南康区 2019-2020 学年第二学期开学检测试卷（三）
高二数学（文）
题号 一 二 三 总分
得分
一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的)
1．命题“任意的 x>0, >0”的否定是( )
A.存在 x0, ≤0
C.任意的 x>0, ≤0 D.任意的 x0
2.抛物线 的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3.已知定义在区间[ ― 3,3]上的函数f(x) = 2x +m满足f(2) = 6，在[ ― 3,3]上任取一个实数 x，则使得
f(x)的值不大于 3 的概率为( )
A. 5
6 B. 1
2 C. 1
3 D. 1
6
4.双曲线 的焦点到渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
5.设 x∈R,则“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.某单位有 840 名职工，现采用系统抽样方法抽取 42 人做问卷调查，将 840 人按 1,2，…，840 随
机编号，则抽取的 42 人中，编号落入区间[481,720]的人数为( )
A．11 B．12 C．13 D．14
7.过抛物线 的焦点，作倾斜角为 的直线，则被抛物线截得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
8.已知函数f(x) = x2 ―5x + 2lnx，则函数f(x)的单调递减区间是( )
A. (0,1
2)和(1, + ∞) B. (0,1)和(2, + ∞) C. (0,1
2)和(2, + ∞) D. (1
2,2)
9.若点 P 是曲线y = x2 ―1nx上任一点，则点 P 到直线y = x ― 1的最小距离是( )
A. 2 B. 1 C. 2
2 D. 3
10.从区间[0,1]随机抽取 2n 个数 x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成 n 个数对(x1，y1)，(x2，
y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率
π 的近似值为( )
A.4n
m B．2n
m
C.4m
n
D.2m
n
11.已知双曲线 =1(a>0,b>0)的右焦点为 F,点 A 在双曲线的渐近线上,△OAF 是边长为 2 的等边
三角形(O 为原点),则双曲线的方程为( )
A. =1 B. =1 C. -y2=1 D.x2- =1
12.已知 ， 是椭圆的两个焦点，满足 的点 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上）
13．如图 3 的矩形，长为 5 m，宽为 2 m，在矩形内随机地撒 300 粒黄豆，数得落在阴影部分的黄
豆数为 138 粒，则我们可以估计出阴影部分的面积为________m2.
图 3
14.若命题“存在实数 x∈[1,2],使得 ex+x2+3-m0).
(1)若 m=2,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围;
(2)若 p 是 q 充分不必要条件,求实数 m 的取值范围.
18.(本小题满分 12 分)某城市 100 户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180)，[180,200)，
[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图 6.
图 6
(1)求直方图中 x 的值；
(2)求月平均用电量的众数和中位数；
(3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的
方法抽取 11 户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？
19.(本小题满分 12 分)如图，在四棱柱 中，底面 为
正方形，侧棱 底面 ， 为棱 的中点， ， .
（Ⅰ）求证： ；（Ⅱ）求三棱锥 的体积.
20.(本小题满分 12 分)刘老师是一位经验丰富的高三理科班班主任，经长期研究，他发现高
中理科班的学生的数学成绩（总分 150 分）与理综成绩（物理、化学与生物的综合，
总分 300 分）具有较强的线性相关性，以下是刘老师随机选取的八名学生在高考中的
数学得分 x 与理综得分 y（如下表）：
学生
编号
1 2 3 4 5 6 7 8
数学
分数 x
5
2
6
4
8
7
9
6
1
05
1
23
1
32
1
41
理综
分数 y
1
12
1
32
1
77
1
90
2
18
2
39
2
57
2
75
参考数据及公式： ．
（1）求出 y 关于 x 的线性回归方程；
（2）若小汪高考数学 110 分，请你预测他理综得分约为多少分？（精确到整数位）；
（3）小金同学的文科一般，语文与英语一起能稳定在 215 分左右．如果他的目标是在
高考总分冲击 600 分，请你帮他估算他的数学与理综大约分别至少需要拿到多少
分？（精确到整数位）．
21.(本小题满分 12 分)已知椭圆푥2
푎2 + 푦2
푏2 = 1(푎 > 푏 > 0)的左右焦点分别为퐹1，퐹2，点퐴(2, 2)在椭圆
上，且|푃퐹1| + |푃퐹2| = 4 2.(1)求椭圆的方程；
(2)过(0, ― 2)作与 x 轴不垂直的直线 l 与椭圆交于 B，C 两点，求 △ 푂퐵퐶面积的最大值及 l 的方
程．
22.(本小题满分 12 分)已知函数푓(푥) = 푎푥 ―1 ― 푙푛푥，푎 ∈ 푅．
(Ⅰ)讨论函数푓(푥)的单调区间；
(Ⅱ)若函数푓(푥)在푥 = 1处取得极值，对∀푥 ∈ (0, + ∞)，푓(푥) ≥ 푏푥 ―2恒成立，求实数 b 的取值范
围．
1111 DCBAABCD − ABCD
1AA ⊥ ABCD E 1AA 3=AB 41 =AA
CABD 1⊥ BDEA −
1 1 2 2
22 2 2
1 2
, 1.83, 100, 200n n
n
x y x y x y nxyy a bx b x y
x x x nx
+ +⋅⋅⋅+ −= + = ≈ = =
+ +⋅⋅⋅+ −
南康区 2019-2020 学年第二学期开学检测试卷（三）
高二数学（文）参考答案
一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的)
1．【答案】B【解析】:因为命题“任意的 x>0, >0”,所以否定是:存在 x>0, ≤0.
2.【答案】D【解析】方程化成标准方程为 ，知 ，故抛物线的焦点坐标为
3.【答案】B【解析】：由题意，22 +m = 6， ∴ m = 2，
2x +2 ≤ 3， ∴ x ≤ 0，
∵ 在[ ― 3,3]上随机取一个实数 x， ∴ ―3 ≤ x ≤ 0，
∴ 所求概率为0 + 3
3 + 3 = 1
2，
4.【答案】B【解析】依题意得， ，所以双曲线的右焦点坐标是 ，一条
渐近线方程是 ，即 ，
因此焦点到渐近线的距离为 ，故选 B．
5.【答案】B【解析】:∵x=-3 满足 2-x≥0,但不满足|x-1|≤1,
∴“2-x≥0”不是“|x-1|≤1”的充分条件.
若|x-1|≤1,则-1≤x-1≤1,即 0≤x≤2,可得 2-x≥0,
即“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的必要条件,
故“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的必要而不充分条件.故选 B.
6.【答案】 B【解析】 依据系统抽样的特点分 42 组，每组 20 人，区间[481,720]包含 25 组到 36
组，每组抽一个，则抽到的人数为 12.
7.【答案】B【解析】抛物线中 ， ，则焦点坐标为 ，过焦点且倾斜角为 的直线
方程为 ，由 ，得 ，
则 ( ， 为直线与抛物线两个交点的横坐标)．
从而弦长为 ．
8.【答案】D【解析】解：函数f(x) = x2 ―5x + 2lnx，其定义域{x|x > 0}，
则f′(x) = 2x ― 5 + 2 × 1
x = 2x2 ― 5x + 2
x ，
令f′(x) = 0，可得x1 = 1
2，x2 = 2，
当x ∈ (1
2,2)时，f′(x) < 0， ∴ 函数f(x)在(1 2,2)是单调递减． 9.【答案】C【解析】 ∵ 点 P 是曲线y = x2 ―lnx上的任意一点，求点 P 到直线y = x ― 1的最小距 离， ∴ y′ = 2x ― 1 x(x > 0)，
令y′ = 2x ― 1
x = 1，解得x = 1或x = ― 1
2(舍去)，
∴ x = 1，
当x = 1，y = 1，点p(1,1)，
此时点 p 到直线y = x ― 1的最小距离dmin = |1 ― 1 ― 1|
2 = 2
2 ．
故选：C．
10.【答案】C【解析】 因为 x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn 都在区间[0,1]内随机抽取，所以构成
的 n 个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)都在正方形 OABC 内(包括边界)，如图所示．若两数的
平方和小于 1，则对应的数对在扇形 OAC 内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形
OAC 内的数对有 m 个．用随机模拟的方法可得 S 扇形
S 正方形＝m
n
，即π
4
＝m
n
，所以 π＝4m
n .
11.【答案】D【解析】∵双曲线 =1(a>0,b>0)的右焦点为 F(c,0),点 A 在双曲线的渐近线上,且
△OAF 是边长为 2 的等边三角形,不妨设点 A 在渐近线 y= x 上,
∴ 解得 所以双曲线的方程为 x2- =1.故选 D.
12.【答案】C【解析】由 可知点 在以线段 为直径的圆上，要使点 总在椭圆内
部，只需 ，即 ， ， ，即 ．
因为 ，所以 ，即椭圆离心率的取值范围是 ．
二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上）
13.【答案】23
5
【解析】 由题意得138
300
＝ S 阴
5 × 2
，S 阴＝23
5 .
14.【答案】(-∞,e+4]【解析】∵命题“存在实数 x∈[1,2],使得 ex+x2+3-m 0，函数푓(푥)是增函数；
综上所述，①当푎 ≤ 0时，푓(푥)的递减区间是(0, + ∞)，无递增区间；
②当푎 > 0时，푓(푥)的递增区间是(1
푎, + ∞)，递减区间是(0,1
푎)．
(퐼퐼)因为函数푓(푥)在푥 = 1处取得极值，所以푓′(1) = 0
解得푎 = 1，经检验满足题意．
由已知푓(푥) ≥ 푏푥 ― 2，则푥 + 1 ― 푙푛푥
푥 ≥ 푏
令푔(푥) = 푥 + 1 ― 푙푛푥
푥 = 1 + 1
푥 ― 푙푛푥
푥 ，则푔′(푥) = ― 1
푥2 ― 1 ― 푙푛푥
푥2 = 푙푛푥 ― 2
푥
易得푔(푥)在(0,푒2]上递减，在[푒2, + ∞)上递增，
所以푔(푥)푚푖푛 = 푔(푒2) = 1 ― 1
푒2，即푏 ≤ 1 ― 1
푒2．
1AA ⊥ ABCD BD ⊆ ABCD
1AA ⊥ BD ABCD AC ⊥ BD
1AA ∩ AC A BD ⊥ 11 AACC
CA1 ⊆ 11 AACC CABD 1⊥
1AA ⊥ ABCD A E 1AA
41 =AA
2=AE ABDE − 2
3 2
9332
1 =××=∆ABDS
33
1 =⋅⋅== ∆−− AESVV ABDABDEBDEA
( , )x y 1.83y a x= + 17a = 17 1.83y x= +
110x = 17 1.83 218.3 218y x= + = ≈
368215 600 130, 2552.83x y x y+ + ≥ ⇒ ≥ ≈ ≈
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