重庆市第八中学2019-2020高一数学下学期第一次月考试题（Word版附答案）

高 2022 级高一（下）第一次月考数学试题 考试时间：4 月 3 号 10:30-12:00 满分：120 分 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1．己知 则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 2．已知 中， ， ， ，则 等于（ ） A． B． 或 C．60° D． 或 3．若等差数列 中， ， ，则数列 的通项公式为（ ） A． B． C． D． 4．设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 等于（ ） A．60 B．45 C．36 D．18 5．己知两个正数 ， 满足 ，则 的最小值是（ ） A．23 B．24 C．25 D．26 6．在 ，内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，若 ， ， 则 的面积是（ ） A． B． C． D． 7．正项等比数列 中， ， ，则 的值是（ ） A．4 B．8 C．16 D．64 8．在 中，内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，如果 ， ， 成等差数列， ， 的面积为 ，那么 等于（ ） A． B． C． D． 9．设等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ） A．31 B．32 C．63 D．64 a b> 2 2 0a b− > ac bc> 2 2ac bc> 2 2a b> ABC△ 4a = 4 3b = 6 πA = B 30° 30° 150° 60° 120° { }na 1 2a = 2 4a = { }na 1na n= + 2na n= 4na n= na n= − { }na n nS 2 5 8 15a a a+ + = 9S a b 3 2 1a b+ = 3 2 a b + ABC△ A B C a b c ( )22 6c a b= − + 3 πC = ABC△ 3 9 3 2 3 3 2 3 3 { }na 3 2a = 4 6 64a a = 5 6 1 2 a a a a + + ABC△ A B C a b c a b c 6 πB = ABC△ 3 2 b 1 3 2 + 1 3+ 2 3 2 + 2 3+ { }na n nS 2 3S = 4 15S = 6S =10．若 是等差数列，首项 ， ， ，则使前 项和 成 立的最大自然数 是（ ） A．46 B．47 C．48 D．49 11．已知向量 ， ，且向量 与向量 平行，则 的最 大值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，若 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 13．设 是由正数组成的等比数列，且 ， 的值是 __________． 14．设 ， ，若 ，则 的最小值为__________． 15．已知数列 满足 ， ，令 ，则数列 的前 2020 项的和 __________． 三、解答题（每题 15 分，共 45 分） 16．已知数列 是公比为 2 的等比数列，且 ， ， 成等差数列． （1）求数列 的通项公式； （2）记 求数列 的前 项和 ． 17．在 中，角 ， ， 对应边分别为 ， ， ，若 （1）求角 ； （2）若 求 的取值范围． 18．已知正项数列 的前 项和为 ， 是 与 的等比中顶． { }na 1 0a > 23 24 0a a+ > 23 24 0a a⋅ < n 0nS > n ( )1,1a = ( )2 29 4 ,6 1b x y xy= + + a b 3 2x y+ ABC△ A B C a b c cos cos 2 ca B b A− = cos cos cos a A b B a B + 3 4 3 3 3 3 2 3 3 { }na 4 7 9a a⋅ = 3 3 101 3 3 3 3log log log loga a aa + + +⋅⋅⋅+ 0a > 1b > 2a b+ = 9 1 1a b + − { }na 1 2a = 1 3 2n na a+ = + ( )1 3log na nb += 1 1 n nb b +       2020S = { }na 2a 3 1a + 4a { }na 1 2log na n nb a += + { }nb n nT ABC△ A B C a b c 2 cos cos cosa A b C c B= + A 3a = b c+ { }na n nS nS 1 4 ( )21na +（1）求证：数列 是等差数列； （2）若 ，数列 的前 项和为 ，求 ． 高 2022 级高一（下）第一次月考数学答案 考试时间：4 月 3 号 10:30-12:00 满分：120 分 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D D B B C C C B C A B D 5．解：根据题意，正数 ， 满足 则 ，当 时，即 取等． 6．解：由题意得， ，又由余弦定理可知： ∴ 即 ，∴ ．故先 C． 7．解：设正项等比数列 的公比为 ，∵ ， ∴ ， ∴解得 ∴ 故选 C． 8．解：∵ ， ， 成等差数列，∴ ，平方得 又 的面积为 ，且 ，由 ，解得 代入 ， 由余弦定理得 ， 解得 故选 B． 9．解：因为 ， ， 成等比数列，即 3，12， ，成等比数列，可得 解得 故选 C． { }na 2 n n n ab = { }nb n nT nT a b 3 2 1a b+ = 3 2 a b + ( ) 3 23 2a b a b  = + +   6 613 25b a a b  = + + ≥   6 6b a a b = 1 5a b= = ( )22 6c a b= − + 2 2 2 2 2 2 22 cos 2 cos 3 πc a b ab C a b ab a b ab= + − = + − = + − 2 6ab ab− + = − 6ab = 1 1 3 3sin sin2 2 3 2ABC πS ab C ab= = =△ { }na q 3 2a = 4 6 64a a = 2 1 2a q = 2 8 1 64a q = 2 4q = ( )4 1 2 45 6 1 2 1 2 16q a aa a qa a a a ++ = = =+ + a b c 2b a c= + 2 2 24 2a c b ac+ = − ABC△ 3 2 6 πB = 1 1 3sin2 6 4 2ABC πS ac ac= = =△ 6ac = 2 2 2 24 2 4 12a c b ac b+ = − = − 2 2 2 2 2 24 12 3 12 3cos 2 12 12 2 a c b b b bB ac + − − − −= = = = 2 4 2 3 3 1b b= + ⇒ = + 2S 4 2S S− 6 4S S− 6 15S − ( )2 612 3 15S= − 6 63S =10．解：∵ 是等差数列，且 ， ， 可知， ， ∴ ， 故使前 项和 成立的最大自然数 是 46，故选 A． 11 ． 解 ： 由 题 知 ： 故选 B． 12．解：∵ ∵ ， 选 D． 二、填空题（每题 5 分，共 15 分） 13．10 14．16 15． 13．解：∵ 14．解： ， 且 且 ∴ 当且仅当 取等，又 即 ， 时取等号，故所求最小值为 { }na 1 0a > 23 24 0a a+ > 23 24 0a a⋅ < 23 0a > 24 0a < ( )1 45 45 23 45 45 02 a aS a += = > ( ) ( )1 46 46 23 24 46 23 02 a aS a a += = + > ( )1 47 47 24 45 24 02 a aS a += = < n 0nS > n ( ) ( )2 22 29 4 6 1 1 3 2 18 3 2 3 3 2x y xy x y xy x y x y+ − = ⇒ = + − = + − × × ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 3 2 3 21 3 2 3 3 2 3 2 3 4 4 x y x yx y x y x y + +⇒ = + − × × ≥ + − × = ( )23 2 1 3 2 24 x y x y +⇒ ≤ ⇒ + ≤ 1cos cos sin cos sin cos sin2 2 ca B b A A B B A C+ = ⇒ − = ( ) ( )1 1sin cos sin cos sin sin cos cos sin2 2A B B A A B A A A B⇒ − = + = + sin cos 3cos sin tan 3tanA B A B A B⇒ = ⇒ = cos cos cos cos sin cos sin2cos cos cos sin cos sin a A b B A b A B A B a B B a B A B A + = + = + ≥ ⋅ 1 2 32 3 3 = = 2020 2021 ( )5 5 4 73 101 2 9 3 3 3 3 3 3log log log log log log 10a aa aa a ⋅+ + +⋅⋅⋅+ = = = 0a > 1b > 2 1 0a b b+ = ⇒ − > ( )1 1a b+ − = ( ) ( )9 19 1 9 1 1 10 10 6 161 1 1 b aa ba b a b a b − + = + + − = + + ≥ + =   − − −  ( )9 1 1 b a a a − = − 2a b+ = 3 4a = 5 4b =16． 15．解： ， ∴ 三、解答题（每题 15 分，共 45 分） 16．解：（1）由题意可得 ，即 ，解得 ， ∴数列 的通项公式为 ； （2） ∴ 17．解：（1） ∴由正弦定理可得 （2）由题意， ， ， ∴由余弦定理 （当且仅当 时取等号），即 ，∴ ． ∴ 18．解：（1）证明：由 是 与 的等比中项，得 当 时， ； 当 时， ，∴ ， 即 ． ∴ ∴数列 是等差数列． （2）数列 首项 ， 通项公式为 则 ， 则 1 2a = ( ) ( )1 1 1 1 13 2 1 3 1 3 1 1 n n n n n n n n n a a a a a b n b b n n+ + + = + ⇒ + = + ⇒ = − ⇒ = ⇒ = + 2020 1 1 1 1 1 1 20201 12 2 3 2020 2021 2021 2021S = − + − +⋅⋅⋅+ − = − = ( )3 2 42 1a a a+ = + ( )1 1 12 4 1 2 8a a a+ = + 1 1a = { }na ( )12 1n na n−= ≥ 1 1 2log 2na n n nb a n+ −= + = + ( )( ) ( )0 0 1 11 2 3 2 2 2 2 12 n n n n nT n − += + + +⋅⋅⋅+ + +⋅⋅⋅+ = + − 2 cos cos cosa A b C c B= + 2sin cos sin cos sin cosA A B C C B⇒ = + ( ) 12sin cos sin sin cos 2 3 πA A B C A A A⇒ = + = ⇒ = ⇒ = 0b > 0c > 3b c a+ > = ( ) ( )2 22 2 13 2 cos60 3 4b c bc b c bc b c= + − ° = + − ≥ + 3b c= = ( )2 12b c+ ≤ 2 3b x+ ≤ ( 3,2 3b c + ∈  nS 1 4 ( )21na + ( )21 14n nS a= + 1n = ( )2 1 1 1 1 1 14a a a= + ⇒ = 2n ≥ ( )2 1 1 1 14n nS a− −= + ( )2 2 1 1 1 1 2 24n n n n n n na S S a a a a− − −= − = + + − ( )( )1 1 2 0n n n na a a a− −+ − − = 0na > 1 2n na a −− = { }na { }na 1 1a = 2d = ( )2 1 1na n n= − ≥ 2 1 2n n nb −= 2 3 1 3 5 2 1 2 2 2 2n n nT −= + + +⋅⋅⋅+做差得 2 3 1 1 3 2 3 2 1 2 2 2 2 2n n n n nT − −= + +⋅⋅⋅+ + 2 3 1 1 1 1 1 1 2 122 2 2 2 2 2n n n nT + − = + + +⋅⋅⋅+ −   1 1 1 1 1 1 111 1 2 1 1 1 1 2 1 3 2 34 22 112 2 2 2 2 2 2 2 21 2 n n nn n n n n n nT T − + − + +  −  − − + ⇒ = + × − ⇒ = + − − = − − 2 33 2n n nT +⇒ = −