江西省赣州市南康区2019-2020高二数学（理）下学期线上检测试卷（三）（Word版附答案）

南康区 2019－2020 学年第二学期线上教学检测试卷（三） 高二数学（理） 题号 一 二 三 总分 得分 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。） 1．已知集合 ， ，集合 ，则集合 （ ）A． B． C． D． 2．命题“ ， ”的否定为(  ) A． B． C． ， D． ， 3．下列说法中错误的是（ ） A．“ ”是“ ”的必要不充分条件． B．当 时，幂函数 在区间 上单调递减． C．设命题 对任意 ；命题 存在 ，则 为真命 题． D．命题“若 都是偶数，则 是偶数”的否命题是“若 都不是偶数，则 不是偶数” 4．在平面直角坐标系中，点 是角 终边上的一点，若 ，则 ( ) A． B． C． D． 5．在 中，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 6．已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ） A．17 B．18 C．19 D．20 7．若双曲线 的一条渐近线与直线 垂直， 则该双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C． D． 8．若函数 的图象如图所示，则 的解析式可能是（ ） A． B． C． D． 9．已知三棱锥 P-ABC 中， ，且 ，则该三棱锥 的外接球的体积等于( ) A． B． C． D． 10．过抛物线 ： 的焦点 的直线交抛物线 于 、 两点，且 ， 则弦 的长为（ ） A． B． C． D． 11．椭圆 的焦点为 ， ，过 与 轴垂直的直线交椭圆于第一象限的 点， 点 关于坐标原点的对称点为 ，且 ， ，则椭圆方程为（ ） A． B． C． D． 12．若函数 在区间 上存在极值点，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． { }|1 4A x x= < < { }| 2 ,B y y x x A= = − ∈ 2| ln 1 xC x y x − = = +  B C∩ = { }| 1 1x x− < < { }| 1 1x x− ≤ ≤ { }| 1 2x x− < < { }| 1 2x x− < ≤ [ 2, )x∀ ∈ − +∞ 3 1x + ≥ 0 [ 2, )x∃ ∈ − +∞ 0 3 1x + > 6 3 1 0x y− + = 5 2 10 2 2 3 ( )f x ( )f x ( ) xe xf x x += ( ) 21 xf x x −= ( ) xe xf x x −= ( ) 2 1xf x x += PA ABC⊥ 平面 , 2 , 1, 33BAC AC AB PA BC π∠ = = = = 13 13 6 π 3 3 2 π 5 13 6 π 5 3 2 π C 2 4y x= F C 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1 2 4 3x x+ = AB 3 16 4 3 10 3 8 C 1( ,0)F c− 2 ( ,0)F c ( 0)c > 2F x A A B 1 120AF B∠ = ° 1 2 33F ABS∆ = 2 2 14 3 x y+ = 2 2 13 x y+ = 2 2 13 2 x y+ = 2 2 12 x y+ = 3 2( )f x x ax x= + + (0, )+∞ a ( , 3)−∞ − ( , 3]−∞ − ( 3, )+∞ [ 3, )+∞ 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。） 13．已知 △ ABC中， 的对边分别为 且 ， ， 的面积为2，则 ______． 14．曲线 在点 处的切线与圆 相切，则 ______． 15．过点 的直线 与圆 相交于 ， 两点，当 时，直线 的方程 为__________． 16．设 是椭圆 的一个焦点，点 ，若椭圆上存在点 满足 ，则椭圆离心率的取值范围是_____________。 三．解答题(本题 6 小题，共 70 分) 17．（10 分） 已知数列 是公差为 2 的等差数列，它的前 n 项和为 ，且 ， ， 成等比数列。 (1)求 的通项公式； (2)求数列 的前 n 项和 . 18．（12 分）已知函数 的最小正周期是 . （1）求函数 在区间 的单调递增区间； （2）求 在 上的最大值和最小值. 19．（12 分）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，侧面 为正三角形，侧面 底面 ， 为 的中点. （1）求证： 平面 ； （2）求二面角 的正弦值. 20．（12 分）设函数 的图象与直线 相 切于点 . （1）求函数 的解析式； （2）求函数 在区间 上的最值； 21．（12 分）已知椭圆 的中心在坐标原点 ，其焦点与双曲线 的焦点重合，且椭 圆 的短轴的两个端点与其一个焦点构成正三角形. （1）求椭圆 的方程； （2）过双曲线 的右顶点 作直线 与椭圆 交于不同的两点 .设 ，当 为定 值时，求 的值； 22.（12 分）已知 . （1）讨论 的单调性； （2）若 ，求实数 的取值范围. CBA ,, cba ,, 1=a 4 π=B ABC∆ =b ( ) 12f x x x = − ( )( )1, 1f 2 2 2x y R+ = R = ( )1,1 l ( ) ( )2 22 3 9x y− + − = A B 4AB = l )3,0( −F )0(12 2 2 2 >>=+ bab x a y )2,0(A P 9|||| =+ PFPA { }na nS 1+1a 3 1a + 7 1a + { }na 1 nS       nT )0)(6sin(cos4)( >−= ωπωω xxxf π )(xf ),0( π∈x )(xf ]8 3,8[ ππ V ABCD− ABCD VCD VCD ⊥ ABCD P VD AD ⊥ VCD P AB C- - 3 2( )f x x ax bx= + + 3 8y x= − + (2,2)P ( )f x ( )f x [ 1,4]− E O 2 2: 12 yC x − = E E C A l E ,P Q ( ,0)M m ·MP MQ  m 2( ) ( 1) ( 1), [1, )xf x x e a x x= − − + ∈ +∞ ( )f x ( ) 2 lnf x a x≥ − + a 南康区 2019－2020 学年第二学期线上教学检测试卷（三） 高二数学（理）参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A A D B B A B A A C C A 二．填空题 13. 14. 15. 16. 三．解答题：（请写明详细解答过程，共 70 分。） 17．（10 分） 已知数列 是公差为 2 的等差数列，它的前 n 项和为 ，且 ， ， 成等比数列。 (1)求 的通项公式；(2)求数列 的前 n 项和 . 解：（1）由题意，得 ， ，所以由 ， 得 ，解得 ，所以 ，即 。 （2）由（1）知 ，则 ， ， . 18．（12 分）已知函数 的最小正周期是 . （1）求函数 在区间 的单调递增区间； （2）求 在 上的最大值和最小值. 解：（1） ， ， 最小正周期是 ，所以 ，从而 ， 令 ，解得 ， 所以函数 的单调递增区间为 和 （2）当 时， ， ， 所以 在 上的最大值和最小值分别为 1、 19．（12 分）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，侧面 为正三角形，侧面 底面 ， 为 的中点. （1）求证： 平面 ；（2）求二面角 的正弦值. 解：（1）证明：∵底面 是正方形,∴ , ∵侧面 底面 ,侧面 底面 , ∴由面面垂直的性质定理,得 平面 . （2）设 , 的中点为 , 的中点为 , 则 , .由面面垂直的性质定理知 平面 , 又 平面 ,故 . 以 为坐标原点, 的方向为 轴正方向, 的方向为 轴正方 向, 建立如图所示的空间直角坐标系 .∵ 侧面 为正三 角形,∴ , 则 , , , ,∵ 为 的中点,∴ , ∴ , ,设平面 的法向量 , 则 ,即 ,即 ,所以可取 , 平面 的法向量可取 , 5 5 10 032 =−+ yx ]4 3,5 3[ { }na nS 1+1a 3 1a + 7 1a + { }na 1 nS       nT 3 11 5a a+ = + 7 11 13a a+ = + ( ) ( ) ( )2 3 1 71 1 1a a a+ = + ⋅ + ( ) ( ) ( )2 1 1 15 1 13a a a+ = + ⋅ + 1 3a = ( )3 2 1na n= + − 2 1na n= + 2 1na n= + ( )2nS n n= + 1 1 1 1 2 2nS n n  = − +  1 1 1 1 1 1 1 112 3 2 4 3 5 2nT n n  = − + − + − +…+ − −  1 1 1 112 2 1 2n n  = + − − + +  ( )( ) 3 2 3 4 2 1 2 n n n += − + + )0)(6sin(cos4)( >−= ωπωω xxxf π )(xf ),0( π∈x )(xf ]8 3,8[ ππ ( ) 24cos sin 2 3sin cos 2cos 1 16f x x x x x x πω ω ω ω ω = ⋅ − = − + −   3sin 2 cos2 1 2sin 2 16x x x πω ω ω = − − = − −   2 2 π πω = 1ω = ( ) 2sin 2 16f x x π = − −   2 2 22 6 2k x k π π ππ π− + ≤ − ≤ + ( ) 6 3k x k k Z π ππ π− + ≤ ≤ + ∈ ( )f x 0 3 π    ， 5 6 π π   ， 3 8 8x π π ∈   ， 72 6 12 12x π π π   − ∈      ， 6 22sin 2 26 2x π  − − ∈       ， ( )f x 3 8 8 π π    ， 6 2 12 − − V ABCD− ABCD VCD VCD ⊥ ABCD P VD AD ⊥ VCD P AB C- - ABCD AD CD⊥ VCD ⊥ ABCD VCD  ABCD CD= AD ⊥ VCD 2AB = CD O AB E OE CD⊥ VO CD⊥ VO ⊥ ABCD OE ⊂ ABCD VO OE⊥ O OE x OC y O xyz− VCD sin60 sin60 3VO VD AB= ⋅ ° = ⋅ ° = ( )0,0, 3V ( )0, 1,0D − ( )2, 1,0A − ( )2,1,0B P VD 1 30, ,2 2P  −    1 32, ,2 2PA  = − −     ( )0,2,0AB = PAB ( ), ,m x y z= 0 0 AB m PA m  ⋅ =  ⋅ =     2 0 1 32 02 2 y x y z = − − = 4 3x z= ( )3,0,4m = ABCD ( )0,0,1n = 于是 , 由同角三角函数关系式可求得 所以,二面角 的正弦值为 . 20．（12 分）设函数 的图象与直线 相切于点 . （1）求函数 的解析式； （2）求函数 在区间 上的最值； 解：（1） ， ， 根据题意 ， ，解得 ， . 故 . （2） ，取 ，解得 ， . 故函数在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增. ， ， ， . 故函数的最大值为 ，最小值为 . 21．（12 分）己知直线 ： 与抛物线 ： 相交于 ､ 两点 （1）若抛物线的焦点在直线 上，求抛物线的方程； （2）若以 为直径的圆经过坐标原点，求抛物线方程. 解：（1）由题意得椭圆的焦点在 轴上，设方程为 ， 其左右焦点为 ， ，所以 ， 又因为椭圆的短轴的两个端点与 构成正三角形，所以 又因为 ，所以 .所以椭圆的方程为 . （2）①双曲线 右顶点为 .当直线 的斜率存在时，设 的方程为 由 得 设直线 与椭圆 交点 ， ，则 ， ，则 ， ， 所以 当 ，即 时 为定值 . 当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 由 得 ，不妨设 ， ，由 可得. ， ，所以 综上所述当 时 为定值 . 22.（12 分）已知 . （1）讨论 的单调性；（2）若 ，求实数 的取值范围. 解：（1） ， 当 时， ， .∴ 在 上单调递增； 当 时，由 ，得 . 当 时， ；当 时， . 所以 在 单调递减；在 单调递增. （2）令 ， 4cos , 1919 m nm n m n ⋅= = ⋅      24 57sin , 1 1919 19m n  = − =     P AB C- - 57 19 3 2( )f x x ax bx= + + 3 8y x= − + (2,2)P ( )f x ( )f x [ 1,4]− 3 2( )f x x ax bx= + + 2'( ) 3 2f x x ax b= + + 3 2(2) 2 2 2 2f a b= + ⋅ + = 2'(2) 3 2 4 3f a b= × + + = − 6a = − 9b = 3 2( ) 6 9f x x x x= − + 2'( ) 3 12 9f x x x= − + 2'( ) 3 02 91f x x x−= + = 1 1x = 2 3x = [ ]1,1− ( )1,3 [ ]3,4 ( )1 16f − = − (1) 4f = ( )3 0f = ( )4 4f = 4 16− l 2 0x y− − = E 2 2 ( 0)y px p= > A B l | |AB x 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > ( )1 3,0F − ( )2 3,0F 3c = 2F 2a b= 2 2 2a b c= + 2 24, 1a b= = 2 2 14 x y+ = C ( )1,0A l l ( )1y k x= − ( ) 2 2 14 1 x y y k x  + =  = − ( )2 2 2 24 1 8 4 4 0k x k x k+ − + − = l E ( )1 1,P x y ( )2 2,Q x y 2 1 2 2 8 4 1 kx x k + = + 2 1 2 2 4 4 4 1 kx x k −= + ( )1 1,PM m x y = − − ( )2 2,QM m x y= − − ( )( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2·PM QM m x m x y y m m x x x x y y= − − + = − + + +  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 4 4 4 4 8 14 1 4 1 4 1 4 1 k k k km m kk k k k  − −= − + + − + + + + +  ( ) ( )2 2 2 2 4 8 1 4 4 1 m m k m k − + + − = + ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 1 14 8 1 4 4 8 14 4 4 1 m m k m m m k  − + + + − − − +  = + ( )2 2 1721 44 8 14 4 1 m m m k − = − + + + 172 04m − = 17 8m = ·PM QM  33 64 l l 1x = 2 2 14 1 x y x  + =  = 31, 2x y= = ± 31, 2P       31, 2Q  −    17 ,08M      9 3,8 2PM  = −    9 3,8 2QM  =      81 3 33· 64 4 64PM QM = − =  17 8m = ·PM QM  33 64 2( ) ( 1) ( 1), [1, )xf x x e a x x= − − + ∈ +∞ ( )f x ( ) 2 lnf x a x≥ − + a ( )' 2xf x xe ax= − ( )2xx e a= − 2 ea ≤ [ )1,x∈ +∞ ( )' 0f x ≥ ( )f x [ )1,+∞ 2 ea > ( )' 0f x = ( )2x ln a= ( )( )1, 2x ln a∈ ( )' 0f x < ( )( )2 ,x ln a∈ +∞ ( )' 0f x > ( )f x ( )( )1, 2ln a ( )( )2 ,ln a +∞ ( ) ( ) ( )21 1xg x x e a x lnx= − − − − 问题转化为 在 上恒成立， ，注意到 . 当 时， ， ， 因为 ，所以 ， ， 所以存在 ，使 ， 当 时， ， 递减， 所以 ，不满足题意. 当 时， ， 当 时， ， ， 所以 ， 在 上单调递增；所以 ，满足题意. 综上所述： . ( ) 0g x ≥ [ )1,x∈ +∞ ( ) 1' 2xg x xe ax x = − − ( )1 0g = 1 2 ea −> ( )' 1 2 1 0g e a= − − < ( )( ) ( ) ( ) 1' 2 1 2 1 2 1g ln a ln a ln a + = + − + 2 1a e+ > ( )2 1 1ln a + > ( )( )' 2 1 0g ln a + > ( )( )0 1, 2 1x ln a∈ + ( )0' 0g x = ( )01,x x∈ ( )' 0g x < ( )g x ( ) ( )1 0g x g< = 1 2 ea −≤ ( ) ( ) 1' 1xg x xe e x x ≥ − − − ( ) 11xx e e x  = − − −  1x > ( )1 1xx e e − − >  10 1x < < ( )' 0g x > ( )g x [ )1,+∞ ( ) ( )1 0g x g≥ = 1 2 ea −≤