甘肃2019-2020高二数学（文）4月月考试题（Word版附答案）

2020 年高二年级 4 月月考试卷 数学文科 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150 分， 考试时间 120 分钟. 请将答案填在答题卡上. 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于 60°”时，应假设 A.三个内角都不大于 60° B.三个内角都大于 60° C.三个内角至多有一个大于 60° D.三个内角至多有两个大于 60° 2.正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此 f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数， 以上推理 A.结论正确 B.大前提不正确 C.小前提不正确 D.全不正确 3.曲线 的中心在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.已知曲线 y＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为 A.e B.－e C.1 e D.－1 e 5.已知函数 f(x)的导函数为 f′(x)，且满足 f(x)＝2x·f′(1)＋ln x，则 f′(1)等于 A.－e B.－1 C.1 D.e 6.观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…， 则 a10＋b10 等于 A.28 B.76 C.123 D.199 7.老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学 )4 3sin(2212 πθρρ +=+生了解考试情况，四名学生回答如下： 甲说：“我们四人都没考好”； 乙说：“我们四人中有人考的好”； 丙说：“乙和丁至少有一人没考好”； 丁说：“我没考好”.结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中说对的两人是 A.甲，丙 B.乙，丁 C.丙，丁 D.乙，丙 8.函数 f(x)的定义域为 R，f(－1)＝2，对任意 x∈R，f′(x)>2，则 f(x)>2x＋4 的解 集为 A.(－1，1) B.(－1，＋∞) C.(－∞，－1) D.(－∞，＋∞) 9.函数 f(x)＝ln x＋ax 的图象存在与直线 2x－y＝0 平行的切线，则实数 a 的取值范 围是 A.(－∞，2] B.(－∞，2) C.(2，＋∞) D.(0，＋∞) 10.已知函数 f(x)＝xln x，若直线 l 过点(0，－1)，并且与曲线 y＝f(x)相切，则直线 l 的方程为 A.x＋y－1＝0 B.x－y－1＝0 C.x＋y＋1＝0 D.x－y＋1＝0 11.若 x＝－2 是函数 f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1 的极值点，则 f(x)的极小值为 A.－1 B.－2e－3 C.5e－3 D.1 12.已知奇函数 f(x)＝{ex x －1（x > 0）， h（x） （x < 0）， 则函数 h(x)的最大值为 A.1 B.1－e C.e－1 D.e+1 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照下面的规律，第 n 个“金鱼”图需要火柴 棒的根数为________.14.在平面上，若两个正三角形的边长的比为 1∶2，则它们的面积比为 1∶4.类似 地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为 1∶2，则它们的体积比为________. 15. 6＋ 7与 2 2＋ 5的大小关系为________. 16.若函数 f(x)＝ax 3 ＋3x 2 －x 恰好有三个单调区间，则实数 a 的取值范围是 ________. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题 10 分） 设 a，b，c 均为正数，且 a＋b＋c＝1，证明：ab＋bc＋ac≤1 3 18. （本小题 12 分） 已知函数 f(x)＝x2 2 －aln x，a∈R，讨论 f(x)的单调性. 19.（本小题 12 分） 已知 a∈R，若函数 f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e 为自然对数的底数)在(－1，1)上单 调递增，求 a 的取值范围. 20.（本小题 12 分） 已知曲线 C 的参数方程为{x＝2cos θ， y＝2sin θ (θ 为参数)，直线 l 的参数方程为{x＝t 2 ， y＝2＋ 3t (t 为参数). (1)写出直线 l 与曲线 C 的普通方程； (2)设曲线 C 经过伸缩变换{x′＝x， y′＝1 2y 得到曲线 C′，过点 F( 3，0)作倾斜角为 60°的直 线交曲线 C′于 A，B 两点，求|FA|·|FB|.21.（本小题 12 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为{x＝ 3cos α， y＝sin α (α 为参数)，以坐标原 点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρsin ＝2 2. (1)写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程； (2)设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标. 22．（本小题 12 分） 已知 f(x)＝(1－x)ex－1. (1)求函数 f(x)的最大值； (2)设 g(x)＝f（x） x ，x>－1 且 x≠0，证明：g(x)2，则 f(x)>2x＋4 的解 集为 A.(－1，1) B.(－1，＋∞) C.(－∞，－1) D.(－∞，＋∞) 答案　B 9.函数 f(x)＝ln x＋ax 的图象存在与直线 2x－y＝0 平行的切线，则实数 a 的取值范 围是 A.(－∞，2] B.(－∞，2) C.(2，＋∞) D.(0，＋∞) 答案　B 10.已知函数 f(x)＝xln x，若直线 l 过点(0，－1)，并且与曲线 y＝f(x)相切，则直线 l 的方程为 A.x＋y－1＝0 B.x－y－1＝0 C.x＋y＋1＝0 D.x－y＋1＝0 答案　B 11.若 x＝－2 是函数 f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1 的极值点，则 f(x)的极小值为 A.－1 B.－2e－3 C.5e－3 D.1 答案　A 12.已知奇函数 f(x)＝{ex x －1（x > 0）， h（x） （x < 0）， 则函数 h(x)的最大值为 A.1 B.1－e C.e－1 D.e+1 答案　B 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 四、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照下面的规律，第 n 个“金鱼”图需要火柴 棒的根数为________.答案　6n＋2 14.在平面上，若两个正三角形的边长的比为 1∶2，则它们的面积比为 1∶4.类似 地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为 1∶2，则它们的体积比为________. 答 1∶8 15. 6＋ 7与 2 2＋ 5的大小关系为________. 答案　 6＋ 7>2 2＋ 5 16.若函数 f(x)＝ax 3 ＋3x 2 －x 恰好有三个单调区间，则实数 a 的取值范围是 ________. 答案　(－3，0)∪(0，＋∞) 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题 10 分） 设 a，b，c 均为正数，且 a＋b＋c＝1，证明：ab＋bc＋ac≤1 3 证明：由 a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac 得 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1， 即 a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1. 所以 3(ab＋bc＋ca)≤1，即 ab＋bc＋ca≤1 3. 19. （本小题 12 分） 已知函数 f(x)＝x2 2 －aln x，a∈R，讨论 f(x)的单调性. 解　因为 f(x)＝x2 2 －aln x，所以 x∈(0，＋∞)， f′(x)＝x－a x＝x2－a x . (1)当 a≤0 时，f′(x)>0，所以 f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数. (2)当 a>0 时，f′(x)＝（x＋ a）（x－ a） x ，则有 ①当 x∈(0， a)时，f′(x)0，所以 f(x)的单调递增区间为( a，＋∞). 综上所述，当 a≤0 时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间. 当 a>0 时，函数 f(x)的单调递减区间为(0， a)，单调递增区间为( a，＋∞). 19.（本小题 12 分） 已知 a∈R，若函数 f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e 为自然对数的底数)在(－1，1)上单 调递增，求 a 的取值范围. 解　因为函数 f(x)在(－1，1)上单调递增， 所以 f′(x)≥0 对 x∈(－1，1)都成立. 因为 f′(x)＝(－2x＋a)ex＋(－x2＋ax)ex＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex， 所以[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0 对 x∈(－1，1)都成立. 因为 ex＞0，所以－x2＋(a－2)x＋a≥0， 则 a≥x2＋2x x＋1 ＝（x＋1）2－1 x＋1 ＝(x＋1)－ 1 x＋1 对 x∈(－1，1)都成立. 令 g(x)＝(x＋1)－ 1 x＋1 ，则 g′(x)＝1＋ 1 （x＋1）2＞0， 所以 g(x)＝(x＋1)－ 1 x＋1 在(－1，1)上单调递增， 所以 g(x)＜g(1)＝(1＋1)－ 1 1＋1 ＝3 2， 所以 a≥3 2，又当 a＝3 2时，当且仅当 x＝0 时，f′(x)＝0， 所以 a 的取值范围是[3 2，＋∞). 20.（本小题 12 分） 已知曲线 C 的参数方程为{x＝2cos θ， y＝2sin θ (θ 为参数)，直线 l 的参数方程为{x＝t 2 ， y＝2＋ 3t (t 为参数). (1)写出直线 l 与曲线 C 的普通方程； (2)设曲线 C 经过伸缩变换{x′＝x， y′＝1 2y 得到曲线 C′，过点 F( 3，0)作倾斜角为 60°的直 线交曲线 C′于 A，B 两点，求|FA|·|FB|. 解　(1)直线 l 的普通方程 2 3x－y＋2＝0.曲线 C 的普通方程为 x2＋y2＝4. (2)由{x′＝x， y′＝y 2 ，得{x＝x′， y＝2y′， 代入曲线 C，得 x′2＋4y′2＝4，即x′2 4 ＋y′2＝1. 则曲线 C′的方程为x2 4 ＋y2＝1 表示椭圆. 由题设，直线 AB 的参数为{x＝ 3＋t 2 ， y＝ 3 2 t (t 为参数). 将直线 AB 的参数方程代入曲线 C′：x2 4 ＋y2＝1. 得 13 4 t2＋ 3t－1＝0，则 t1·t2＝－ 4 13 ， ∴|FA|·|FB|＝|t1||t2|＝|t1·t2|＝ 4 13. 21.（本小题 12 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为{x＝ 3cos α， y＝sin α (α 为参数)，以坐标原 点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρsin (θ＋π 4)＝2 2. (1)写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程； (2)设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标. 解　(1)曲线 C1 的普通方程为x2 3 ＋y2＝1. 又曲线 C2：ρsin(θ＋π 4)＝2 2.所以 ρsin θ＋ρcos θ＝4. 因此曲线 C2 的直角坐标方程为 x＋y－4＝0. (2)由题意，可设点 P 的直角坐标为( 3cos α，sin α).因为 C2 是直线，所以|PQ|的最 小值即为 P 到 C2 的距离 d(α)的最小值. d(α)＝| 3cos α＋sin α－4| 2 ＝ 2|sin(α＋π 3)－2|，当且仅当 α＝2kπ＋π 6(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为 2，此时 P 的直角坐标 为(3 2 ，1 2). 23．（本小题 12 分） 已知 f(x)＝(1－x)ex－1. (1)求函数 f(x)的最大值； (2)设 g(x)＝f（x） x ，x>－1 且 x≠0，证明：g(x)0，f(x)单调递增； 当 x∈(0，＋∞)时，f′(x)0 时，f(x)