重庆2020届高三理科数学下学期线上期中试题（Word版附答案）

重庆高 2020 级高三下学期线上中期考试 数学（理科）试题 理科数学测试卷共 4 页．满分 150 分．考试时间 120 分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在 本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个备选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．已知 为纯虚数，则实数 的值是（ ） A． B． C． D．1 2．已知集合 ， ，则集合 的子集个数为（ ） A．8 B．16 C．32 D．64 3．已知曲线 在点 处的切线与直线 平行，则实数 的值为 （ ） A． B．1 C．2 D．3 4．已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ） A． B． C．1 D．3 5．已知 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最．长的棱长为（ ） ( )(2 )a i i+ − a 1− 1 2 − 1 2 {1,2,3}A = { | , }B a b a A b A= + ∈ ∈ B 2( ) lnf x a x x= + (1,1) 0x y+ = a 3− { }na n nS 6 12S = 2 5a = 5a = 3− 1− 0.31.2a = 0,3log 1.2b = 1.2log 3c = a b c< < c b a< < b c a< < b a c< F ,A B C | | | | 10AF BF+ = O OAB△ F p = 3ε = n A p A X ( , )B n p A Y 1( ) (1 )kP Y k p p −= = − 1,2,3k = Y 1( )E Y p = A A所进行的试验次数记为 ，则 ， ，…，那么 （ ） A． B． C． D． 1l．已知双曲线 的左右焦点分别为 ，过 的直线 与双 曲线 的两支分别交于 两点， ， ，则双曲线 的离心率为（ ） A． B． C．2 D． 12．已知 四点均在半径为 （ 为常数）的球 的球面上运动，且 ， ， ，若四面体 的体积的最大值为 ，则球 的表面积为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．已知 均为单位向量，且 ，则向量 与 夹角的余弦值为 ______． 14．已知 的展开式中第 3 项与第 6 项的二项式系数相等，则展开式中 的系数为_____． 15．正三棱柱 中， ， ， 为棱 的中点，则异面直线 与 所成角的大小为______． 16．已知定义在 上的函数 满足 ，当 时 ， 则关于函数 有如下四个结论：① 为偶函数；② 的图象关于直线 对称；③ 方程 有两个不等实根；④ ；其中所有正确结论的编号 ______． Z 1 1( ) (1 ) (1 )k kP Z k p p p p− −= = − + − 2,3k = ( )E Z = 1 1(1 )p p −− 2 1 p 1 1(1 )p p +− 2 1 (1 )p− 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > 1 2,F F 1F l C ,A B 2 90AF B∠ = ° | | 4AB a= C 2 3 3 2 2 , , ,A B C D R R O AB AC= AB AC⊥ AD BC⊥ ABCD 1 6 O 3 2 π 2π 9 4 π 8 3 π ,a b  (3 ) ( 2 )a b a b+ ⊥ −    a b ( )*2 n x n N x  − ∈   x 1 1 1ABC A B C− 2AB = 1 2 2AA = D 1 1A B AD 1CB R ( )f x ( 2) ( )f x f x+ = [ 1,1]x ∈ − 1 | |( ) 2xf x e −= − ( )f x ( )f x ( )f x 2x = ( ) 1 | |f x x= − 1 22 2 3f f    > 2 2 Γ x Γ 2 Γ（2）设点 均在椭圆 上，点 在抛物线 上，若 的重心为坐标原点 ， 且 的面积为 ，求点 的坐标． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第 一题计分． 22．[选修 4—4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线 的极坐标方程为 ，曲线 的极坐标方程为 ． （1）写出直线 和曲线 的的直角坐标方程； （2）过动点 且平行于 的直线交曲线 于 两点，若 ，求动点 到直线 的最近距离． 23．[选修 4—5：不等式选讲] 已知函数 ． （1）若关于 的不等式 有解，求实数 的取值范围； （2）若不等式 对任意 成立，求实数 的取值范围． 重庆高 2020 级高三下学期线上中期考试 数学（理科）答案 一、选择题 B C A B D C A D B A B C 二、填空题 560 ①②③ 三、解答题 17．解：（1）由 得 ， , A B Γ C 2 1 2y x= ABC△ O ABC△ 3 6 4 C xOy O x l sin 24 πρ θ − =   C 2sin cosρ θ θ= l C ( )( )2 0 0 0 0,P x y y x< l C ,A B | | | | 2PA PB⋅ = P l ( ) | 1| | 1| 2 | 2 |f x x x x= + + − − − x ( )f x a a ( ) | | 4f x x b− − x R∈ b 1 5 30° sin( ) 1C A− = 2C A π− =， 由 得 ； （2）设 ， ，由 得 ， ， 中， ， ． 18．证明：（1）易知： ， ①又 平面 ② 由①②可得 平面 平面 平面 ； （2）由（1）知二面角 的平面角即为 ， ． 取 中的 ，连接 ，易得 ， 直线 两两垂直， 以 为原点， 分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， ， 设平面 的法向量为 ，则由 ，设直线 与 平面 所成角为 ，则 ， 直线 与平面 所成角的正弦值为 ． 19 解：（1）选择模型①．理由如下：根据残差图可以看出，模型①的估计值和真实值相对比 较接近，模型②的残差相对较大一些，所以模型①的拟合效果相对较好； （2）由（1），知 关于 的回归方程为 ，令 ，则 ，由题知 1sin sin( ) sin 2 cos22 3B A C A A π = + = + = =   2 11 2sin 3A− = 3sin 3A = 4DB m= DA m= 1sin 3B = 2CD m= 3 2BC m= 3AC m= ABC△ sin sin AC AB B ACB = ∠ 5 3sin 9ACB∠ = 2 tan tan1 CD BM DMC MAB DMC MABCM BA = = ⇒ ∠ = ∠ ⇒ ∠ = ∠ 90DMC AMB DM AM∴∠ + ∠ = ⇒ ⊥° PA ⊥ ABCD PA DM⇒ ⊥ ∴ DM ⊥ PAM ⇒ PAM ⊥ PDM P MD A− − 30PMA∠ = ° 3 13PA MA∴ = = CD N AN AN CD⊥ ∴ PA NA BA、 、 A AN AB AP、 、 x y z (0,0,1)P (2 2, 1,0)D − (2 2,1,0)C ( 2,1,0)M ( 2 2, 1,1)CP = − − ( 2, 2,0)MD = − ( 2, 1,1)MP = − − PMD ( , , )m x y z= 0 ( 2,1,3) 0 m MP m m MD  ⋅ = ⇒ = ⋅ =      PC PMD θ 4 1 3 30sin 30| | | | 10 2 3 CP m CP m θ ⋅ − − += = = ⋅ ⋅     ∴ PC PMD 30 30 y x  2y bx a= + 2z x= y bz a= +， 又 ， ， ， 关于 的回归方程为 ； （3）估计该国第 9 天新型冠状病毒感染确诊的累计人数为 （人）． 20．解：（1） ，由 单增得 恒成立，分离参数得 恒成立，令 ， ， 则 ， ， 在 上单调递增， ， ； （2）设 ，则 ， 设函数 的图像与 轴相切于 处，则 由②得： 或 ， 当 时，由①得： ③； 当 时，由①得： ， 令 ，则： ， ， 1.9b ≈ 1 (1 4 9 16 25 36 49 64) 25.58z = + + + + + + + = 1 (4 8 16 31 51 71 97 122) 508y = + + + + + + + =  1.55a y bz∴ = − ≈ y∴ x  21.9 1.55y x= +  21.9 9 1.55 155.45 155y = × + = ≈ 1( ) ( ) 3 2ay f x g x y x ax +′= + ⇒ = − + − ( ) ( )y f x g x= + 0y′ ≥ 2 13 2 3 2 1 1 11 x x xxa x x + − + −≤ = ++ 23 2 1( ) 1 x xm x x + −= + ( 0)x > 2 2 2 4 4( ) ( 1) x xm x x + +′ = + ( ) 0m x′∴ > ( )m x (0, )+∞ ( ) (0) 1m x m> = − 1a∴ ≤ − 2( ) ( ) ( ) 3 ( 1)ln 4n x f x g x x a x x ax= − = − + − + − 1( ) 3 2an x x ax +′ = − − + ( )y n x= x 0x x= ( ) ( ) 2 0 0 0 0 0 0 0 0 3 ( 1)ln 4 0 13 2 0 n x x a x x ax an x x ax  = − + − + − =  + ′ = − − + = ① ② [ ]0 0 0 0 0 2 ( 1) ( 1)13 2 0 1x a xa x a xx x − + −+− − + = − = ⇒ = 01 2a x+ = 0 1x = 2a = 01 2a x+ = 2 0 0 0 02 2 ln 4 0x x x x− − − = 2( ) 2 2 ln 4h x x x x x= + − − ( ) 2( ln )h x x x′ = − 2( 1)( ) xh x x −′′ =在 单调递减，在 单调递增， ， 在 单调递增，又 ， ， 只有一解 ，且 ， ④， 由③④可知：满足条件的实数 有两个： ， ． 21 解：（1）由题意易知： 椭圆 ； （2） ， ① 设 ， ，则由题知 ， 由 点在抛物线 上得： ② ③ 将②代入③整理得： 或 ，相应的 或 1， 所以 或 ． 22．解：（1）直线 ，曲线 ； ( )h x′∴ (0,1) (1, )+∞ min( ) (1) 2 0h x h′ = = > ( )h x∴ (0, )+∞ (1) 5 0h = − ( ) 0h x∴ = 0x ( )2 0 1,x e∈ ( )2 02 1 1,2 1a x e= − ∈ − a 1 2a = ( )2 2 1,2 1a e∈ − 2 2 2 2 22 12 2 a b aa bb a  − =  = ⇒ ⇒  = = 2 2: 12 x yΓ + = ( ) 2 2 2 2 21 2 2 2 02 : x y m y mty t AB x my t  + = ⇒ + + + − =  = +设 ( )2 28 2 0m t∆ = − + > ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )1 2 2 2 2C mty y y m ∴ = − + = + ( ) ( )1 2 1 2 2 42 2C tx x x m y y t m −= − + = − + + =   + C 2 1 2y x= 2 2 2 2 2 1 4 2 2 2 2 2 1 mt t mm m t −  = ⋅ ⇒ = − + + +  1 2t < −   ( ) ( ) ( )1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 3 3 33 2 2 2ABC ABOS S x y x y my t y my t y t y y= = − = + − + = +△ △ 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 3 6 2 3 2 2 4 2 4 t m t t m t m m ⋅ ⋅ − + ⋅ − += = ⇒ =+ + 2[ (2 1)] 4 (2 1) 3 0 1t t t t t+ − + + = ⇒ = − 3 2 − 2 2m = 21, 2C  ±    (2, 1)C ± : 2l y x= + 2:C y x=（2）过 平行于 的直线的参数方程为 （ 为参数） 联立曲线 得： ， ， 所以 ， 点 的到直线 的距离： ， 当 ，（满足 式）时取“ ” 点 的到直线 的最近距离为 ． 23．解，（1） ，即 （2）由（1）可得 的图象如下 要使 恒成立，当函数 的一段经过点 时满足要求， 此时 ，结合图象可知，当 时满足条件． P l 0 0 2 2 2 2 x x t y y t  = +  = + t 2:C y x= 2 2 0 0 0 1 22 02 2t y t y x  + − + − =    0 0 12 2 0(*)2x y∆ = − + > ( )2 2 2 1 2 0 0 0 0 0 0| | | | 2 2 2 1PA PB t t y x x y y x⋅ = = − = − = ⇒ = − ∴ P l 2 0 00 0 32 11 2 82 2 y yx yd − +− += = ≥ 0 0 5 4 1 2 x y  =  = (*) = ∴ P l 11 2 8 4, 2 4 4,1 2( ) 2 2, 1 1 4, 1 x x xf x x x x ≥  − ≤