重庆高 2020 级高三下学期线上中期考试
数学（理科）试题
理科数学测试卷共 4 页．满分 150 分．考试时间 120 分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个备选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．已知 为纯虚数，则实数 的值是（ ）
A． B． C． D．1
2．已知集合 ， ，则集合 的子集个数为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
3．已知曲线 在点 处的切线与直线 平行，则实数 的值为
（ ）
A． B．1 C．2 D．3
4．已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A． B． C．1 D．3
5．已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最．长的棱长为（ ）
( )(2 )a i i+ − a
1− 1
2
− 1
2
{1,2,3}A = { | , }B a b a A b A= + ∈ ∈ B
2( ) lnf x a x x= + (1,1) 0x y+ = a
3−
{ }na n nS 6 12S = 2 5a = 5a =
3− 1−
0.31.2a = 0,3log 1.2b = 1.2log 3c =
a b c< < c b a< < b c a< < b a c< F ,A B C
| | | | 10AF BF+ = O OAB△ F p =
3ε =
n A
p A X ( , )B n p
A Y
1( ) (1 )kP Y k p p −= = − 1,2,3k = Y
1( )E Y p
= A A所进行的试验次数记为 ，则 ， ，…，那么
（ ）
A． B． C． D．
1l．已知双曲线 的左右焦点分别为 ，过 的直线 与双
曲线 的两支分别交于 两点， ， ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
12．已知 四点均在半径为 （ 为常数）的球 的球面上运动，且 ，
， ，若四面体 的体积的最大值为 ，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知 均为单位向量，且 ，则向量 与 夹角的余弦值为
______．
14．已知 的展开式中第 3 项与第 6 项的二项式系数相等，则展开式中
的系数为_____．
15．正三棱柱 中， ， ， 为棱 的中点，则异面直线
与 所成角的大小为______．
16．已知定义在 上的函数 满足 ，当 时 ，
则关于函数 有如下四个结论：① 为偶函数；② 的图象关于直线 对称；③
方程 有两个不等实根；④ ；其中所有正确结论的编号
______．
Z 1 1( ) (1 ) (1 )k kP Z k p p p p− −= = − + − 2,3k =
( )E Z =
1 1(1 )p p
−− 2
1
p
1 1(1 )p p
+− 2
1
(1 )p−
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > 1 2,F F 1F l
C ,A B 2 90AF B∠ = ° | | 4AB a= C
2 3 3 2
2
, , ,A B C D R R O AB AC=
AB AC⊥ AD BC⊥ ABCD 1
6 O
3
2
π
2π 9
4
π 8
3
π
,a b (3 ) ( 2 )a b a b+ ⊥ − a b
( )*2 n
x n N
x
− ∈ x
1 1 1ABC A B C− 2AB = 1 2 2AA = D 1 1A B
AD 1CB
R ( )f x ( 2) ( )f x f x+ = [ 1,1]x ∈ − 1 | |( ) 2xf x e −= −
( )f x ( )f x ( )f x 2x =
( ) 1 | |f x x= − 1 22
2 3f f > 2
2
Γ x
Γ 2
Γ（2）设点 均在椭圆 上，点 在抛物线 上，若 的重心为坐标原点 ，
且 的面积为 ，求点 的坐标．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第
一题计分．
22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线
的极坐标方程为 ，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）写出直线 和曲线 的的直角坐标方程；
（2）过动点 且平行于 的直线交曲线 于 两点，若
，求动点 到直线 的最近距离．
23．[选修 4—5：不等式选讲]
已知函数 ．
（1）若关于 的不等式 有解，求实数 的取值范围；
（2）若不等式 对任意 成立，求实数 的取值范围．
重庆高 2020 级高三下学期线上中期考试
数学（理科）答案
一、选择题
B C A B D C A D B A B C
二、填空题
560 ①②③
三、解答题
17．解：（1）由 得 ，
, A B Γ C 2 1
2y x= ABC△ O
ABC△ 3 6
4 C
xOy O x l
sin 24
πρ θ − = C 2sin cosρ θ θ=
l C
( )( )2
0 0 0 0,P x y y x< l C ,A B
| | | | 2PA PB⋅ = P l
( ) | 1| | 1| 2 | 2 |f x x x x= + + − − −
x ( )f x a a
( ) | | 4f x x b− − x R∈ b
1
5 30°
sin( ) 1C A− =
2C A
π− =，
由 得 ；
（2）设 ， ，由 得 ， ，
中， ， ．
18．证明：（1）易知：
，
①又 平面 ②
由①②可得 平面 平面 平面 ；
（2）由（1）知二面角 的平面角即为 ， ．
取 中的 ，连接 ，易得 ， 直线 两两垂直，
以 为原点， 分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
，
设平面 的法向量为 ，则由 ，设直线 与
平面 所成角为 ，则 ， 直线 与平面
所成角的正弦值为 ．
19 解：（1）选择模型①．理由如下：根据残差图可以看出，模型①的估计值和真实值相对比
较接近，模型②的残差相对较大一些，所以模型①的拟合效果相对较好；
（2）由（1），知 关于 的回归方程为 ，令 ，则 ，由题知
1sin sin( ) sin 2 cos22 3B A C A A
π = + = + = =
2 11 2sin 3A− = 3sin 3A =
4DB m= DA m= 1sin 3B = 2CD m= 3 2BC m= 3AC m=
ABC△
sin sin
AC AB
B ACB
= ∠
5 3sin 9ACB∠ =
2 tan tan1
CD BM DMC MAB DMC MABCM BA
= = ⇒ ∠ = ∠ ⇒ ∠ = ∠
90DMC AMB DM AM∴∠ + ∠ = ⇒ ⊥° PA ⊥ ABCD PA DM⇒ ⊥
∴ DM ⊥ PAM ⇒ PAM ⊥ PDM
P MD A− − 30PMA∠ = ° 3 13PA MA∴ = =
CD N AN AN CD⊥ ∴ PA NA BA、 、
A AN AB AP、 、 x y z
(0,0,1)P (2 2, 1,0)D − (2 2,1,0)C ( 2,1,0)M ( 2 2, 1,1)CP = − −
( 2, 2,0)MD = − ( 2, 1,1)MP = − −
PMD ( , , )m x y z= 0 ( 2,1,3)
0
m MP m
m MD
⋅ = ⇒ = ⋅ =
PC
PMD θ 4 1 3 30sin 30| | | | 10 2 3
CP m
CP m
θ ⋅ − − += = =
⋅ ⋅
∴ PC
PMD 30
30
y x 2y bx a= + 2z x= y bz a= +，
又 ，
，
， 关于 的回归方程为 ；
（3）估计该国第 9 天新型冠状病毒感染确诊的累计人数为
（人）．
20．解：（1） ，由 单增得
恒成立，分离参数得 恒成立，令 ， ，
则 ，
， 在 上单调递增， ， ；
（2）设 ，则 ，
设函数 的图像与 轴相切于 处，则
由②得： 或 ，
当 时，由①得： ③；
当 时，由①得： ，
令 ，则： ， ，
1.9b ≈
1 (1 4 9 16 25 36 49 64) 25.58z = + + + + + + + =
1 (4 8 16 31 51 71 97 122) 508y = + + + + + + + =
1.55a y bz∴ = − ≈ y∴ x 21.9 1.55y x= +
21.9 9 1.55 155.45 155y = × + = ≈
1( ) ( ) 3 2ay f x g x y x ax
+′= + ⇒ = − + − ( ) ( )y f x g x= + 0y′ ≥
2
13 2 3 2 1
1 11
x x xxa x
x
+ − + −≤ = ++
23 2 1( ) 1
x xm x x
+ −= + ( 0)x >
2
2
2 4 4( ) ( 1)
x xm x x
+ +′ = +
( ) 0m x′∴ > ( )m x (0, )+∞ ( ) (0) 1m x m> = − 1a∴ ≤ −
2( ) ( ) ( ) 3 ( 1)ln 4n x f x g x x a x x ax= − = − + − + − 1( ) 3 2an x x ax
+′ = − − +
( )y n x= x 0x x=
( )
( )
2
0 0 0 0 0
0 0
0
3 ( 1)ln 4 0
13 2 0
n x x a x x ax
an x x ax
= − + − + − =
+ ′ = − − + =
①
②
[ ]0
0 0
0 0
2 ( 1) ( 1)13 2 0 1x a xa x a xx x
− + −+− − + = − = ⇒ = 01 2a x+ =
0 1x = 2a =
01 2a x+ = 2
0 0 0 02 2 ln 4 0x x x x− − − =
2( ) 2 2 ln 4h x x x x x= + − − ( ) 2( ln )h x x x′ = − 2( 1)( ) xh x x
−′′ =在 单调递减，在 单调递增， ，
在 单调递增，又 ， ，
只有一解 ，且 ， ④，
由③④可知：满足条件的实数 有两个： ， ．
21 解：（1）由题意易知： 椭圆 ；
（2） ， ①
设 ， ，则由题知 ，
由 点在抛物线 上得： ②
③
将②代入③整理得： 或 ，相应的 或 1，
所以 或 ．
22．解：（1）直线 ，曲线 ；
( )h x′∴ (0,1) (1, )+∞ min( ) (1) 2 0h x h′ = = >
( )h x∴ (0, )+∞ (1) 5 0h = −
( ) 0h x∴ = 0x ( )2
0 1,x e∈ ( )2
02 1 1,2 1a x e= − ∈ −
a 1 2a = ( )2
2 1,2 1a e∈ −
2 2
2
2
22
12 2
a b
aa
bb
a
− = = ⇒ ⇒ = =
2
2: 12
x yΓ + =
( )
2
2
2 2 21 2 2 2 02
:
x y m y mty t
AB x my t
+ = ⇒ + + + − =
= +设
( )2 28 2 0m t∆ = − + >
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )1 2 2
2
2C
mty y y m
∴ = − + = +
( ) ( )1 2 1 2 2
42 2C
tx x x m y y t m
−= − + = − + + = +
C 2 1
2y x=
2
2
2 2
2 1 4 2
2 2 2 2 1
mt t mm m t
− = ⋅ ⇒ = − + + +
1
2t < −
( ) ( ) ( )1 2 2 1 1 2 2 1 1 2
3 3 33 2 2 2ABC ABOS S x y x y my t y my t y t y y= = − = + − + = +△ △
2 2 2 2
2 2
3 2 2 2 3 6 2 3
2 2 4 2 4
t m t t m t
m m
⋅ ⋅ − + ⋅ − += = ⇒ =+ +
2[ (2 1)] 4 (2 1) 3 0 1t t t t t+ − + + = ⇒ = − 3
2
− 2 2m =
21, 2C
±
(2, 1)C ±
: 2l y x= + 2:C y x=（2）过 平行于 的直线的参数方程为 （ 为参数）
联立曲线 得： ， ，
所以 ，
点 的到直线 的距离： ，
当 ，（满足 式）时取“ ” 点 的到直线 的最近距离为 ．
23．解，（1）
，即
（2）由（1）可得 的图象如下
要使 恒成立，当函数 的一段经过点 时满足要求，
此时 ，结合图象可知，当 时满足条件．
P l
0
0
2
2
2
2
x x t
y y t
= +
= +
t
2:C y x= 2 2
0 0 0
1 22 02 2t y t y x
+ − + − =
0 0
12 2 0(*)2x y∆ = − + >
( )2 2 2
1 2 0 0 0 0 0 0| | | | 2 2 2 1PA PB t t y x x y y x⋅ = = − = − = ⇒ = −
∴ P l
2
0 00 0 32 11 2
82 2
y yx yd
− +− += = ≥
0
0
5
4
1
2
x
y
=
=
(*) = ∴ P l 11 2
8
4, 2
4 4,1 2( ) 2 2, 1 1
4, 1
x
x xf x x x
x
≥
− ≤
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