2019-2020 学年度第二学期四月阶段检测
高一数学
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分 150 分，考试时间 120
分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1．下列各个角中与 终边相同的是
A． B． C． D．
2．用秦九韶算法计算多项式 在 时的值时， 的为
A．2 B．19 C．14 D．33
3．下列程序执行后输出的结果是
A．1 B．0 C．2 D．
2020° (
)
220° 680° 150− ° 320°
6 5 3 2( ) 2 3 5 6 7 8f x x x x x x= + + + + + 2x = 2V
( )
(
)
1−4．下列各进制中，最大的值是
A． B． C． D．
5．从 2004 名学生中选取 50 名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从 2004
人中剔除
4 人，剩下的 2000 人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的概率为
A．不全相等 B．均不相等
C．都相等，且为 D．都相等，且为
6．一钟表的秒针长 ，经过 ，秒针的端点所走的路线长
A． B． C． D．
7. 如果数据 ， ， ， 的平均数是 ，方差是 ，则 ， ， ， 的
平均数和方
差分别是
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
(
)
(9)85 (2)111111 (4)1000 (6)210
(
)
25
1002
1
40
12cm 25s (
)
10cm 14cm 10 cmπ 14 cmπ
1x 2x … nx x 2S 12 3x + 22 3x + … 2 3nx +
(
)
x S 2 3x + 24S
2 3x + 2S 2 3x + 24 12 9S S+ +8．已知 ，则角 的终边在
A．第二象限 B．第三象限
C．第二象限或第四象限 D．第四象限
9．利用随机数表法对一个容量为 500 编号为 000，001，002， ，499 的产品进行抽样检验，
抽取一个容量为 10 的样本，若选定从第 12 行第 5 列的数开始向右读数，（下面摘取了随
机数表中的第 11 行至第 15 行），根据下图，读出的第 3 个数是
A．841 B．114 C．014 D．146
10．如图给出的是计算 的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件
是
cos sin 1θ θ− > θ (
)
…
( )
20
1
6
1
4
1
2
1 ++++
(
)A． ？ B． ？ C． ？ D． ？
11．考虑一元二次方程 ，其中 ， 的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后
出现的点数，则方程有实根的概率为
A． B． C． D．
12．《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，
二而一．其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积 （弦乘矢 矢乘矢），弧田是由
圆弧（简称为弧田的弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称（弧田的弦）围成的平面
图形，公式中“弦”指的是弧田的弦长，“矢”等于弧田的弧所在圆的半径与圆心到弧田
的弦的距离之差．现有一弧田，其弦长 等于 ，其弧所在圆为圆 ，若用上述弧田
面积计算公式计算得该弧田的面积为 ，则
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分,将答案写在答题卡上.）
13. 在空间直角坐标系 中，设点 是点 ， ， 关于坐标平面 的对称点，
点 ，2，
关于 轴对称点 ，则线段 的长度等于 ．
8i > 9i > 10i > 11i >
2 0x mx n+ + = m n
(
)
19
36
7
18
4
9
17
36
1
2
= +
AB 2 3 O
2 3 1
2
+ =∠AOB
(
)
4
π
3
π
2
π 2
3
π
O xyz− M (2N 3− 5) xoy
(1P 3)
x Q MQ14．甲、乙、丙三人进行传球练习，球首先从甲手中传出，则第 3 次球恰好传回给甲的概率
是 ．
15．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《四江
月》： “平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地 ”某教师
根据这首词的思想设计如图形，已知 ， ， ， ，
， ， ，则在扇形 中随机取一点求此点取自阴影部分的概
率 ．
16．设函数 ，则 的定义域为 ．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）
17．（本小题满分 10 分）
甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中
随机抽取 8 次，记录如下：
甲：82，81，79，78，95，88，93，84； 乙：92，95，80，75，83，80，
90，85
(1) 用茎叶图表示这两组数据，并计算平均数与方差；
(2) 现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度（在平均数、方差或标准差中两个）
考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．
18．（本小题满分 12 分）
随着我国经济的发展，居民收入逐年增长．某地区 2015 年至 2019 年农村居民家庭人均
…
CE l⊥ DF l⊥ CB CD= AD BC⊥
5DF = 2BE = 3 3AD = BCD
( ) ln(tan 1) 3 2sinf x x x= − + − ( )f x纯收入 （单位：千元）的数据如表：
(1) 求 关于 的线性回归方程；
(2) 利用(1)中的回归方程，分析 2015 年至 2019 年该地区农村居民家庭人均纯收入
的变化情况，并预测 2020 年该地区农村居民家庭人均纯收入为多少？
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ， ．
19．（本小题满分 12 分）
某班同学利用国庆节进行社会实践，对 ， 岁的人群随机抽取 人进行了一次生活
习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为
“非低碳族”．得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
年份 2015 2016 2017 2018 2019
年份代号 1 2 3 4 5
人均纯收入 5 6 7 8 10
组数 分组 低碳组的人数 占本组的频率
第一组 ， 120 0.6
第二组 ， 195
第三组 ， 100 0.5
第四组 ， 0.4
第五组 ， 30 0.3
y
y t
1
2
1
( )( )
ˆ
( )
n
i i
i
n
i
i
t t y y
b
t t
=
=
− −
=
−
∑
∑
ˆˆa y bt= −
[25 55) n
t
y
[25 30)
[30 35) P
[35 40)
[40 45) A
[45 50)(1) 补全频率分布直方图，并求 ， ， 的值；
(2) 求年龄段人数的中位数和众数；
(3) 从 ， 岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取 6 人参加户外低碳体验活
动，其中选取
3 人作为领队，求选取的 3 名领队中年龄都在 ， 岁的概率．
20．（本小题满分 12 分）
(1) 已知函数 ，其中 ， ， ，1， ，求函数 的图象恰
好经过第一、二、三象限的概率；
(2) 某校早上 开始上课，假设该校学生小张与小王在早上 之间到校，且
每人在该时间段内到校时刻是等可能的，求两人到校时刻相差 10 分钟以上的概率．
21．（本小题满分 12 分）
已知函数 ，且 ．
(1) 求 的值；
第六组 ， 15 0.3
n A P
[40 50)
[40 45)
2( ) 4f x ax x b= + − a { 2b∈ − 1− 2} ( )f x
8:10 7 :30 ~ 8:00
3sin( )cos( )tan( )2 2( ) cos( )sin(3 )
x x x
f x x x
π π π
π π
− + − −
= + −
1( ) 3f α =
2sin cos
sin 2cos
α α
α α
−
+
[50 55)(2) 求 的值．
22．（本小题满分 12 分）
已知 ， ， 为 的内角.
(1) 求证： ；
(2) 若 ，求证： 为钝角三角形.
2019-2020 学年度第二学期四月阶段检测
高一数学
命题人:姚小娟 审题人：杨柳
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分 150 分，考试时间 120
分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1．下列各个角中与 终边相同的是
A． B． C． D．
答案 A.
2 22sin sin cos cosα α α α− −
A B C ABC∆
12cos2cos 22 =++ CBA
( ) 0tan2
3sin2cos θ ( )
D
…
( )
1 1 1 1
2 4 6 20
+ + +…+是
A． ？ B． ？ C． ？ D． ？
答案 C．
11．考虑一元二次方程 ，其中 ， 的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后
出现的点数，则方程有实根的概率为
A． B． C． D．
答案 A．
12．《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，
并之，二而一．其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积 （弦乘矢 矢乘矢），弧
田是由圆弧（简称为弧田的弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称（弧田的弦）围成
的平面图形，公式中“弦”指的是弧田的弦长，“矢”等于弧田的弧所在圆的半径与圆心
到弧田的弦的距离之差．现有一弧田，其弦长 等于 ，其弧所在圆为圆 ，若用上
述弧田面积计算公式计算得该弧田的面积为 ，则
( )
8i > 9i > 10i > 11i >
2 0x mx n+ + = m n
( )
19
36
7
18
4
9
17
36
1
2
= +
AB 2 3 O
2 3 1
2
+
(AOB∠ = )A． B． C． D．
答案 ．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分,将答案写在答题卡上.）
13．在空间直角坐标系 中，设点 是点 ， ， 关于坐标平面 的对称点，
点 ，2， 关于 轴对称点 ，则线段 的长度等于 ．
答案 .
15．甲、乙、丙三人进行传球练习，球首先从甲手中传出，则第 3 次球恰好传回给甲的概
率是 ．
答案 .
16．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《四江
月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地 ”某教师根据
这首词的思想设计如图形，已知 ， ， ， ， ，
， ，则在扇形 中随机取一点求此点取自阴影部分的概
率 ．
答案 .
17．设函数 ，则 的定义域为 ．
4
π
3
π
2
π 2
3
π
D
O xyz− M (2N 3− 5) xoy
(1P 3) x Q MQ
6
1
4
…
CE l⊥ DF l⊥ CB CD= AD BC⊥ 5DF =
2BE = 3 3AD = BCD
3 31 4π−
( ) ln(tan 1) 3 2sinf x x x= − + − ( )f x答案
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）
17．（本小题满分 10 分）
甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中
随机抽取 8 次，记录如下：
甲：82，81，79，78，95，88，93，84
乙：92，95，80，75，83，80，90，85
（1）用茎叶图表示这两组数据，并计算平均数与方差；
（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度（在平均数、方差或标准差中选两
个）考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．
解：
---------------------2 分
根据所给的数据得到： ， ， ，
---------------------6 分
（2）因为甲、乙两位同学的平均数相等，但甲的方差比乙的方差小，所以甲的成绩较
稳定，派甲参赛比较合适. ------------------10 分
18．（本小题满分 12 分）
随着我国经济的发展，居民收入逐年增长．某地区 2015 年至 2019 年农村居民家庭人均纯收
入 （单位：千元）的数据如表：
3{ 2 2 2 2 }4 3 4 2x k x k k x k k Z
π π π ππ π π π+ < ≤ + − < < − ∈或 ，
5 3{ 2 2 2 + 2 + }4 3 4 2x k x k k x k k Z
π π π ππ π π π+ < ≤ + < < ∈或 ，
85=甲x 85=乙x 5.352 =甲S 412 =乙S
y年份 2015 2016 2017 2018 2019
年份代号 1 2 3 4 5
人均纯收入 5 6 7 8 10
（1）求 关于 的线性回归方程；
（2）利用（1）中的回归方程，分析 2015 年至 2019 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变
化情况，并预测 2020 年该地区农村居民家庭人均纯收入为多少？
解：（1）由所给数据计算得，
， ，
，
，
所以 ， ．
故所求的回归方程为 ． --------------------6 分
（2）由（1）可知， ，故 2015 年至 2019 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增
加，平均每年增加 1.2 千元．
当 时， ．
故预测 2020 年该地区农村居民家庭人均纯收入为 10.8 千元． --------------------12 分
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ， ．
t
y
y t
1 2 3 4 5 35t
+ + + += = 5 6 7 8 10 7.25y
+ + + += =
5
2
1
( ) 4 1 0 1 4 10i
i
t t
=
− = + + + + =∑
5
1
( )( ) ( 2) ( 2.2) ( 1) ( 1.2) 0 ( 0.2) 1 0.8 2 2.8 12i i
i
t t y y
=
− − = − × − + − × − + × − + × + × =∑
1
2
1
( )( ) 12ˆ 1.210( )
n
i i
i
n
i
i
t t y y
b
t t
=
=
− −
= = =
−
∑
∑
ˆˆ 7.2 1.2 3 3.6a y bt= − = − × =
ˆ 1.2 3.6y x= +
ˆ 1.2 0b = >
6x = ˆ 1.2 6 3.6 10.8y = × + =
1
2
1
( )( )
ˆ
( )
n
i i
i
n
i
i
t t y y
b
t t
=
=
− −
=
−
∑
∑
ˆˆa y bt= −19．（本小题满分 12 分）某班同学利用国庆节进行社会实践，对 ， 岁的人群随机抽取
人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳
族”，否则称为“非低碳族”．得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
组数 分组 低碳组的人数 占本组的频率
第一组 ， 120 0.6
第二组 ， 195
第三组 ， 100 0.5
第四组 ， 0.4
第五组 ， 30 0.3
第六组 ， 15 0.3
（1）补全频率分布直方图，并求 ， ， 的值；
（2）求年龄段人数的中位数和众数；
（3）从 ， 岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取 6 人参加户外低碳体验活动，
其中选取 3 人作为领队，求选取的 3 名领队中年龄都在 ， 岁的概率．
[25 55) n
[25 30)
[30 35) P
[35 40)
[40 45) A
[45 50)
[50 55)
n A P
[40 50)
[40 45)解：（1）第二组的概率为 ，
所以高为 ．频率直方图如右图：
第一组的人数为 ，频率为 ，
所以 ．
由题可知，第二组的频率为 0.3，所以第二组的人数为 ，
所以 ，第四组的频率为 ，
所以第四组的人数为 ，所以 A=150×0.4=60．---------------------6 分
（2）中位数为 35，众数为 32.5 -------------------10 分
（3）因为 ， 岁年龄段的“低碳族”与 ， 岁年龄段的
“低碳族”的比值为 ，
所以采用分层抽样法抽取 6 人， ， 岁中有 4 人， ， 岁中有 2 人．
由于从 6 人中选取 3 人作领队的所有可能情况共 种，
其中从 ， 岁中的 4 人中选取 3 名领队的情况有 种，
1 (0.04 0.04 0.03 0.02 0.01) 5 0.3− + + + + × =
0.3 0.065
=
120 2000.6
= 0.04 5 0.2× =
200 10000.2n = =
1000 0.3 300× =
195 0.65300p = = 0.03 5 0.15× =
1000 0.15 150× =
[40 45) [45 50)
60:30 2:1=
[40 45) [45 50)
3
6 20n C= =
[40 45) 3
4 4m C= =故选取的 3 名领队中年龄都在 ， 岁的概率为 ． ------------------12 分
20．（本小题满分 12 分）
（1）已知函数 ，其中 ， ， ，1， ，求函数 的图象恰好
经过第一、二、三象限的概率；
（2）某校早上 开始上课，假设该校学生小张与小王在早上 之间到校，且每
人在该时间段内到校时刻是等可能的，求两人到校时刻相差 10 分钟以上的概率．
解：（1）若函数 的图象恰好经过第一、二、三象限，
则满足 ，即 ，即 ，
当 时， ，或 满足条件．
当 时， ，满足条件．即函数图象过第一、二、三象限的 ， 有 3 种组合，
， ， ，1， ，
， 的组合有 种组合，对应的概率
-------------------6 分
[40 45) 4 1
20 5p = =
2( ) 4f x ax x b= + − a { 2b∈ − 1− 2} ( )f x
8:10 7 :30 ~ 8:00
( )f x
0
16 4 0
(0) 0
4 02
a
ab
f b
a
>
= + > = − >
−
> −
0
0
4
a
b
ab
>
−
1a = 1b = − 2b = −
2a = 1b = − a b
a { 2b∈ − 1− 2}
a∴ b 4 4 16× = 3
16P =（2）设小张与小王的到校时间分别为 后第 分钟，第 分钟，
则满足 ，
由题意可画出图形，
则总事件所占的面积为 ．
两人到校时刻相差 10 分钟，
则满足
作出对应的区域如图：
由 得 ，即 ，
由 ，得 ，即 ，
则三角形 的面积 ，
则阴影部分的面积和 ，
则两人到校时刻相差 10 分钟以上的概率
-------------------12 分
7 :00 x y
6030 ≤≤ x 6030 ≤≤ y
2(60 30) 900− =
( ){ }6030,6030,1010, ≤≤≤≤≥−≥−= yxyxxyyxA 或
30
10
x
y x
=
− =
30
40
x
y
=
= (30,40)F
60
10
y
y x
=
− =
50
60
x
y
=
= (50,60)E
DEF 1 20 20 2002S = × × =
200 200 400S = + =
400 4
900 9P = =21．（本小题满分 12 分）
已知函数 ，且 ．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
解：（1）因为 ，
，
， --------------------3 分
故 . --------------------6 分
（2） ，
． --------------------12 分
22．（本小题满分 12 分）
已知 ， ， 为 的内角.
（1）求证： ；
3sin( )cos( )tan( )2 2( ) cos( )sin(3 )
x x x
f x x x
π π π
π π
− + − −
= + −
1( ) 3f α =
2sin cos
sin 2cos
α α
α α
−
+
2 22sin sin cos cosα α α α− −
cos sin ( tan )( ) tancos sin
x x xf x xx x
−= =−
1( ) 3f α =
∴ 1tan 3
α =
12 12sin cos 2tan 1 13
1sin 2cos tan 2 723
α α α
α α α
× −− −= = = −+ + +
2 2
2 2
2 2
2sin sin cos cos2sin sin cos cos sin cos
α α α αα α α α α α
− −− − = +
2
2
1 12 12tan tan 1 9 3 11tan 1 19
α α
α
× − −− −= = = −+ +
A B C ABC∆
12cos2cos 22 =++ CBA（2）若 ，求证： 为钝角三角形.
解(1)∵在 中， ， --------------------2 分
∴ ，
∴ .
∴ . --------------------6 分
(2)∵ ，
∴ 即 .
又 ， ， ，∴ ，∴ ，
即 ， 或 ， ，
∴ 为钝角或 为钝角，∴ 为钝角三角形． --------------------12 分
( ) 0tan2
3sin2cos
微信/支付宝扫码支付