南康区 2019-2020 学年第二学期线上教学检测试卷（二）
高二数学（理）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。）
1．设集合 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知“ ”是“ ”的充分不必要条件，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．函数 的图象在点 处的切线方程为
A． B． C． D．
4．下列函数求导运算正确的个数为( )
① ；② ③ ；④ ；⑤
A．1 B．2 错误!未找到引用源。 C．3 D．4
5．等差数列 中， ，则 的值为（ ）
A．20 B．－20 C．10 D．－10
6．若函数 ，又 ， ，且 的最小值为 ，
则正数 的值是（ ）
A. B. C. D.
7．圆 关于直线 对称的圆的方程为 ，则实数 的值为
( )
A．-2 B．1 C． D．2
8．已知焦点在 y 轴的椭圆 的离心率为 ，则 = （ ）
A．3 或 B． C． D．
9．已知双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，且一个焦点与抛物线
的焦点重合，则 的方程为（ ）
A． B． C． D．
10．已知 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
11．设曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则实数 等于（ ）
A． B． C． D．
12．抛物线 的焦点 是双曲线 的一个焦点，过 且倾斜角为 的
直线 交 于 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。）
13．向量 ，若 、 、 三点共线，则 _________.
14．已知 是数列 的前 项和，若 ，则 的值为_________.
15．若对于曲线 上任意点处的切线 ，总存在 上处的切线 ，使得
，则实数 的取值范围是__________．
16．已知 分别是双曲线 C： 的左、右焦点，若 关于渐近线的对称点恰落在以
为圆心, 为半径的圆上，则双曲线 C 的离心率为________．
三．解答题(本题 6 小题，共 70 分)
{ }( 1)( 2) 0A x x x= + − < { }1 2B x x= − < < { }0 2A B x x∩ = ≤ < { }0 4A B x x∪ = ≤ < { }1 2A B x x∩ = − < < { }1 2A B x x∪ = − < < x k> 3 11x
F 2 22 2 1y x− = F 60°
l C ,A B | |AB =
4 3 23
+ 4 3 2+ 16
3 16
( ,12), = , =OA k OB OC= （4, 5） （10, 8）
nS { }na n sin 2na n
π = 2019S
( ) xf x e x= − − 1l ( ) 2 sing x ax x= + 2l
1 2l l⊥ a
1 2,F F
2 2
2 2 1x y
a b
− = 2F 1F
1OF
17．（10 分）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若
（1）求角 .
（2）若 ， ，求 的面积.
18．（12 分）已知等差数列 的前 n 项和为 ， ， 和 的等差中项为 9.
（1）求 及 ；
（2）令 ，求数列 的 前 n 项和.
19．（12 分）如图，在四棱锥 中，四边形 为平行四边形， 为直角三角形
且 ， 是等边三角形.
（1）求证： ；
（2）若 ，求二面角 的正弦值.
20．（12 分）已知函数 ， ， ，函数 在 处与直线 相切．
（1）求实数 ， 的值；
（2）判断函数 在 上的单调性．
21．（12 分）己知直线 ： 与抛物线 ： 相交于 ､ 两点
（1）若抛物线的焦点在直线 上，求抛物线的方程；
（2）若以 为直径的圆经过坐标原点，求抛物线方程.
22．（12 分）已知椭圆 ： 的左右焦点分别为 ， ，点 是椭圆 上的
一点，若 ， ， 的面积为 1.
（1）求椭圆 的方程；
（2）过 的直线 与 交于 ， 两点，设 为坐标原点，若 ，求四边形
面积的最大值.
南康区 2019－2020 学年第二学期开学检测试卷
ABC∆ A B C a b c 1 cos2b c a C− =
A
4( ) 3b c bc+ = 2 3a = ABC∆
{ }na nS 3 15S = 3a 5a
na nS
*
2
4 ,1n
n
b na
= ∈− N { }nb nT
P ABCD− ABCD DAP∆
DA DP= ABP∆
PA BD⊥
2BA BD= = D PC B− −
2( ) lnf x a x bx= − a b R∈ ( )f x 1x = 1
2y = -
a b
( )f x 1[ , ]ee
l 2 0x y− − = E 2 2 ( 0)y px p= > A B
l
| |AB
C
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 1F 2F P C
1 2PF PF⊥ 1 2 2F F = 1 2F PF∆
C
2F l C A B O OE OA OB= + AOBE
高二数学（理）参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A C C B D D D B C C D D
二．填空题
13. 14. 15. 16.
三．解答题：（请写明详细解答过程，共 70 分。）
17．（10 分）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若
（1）求角 .
（2）若 ， ，求 的面积.
解：（1）由正弦定理得：
又∵ ∴
即
又∵ ∴ ，又 A 是内角 ∴
（2）由余弦定理得：
∴ 得： ∴
∴
18．（12 分）已知等差数列 的前 n 项和为 ， ， 和 的等差中项为 9.
（1）求 及 ；（2）令 ，求数列 的 前 n 项和.
解：（1）因为 为等差数列，所以可设其首项为 ，公差为 ，
因为 ， ，
所以 解得 ，所以
.
（2）由（1）知 ，
所以 ，
.
19．（12 分）如图，在四棱锥 中，四边形 为平行四边形， 为直角三角形
且 ， 是等边三角形.
（1）求证： ；
（2）若 ，求二面角 的正弦值.
解：（1）证明：取 中点 ，连 ，
∵ ， 为等边三角形，
∴ ，又 ，
∴ 平面 ，又∵ 平面 ，∴ .
（2）解：∵ ， 为 中点，结合题设条件可得 ，
∴ ，∴ .
如图，以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，
则 ，
得 ， ， ，
设平面 的一个法向量 ，
则 即 ，∴ .
设平面 的一个法向量 ，
由 即 ，∴ .
18 0 10, 2
2
ABC∆ A B C a b c 1 cos2b c a C− =
A
4( ) 3b c bc+ = 2 3a = ABC∆
1sin sin sin cos2B C A C− =
( )sin sinB A C= + ( ) 1sin sin sin cos2A C C A C+ − =
1cos sin sin2A C C=
sin 0C ≠ 1cos 2A = 60A =
( )22 2 2 2 22 cos 3a b c bc A b c bc b c bc= + − = + − = + −
( ) ( )2 4 12b c b c+ − + = 6b c+ = 8bc =
1 1 3sin 8 2 32 2 2S bc A= = × × =
{ }na nS 3 15S = 3a 5a
na nS *
2
4 ,1n
n
b na
= ∈− N { }nb nT
{ }na 1a d
3 1 2 3 23 15S a a a a= + + = = 3 5 18a a+ =
1
1
5,
2 6 18,
a d
a d
+ =
+ = 1 3, 2a d= =
1 ( 1) 3 ( 1) 2 2 1,na a n d n n= + − = + − ⋅ = +
2
1
( 1) ( 1)3 2 22 2n
n n n nS na d n n n
− −= + = + ⋅ = +
2 1na n= +
2 2 2
4 4 1 1 1 1
1 4 4 ( 1) 1n
n
b a n n n n n n n n
= = = = = −− + + + +
1 2 3
1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( ) ( )2 2 3 3 4 1n nT b b b b n n
= + + + + = − + − + − + + − +
1=1 1 1
n
n n
− =+ +
P ABCD− ABCD DAP∆
DA DP= ABP∆
PA BD⊥
2BA BD= = D PC B− −
AP M ,DM BM
DA DP= ABP∆
,PA DM PA BM⊥ ⊥ DM BM M∩ =
PA ⊥ DMB BD ⊂ DMB PA BD⊥
2BA BD= = M AP 1, 3DM BM= =
2 2 2BD MB MD= + MD MB⊥
, ,MP MB MD , ,x y z
( ) ( ) ( ) ( )1,0,0 , 0, 3,0 , 1,0,0 , 0,0,1A B P D−
( )1,0, 1DP = − ( )1, 3,0DC AB= = ( )1, 3,0BP = − ( )1,0,1BC AD= =
DPC ( )1 1 1 1, ,n x y z=
1
1
0
0
n DP
n DC
⋅ = ⋅ =
1 1
1 1
0
3 0
x z
x y
− = + =
( )1 3,1, 3n = − −
PCB ( )2 2 2 2, ,n x y z=
2
2
0
0
n BC
n BP
⋅ = ⋅ =
2 2
2 2
0
3 0
x z
x y
+ = − =
( )2 3,1, 3n = −
∴ .
设二面角 的平面角为 ，则由图可知 ，∴ .
20．（12 分）已知函数 ， ， ，函数 在 处与直线 相切．
（1）求实数 ， 的值；
（2）判断函数 在 上的单调性．
解：（1） ，由题意 ，解得 ．
（2）由（1） ， ，
∴当 时， ， 递增，当 时， ， 递减．
∴函数 的增区间是 ，减区间是 ．
21．（12 分）己知直线 ： 与抛物线 ： 相交于 ､ 两点
（1）若抛物线的焦点在直线 上，求抛物线的方程；
（2）若以 为直径的圆经过坐标原点，求抛物线方程.
解：（1）由题意，抛物线 ： 的焦点 在 ： 上，
令 ，解得 ，即 ，所以 ，即 ，
所以抛物线 的方程为 .
（2）因为以 为直径的圆经过坐标原点，所以 ，即 ，
设 ，则
联立方程组 ，整理得 ，所以 ，
又由 ，则 ，
代入 得： ，解得 ，
故所求抛物线方程为 .
22．（12 分）已知椭圆 ： 的左右焦点分别为 ， ，点 是椭圆 上的
一点，若 ， ， 的面积为 1.
（1）求椭圆 的方程；
（2）过 的直线 与 交于 ， 两点，设 为坐标原点，若 ，求四边形
面积的最大值.
解：（1）
由 题 设 ， ， 所 以
.又 ，所以 . 的方程为 .
（2）由题设 不平行于 轴，设 ： ，联立 ，
得 . ， .
因为 ，所以四边形 为平行四边形，四边形 面积
.
因为 ，当且仅当 时取等号，于是四边形 面积的最大值为 .
1 2cos ,n n 1 2
1 2
1
7
n n
n n
⋅= =
D PC B− − α sin 0α > 2
1 2
4 3sin 1 cos , 7n nα = − =
2( ) lnf x a x bx= − a b R∈ ( )f x 1x = 1
2y = -
a b
( )f x 1[ , ]ee
'( ) 2af x bxx
= −
'(1) 2 0
1(1) 2
f a b
f b
= − = = − = −
1
1
2
a
b
= =
21( ) ln 2f x x x= − 1 ( 1)( 1)'( ) x xf x xx x
− += − = −
1[ ,1]x e
∈ '( ) 0f x ≥ ( )f x [1,e]x∈ '( ) 0f x ≤ ( )f x
( )f x 1[ ,1]e [1, ]e
l 2 0x y− − = E 2 2 ( 0)y px p= > A B
l
| |AB
E 2 2 ( 0)y px p= > F l 2 0x y− − =
0y = 2x = (2,0)F 22
p = 4p =
E 2 8y x=
| |AB OA OB⊥ 0OA OB⋅ =
( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 1 2 1 2 0x x y y+ = ( )1
2
2
2
x y
y px
= +
=
2 2 4 0y py p− − = 1 2 4y y p= −
2 2
1 2
1 2,2 2
y yx xp p
= = ( )2 2
1 2
1 2 2 2
( 4 ) 44 4
y y px x p p
−= = =
( )1 4 ( 4 ) 0p+ − = 1p =
2 2y x=
C
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 1F 2F P C
1 2PF PF⊥ 1 2 2F F = 1 2F PF∆
C
2F l C A B O OE OA OB= + AOBE
2 2
1 2 4PF PF+ = 1 2
1 12 PF PF =‖
2 2
1 2 1 21 2 2
2 2
PF PF PF PFPF PFa
+ ++= = ‖
2= 1c = 2 2 1b a c= − = C
2
2 12
x y+ =
AB x AB 1x my= +
2
2 12
x y+ =
( )2 22 2 1 0m y my+ + − = ( )28 1 0m∆ = + >
( )2
1 2 2
2 1
, 2
m m
y y m
− ± +
= +
OE OA OB= + AOBE AOBE 1 22 AOBS S y y∆= = −
( )2
2
2
2
2 2 1 2 2
12 1
1
m
m m
m
+
= =+ + +
+
2
2
11 2
1
m
m
+ + ≥
+ 0m = AOBE 2
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