2019-2020第二学期中大附中高二数学期中线上考试（2020.04.18）
姓名：_____ 班级：_____ 学号：_____ 分数：_____
提醒：（1）时间：15：00-17：00；满分：150分．
（2）提交：到截止时间时（17：00），老师会在腾讯课堂和微信答疑群同步提醒停止答题，提交答案（10
分钟内提交完成，17：05播放音乐．17：10后未交的0分处理．）
（3）提醒：①考试平台：小七学伴；（选择题、非选择题均在此）；
②每个题都要标上题号；（即便某一个填空题不会，也要标题号）；
③解答题每个题都要能在一张照片拍完；（不管几问）
④不接受考完后微信补交，所以提交时要仔细、耐心．
一、单选题（本题共12小题，每小题5分．共60分）
1．复数 （ 是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知复数 满足， ，则 （ ）
А． B． C． D．5
3．若满足 ，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．
4．一个市禁毒宣传讲座要到4个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序种数为（ ）
A．4 B． C．24 D．48
5．已经知道函数 在 上，则下列说法不正确的是（ ）
A．最大值为9 B．最小值为 C．函数 在区间 单调递增 D． 是它的极大值点
6．若 ，则（ ）
A． B． C． D．
7．若离散型随机变量 的分布列如下，则 的最大值为（ ）
0 10 20
2 iz i
+= i
z (3 4 ) 5i z i+ = | |z =
1
5 5 1
5
( )2 21 1 (1 ) ( )a a i i a R− + + = + ∈ a =
1− 1±
44
3 2( ) 2f x x x= − [ 1,3]−
3− ( )f x [1,3] 0x =
8 2 8
0 1 2 8( 1) ,x a a x a x a x x R− = + + +…+ ∈
0 0a = 0 1a = − 8
0 1 2 3 8 2a a a a a+ + + +…+ = 1 2 3 4 8 1a a a a a+ + + …+ = −
X ab
X
P 1
2
a bA． B． C． D．1
8．若 的展开式中二项式系数最大的项只有第6项，则展开式的各项系数的绝对值之和为（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数 是 的导函数，则函数 的图像可能为（ ）
A． B． C． D．
10．有红、黄、蓝三个小球放到7个不同的盒子里，每个盒子最多放两个球，放到同一个盒子的两球不考虑
顺序，则不同的放法数为（ ）
A．336 B．320 C．240 D．216
11． 是定义在 上的减函数，且满足： 的导函数存在，且 ，则下列不等式成立
的是（ ）
A． B．
C． D．
12．设函数 ．若只存在唯一非负整数 ，使得 ，则实数 取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分．共20分）
13． 的展开式中， 的系数为___________．（用数字作答）
14．已知函数 ，则 _____．
15．杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书记载．在欧洲，这个表叫做帕斯
卡三角形，它出现要比杨辉三角迟393年．那么，第15行第13个数是_____．（用数字作答）
1
16
1
4
1
2
(2 )nx−
111 102 103 113
21( ) cos , ( )2f x x x f x′= + ( )f x ( )y f x′=
( )f x (0, )+∞ ( )f x ( )
( )
f x xf x′ >
2021 (2018) 2018 (2021)f f> 2021 (2018) 2018 (2021)f f<
2021 (2021) 2018 (2018)f f> 2021 (2021) 2018 (2018)f f<
3 2( ) 2 2f x x x ax a= − − + 0x ( )0 0f x < a
[0,1) (0,1] ( ,1)−∞ ( ,1]−∞
5( 1)( 2)x x− + 3x
2( ) xf x xe−= (1)f ′ =16．若函数 在 上有两个不同的零点，则实数 的取值范围为_____．
三、解答题（本题共6小题，其中第17题10分，其它每题均12分．共70分）
17．已知曲线 在点 处的切线方程为 ．
（1）求 的值，以及 和 的值；
（2）求此函数的单调区间．
18．盒子内有3个不同的黑球，5个不同的白球．
（1）全部取出排成一列，3个黑球两两不相邻的排法有多少种？
（2）从中任取6个球，白球的个数不比黑球个数少的取法有多少种？
（3）若取一个白球记2分，取一个黑球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？
19．已知函数 ．
（1）求此函数的极大值，并请直接写出此函数的零点个数；
（2）若函数 ，且此函数 在区间 内单调递增的，求实数 的取值范围．
20．某社团现有5名女生，5名男生，其中3名学生来自同一个班，另外7名学生分别来自不同的班级．
现要随机选3名学生参加活动．
（1）求“选出的3名学生中，至多有2名来自同一班级”的概率；
（2）设选出的3名学生中女生的人数为随机变量 ，求 的分布列．
21．某学校科技节需要同学设计一幅矩形纸板宣传画，要求画面的面积为 （下图中的阴影部分），
画面的上、下各留 空白，左、右各留 空白．
2( ) 2ln f x x a x= − + +
2
1 ,ee
a
3 2( )f x x ax bx= + + (2, (2))f 5 8y x= −
(2)f a b
2( ) ( 1) 3lnf x x xx
= − + +
( ) ( ) lng x f x a x= + ( )g x [1,3] a
X X
22560cm
8cm 5cm（1）如何设计画面的高与宽的尺寸，才能使整个宣传画所用纸张面积最小？
（2）如果按照第一问这样制作整个宣传画，在科技节结束以后，这整个宣传画纸板可再次作为某实验道具，
并要求从整个宣传画板的四个角各截取一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器．问截下的小
正方形的边长（也就是该容器的高）是多少时，该容器的容积最大？
22．已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若在区间 存在一个 ，使得 成立，求 的取值范围．
1 2 1( ) 2 ln , ( ) (2 1)lnx axf x x a x g x xe a xx x
+= − + + = − + + +
( )f x
(0, )+∞ x ( ) ( )f x g x< a
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