式的放缩法：① ② （2）柯西不等式： （3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数 若定义在某区间上的函数 f(x),对于定义域中任意两点 有 则称 f(x)为凸（或凹）函数. )2||2(2, 2222 ababbaabbaRba ≥≥+≥+∈ + 或则、若 .2 a bab +≤ , , , ,x y R x y S xy P+∈ + = = 3, 3 a b ca b c R abc+ + +∈ ≥( 4) 若 、 、 则 0, 2b aab a b > + ≥( 5) 若 则 2 2 2 2(6) 0 | | ; | |a x a x a x a x a x a x a a x a> > ⇔ > ⇔ < − >> < ⇔ < ⇔ − < b 解的讨论； ②一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a≠0)解的讨论. （2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 （3）无理不等式：转化为有理不等式求解 ○1 ○2 ○3 （4）.指数不等式：转化为代数不等式 （5）对数不等式：转化为代数不等式 （6）含绝对值不等式 ○1 应用分类讨论思想去绝对值； ○2 应用数形思想； ○3 应用化归思想等价转化 注：常用不等式的解法举例（x 为正数）： ① ② 类似于 ，③ ( ) ( ) 0( ) ( )0 ( ) ( ) 0; 0 ( ) 0( ) ( ) f x g xf x f xf x g x g xg x g x ≥> ⇔ > ≥ ⇔  ≠ ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) f x f x g x g x f x g x  ≥  ⇒ > ⇔ ≥   > 定义域  < ≥    > ≥ ≥ ⇔> 0)( 0)( )]([)( 0)( 0)( )()( 2 xg xf xgxf xg xf xgxf 或    < ≥ ≥ ⇔< 2)]([)( 0)( 0)( )()( xgxf xg xf xgxf ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ); (0 1) ( ) ( ) ( 0, 0) ( ) lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a b a b f x a b > > ⇔ > > < < ⇔ < > > > ⇔ ⋅ > ( ) 0 ( ) 0 log ( ) log ( )( 1) ( ) 0 ; log ( ) log ( )(0 1) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) a a a a f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x > >   > > ⇔ > > < < ⇔ >   > −< >≤⇔>  |F1F2|) 的点的轨迹 1．到两定点 F1,F2 的距 离之差的绝对值为定值 2a(00) y2=2px方 程 参数 方程 (t 为参数) 范围 ─a≤x≤a，─b≤y≤b |x| ≥ a，y∈R x≥0 中心 原点 O（0，0） 原点 O（0，0） 顶点 (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) (a,0), (─a,0) (0,0) 对称轴 x 轴，y 轴； 长轴长 2a,短轴长 2b x 轴，y 轴; 实轴长 2a, 虚轴长 2b. x 轴 焦点 F1(c,0), F2(─c,0) F1(c,0), F2(─c,0) 焦距 2c （c= ） 2c （c= ） 离心率 e=1 准线 x= x= 渐近线 y=± x 焦半径 通径 2p 焦参数 P 12 2 2 2 =+ b y a x ba > 12 2 2 2 =− b y a x 为离心角）参数θ θ θ ( sin cos  = = by ax 为离心角）参数θ θ θ ( tan sec  = = by ax  = = pty ptx 2 2 2 )0,2( pF 22 ba − 22 ba + )10( =<   2 12 2 12 2 12 )()()( zzyyxxd −+−+−= a α α α⊥a α⊥a a α A D C M B G 第 54 页 共 169 页 ①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设 n 是平面 的法向量，AB 是平面 的一条射 线，其中 ，则点 B 到平面 的距离为 . ②利用法向量求二面角的平面角定理：设 分别是二面角 中平面 的法向量， 则 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（ 方向相同，则为补角， 反方，则为其夹角）. ③证直线和平面平行定理：已知直线 平面 ， ，且 CDE 三点不共线， 则 a∥ 的充要条件是存在有序实数对 使 .（常设 求 解 若 存在即证毕，若 不存在，则直线 AB 与平面相交）. II. 竞赛知识要点 一、四面体. 1. 对照平面几何中的三角形，我们不难得到立体几何中的四面体的类似性质： ①四面体的六条棱的垂直平分面交于一点，这一点叫做此四面体的外接球的球心； ②四面体的四个面组成六个二面角的角平分面交于一点，这一点叫做此四面体的内接球的球 心； ③四面体的四个面的重心与相对顶点的连接交于一点，这一点叫做此四面体的重心，且重心 将每条连线分为 3︰1； ④12 个面角之和为 720°，每个三面角中任两个之和大于另一个面角，且三个面角之和为 180°. 2. 直角四面体：有一个三面角的三个面角均为直角的四面体称为直角四面体，相当于平面 几何的直角三角形. （在直角四面体中，记 V、l、S、R、r、h 分别表示其体积、六条棱长 之和、表面积、外接球半径、内切球半径及侧面上的高），则有空间勾股定理：S2△ABC+S2△ BCD+S2△ABD=S2△ACD. 3. 等腰四面体：对棱都相等的四面体称为等腰四面体，好象平面几何中的等腰三角形.根据 定义不难证明以长方体的一个顶点的三条面对角线的端点为顶点的四面体是等腰四面体，反 之也可以将一个等腰四面体拼补成一个长方体. （在等腰四面体 ABCD 中，记 BC = AD =a，AC = BD = b，AB = CD = c，体积为 V，外接 球半径为 R，内接球半径为 r，高为 h），则有 ①等腰四面体的体积可表示为 ； ②等腰四面体的外接球半径可表示为 ； α α α∈A α || || n nAB⋅ 21 , nn βα −−l βα, 21 , nn 21 , nn 21 , nn ≠⊄a α α∈⋅∈⋅ DCaBA , α µλ ⋅ CECDAB µλ += CECDAB µλ += µλ, µλ, µλ, α ▲ n B C A α β ▲ n2 n1 α C E D A B 2223 1 222222222 cbabacacbV −+⋅−+⋅−+= 222 4 2 cbaR ++= O A B C D 第 55 页 共 169 页 ③等腰四面体的四条顶点和对面重心的连线段的长相等，且可表示为 ； ④h = 4r. 二、空间正余弦定理. 空间正弦定理：sin∠ABD/sin∠A-BC-D=sin∠ABC/sin∠A-BD-C=sin∠CBD/sin∠C-BA-D 空间余弦定理：cos∠ABD=cos∠ABCcos∠CBD+sin∠ABCsin∠CBDcos∠A-BC-D 立体几何知识要点 一、知识提纲 （一）空间的直线与平面 ⒈平面的基本性质 　⑴三个公理及公理三的三个推论和它们的用途．　⑵斜二测画法． ⒉空间两条直线的位置关系：相交直线、平行直线、异面直线． 　⑴公理四（平行线的传递性）．等角定理． 　⑵异面直线的判定：判定定理、反证法． 　⑶异面直线所成的角：定义（求法）、范围． ⒊直线和平面平行 　直线和平面的位置关系、直线和平面平行的判定与性质． ⒋直线和平面垂直 　⑴直线和平面垂直：定义、判定定理． 　⑵三垂线定理及逆定理． 5.平面和平面平行 两个平面的位置关系、两个平面平行的判定与性质． 6.平面和平面垂直 互相垂直的平面及其判定定理、性质定理． （二）直线与平面的平行和垂直的证明思路（见附图） （三）夹角与距离 7.直线和平面所成的角与二面角 　⑴平面的斜线和平面所成的角：三面角余弦公式、最小角定理、斜线和平 　　面所成的角、直线和平面所成的角． 　⑵二面角：①定义、范围、二面角的平面角、直二面角． 　　　　　　②互相垂直的平面及其判定定理、性质定理． 8.距离 　⑴点到平面的距离． 　⑵直线到与它平行平面的距离． 　⑶两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线、公垂线段． 　⑷异面直线的距离：异面直线的公垂线及其性质、公垂线段． （四）简单多面体与球 9.棱柱与棱锥 　⑴多面体． 　⑵棱柱与它的性质：棱柱、直棱柱、正棱柱、棱柱的性质． 　⑶平行六面体与长方体：平行六面体、直平行六面体、长方体、正四棱柱、 　　正方体；平行六面体的性质、长方体的性质． 　⑷棱锥与它的性质：棱锥、正棱锥、棱锥的性质、正棱锥的性质． 222 3 2 cbam ++= 第 56 页 共 169 页 　⑸直棱柱和正棱锥的直观图的画法． 10.多面体欧拉定理的发现 　⑴简单多面体的欧拉公式． 　⑵正多面体． 11.球 ⑴球和它的性质：球体、球面、球的大圆、小圆、球面距离． 　⑵球的体积公式和表面积公式． 二、常用结论、方法和公式 1.从一点 O 出发的三条射线 OA、OB、OC，若∠AOB=∠AOC，则点 A 在平面∠BOC 上的射影在∠BOC 的平分线上； 2. 已知:直二面角 M－AB－N 中，AE M，BF N,∠EAB= ,∠ABF= ，异面 直线 AE 与 BF 所成的角为 ，则 3.立平斜公式：如图，AB 和平面所成的角是 ，AC 在平面内，BC 和 AB 的射影 BA1 成 ，设∠ABC= ,则 cos cos =cos ； 4.异面直线所成角的求法： （1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线； （2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方 体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系； 5.直线与平面所成的角 斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜 线段及斜线段在平面上的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足 和斜足的连线，是产生线面角的关键； 6.二面角的求法 （1）定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂 线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性； （2）三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定 理作出二面角的平面角； （3）垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的 交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直； （4）射影法：利用面积射影公式 S 射＝S 原 cos ,其中 为平面角的大小，此法不必在 图形中画出平面角； 特别:对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后 再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。 7.空间距离的求法 （1）两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂线，所以一般先利用垂直作出公垂线， 然后再进行计算； （2）求点到直线的距离，一般用三垂线定理作出垂线再求解； （3）求点到平面的距离，一是用垂面法，借助面面垂直的性质来作，因此，确定已知 面的垂面是关键；二是不作出公垂线，转化为求三棱锥的高，利用等体积法列方程求 解； ⊂ ⊂ 1θ 2θ θ ;coscoscos 21 θθθ = 1θ 2θ 3θ 1θ 2θ 3θ θ θ A B C A D A1 α 第 57 页 共 169 页 8.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等，记为 ，则 S 侧 cos =S 底； 9.已知:长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为 因此有 cos2 +cos2 +cos2 =1; 若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为 则 有 cos2 +cos2 +cos2 =2; 10.正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长； 11.欧拉公式：如果简单多面体的顶点数为 V,面数为 F,棱数为 E.那么 V+F－E=2；并且 棱数 E＝各顶点连着的棱数和的一半＝各面边数和的一半； 12.柱体的体积公式：柱体（棱柱、圆柱）的体积公式是 V 柱体=Sh.其中 S 是柱体的底面积， h 是柱体的高. 13.直棱柱的侧面积和全面积 S 直棱柱侧= c (c 表示底面周长， 表示侧棱长) S 棱柱全=S 底+S 侧 14．棱锥的体积:V 棱锥= ，其中 S 是棱锥的底面积，h 是棱锥的高。 15.球的体积公式 V= ，表面积公式 ；掌握球面上两点 A、B 间的距离 求法：（1）计算线段 AB 的长，（2）计算球心角∠AOB 的弧度数；(3)用弧长公式计 算劣弧 AB 的长； θ θ ,,, γβα α β γ ,,, γβα α β γ   Sh3 1 3 3 4 Rπ 24 RS π= 第 58 页 共 169 页 高中数学第十章-排列组合二项定理 考试内容： 分类计数原理与分步计数原理． 排列．排列数公式． 组合．组合数公式．组合数的两个性质． 二项式定理．二项展开式的性质． 考试要求： （1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题． （2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题． （3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的 应用问题． （4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题． §10. 排列组合二项定理排列组合二项定理 知识要点知识要点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可以有重复元素的排列. 从 m 个不同元素中，每次取出 n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排， 那么第一、第二……第 n 位上选取元素的方法都是 m 个，所以从 m 个不同元素中，每次取 出 n 个元素可重复排列数 m·m·… m = m n.. 例如：n 件物品放入 m 个抽屉中，不限放法，共 有多少种不同放法？ （解： 种） 二、排列. 1. ⑴对排列定义的理解. 定义：从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从 n 个不同 元素中取出 m 个元素的一个排列. ⑵相同排列. 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相 同. ⑶排列数. 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素排成一列，称为从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 一个排列. 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列数，用符号 表示. ⑷排列数公式： 注意： 规定 0! = 1 规定 2. 含有可重元素的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集 S 有 k 个不同元素 a1，a2,…...an 其中限重复数 nm m nA ),,()!( !)1()1( Nmnnmmn nmnnnAm ∈≤−=+−−=  !)!1(! nnnn −+=⋅ 11 1 −− + +=⋅+= m n m n m n m m m n m n mAACAAA 1 1 − −= m n m n nAA 10 == n nn CC 第 59 页 共 169 页 为 n1、n2……nk，且 n = n1+n2+……nk , 则 S 的排列个数等于 . 例如：已知数字 3、2、2，求其排列个数 又例如：数字 5、5、5、求其排列个 数？其排列个数 . 三、组合. 1. ⑴组合：从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合. ⑵组合数公式： ⑶两个公式：① ② ①从 n 个不同元素中取出 m 个元素后就剩下 n-m 个元素，因此从 n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从 n 个不同元素中取出 n-m 个元素的 唯一的一个组合. （或者从 n+1 个编号不同的小球中，n 个白球一个红球，任取 m 个不同小球其不同选法， 分二类，一类是含红球选法有 一类是不含红球的选法有 ） ②根据组合定义与加法原理得；在确定 n+1 个不同元素中取 m 个元素方法时，对于某一元 素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的 n 个元素中再取 m-1 个元 素，所以有 C ，如果不取这一元素，则需从剩余 n 个元素中取出 m 个元素，所以共有 C 种，依分类原理有 . ⑷排列与组合的联系与区别. 联系：都是从 n 个不同元素中取出 m 个元素. 区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系. ⑸①几个常用组合数公式 ②常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如： （利用 ） ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法. !!...! ! 21 knnn nn = 3!2!1 )!21( =+=n 1!3 !3 ==n )!(! ! ! )1()1( mnm nCm mnnn A AC m nm m m nm n −=+−−==  ;mn n m n CC −= m n m n m n CCC 1 1 + − =+ 1m n 1 1 1m n CCC −− =⋅ m nC 1−m n m n m n m n m n CCC 1 1 + − =+ nn nnnn CCC 2210 =+++  1 1 1 1 1 121 1531420 1 1 1 1 2 + + − − + +++++ − +=+ = =++ =+++=+++ k n k n k n k n m nm m nm m m m m m n n nnnnnn CnCk nCkC CCCCC CCCCCC   )!1( 11)!1(!4 3 !3 2 !2 1 +−=++++ nn n  ! 1 )!1( 1 ! 1 nnn n −−=− 第 60 页 共 169 页 v. 递推法（即用 递推）如： . vi. 构造二项式. 如： 证明：这里构造二项式 其中 的系数，左边为 ，而右边 四、排列、组合综合. 1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型： ①直接法. ②排除法. ③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后 再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n 个不同元素排 成一列，要求其中某 个元素必相邻的排列有 个.其中 是一个“整体 排列”，而 则是“局部排列”. 又例如①有 n 个不同座位，A、B 两个不能相邻，则有排列法种数为 . ②有 n 件不同商品，若其中 A、B 排在一起有 . ③有 n 件不同商品，若其中有二件要排在一起有 . 注：①③区别在于①是确定的座位，有 种；而③的商品地位相同，是从 n 件不同商品任 取的 2 个，有不确定性. ④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法 主要解决“元素不相邻问题”. 例如：n 个元素全排列，其中 m 个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？ （插 空法），当 n – m+1≥m, 即 m≤ 时有意义. ⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元 素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采 用“先特殊后一般”的解题原则. ⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将 n 个元素进行全排列有 种， 个元素的全排列有 种，由于要求 m 个元素次序一定，因此只能取其中的某 一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若 n 个元素排成一列，其中 m 个元素次序 一定，共有 种排列方法. 例如：n 个元素全排列，其中 m 个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？ m n m n m n CCC 1 1 + − =+ 4 1 33 5 3 4 3 3 +=+++ nn CCCCC  n n n nnn CCCC 2 22120 )()()( =+++  nnn xxx 2)1()1()1( +=++ nx 22120022110 )()()( n nnnn n n n nn n nn n nn CCCCCCCCCCC +++=⋅++⋅+⋅+⋅ −−  n nC 2= )( nmm ≤ m m mn mn AA ⋅+− +− 1 1 1 1 +− +−mn mnA m mA −2 nA 2 2 1 1 AAn ⋅− 2 2 1 1 AAn n ⋅− − 1 1 2 − −⋅ n nn AA 2 2A m mn mn mn AA 1+− − − ⋅ 2 1+n n nA )( nmm  m mA m m n n A A 第 61 页 共 169 页 解法一：（逐步插空法）（m+1 ）（m+2 ）…n = n ！/ m ！；解法二：（比例分配法） . ⑦平均法：若把 kn 个不同元素平均分成 k 组，每组 n 个，共有 . 例如：从 1，2，3，4 中任取 2 个元素将其平均分成 2 组有几种分法？有 （平均分组 就用不着管组与组之间的顺序问题了）又例如将 200 名运动员平均分成两组，其中两名种子 选手必在一组的概率是多少？ （ ） 注意：分组与插空综合. 例如：n 个元素全排列，其中某 m 个元素互不相邻且顺序不变，共 有多少种排法？有 ，当 n – m+1 ≥m, 即 m≤ 时有意义. ⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题. 例如： 的正整数解的组数就可建立组合模型将 12 个完全相同的球排成一 列，在它们之间形成 11 个空隙中任选三个插入 3 块摸板，把球分成 4 个组.每一种方法所得 球的数目依次为 显然 ，故（ ）是方程的一组解.反之， 方程的任何一组解 ，对应着惟一的一种在 12 个球之间插入隔板的方式（如图 所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板 的方法数 . 注 意 ： 若 为 非 负 数 解 的 x 个 数 ， 即 用 中 等 于 ， 有 ，进而转化为求 a 的正整数解的个数为 . ⑨定位问题：从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列规定某 r 个元素都包含在内， 并且都排在某 r 个指定位置则有 . 例如：从 n 个不同元素中，每次取出 m 个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固 定在）某一位置上，共有多少种排法？ 固定在某一位置上： ；不在某一位置上： 或 （一类是不取出 特殊元素 a，有 ，一类是取特殊元素 a，有从 m-1 个位置取一个位置，然后再从 n-1 个 元素中取 m-1，这与用插空法解决是一样的） ⑩指定元素排列组合问题. i. 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同的元素作排列（或组合），规定某 r 个元素都包含在 内 。先 C 后 A 策略，排列 ；组合 . m m n n AA / k k n n n nk n kn A CCC )1( −⋅ 3!2 2 4 =C !2/10 20 2 2 8 18 C CCP = m m m mn mn mn AAA /1+− − − ⋅ 2 1+n 124321 =+++ xxxx 4321 ,,, xxxx 124321 =+++ xxxx 4321 ,,, xxxx ),,,( 4321 yyyy 3 11C naaa ,..., 21 ia 1+ix AaaaAxxxx nn =−+−+−⇒=+++ 1...11... 21321 1− + n nAC rk rn r r AA − − 1 1 − − m nA 1 1 − −− m n m n AA 1 1 1 11 − −−− ⋅+ m nm m n AAA m nA 1− k k rk rn r r ACC − − rk rn r r CC − − x1 x2 x3 x4 第 62 页 共 169 页 ii. 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列（或组合），规定某 r 个元素都不包含 在内。先 C 后 A 策略，排列 ；组合 . iii 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合） 都只包含某 r 个元素中的 s 个元素。先 C 后 A 策略，排列 ；组合 . II. 排列组合常见解题策略： ①特殊元素优先安排策略；②合理分类与准确分步策略；③排列、组合混合问题先选后排的 策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）；④正难则反，等价转化策略；⑤ 相邻问题插空处理策略； ⑥不相邻问题插空处理策略；⑦定序问题除法处理策略；⑧分排问题直排处理的策略；⑨“小 集团”排列问题中先整体后局部的策略；⑩构造模型的策略. 2. 组合问题中分组问题和分配问题. ①均匀不编号分组：将 n 个不同元素分成不编号的 m 组，假定其中 r 组元素个数相等，不 管是否分尽，其分法种数为 （其中 A 为非均匀不编号分组中分法数）.如果再有 K 组 均匀分组应再除以 . 例：10 人分成三组，各组元素个数为 2、4、4，其分法种数为 .若分成 六组，各组人数分别为 1、1、2、2、2、2，其分法种数为 ②非均匀编号分组: n 个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其 分法种数为 例：10 人分成三组，各组人数分别为 2、3、5，去参加不同的劳动，其安排方法为： 种. 若从 10 人中选 9 人分成三组，人数分别为 2、3、4，参加不同的劳动，则安排方法有 种 ③均匀编号分组：n 个不同元素分成 m 组，其中 r 组元素个数相同且考虑各组间的顺序， 其分法种数为 . 例：10 人分成三组，人数分别为 2、4、4，参加三种不同劳动，分法种数为 ④非均匀不编号分组：将 n 个不同元素分成不编号的 m 组，每组元素数目均不相同，且不 考虑各组间顺序，不管是否分尽，其分法种数为 … 例：10 人分成三组，每组人数分别为 2、3、5，其分法种数为 若从 10 人中选 出 6 人分成三组，各组人数分别为 1、2、3，其分法种数为 . k k k rn AC − k rnC − k k sk rn s r ACC − − sk rn s r CC − − r rAA/ k kA 1575/ 2 2 4 4 4 8 2 10 =ACCC 4 4 2 2 2 2 2 4 2 6 2 8 1 9 1 10 / AACCCCCC ⋅ m mAA⋅ 3 3 5 5 3 8 2 10 ACCC ⋅⋅⋅ 3 3 4 5 3 8 2 10 ACCC ⋅ m m r r AAA ⋅/ 3 32 2 4 4 4 8 2 10 AA CCC ⋅ 1m nCA = 2 1 m m-nC km )m...m(m-n 1-k21 C +++ 25205 5 3 8 2 10 =CCC 126003 7 2 9 1 10 =CCC 第 63 页 共 169 页 五、二项式定理. 1. ⑴二项式定理： . 展开式具有以下特点： ① 项数：共有 项； ② 系数：依次为组合数 ③ 每一项的次数是一样的，即为 n 次，展开式依 a 的降幕排列，b 的升幕排列展开. ⑵二项展开式的通项. 展开式中的第 项为： . ⑶二项式系数的性质. ①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等； ②二项展开式的中间项二项式系数最大. I. 当 n 是偶数时，中间项是第 项，它的二项式系数 最大； II. 当 n 是奇数时，中间项为两项，即第 项和第 项，它们的二项式系数 最大. ③系数和： 附：一般来说 为常数）在求系数最大的项或最小的项时均可直接根据性质二求 解. 当 时，一般采用解不等式组 的系数或系数 的绝对值）的办法来求解. ⑷ 如 何 来 求 展 开 式 中 含 的 系 数 呢 ？ 其 中 且 把 视 为 二 项 式 ， 先 找 出 含 有 的 项 ， 另 一 方 面 在 中 含 有 的 项 为 ， 故 在 中 含 的 项 为 .其系数为 . 2. 近似计算的处理方法. 当 a 的绝对值与 1 相比很小且 n 不大时，常用近似公式 ，因为这时展开式的后 面部分 很小，可以忽略不计。类似地，有 但使用这两个 公式时应注意 a 的条件，以及对计算精确度的要求. nn n rrnr n n n n n n baCbaCbaCbaCba 01100)( +++++=+ −−  1+n ;,,,,,, 210 n n r nnnn CCCCC  nba )+（ 1+r ),0(1 ZrnrbaCT rrnr nr ∈≤≤= − + 12 +n 2 n nC 2 1+n 12 1 ++n 2 1 2 1 +− = n n n n CC 131420 10 2 2 −=++=+++ =+++ n nnnnn nn nnn CCCCC CCC   babyax n ,()( + 11 ≠≠ ba 或 1 1 1 1 1 (, + − + − +    ≤ ≤    ≥ ≥ kk kk kk kk kk TAAA AA AA AA 为或 ncba )( ++ rqp cba ,,, Nrqp ∈ nrqp =++ nn cbacba ])[()( ++=++ rC rrnr n CbaC −+ )( rnba −+ )( qb qpq rn qqrnq rn baCbaC − −− − = ncba )( ++ rqp cba rqpq rn r n cbaCC − r r q pn p n q rn r n CCCpqr n qrnq rn rnr nCC −− ==−− −⋅−= !!! ! )!(! )!( )!(! ! naa n +≈+ 1)1( nn nnn aCaCaC +++  3322 naa n −≈− 1)1( 第 64 页 共 169 页 高中数学第十一章-概率 考试内容： 随机事件的概率．等可能性事件的概率．互斥事件有一个发生的概率．相互独立事件同时发 生的概率．独立重复试验． 考试要求： （1）了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义． （2）了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的 概率。 （3）了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件 的概率乘法公式计算一些事件的概率． （4）会计算事件在 n 次独立重复试验中恰好发生κ次的概率． §11. 概率概率 知识要点知识要点 1. 概率：随机事件 A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值. 2. 等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年 n 个，且所有结果出现的可能 性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是 ，如果某个事件 A 包含的结果有 m 个，那 么事件 A 的概率 . 3. ①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件 A、B 互斥，那么事件 A+B 发 生 ( 即 A 、 B 中 有 一 个 发 生 ) 的 概 率 ， 等 于 事 件 A 、 B 分 别 发 生 的 概 率 和 ， 即 P(A+B)=P(A)+P(B)，推广： . ②对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件. 例如：从 1～52 张扑克牌中任 取一张抽到“红桃”与抽到“黑桃”互为互斥事件，因为其中一个不可能同时发生，但又不能保 证其中一个必然发生，故不是对立事件.而抽到“红色牌”与抽到黑色牌“互为对立事件，因为 其中一个必发生. 注意：i.对立事件的概率和等于 1： . ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件. ③相互独立事件：事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响.这样的两个事 件叫做相互独立事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的 积，即 P(A·B)=P(A)·P(B). 由此，当两个事件同时发生的概率 P（AB）等于这两个事件发生 概率之和，这时我们也可称这两个事件为独立事件.例如：从一副扑克牌（52 张）中任抽一 张设 A：“抽到老 K”；B：“抽到红牌”则 A 应与 B 互为独立事件[看上去 A 与 B 有关系很有 可能不是独立事件，但 .又事件 AB 表示“既抽到老 K 对抽到红牌”即“抽到红桃老 K 或方块老 K”有 ，因此有 . 推广：若事件 相互独立，则 . n 1 n mP(A) = )P(A)P(A)P(A)AAP(A n21n21 +++=+++  1)AP(A)AP(P(A) =+=+ 26 1P(B)P(A),2 1 52 26P(B),13 1 52 4P(A) =⋅==== 26 1 52 2B)P(A ==⋅ )BP(AP(B)P(A) ⋅=⋅ n21 ,A,,AA  )P(A)P(A)P(A)AAP(A n21n21  ⋅=⋅ 互斥 对立 第 65 页 共 169 页 注意：i. 一般地，如果事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与 与 B， 与 也都相互独立. ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的. iii. 独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个 事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件. ④独立重复试验：若 n 次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结 果，则称这 n 次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为 P，那么在 n 次独立 重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率： . 4. 对任何两个事件都有 第十二章-概率与统计 考试内容： 抽样方法.总体分布的估计． 总体期望值和方差的估计． 考试要求： （1）了解随机抽样了解分层抽样的意义，会用它们对简单实际问题进行抽样． （2）会用样本频率分布估计总体分布． （3）会用样本估计总体期望值和方差． §12. 概率与统计 知识要点知识要点 一、随机变量. 1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件： ①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一 个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验 会出现哪一个结果. 它就被称为一个随机试验. 2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随 机变量叫做离散型随机变量.若 ξ 是一个随机变量，a，b 是常数.则 也是一个随机变 量.一般地，若 ξ 是随机变量， 是连续函数或单调函数，则 也是随机变量.也就是说， 随机变量的某些函数也是随机变量. 设离散型随机变量 ξ 可能取的值为： ξ 取每一个值 的概率 ，则表称为随机变量 ξ 的概率分布，简称 ξ 的 分布列. … … P … … 有性质① ； ② . 注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如： 即 可以取 0～5 之间的一切数，包括整数、小数、无理数. AB, A B knkk nn P)(1PC(k)P −−= )()()()( BAPBPAPBAP ⋅−+=+ ba += ξη )(xf )(ξf  ,,,, 21 ixxx ),2,1(1 =ix ii pxP == )(ξ ξ 1x 2x ix 1p 2p ip ,2,1,01 =≥ ip 121 =++++  ippp ]5,0[∈ξ ξ 第 66 页 共 169 页 3. ⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是 P，那么在 n 次独立重复试验中这个 事件恰好发生 k 次的概率是： [其中 ] 于是得到随机变量 ξ 的概率分布如下：我们称这样的随机变量 ξ 服从二项分布，记作 ～B （n·p），其中 n，p 为参数，并记 . ⑵二项分布的判断与应用. ①二项分布，实际是对 n 次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行 n 次独立重复，且 每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布. ②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只 有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列. 4. 几何分布：“ ”表示在第 k 次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把 k 次试验时 事件 A 发生记为 ，事 A 不发生记为 ，那么 .根据 相互独立事件的概率乘法分式： 于是得 到随机变量 ξ 的概率分布列. 1 2 3 … k … P q qp … … 我们称 ξ 服从几何分布，并记 ，其中 5. ⑴超几何分布：一批产品共有 N 件，其中有 M（M＜N）件次品，今抽取 件， 则 其 中 的 次 品 数 ξ 是 一 离 散 型 随 机 变 量 ， 分 布 列 为 .〔分子是从 M 件次品中取 k 件，从 N-M 件正 品中取 n-k 件的取法数，如果规定 ＜ 时 ，则 k 的范围可以写为 k=0，1，…，n.〕 ⑵ 超 几 何 分 布 的 另 一 种 形 式 ： 一 批 产 品 由 a 件 次 品 、 b 件 正 品 组 成 ， 今 抽 取 n 件 （1≤n≤a+b），则次品数 ξ 的分布列为 . ⑶超几何分布与二项分布的关系. 设一批产品由 a 件次品、b 件正品组成，不放回抽取 n 件时，其中次品数 ξ 服从超几何分布. 若放回式抽取，则其中次品数 的分布列可如下求得：把 个产品编号，则抽取 n 次共有 个 可 能 结 果 ， 等 可 能 ： 含 个 结 果 ， 故 ，即 ～ .[我们先为 k 个次品 选定位置，共 种选法；然后每个次品位置有 a 种选法，每个正品位置有 b 种选法] 可以 knkk n qpCk)P(ξ −== pqnk −== 1,,,1,0  ξ p)nb(k;qpC knkk n ⋅=− k=ξ kA q)P(A,A kk = )AAAAP(k)P(ξ k1k21 −==  ))P(AAP()A)P(AP(k)P(ξ k1k21 −==  ),3,2,1(1 == − kpq k ξ pq2 pq 1k− pqp)g(k, 1k−= 3,2,1.1 =−= kpq )Nnn(1 ≤≤ )MNknM,0k(0 C CCk)P(ξ n N kn MN k M −≤−≤≤≤⋅⋅== − − m r 0C r m = n.,0,1,k C CCk)P(ξ n ba kn b k a =⋅== + − η ba + nba )( + k)(η = knkk n baC − n,0,1,2,k,)ba a(1)ba a(C b)(a baCk)P(η knkk nn knkk n =+−+= + == − − η )( ba anB +⋅ k nC 第 67 页 共 169 页 证明：当产品总数很大而抽取个数不多时， ，因此二项分布可作为超几何 分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样. 二、数学期望与方差. 1. 期望的含义：一般地，若离散型随机变量 ξ 的概率分布为 … … P … … 则称 为 ξ 的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学 期望反映了离散型随机变量取值的平均水平. 2. ⑴随机变量 的数学期望： ①当 时， ，即常数的数学期望就是这个常数本身. ②当 时， ，即随机变量 ξ 与常数之和的期望等于 ξ 的期望与这个常数 的和. ③当 时， ，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的 乘积. ⑵单点分布： 其分布列为： . ⑶两点分布： ，其分布列为：（p + q = 1） ⑷二项分布： 其分布列为 ～ .（P 为发生 的概率） ⑸几何分布： 其分布列为 ～ .（P 为发生 的概率） 3.方差、标准差的定义：当已知随机变量 ξ 的分布列为 时，则称 为 ξ 的方差. 显然 ，故 为 ξ 的 根方差或标准差.随机变量 ξ 的方差与标准差都反映了随机变量 ξ 取值的稳定与波动，集中 与离散的程度. 越小，稳定性越高，波动越小. 4.方差的性质. ⑴随机变量 的方差 .（a、b 均为常数） ⑵单点分布： 其分布列为 ⑶两点分布： 其分布列为：（p + q = 1） k)P(ηk)P(ξ =≈= ξ 1x 2x ix 1p 2p ip  ++++= nn pxpxpxE 2211ξ ba += ξη baEbaEE +=+= ξξη )( 0=a bbE =)( 1=a bEbE +=+ ξξ )( 0=b ξξ aEaE =)( ccE =×= 1ξ cP == )1(ξ ppqE =×+×= 10ξ ∑ =⋅−⋅= − npqpknk nkE knk )!(! !ξ ξ ),( pnB ξ pE 1=ξ ξ ),( pkq ξ ),2,1()( === kpxP kkξ  +−++−+−= nn pExpExpExD 2 2 2 21 2 1 )()()( ξξξξ 0≥ξD σξξσξ .D= ξD ba += ξη ξξη DabaDD 2)()( =+= 0=ξD pP == )1(ξ pqD =ξ ξ 0 1 P q p ξ 0 1 P q p 第 68 页 共 169 页 ⑷二项分布： ⑸几何分布： 5. 期望与方差的关系. ⑴如果 和 都存在，则 ⑵设 ξ 和 是互相独立的两个随机变量，则 ⑶期望与方差的转化： ⑷ （因为 为一常数） . 三、正态分布.（基本不列入考试范围） 1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量 ξ，位于 x 轴上方，ξ 落在任一区间 内的 概率等于它与 x 轴.直线 与直线 所围成的曲边梯形的面积 （如图阴影部分）的曲线叫 ξ 的密度曲线，以其作为 图像的函数 叫做 ξ 的密度函数，由于“ ” 是必然事件，故密度曲线与 x 轴所夹部分面积等于 1. 2. ⑴ 正 态 分 布 与 正 态 曲 线 ： 如 果 随 机 变 量 ξ 的 概 率 密 度 为 ： . （ 为常数，且 ），称 ξ 服从参数为 的正态分布，用 ～ 表示. 的表达式可简记为 ，它的密度曲线简称为正态曲线. ⑵正态分布的期望与方差：若 ～ ，则 ξ 的期望与方差分别为： . ⑶正态曲线的性质. ①曲线在 x 轴上方，与 x 轴不相交. ②曲线关于直线 对称. ③当 时曲线处于最高点，当 x 向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、 两边低”的钟形曲线. ④当 ＜ 时，曲线上升；当 ＞ 时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时， 以 x 轴为渐近线，向 x 轴无限的靠近. ⑤当 一定时，曲线的形状由 确定， 越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散； 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中. npqD =ξ 2p qD =ξ ξE ηE ηξηξ EEE ±=± )( η ηξηξηξξη DDDEEE +=+⋅= )(,)( 22 )( ξξξ EED −= )()()( ξξξξ EEEEE −=− ξE 0=−= ξξ EE ),[ ba ax = bx = )(xf ),( +∞−∞∈x 2 2 2 )( 2 1)( σ µ σπ −− = x exf σµ,,Rx ∈ 0σ σµ, ξ ),( 2σµN )(xf ),( 2σµN ξ ),( 2σµN 2, σξµξ == DE µ=x µ=x x µ x µ µ σ σ σ ▲ y x a b y=f(x) 第 69 页 共 169 页 3. ⑴标准正态分布：如果随机变量 ξ 的概率函数为 ，则称 ξ 服 从标准正态分布. 即 ～ 有 ， 求出，而 P（a＜ ≤b）的 计算则是 . 注意：当标准正态分布的 的 X 取 0 时，有 当 的 X 取大于 0 的数时，有 .比如 则 必然小于 0，如图. ⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若 ～ 则 ξ 的分布函数通 常用 表示，且有 . 4.⑴“3 ”原则. 假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计 假 设 里 的 变 量 服 从 正 态 分 布 .② 确 定 一 次 试 验 中 的 取 值 是 否 落 入 范 围 .③做出判断：如果 ，接受统计假设. 如果 ， 由于这是小概率事件，就拒绝统计假设. ⑵“3 ”原则的应用：若随机变量 ξ 服从正态分布 则 ξ 落在 内的概率 为 99.7％ 亦即落在 之外的概率为 0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生 了，就说明此种产品不合格（即 ξ 不服从正态分布）. 高中数学第十三章-极极 限限 考试内容： 　教学归纳法．数学归纳法应用． 　 数列的极限． 　 函数的极限．根限的四则运算．函数的连续性． 考试要求： （1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． （2）了解数列极限和函数极限的概念． （3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限． （4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质． )( 2 1)( 2 2 +∞−∞= −  xex x π ϕ ξ )1,0(N )()( xPx ≤= ξϕ )(1)( xx −−= ϕϕ ξ )()()( abbaP ϕϕξ −=≤ )(xΦ 5.0)( =Φ x )(xΦ 5.0)( xΦ 5.00793.0)5.0( =−Φ σ µ σ µ−5.0 ξ ),( 2σµN )(xF )σ μx(F(x)x)P(ξ −==≤ ϕ σ ),( 2σµN a )3,3( σµσµ +− )3,3( σµσµ +−∈a )3,3( σµσµ +−∉a σ ),( 2σµN )3,3( σµσµ +− )3,3( σµσµ +− ▲ x y a 标准正态分布曲线 S阴=0.5 Sa=0.5+S S 第 70 页 共 169 页 §13. 极极 限限 知识要点知识要点 1. ⑴ 第 一 数 学 归 纳 法 ： ① 证 明 当 取 第 一 个 时 结 论 正 确 ； ② 假 设 当 （ ）时，结论正确，证明当 时，结论成立. ⑵第二数学归纳法：设 是一个与正整数 有关的命题，如果 ①当 （ ）时， 成立； ②假设当 （ ）时， 成立，推得 时， 也成立. 那么，根据①②对一切自然数 时， 都成立. 2. ⑴数列极限的表示方法： ① ②当 时， . ⑵几个常用极限： ① （ 为常数） ② ③对于任意实常数， 当 时， 当 时，若 a = 1，则 ；若 ，则 不存在 当 时， 不存在 ⑶数列极限的四则运算法则： 如果 ，那么 ① ② ③ 特别地，如果 C 是常数，那么 . ⑷数列极限的应用： n 0n kn = 0, nkNk ≥∈ + 1+= kn )(nP n 0nn = +∈ Nn0 )(nP kn ≤ 0, nkNk ≥∈ + )(nP 1+= kn )(nP 0nn ≥ )(nP aann = ∞→lim ∞→n aan → CC n = ∞→lim C ),(01lim 是常数kNk n kn ∈= ∞→ 1|| a 0lim = ∞→ n n a 1=a 1lim = ∞→ n n a 1−=a n n n n a )1(limlim −= ∞→∞→ 1a n n a∞→lim bbaa bnnn == ∞→∞→ lim,lim baba nnn ±=± ∞→ )(lim baba nnn ⋅=⋅ ∞→ )(lim )0(lim ≠= ∞→ bb a b a n n n CaaCaC nnnnn =⋅=⋅ ∞→∞→∞→ limlim)(lim 第 71 页 共 169 页 求无穷数列的各项和，特别地，当 时，无穷等比数列的各项和为 . （化循环小数为分数方法同上式） 注：并不是每一个无穷数列都有极限. 3. 函数极限； ⑴当自变量 无限趋近于常数 （但不等于 ）时，如果函数 无限趋进于一个常数 ， 就是说当 趋近于 时，函数 的极限为 .记作 或当 时， . 注：当 时， 是否存在极限与 在 处是否定义无关，因为 并不要求 .（当然， 在 是否有定义也与 在 处是否存在极限无关. 函数 在 有定义是 存在的既不充分又不必要条件.） 如 在 处无定义，但 存在，因为在 处左右极限均等于零. ⑵函数极限的四则运算法则： 如果 ，那么 ① ② ③ 特别地，如果 C 是常数，那么 . （ ） 注：①各个函数的极限都应存在. ②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况. ⑶几个常用极限： ① ② （0＜ ＜1）； （ ＞1） ③ ④ ， （ ） 4. 函数的连续性： 1q )1(1 1 qq aS −= x 0x 0x )(xf a x 0x )(xf a axf xx = → )(lim 0 0xx → axf →)( 0xx → )(xf )(xf 0x 0xx → 0xx = )(xf 0x )(xf 0x ⇒ )(xf 0x )(lim 0 xf xx→    +− −= 11 11)(   xx xxxP 1=x )(lim 1 xP x→ 1=x bxgaxf xxxx == →→ )(lim,)(lim 00 baxgxf xx ±=± → ))()((lim 0 baxgxf xx ⋅=⋅ → ))()((lim 0 )0()( )(lim 0 ≠= → bb a xg xf xx )(lim))((lim 00 xfCxfC xxxx →→ =⋅ n xx n xx xfxf )](lim[)]([lim 00 →→ = +∈ Nn 01lim = ∞→ xn 0lim = +∞→ x x a a 0lim = −∞→ x x a a 1sinlim 0 = → x x x 1sinlim 0 =⇒ → x x x ex x x =+ ∞→ )11(lim ex x x =+ → 1 0 )1(lim 71828183.2=e 第 72 页 共 169 页 ⑴ 如 果 函 数 f （ x ） ， g （ x ） 在 某 一 点 连 续 ， 那 么 函 数 在点 处都连续. ⑵函数 f（x）在点 处连续必须满足三个条件： ①函数 f（x）在点 处有定义；② 存在；③函数 f（x）在点 处的极限值 等于该点的函数值，即 . ⑶函数 f（x）在点 处不连续（间断）的判定： 如果函数 f（x）在点 处有下列三种情况之一时，则称 为函数 f（x）的不连续点. ①f（x）在点 处没有定义，即 不存在；② 不存在；③ 存在， 但 . 5. 零点定理，介值定理，夹逼定理： ⑴零点定理：设函数 在闭区间 上连续，且 .那么在开区间 内至 少有函数 的一个零点，即至少有一点 （ ＜ ＜ ）使 . ⑵介值定理：设函数 在闭区间 上连续，且在这区间的端点取不同函数值， ，那么对于 之间任意的一个数 ，在开区间 内至少有一点 ，使 得 （ ＜ ＜ ）. ⑶夹逼定理：设当 时，有 ≤ ≤ ，且 ，则 必有 注： ：表示以 为的极限，则 就无限趋近于零.（ 为最小整数） 6. 几个常用极限： ① ② ③ 为常数） ④ 0xx = )0)(()( )(),()(),()( ≠⋅± xgxg xfxgxfxgxf 0xx = 0xx = 0xx = )(lim 0 xf xx→ 0xx = )()(lim 0 0 xfxf xx = → 0xx = 0xx = 0x 0xx = )( 0xf )(lim 0 xf xx→ )(lim 0 xf xx→ )()(lim 0 0 xfxf xx ≠ → ）（xf ],[ ba 0)()( bfaf ⋅ ),( ba )(xf ξ a ξ b 0)( =ξf )(xf ],[ ba BbfAaf == )(,)( BA, C ),( ba ξ Cf =)(ξ a ξ b δ ||0 0xx − )(xg )(xf )(xh Axhxg xxxx == →→ )(lim)(lim 00 .)(lim 0 Axf xx = → || 0xx − 0x || 0xx − ξ 1,0lim qq n n = +∞→ )0(0!lim an a n n = +∞→ ka a n n k n ,1(0lim = +∞→ 0lnlim = +∞→ n n n 第 73 页 共 169 页 ⑤ 为常数）k n n k n ,0(0)(lnlim εε = +∞→ 第 74 页 共 169 页 高中数学第十四章 导导 数数 考试内容： 导数的背影． 导数的概念． 多项式函数的导数． 利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值． 考试要求： （1）了解导数概念的某些实际背景． （2）理解导数的几何意义． （3）掌握函数，y=c(c 为常数)、y=xn(n∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数． （4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、 极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值． （5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值． §14. 导导 数数 知识要点知识要点 1. 导数（导函数的简称）的定义：设 是函数 定义域的一点，如果自变量 在 处 有 增 量 ， 则 函 数 值 也 引 起 相 应 的 增 量 ； 比 值 称为函数 在点 到 之间的平均变化率；如果极限 存在，则称函数 在点 处可导，并把这个极限叫做 在 处 的 导 数 ， 记 作 或 ， 即 = . 0x )(xfy = x 0x x∆ y )()( 00 xfxxfy −∆+=∆ x xfxxf x y ∆ −∆+=∆ ∆ )()( 00 )(xfy = 0x xx ∆+0 x xfxxf x y xx ∆ −∆+=∆ ∆ →∆→∆ )()(limlim 00 00 )(xfy = 0x )(xfy = 0x )( 0 ' xf 0 |' xxy = )( 0 ' xf x xfxxf x y xx ∆ −∆+=∆ ∆ →∆→∆ )()(limlim 00 00 导 数 导数的概念 导数的运算 导数的应用 导数的几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值 函数的最值 常见函数的导数 导数的运算法则 第 75 页 共 169 页 注：① 是增量，我们也称为“改变量”，因为 可正，可负，但不为零. ②以知函数 定义域为 ， 的定义域为 ，则 与 关系为 . 2. 函数 在点 处连续与点 处可导的关系： ⑴函数 在点 处连续是 在点 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果 在点 处可导，那么 点 处连续. 事实上，令 ，则 相当于 . 于是 ⑵如果 点 处连续，那么 在点 处可导，是不成立的. 例： 在点 处连续，但在点 处不可导，因为 ，当 ＞0 时， ；当 ＜0 时， ，故 不存在. 注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义： 函数 在点 处的导数的几何意义就是曲线 在点 处的切线的斜率， 也 就 是 说 ， 曲 线 在 点 P 处 的 切 线 的 斜 率 是 ， 切 线 方 程 为 4. 求导数的四则运算法则： （ 为常数） 注：① 必须是可导函数. ②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、 差、积、商不一定不可导. 例如：设 ， ，则 在 处均不可导，但它们和 x∆ x∆ )(xfy = A )(' xfy = B A B BA ⊇ )(xfy = 0x 0x )(xfy = 0x )(xfy = 0x )(xfy = 0x )(xfy = 0x xxx ∆+= 0 0xx → 0→∆x )]()()([lim)(lim)(lim 0000000 xfxfxxfxxfxf xxxx +−+=∆+= →∆→∆→ ).()(0)()(limlim)()(lim)]()()([lim 000 ' 000 00 00 00 0 xfxfxfxfx xfxxfxfxx xfxxf xxxx =+⋅=+⋅∆ −∆+=+∆⋅∆ −∆+= →∆→∆→∆→∆ )(xfy = 0x )(xfy = 0x ||)( xxf = 00 =x 00 =x x x x y ∆ ∆=∆ ∆ || x∆ 1=∆ ∆ x y x∆ 1−=∆ ∆ x y x y x ∆ ∆ →∆ 0 lim )(xfy = 0x )(xfy = ))(,( 0 xfx )(xfy = ))(,( 0 xfx )( 0 ' xf ).)(( 0 ' 0 xxxfyy −=− ''')( vuvu ±=± )(...)()()(...)()( '' 2 ' 1 ' 21 xfxfxfyxfxfxfy nn +++=⇒+++=⇒ ''''''' )()( cvcvvccvuvvuuv =+=⇒+= c )0(2 ''' ≠−=     v v uvvu v u vu, xxxf 2sin2)( += xxxg 2cos)( −= )(),( xgxf 0=x =+ )()( xgxf 第 76 页 共 169 页 在 处均可导. 5. 复合函数的求导法则： 或 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形. 6. 函数单调性： ⑴函数单调性的判定方法：设函数 在某个区间内可导，如果 ＞0，则 为增函数；如果 ＜0，则 为减函数. ⑵常数的判定方法； 如果函数 在区间 内恒有 =0，则 为常数. 注：① 是 f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如 在 上并不是 都有 ，有一个点例外即 x=0 时 f（x） = 0，同样 是 f（x）递减的充分非必 要条件. ②一般地，如果 f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么 f （x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的. 7. 极值的判别方法：（极值是在 附近所有的点，都有 ＜ ，则 是函数 的极大值，极小值同理） 当函数 在点 处连续时， ①如果在 附近的左侧 ＞0，右侧 ＜0，那么 是极大值； ②如果在 附近的左侧 ＜0，右侧 ＞0，那么 是极小值. 也就是说 是极值点的充分条件是 点两侧导数异号，而不是 =0①. 此外，函数不 可导的点也可能是函数的极值点②. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确 定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）. 注①： 若点 是可导函数 的极值点，则 =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函 数，其一点 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数 ， 使 =0，但 不是极值点. ②例如：函数 ，在点 处不可导，但点 是函数的极小值点. 8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进 行比较. 注：函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数： xx cossin + 0=x )()())(( ''' xufxf x ϕϕ = xux uyy ''' ⋅= )(xfy = )(' xf )(xfy = )(' xf )(xfy = )(xfy = I )(' xf )(xfy = 0)( xf 32xy = ),( +∞−∞ 0)( xf 0)( xf 0x )(xf )( 0xf )( 0xf )(xf )(xf 0x 0x )(' xf )(' xf )( 0xf 0x )(' xf )(' xf )( 0xf 0x 0x )(' xf 0x )(xf )(' xf 0x 3)( xxfy == 0=x )(' xf 0=x ||)( xxfy == 0=x 0=x 第 77 页 共 169 页 I. （ 为常数） （ ） II. III. 求导的常见方法： ①常用结论： . ②形如 或 两边同取自然对数，可转化 求代数和形式. ③无理函数或形如 这类函数，如 取自然对数之后可变形为 ，对两边 求导可得 . 高中数学第十五章 复数 考试内容： 　 复数的概念． 　　复数的加法和减法． 　　复数的乘法和除法． 　　数系的扩充． 考试要求： （1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义． （2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、 除法运算． （3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想． §15. 复复 数数 知识要点知识要点 1. ⑴复数的单位为 i，它的平方等于－1，即 . ⑵复数及其相关概念： ① 复数—形如 a + bi 的数（其中 ）； ② 实数—当 b = 0 时的复数 a + bi，即 a； ③ 虚数—当 时的复数 a + bi； ④ 纯虚数—当 a = 0 且 时的复数 a + bi，即 bi. ⑤ 复数 a + bi 的实部与虚部—a 叫做复数的实部，b 叫做虚部（注意 a，b 都是实数） ⑥ 复数集 C—全体复数的集合，一般用字母 C 表示. 0' =C C xx cos)(sin ' = 2 ' 1 1)(arcsin x x − = 1')( −= nn nxx Rn∈ xx sin)(cos ' −= 2 ' 1 1)(arccos x x − −= xx 1)(ln ' = exx aa log1)(log ' = 1 1)(arctan 2 ' + = x x xx ee =')( aaa xx ln)( ' = 1 1)cot( 2 ' + −= x xarc xx 1|)|(ln ' = ))...()(( 21 naxaxaxy −−−= ))...()(( ))...()(( 21 21 n n bxbxbx axaxaxy −−− −−−= xxy = xxy = xxy lnln = xx xxxyyxyyxxxy y +=⇒+=⇒⋅+= lnln1ln '' ' 1i 2 −= Rba ∈， 0≠b 0≠b 第 78 页 共 169 页 ⑶两个复数相等的定义： . ⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小. 注：①若 为复数，则 若 ，则 .（×）[ 为复数，而不是实数] 若 ，则 .（√） ② 若 ， 则 是 的 必 要 不 充 分 条 件 . （ 当 ， 时，上式成立） 2. ⑴复平面内的两点间距离公式： . 其中 是复平面内的两点 所对应的复数， 间的距离. 由上可得：复平面内以 为圆心， 为半径的圆的复数方程： . ⑵曲线方程的复数形式： ① 为圆心，r 为半径的圆的方程. ② 表示线段 的垂直平分线的方程. ③ 为焦点，长半轴长为 a 的椭圆的方程 （若 ，此方程表示线段 ）. ④ 表示以 为焦点，实半轴长为 a 的双曲线方程 （若 ，此方程表示两条射线）. ⑶绝对值不等式： 设 是不等于零的复数，则 ① . 左 边 取 等 号 的 条 件 是 ， 右 边 取 等 号 的 条 件 是 . ② . 左边取等号的条件是 ，右边取等号的条件是 . 00 ==⇔=+∈==⇔+=+ babiaRdcbadbcadicbia ）特别地，，，，（其中，且 21, zz 1 021 zz + 21 zz − 21, zz 2 21 zz  021 zz − Ccba ∈,, 0)()()( 222 =−+−+− accbba cba == 22)( iba =− 0)(,1)( 22 =−=− accb 21 zzd −= 21 zz ， 21 zz 和 21 zzd 和表示 0z r ）（ 00 rrzz =− 00 zrzz 表示以=− 21 zzzz −=− 21zz 212121 202 ZZzzaaazzzz ，）表示以且（ =−+− 212 zza = 21 ZZ ， ），（ 2121 202 zzaazzzz =−−− 21 ZZ ， 212 zza = 21 zz ， 212121 zzzzzz +≤+≤− ），且（ 012 λλλ Rzz ∈= ），（ 012 λλλ Rzz ∈= 212121 zzzzzz +≤−≤− ），（ 012 λλλ Rzz ∈= ），（ 012 λλλ Rzz ∈= 第 79 页 共 169 页 注： . 3. 共轭复数的性质： ， （ a + bi） （ ） 注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的] 4 ⑴①复数的乘方： ②对任何 ， 及 有 ③ 注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如 若由 就会得到 的错误结论. ②在实数集成立的 . 当 为虚数时， ，所以复数集内解方程不能采用两边平 方法. ⑵常用的结论： 若 是 1 的立方虚数根，即 ，则 . 5. ⑴复数 是实数及纯虚数的充要条件： ① . ②若 ， 是纯虚数 . ⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同 一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零. 注： . nnn AAAAAAAAAA 11433221 =++++ − zz = 2121 zzzz +=+ azz 2=+ i2bzz =− =z 22 |||| zzzz ==⋅ 2121 zzzz −=− 2121 zzzz ⋅=⋅ 2 1 2 1 z z z z =      02 ≠z nn zz )(= )(... +∈⋅⋅= Nnzzzzz n n  z 21, zz C∈ +∈ Nnm, nnnnmnmnmnm zzzzzzzzz 2121 )(,)(, ⋅=⋅==⋅ ⋅+ 1,1 42 =−= ii 11)( 2 1 2 1 42 === ii 11 =− 2|| xx = x 2|| xx ≠ 1,,1,,1 43424142 =−=−==−= +++ nnnn iiiiiii )(,0321 Zniiii nnnn ∈=+++ +++ ii iii iii −=+ −=− +±=± 1 1,1 1,2)1( 2 ω i2 3 2 1 ±−=ω z zzRz =⇔∈ 0≠z z 0=+⇔ zz |||| zz = )(0,01,1,,1 21223 Znnnn ∈=++=++=== ++ ωωωωω ω ωωωω 第 80 页 共 169 页 6. ⑴复数的三角形式： . 辐角主值： 适合于 0≤ ＜ 的值，记作 . 注：① 为零时， 可取 内任意值. ②辐角是多值的，都相差 2 的整数倍. ③设 则 . ⑵复数的代数形式与三角形式的互化： ， ， . ⑶几类三角式的标准形式： 7. 复数集中解一元二次方程： 在复数集内解关于 的一元二次方程 时，应注意下述问题： ①当 时，若 ＞0，则有二不等实数根 ；若 =0，则有二相等实数根 ；若 ＜0，则有二相等复数根 （ 为共轭复数）. ②当 不全为实数时，不能用 方程根的情况. ③不论 为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立. 8. 复数的三角形式运算： 棣莫弗定理： )sin(cos θθ irz += θ θ π2 zarg z zarg )2,0[ π π ,+∈ Ra πππ 2 3)arg(,2arg,)arg(,0arg =−==−= aiaiaa )sin(cos θθ irbia +=+ 22 bar += r b r a == θθ sin,cos )]sin()[cos()sin(cos θθθϑ −+−=− irir )]sin()[cos()sin(cos θπθπθθ +++=+− irir )]sin()[cos()sincos( θπθπθθ −+−=+− irir )]2sin()2[cos()cos(sin θπθπθθ −+−=+ irir x )0(02 ≠=++ acbxax Rcba ∈,, ∆ a bx 22,1 ∆±−= ∆ a bx 22,1 −= ∆ a ibx 2 || 2,1 ∆±−= 2,1x cba ,, ∆ cba ,, )]sin()[cos()sin(cos)sin(cos 212121222211 θθθθθθθθ +++=+⋅+ irririr )]sin()[cos()sin(cos )sin(cos 2121 2 1 222 211 θθθθθθ θθ −+−=+ + ir r ir ir )sin(cos)]sin(cos[ θθθθ ninrir nn +=+ 第 81 页 共 169 页 目 录 前言 ……………………………………………………… 2 第一章 高中数学解题基本方法 ……………………… 3 一、 配方法 ……………………………………… 3 二、 换元法 ……………………………………… 7 三、 待定系数法 ………………………………… 14 四、 定义法 ……………………………………… 19 第 82 页 共 169 页 五、 数学归纳法 ………………………………… 23 六、 参数法 ……………………………………… 28 七、 反证法 ……………………………………… 32 八、 消去法 ……………………………………… 九、 分析与综合法 ……………………………… 十、 特殊与一般法 ……………………………… 十一、 类比与归纳法 ………………………… 十二、 观察与实验法 ………………………… 第二章 高中数学常用的数学思想 …………………… 35 一、 数形结合思想 ……………………………… 35 二、 分类讨论思想 ……………………………… 41 三、 函数与方程思想 …………………………… 47 四、 转化（化归）思想 ………………………… 54 第三章 高考热点问题和解题策略 …………………… 59 一、 应用问题 …………………………………… 59 二、 探索性问题 ………………………………… 65 三、 选择题解答策略 …………………………… 71 四、 填空题解答策略 …………………………… 77 附录 ……………………………………………………… 一、 高考数学试卷分析 ………………………… 二、 两套高考模拟试卷 ………………………… 三、 参考答案 …………………………………… 第 83 页 共 169 页 前 言 美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们 解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只 有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高 考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答 过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问 题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： ① 常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等； ② 数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③ 数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和 演绎等； ④ 常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想 等。 数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是 数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退， 将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思 维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用 一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作 用。 数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模 式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂， 它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质 的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是 “能力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考 中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、 消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法， 再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、 转化（化归）思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题，并在 附录部分提供了近几年的高考试卷。 在每节的内容中，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以三种题组的 形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现，示范性题组进 行详细的解答和分析，对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果， 起到巩固的作用。每个题组中习题的选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个 第 84 页 共 169 页 部分重要章节的数学知识。 第二章 高中数学解题基本方法 一、配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已 知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与 “添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。 最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未 知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺 xy 项的二 次曲线的平移变换等问题。 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b) ＝a ＋2ab＋b ，将这个 公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如： a ＋b ＝(a＋b) －2ab＝(a－b) ＋2ab； a ＋ab＋b ＝(a＋b) －ab＝(a－b) ＋3ab＝(a＋ ) ＋（ b） ； a ＋b ＋c ＋ab＋bc＋ca＝ [(a＋b) ＋(b＋c) ＋(c＋a) ] a ＋b ＋c ＝(a＋b＋c) －2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c) －2(ab－bc－ca)＝… 结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如： 1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα） ； x ＋ ＝(x＋ ) －2＝(x－ ) ＋2 ；…… 等等。 Ⅰ、再现性题组： 1. 在正项等比数列{a }中，a a +2a a +a a =25，则 a ＋a ＝_______。 2. 方程 x ＋y －4kx－2y＋5k＝0 表示圆的充要条件是_____。 A. 0 即可，选 B。 3 小题：已知等式经配方成(sin α＋cos α) －2sin αcos α＝1，求出 sinαcos α，然后求出所求式的平方值，再开方求解。选 C。 4 小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选 D。 5 小题：答案 3－ 。 Ⅱ、示范性题组： 例 1. 已知长方体的全面积为 11，其 12 条棱的长度之和为 24，则这个长方体的一条对 角线长为_____。 A. 2 B. C. 5 D. 6 【 分 析 】 先 转 换 为 数 学 表 达 式 ： 设 长 方 体 长 宽 高 分 别 为 x,y,z ， 则 ,而欲求对角线长 ，将其配凑成两已知式的组合形式 可得。 【解】设长方体长宽高分别为 x,y,z，由已知“长方体的全面积为 11，其 12 条棱的长 度之和为 24”而得： 。 长 方 体 所 求 对 角 线 长 为 ： ＝ ＝ ＝5 所以选 B。 【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析 三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。 这也是我们使用配方法的一种解题模式。 1 2 2 5 4 5 4 1 2 5 4 5 4 2 1 2 1 2 2 2 m p− m p+ m 2 3 5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 11 3 14 2 11 4 24 ( ) ( ) xy yz xz x y z + + = + + =    x y z2 2 2+ + 2 11 4 24 ( ) ( ) xy yz xz x y z + + = + + =    x y z2 2 2+ + ( ) ( )x y z xy yz xz+ + − + +2 2 6 112 − 第 86 页 共 169 页 例 2. 设方程 x ＋kx＋2=0 的两实根为 p、q，若( ) +( ) ≤7 成立，求实数 k 的 取值范围。 【解】方程 x ＋kx＋2=0 的两实根为 p、q，由韦达定理得：p＋q＝－k，pq＝2 , ( ) +( ) ＝ ＝ ＝ ＝ ≤7， 解得 k≤－ 或 k≥ 。 又 ∵p、q 为方程 x ＋kx＋2=0 的两实根， ∴ △＝k －8≥0 即 k≥2 或 k≤－2 综合起来，k 的取值范围是：－ ≤k≤－ 或者 ≤k≤ 。 【注】关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“Δ”；已知方程有两根 时，可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到 p＋q、pq 后，观察已知不等式，从其结 构特征联想到先通分后配方，表示成 p＋q 与 pq 的组合式。假如本题不对“△”讨论，结果 将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“△”的讨论，但解答是不严密、不完整的， 这一点我们要尤为注意和重视。 例 3. 设非零复数 a、b 满足 a ＋ab＋b =0，求( ) ＋( ) 。 【分析】 对已知式可以联想：变形为( ) ＋( )＋1＝0，则 ＝ω （ω为 1 的立方 虚根）；或配方为(a＋b) ＝ab 。则代入所求式即得。 【解】由 a ＋ab＋b =0 变形得：( ) ＋( )＋1＝0 ， 设ω＝ ，则ω ＋ω＋1＝0，可知ω为 1 的立方虚根，所以： ＝ ，ω ＝ ＝ 1。 又由 a ＋ab＋b =0 变形得：(a＋b) ＝ab ， 所以 ( ) ＋( ) ＝( ) ＋( ) ＝( ) ＋( ) ＝ω ＋ ＝2 。 【注】本题通过配方，简化了所求的表达式；巧用 1 的立方虚根，活用ω的性质，计算 表达式中的高次幂。一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开。 2 p q 2 q p 2 2 p q 2 q p 2 p q pq 4 4 2 + ( ) ( ) ( ) p q p q pq 2 2 2 2 2 2 2+ − [( ) ] ( ) p q pq p q pq + − −2 2 2 2 2 2 2 ( )k 2 24 8 4 − − 10 10 2 2 2 2 10 2 2 2 2 10 2 2 a a b+ 1998 b a b+ 1998 a b 2 a b a b 2 2 2 a b 2 a b a b 2 1 ω b a 3 ω 3 2 2 2 a a b+ 1998 b a b+ 1998 a ab 2 999 b ab 2 999 a b 999 b a 999 999 ω 999 第 87 页 共 169 页 【另解】由 a ＋ab＋b ＝0 变形得：( ) ＋( )＋1＝0 ，解出 ＝ 后， 化成三角形式，代入所求表达式的变形式( ) ＋( ) 后，完成后面的运算。此方法用 于只是未 联想到ω时进行解题。 假如本题没有想到以上一系列变换过程时，还可由 a ＋ab＋b ＝0 解出：a＝ b，直接代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫佛定理完成最 后的计算。 Ⅲ、巩固性题组： 1. 函数 y＝(x－a) ＋(x－b) （a、b 为常数）的最小值为_____。 A. 8 B. C. D.最小值不存在 2. α、β是方程 x －2ax＋a＋6＝0 的两实根，则(α-1) +(β-1) 的最小值是 _____。 A. － B. 8 C. 18 D.不存在 3. 已知 x、y∈R ，且满足 x＋3y－1＝0，则函数 t＝2 ＋8 有_____。 A.最大值 2 B.最大值 C.最小值 2 B.最小值 4. 椭圆 x －2ax＋3y ＋a －6＝0 的一个焦点在直线 x＋y＋4＝0 上，则 a＝_____。 A. 2 B. －6 C. －2 或－6 D. 2 或 6 5. 化简：2 ＋ 的结果是_____。 A. 2sin4 B. 2sin4－4cos4 C. －2sin4 D. 4cos4－2sin4 6. 设 F 和 F 为双曲线 －y ＝1 的两个焦点，点 P 在双曲线上且满足∠F PF ＝90 °，则△F PF 的面积是_________。 7. 若 x>－1，则 f(x)＝x ＋2x＋ 的最小值为___________。 8. 已知 〈β1，m∈R，x＝log t＋log s，y＝log t＋log s＋m(log t＋log s), ① 将 y 表示为 x 的函数 y＝f(x)，并求出 f(x)的定义域； ② 若关于 x 的方程 f(x)＝0 有且仅有一个实根，求 m 的取值范围。 s t s 4 t 4 s 2 t 2 第 89 页 共 169 页 二、换元法 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简 化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是 变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂 问题简单化，变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系 起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的 计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在 研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在 已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候 要通过变形才能发现。例如解不等式：4 ＋2 －2≥0，先变形为设 2 ＝t（t>0），而变为 熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与 三角知识中有某点联系进行换元。如求函数 y＝ ＋ 的值域时，易发现 x∈[0,1]， 设 x＝sin α ，α∈[0, ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设， 其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量 x、y 适合条件 x ＋y ＝r （r>0）时，则可作三角代换 x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。 均值换元，如遇到 x＋y＝S 形式时，设 x＝ ＋t，y＝ －t 等等。 我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变 量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上 几例中的 t>0 和α∈[0, ]。 Ⅰ、再现性题组： 1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx 的最大值是_________。 2.设 f(x ＋1)＝log (4－x ) （a>1），则 f(x)的值域是_______________。 3.已知数列{a }中，a ＝－1，a ·a ＝a －a ，则数列通项 a ＝___________。 4.设实数 x、y 满足 x ＋2xy－1＝0，则 x＋y 的取值范围是___________。 5.方程 ＝3 的解是_______________。 6.不等式 log (2 －1) ·log (2 －2)〈2 的解集是_______________。 x x x x 1− x 2 π 2 2 2 2 S 2 S 2 π 2 2 a 4 n 1 n+1 n n+1 n n 2 1 3 1 3 + + −x x 2 x 2 x+1 第 90 页 共 169 页 【简解】1 小题：设 sinx+cosx＝t∈[－ , ]，则 y＝ ＋t－ ，对称轴 t＝－ 1，当 t＝ ，y ＝ ＋ ； 2 小题：设 x ＋1＝t (t≥1)，则 f(t)＝log [-(t-1) ＋4]，所以值域为(－∞,log 4]； 3 小题：已知变形为 － ＝－1,设 b ＝ ，则 b ＝－1,b ＝－1＋(n－1)(-1) ＝－n，所以 a ＝－ ； 4 小题：设 x＋y＝k，则 x －2kx＋1＝0, △＝4k －4≥0,所以 k≥1 或 k≤－1； 5 小题：设 3 ＝y，则 3y ＋2y－1＝0,解得 y＝ ，所以 x＝－1； 6 小题：设 log (2 －1)＝y，则 y(y＋1)0，它对一切实数 x 恒成立，所以： ，解得 ∴ t0，即 k0)所表示的区域为直线 ax＋by＋c＝0 所分平面成两部分中含 x 轴正方向的一部分。 此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终 位于平面上 x＋y－k>0 的区域。即当直线 x＋y－k＝ 0 在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭圆相 y x x＋y－k>0 k 平面区域 x y sin cos θ θ cos2 2 θ x 4 ( ) ( ) 1 10 3 1 1 2 2 + × + tg tg θ θ 10 3 2 2 2 1 3 x y 3 3 3 sin θ x cosθ y x y sin cos θ θ ( )x −1 9 2 ( )y +1 16 2 ( )x −1 9 2 ( )y +1 16 2 2 2 ( )x −1 9 2 ( )y +1 16 2 x −1 3 y +1 4 x y = + = − +    1 3 1 4 cos sin θ θ 第 96 页 共 169 页 切时，方程组 有相等的一组实数解，消元后由△＝0 可求得 k ＝－3,所以 k0)，则 f(4)的值为_____。 A. 2lg2 B. lg2 C. lg2 D. lg4 2. 函数 y＝(x＋1) ＋2 的单调增区间是______。 A. [-2,+∞) B. [-1,+∞) D. (-∞,+∞) C. (-∞,-1] 3. 设等差数列{a }的公差 d＝ ，且 S ＝145，则 a ＋a ＋a ＋……＋a 的值为 _____。 A. 85 B. 72.5 C. 60 D. 52.5 4. 已知 x ＋4y ＝4x，则 x＋y 的范围是_________________。 5. 已知 a≥0，b≥0，a＋b＝1，则 ＋ 的范围是____________。 6. 不等式 >ax＋ 的解集是(4,b)，则 a＝________，b＝_______。 7. 函数 y＝2x＋ 的值域是________________。 8. 在等比数列{a }中，a ＋a ＋…＋a ＝2，a ＋a ＋…＋a ＝12，求 a ＋a ＋…＋a 。 9. 实数 m 在什么范围内取值，对任意实数 x，不 等式 sin x＋2mcosx＋4m－10,y>0)上移动，且 AB、AD 始终平行 x 轴、y 轴，求矩形 ABCD 的最小 面积。 y D C A B O x 16 1 9 1 144 0 2 2( ) ( )x y x y k − + + = + − =    3 1 3 2 3 2 3 4 n 1 2 100 1 3 5 99 2 2 a + 1 2 b + 1 2 x 3 2 x +1 n 1 2 10 11 12 30 31 32 60 2 2 2 第 97 页 共 169 页 三、待定系数法 要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数 的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式 f(x) g(x)的充要 条件是：对于一个任意的 a 值，都有 f(a) g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相 等。 待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具 有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个 问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式， 如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求 复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定 系数法求解。 使用待定系数法，它解题的基本步骤是： 第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式； 第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程； 第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。 如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析： ①利用对应系数相等列方程； ②由恒等的概念用数值代入法列方程； ③利用定义本身的属性列方程； ④利用几何条件列方程。 比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式， 其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所 得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆 锥曲线的方程。 Ⅰ、再现性题组： 1. 设 f(x)＝ ＋m，f(x)的反函数 f (x)＝nx－5，那么 m、n 的值依次为_____。 A. , －2 B. － ， 2 C. , 2 D. － ，－2 2. 二次不等式 ax ＋bx＋2>0 的解集是(－ , )，则 a＋b 的值是_____。 A. 10 B. －10 C. 14 D. －14 3. 在(1－x )（1＋x） 的展开式中，x 的系数是_____。 A. －297 B.－252 C. 297 D. 207 4. 函数 y＝a－bcos3x (b0，7－x>0，x>0。 设 V＝ (15a－ax)(7b－bx)x (a>0,b>0） 要使用均值不等式，则 a b c a b c a b C + + = + + = + + =    24 4 2 44 9 3 70 a b c = = =    3 11 10 2 2 2 n n( )+1 12 2 2 2 2 k k( )+1 12 2 2 2 2 2 k k( )+1 12 2 2 k k( )+1 12 2 ( )( )k k+ +1 2 12 2 ( )( )k k+ +1 2 12 2 3 3 3 2 2 2 2 3 2 n 2 2 2 3 3 3 2 2 2 n n2 21 4 ( )+ n n n( )( )+ +1 2 1 6 n n( )+1 2 n n( )+1 12 2 4 ab − − + = − = − =    a b a ax b bx x 1 0 15 7 第 101 页 共 169 页 解得：a＝ ， b＝ ， x＝3 。 从而 V＝ ( － )( － x)x≤ ( ) ＝ ×27＝576。 所以当 x＝3 时，矩形盒子的容积最大，最大容积是 576cm 。 【注】均值不等式应用时要注意等号成立的条件，当条件不满足时要凑配系数，可以用 “待定系数法”求。本题解答中也可以令 V＝ (15a－ax)(7－x)bx 或 (15－x)(7a－ ax)bx，再由使用均值不等式的最佳条件而列出方程组，求出三项该进行凑配的系数，本题 也体现了“凑配法”和“函数思想”。 Ⅲ、巩固性题组： 1. 函数 y＝log x 的 x∈[2,+∞)上恒有|y|>1，则 a 的取值范围是_____。 A. 2>a> 且 a≠1 B. 0