高考选择填空题必备的25种方法

1 选择题解题方法与技巧 数学选择题，具有概括性强，知识覆盖面广，小巧灵活，且有一定的综合性和深度等特点，同学们能 否迅速、准确、全面、简捷地解好选择题，对于能否进入最佳状态，以至于整个考试的成败起着举足轻重 的作用．解答选择题的基本策略是准确、迅速．准确是解答选择题的先决条件，选择题不设中间分，一步 失误，造成错选，全题无分，所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏，确保准确；迅速是赢得 时间获取高分的必要条件，对于选择题的答题时间，应该控制在不超过 40 分钟左右，速度越快越好，高考 要求每道选择题在 1～3 分钟内解完，要避免“超时失分”现象的发生． 高考中的数学选择题一般是容易题或中档题，个别题属于较难题，当中的大多数题的解答可用特殊的 方法快速选择．解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数 学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题 过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法， 以便快速智取，这是解选择题的基本策略．数学选择题的求解，一般有两种思想，一是从题干出发考虑， 探求结果；二是题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件．由于选择题提供了备选答 案，又不要求写出解题过程，因此出现了一些特有的解法，在选择题求解中很适合. 下面结合典型试题， 分别介绍几种常用方法 解题方法一 定义法 定义法，就是直接利用数学定义解题，数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来 的．简单地说，定义是对数学实体的高度抽象，用定义法解题是最直接的方法．一般地，涉及圆锥曲线的 顶点、焦点、准线、离心率等问题，常用定义法解决． 例 1．平面直角坐标系中，点 M(3，m)在角 α 的终边上，点 N(2m，4)在角 α＋π 4终边上，则 m＝ (　　) A．－6 或 1 B．－1 或 6 C．6 D．1 【解析】由题意得，tan α＝m 3，tan(α＋π 4 )＝ 4 2m＝2 m，∴2 m＝ 1＋m 3 1－m 3 ，∴m＝－6 或 1. 【小结】利用定义法求解动点的轨迹或圆锥曲线的有关问题，要注意动点或圆锥曲线上的点所满足的条件， 灵活利用相关的定义求解．如本例中根据双曲线的定义和椭圆定义建立方程组后就可求出|PF1|·|PF2|的值．2 【变式】已知抛物线 x2＝4y 上一点 A 的纵坐标为 4，则点 A 到抛物线焦点的距离为 (　　) A． 10 B．4 C． 15 D．5 【解析】由题意知，抛物线的准线方程为 y＝－1，所以由抛物线的定义知，点 A 到抛物线焦点的距离为 5. 解题技巧二 数形结合法 数形结合法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用分为两种情形：一是代数问题几何化，借 助形的直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函 数的性质；二是几何问题代数化，借助于数的精确性阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的， 如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质． 例 2、(2017·全国卷Ⅲ)在矩形 ABCD 中，AB＝1，AD＝2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上．若 AP―→ ＝λ AB―→ ＋μ AD―→ ，则 λ＋μ 的最大值为(　　) A．3 B．2 2 C. 5 D．2 解析：选 A　以 A 为坐标原点，AB，AD 所在直线分别为 x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则 A(0,0)，B(1,0)，C(1,2)，D(0,2)，可得直线 BD 的方程为 2 x＋y－2＝0，点 C 到直线 BD 的距离为 2 12＋22＝ 2 5 ，所以圆 C：(x－1)2＋(y－2)2＝4 5.[来源:学+科+网 Z+X+X+K] 因为 P 在圆 C 上，所以 P(1＋2 5 5 cos θ，2＋2 5 5 sin θ). 又 AB―→ ＝(1,0)， AD―→ ＝(0,2)， AP―→ ＝λ AB―→ ＋μ AD―→ ＝(λ，2μ)， 所以 Error!λ＋μ＝2＋2 5 5 cos θ＋ 5 5 sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中 tan φ ＝2)，当且 仅当 θ＝π 2＋2kπ－φ，k∈Z 时，λ＋μ 取得最大值 3. 【变式】已知函数 f(x)＝Error!若 a，b，c 互不相等，且 f(a)＝f(b)＝f(c)，则 a＋b＋c 的取值范围是 (　　) A．(1,2 017) B．(1,2 018) C．(2,2 019) D．[2,2 019]3 【反思领悟】数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图 形之间的相互转化，如本例中结合 y＝f(x)的图象求范围． 解题技巧三 排除法 排除法也叫筛选法、淘汰法．它是充分利用选择题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推理、 计算、判断，排除不符合要求的选项，从而得出正确结论的一种方法． 例 3、设[ x]表示不大于 x 的最大整数，则对任意实数 x，y 有(　　) A．[－x ]＝－[x] B．[2x]＝2[x] C．[x＋y]≤[x]＋[y] D．[x－y]≤[x]－[y] 【解析】选项 A，取 x＝1.5，则[－x]＝[－1.5]＝－2，－[x]＝－[1.5]＝－1，显然[－x]≠－[x]；选项 B，取 x ＝1.5，则[2x]＝[3]＝3,2[x]＝2[1.5]＝2，显然[2x]≠2[x]；选项 C，取 x＝y＝1.6，则[x＋y]＝[3.2]＝3，[x]＋[y] 【小结】应用特例排除法的关键在于确定选项的差异性，利用差异性选取一些特例来检验选项是否与题干 对应，从而排除干扰选项．如本例中先利用函数 f(x)为偶函数排除干扰项，然后取一特殊值验证函数值的大 小． 【变式】已知 E 为△ABC 的重心，AD 为 BC 边上的中线，令 AB ―→ ＝a， AC ―→ ＝b，过点 E 的直线分别交 AB，AC 于 P，Q 两点，且 AP ―→ ＝ma， AQ ―→ ＝nb，则1 m＋1 n＝ (　　) A．3 B．4 C．5 D．1 3 【解析】由于题中直线 PQ 的条件是过点 E，所以该直线是一条“动”直线，但所求最后的结果是一个定 值．故可利用特殊直线确定所求值 如图，PQ∥BC，则 AP ―→ ＝2 3 AB ―→ ， AQ ―→ ＝2 3 AC ―→ ，此时 m＝n＝2 3，故1 m＋1 n＝3. 【答案】A　 解题技巧四 估值法4 估值法就是不需要计算出代数式的准确数值，通过估计其大致取值范围从而解决相应问题的方法．该种方 法主要适用于比较大小的有关问题，尤其是在选择题或填空题中，解答不需要详细的过程，因此可以猜测、 合情推理、估算而获得，从而减少运算量． 例 4、若 a＝20.5，b＝logπ3，c＝log2sin 2π 5 ，则(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a 【解析】由指数函数的性质可知 y＝2x 在 R 上单调递增，而 0b>c. 【答案】A 【变式】已知过球面上 A，B，C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且 AB＝BC＝CA＝2，则球面 面积是 (　　) A．16 9 π B．8 3π C．4π D．64 9 π 【解析】球的半径 R 不小于△ABC 的外接圆半径 r＝2 3 3 ，则 S 球＝4πR2≥4πr2＝16π 3 >5π，只有 D 选项符合， 故选 D. 【答案】D　 解题技巧五 待定系数法 要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫作待定系 数法，其理论依据是多项式恒等——两个多项式各同类项的系数对应相等．使用待定系数法，就是把具有 某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决．待定系数法主要用来解决所 求解的数学问题具有某种确定的数学表达式，例如数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程 等． 例 5、已知双曲线x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线过点(2， 3)，且双曲线的一个焦点在抛物线 y2＝4 7x 的准线上，则双曲线的方程为 ( 　　) A.x2 21－y2 28＝1 B.x2 28－y2 21＝15 C.x2 3－y2 4＝1 D.x2 4－y2 3＝1 【解析】由双曲线的渐近线 y＝b ax 过点(2， 3)， 可得 3＝b a×2.① 由双曲线的焦点(－ a2＋b2，0)在抛物线 y2＝4 7x 的准线 x＝－ 7上，可得 a2＋b2＝ 7.② 由①②解得 a＝2，b＝ 3， 所以双曲线的方程为x2 4－y2 3＝1. 【答案】D 【反思领悟】待定系数法主要用来解决 已经定性的问题，如本例中已知双曲线的焦点在抛物线 y2＝4 7x 的 准线上，根据已知条件列方程求解 a，b 即可． 【变式】已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S3＝9，S5＝25，则 S7＝ (　　) A．41 B．48 C．49 D．56 【解析】设 Sn＝An2＋Bn， 由题知，Error!解得 A＝1，B＝0， ∴S7＝49. 【答案】C　 解题技巧六 换元法 换元法又称辅助元素法、变量代换法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露 出来，或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论 依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标 准型问题标 准化、复杂问题简单化．换元法经常用于三角函数的化简求值、复合函数解析式的求解等． 例 6、已知正数 x，y 满足 4y－2y x ＝1，则 x＋2y 的最小值为________． 【反思领悟】换元法主要有常量代换和变量代换，要根据所求解问题的特征进行合理代换．如本例中就是 使用常数 1 的代换，将已知条件化为“1 4y＋ 1 2x＝1”，然后利用乘法运算规律，任何式子与 1 的乘积等于本身，6 再将其展开，通过构造基本不等式的形式求解最值． 【变式】若函数 f(x)＝ 1＋3x＋a·9x，其定义域为(－∞，1]，则 a 的取值范围是 (　　) A．{－4 9 } B．[－4 9，＋∞) C．(－∞，－4 9] D．[－4 9，0) 【解析】由题意得 1＋3x＋a·9x≥0 的解集为(－∞，1]，即 [(1 3 )x]2＋(1 3 )x＋a≥0 的解集为(－∞，1]．令 t ＝(1 3 )x，则 t≥1 3， 即方程 t2＋t＋a≥0 的解集为[1 3，＋∞)， ∴(1 3 )2＋1 3＋a＝0 ，所以 a＝－4 9. 【答案】A 解题方法七 构造法 构造法求解选择、填空题，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型(如构造函数、方程或图 形)，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的 积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括、积极联想、横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵 感，构造出相应的函数、数列、几何等具体的数学模型，使问题快速解决． 例 7、(1)若 a＝ln 1 2 015－ 1 2 015，b＝ln 1 2 016－ 1 2 016，c＝ln 1 2 017－ 1 2 017，则 a，b，c 的大小关系为 (　　) A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b 【解析】 (1)令 f(x)＝ln x－x，则 f′(x)＝1 x－1＝1－x x .当 0 1 2 015> 1 2 016> 1 2 017>0，∴a>b>c.学科_网 【答案】 (1)A (2)如图，已知球 O 的表面上有四点 A，B，C，D，DA⊥平面 ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝ 2，则球 O 的体积等于________． 【解析】如图，以 DA，AB，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球 O 的半径为 R，则正方体的体对7 角线长即为球 O 的直径，所以 CD＝  22＋ 22＋ 22＝2R， 所以 R＝ 6 2 ，故球 O 的体积 V＝4πR3 3 ＝ 6π. 【答案】 6π 【反思领悟】构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定 构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问 题．如本例(2)中巧 妙地构造出正方体，而球的直径恰好为正方体的体对角线，问题就很容易得到解决． 【变式】关于圆周率 π，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启 发，我们也可以通过设计下面的实验来估计 π 的值：先请 360 名同学，每人随机写下一个 x，y 都小于 1 的 正实数对(x，y)；然后统计 x，y 两数能与 1 构成钝角三角形三边的数对(x，y)的个数 m；再根据统计数 m 来 估计 π 的值．假如统计结果是 m＝102，那么可以估计 π≈________(用分数表示)． 【解析】(构造可行域求解)两数能与 1 构成钝角三角形三边的数对(x，y)所需满足的条件为Error! 作出满足不等式组的可行域，如图中阴影部分所示，依题意有102 360＝ 1 4π－1 2 1 × 1 ，解得 π＝47 15. 【答案】47 15 解题技巧八 分离参数法 分离参数法是不等式有解、恒成立问题常用的方法，通过分离参数将问题转化为相应函数的最值或范围问 题求解，从而避免对参数进行分类讨论的繁琐过程．该种方法也适用于含参方程有解、无解等问题的解 决．但要注意该种方法仅适用于分离参数后能够求解相应函数的最值或值域的情况．8 例 8、若不等式 x2＋ax＋1≥0 对一切 x∈(0，1 2 ]恒成立，则 a 的最小值是________． 【解析】由于 x>0， 则由已知可得 a≥－x－1 x在 x∈(0，1 2 ]上恒成立， 而当 x∈(0，1 2 ]时，(－x－1 x)max＝－5 2， ∴a≥－5 2，故 a 的最小值为－5 2. 【答案】－5 2 【反思领悟】利用分离参数法解决不等式恒成立问题或有解问题，关键在于准确分离参数，然后将问题转 化为参数与函数最值之间的大小关系．分离参数时要注意参数系数的符号是否会发生变化，如果参数的系 数符号为负号，则分离参数时应注意不等号的变化否则就会导致错解． 【变式】方程 log (a－2x)＝2＋x 有解，则 a 的最小值为________． 【解析】若方程 log (a－2x)＝2＋x 有解，则 (1 2 )2＋x＝a－2x 有解，即1 4×(1 2 )x＋2x＝a 有解，∵1 4×(1 2 ) x＋2x≥1，当且仅当 x＝－1 时取等号．故 a 的最小值为 1. 【答案】1 解题方法九 直接法 直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算， 从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择．涉及概念、性质的辨析 或运算较简单的题目常用直接法． 例 9、(2017·全国卷Ⅰ)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．若 a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 1 2 1 29 【变式】有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面 α 的一条斜线 l 有且仅有一个平面与 α 垂直；③异面直线 a，b 不垂直，那么过 a 的任一个平面与 b 都不垂直．其中正确命题的个数为(　　) A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个[来源:Z+xx+k.Com] 【解析】利用立体几何中有关垂直的判定与性质定理对上述 3 个命题作出判断，易得都是正确的，故选 D. 【答案】D 【变式】已知 f(x)＝{x2，x＞0， π，x＝0， 0，x＜0， 则 f {f[f（－3）]}的值等于(　　) A．0 B．π C．π2 D．9 【解析】由 f{f[f（－3）]}＝f{f(0)}＝f{π}＝π2 可知，选 C。 【答案】C 解题方法十 特例法 从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置， 进行判断．特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特 殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等． 一、取特殊值 例 1、若 0≤α≤2π，sin α＞ 3cos α，则 α 的取值范围是(　　) 　A.(π 3，π 2 ) B.(π 3，π ) C.(π 3，4π 3 ) D.(π 3，3π 2 ) 【解析】取 α＝π 2，排除 A；α＝π，排除 B；α＝4π 3 ，排除 D.故选 C. 【答案】C10 【变式】(1)a＞b＞1，P＝ lg a·lg b，Q＝1 2(lg a＋lg b)，R＝lg(a＋b 2 )，则(　　) A．R＜P＜Q B．P＜Q＜R C．Q＜P＜R D．P＜R＜Q (2)若 x∈(e－1，1)，a＝ln x，b＝2ln x，c＝ln3x，则(　　) A．a