江西省上饶市2020届高三数学（文）下学期第一次联考试题（Word版附答案）

上饶市 2020 届六校高三第一次联考 （上饶市一中、上饶市二中、广信中学、、天佑中学、余干中学） 文科数学试卷 第Ⅰ卷 满分：150 分 考试时间：120 分钟 一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求. 1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 若复数 为纯虚数，则 （ ） A. B. 13 C. 10 D. 3. 函数 图象的大致形状是（ ） A. B. C. D. 4. 给出以下命题： ①已知命题 ： ， ，则 ： ， ； ②已知 ， 是 的充要条件； ③命题“若 ，则 的否命题为真命题”. 在这 3 个命题中，其中真命题的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 设函数 ，若 ， ， ，则 ， ， 的 大小关系为（ ） { }1,2, 1A = − { }2| ,B y y x x A= = ∈ A B = { }1 { }1,2,4 { }1,1,2,4− { }1,4 ( ) 1 a i a Ri − ∈+ 3 ai− = 13 10 ( ) 2 1 cos1 xf x xe  = − +  p x R∀ ∈ 2 1 0x x− + > p¬ 0x R∃ ∈ 2 0 0 1 0x x− + ≤ , ,a b c R∈ a b> 2 2ac bc> 1sin 2 θ = 6 πθ = ( ) 2logf x x= ( )3log 2a f= ( )5log 2b f= ( )0.22c f= a b cA. B. C. D. 6. 已知非零向量 ， 满足 ，且 ，若 ， 的夹角为 ，则实数 的 值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 7. 甲、乙两班在我校举行的“不忘初心，牢记使命”合唱比赛中，7 位评委的评分情况如茎 叶图所示，其中甲班成绩的中位数是 81，乙班成绩的平均数是 86，若正实数 、 满足： ， ， ， 成等比数列，则 的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. D. 8. 若双曲线 ： 的一条渐近线被圆 所截得的弦长 为 ，则双曲线 的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 9. 在 中 ， 角 ， ， 的 对 边 分 别 是 ， ， ， 且 面 积 为 ， 若 ， ，则角 等于（ ） A. B. C. D. 10. 已知三棱锥 中， 平面 ， 中两直角边 ， ， 若三棱锥的体积为 10，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 11. 已 知 函 数 ， 过 点 ， ， 当 a b c< < b c a< < c a b< < b a c< < a b a k b=  ( )b a b⊥ +   a b 2 3 π k 1 2 a b x a b y 2a b+ 2 2 4 2 C ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > ( )2 22 4x y− + = 2 2 C 3 2 2 3 3 ABC△ A B C a b c S cos cos 2 cosb C c B a A+ = ( )2 2 21 4S b a c= + − B 2 π 5 12 π 7 12 π 3 π A BCD− CD ⊥ ABC Rt ABC△ 5AB = 3AC = 50π 25π 25 2 π 25 4 π ( ) ( )2sin 0, 2f x x πω ϕ ω ϕ = + > 0k C ( )2 2 0y px p= > F P P 3 2PF = C（ 2 ） 已 知 过 定 点 的 直 线 ： 与 抛 物 线 相 交 于 ， 两 点 ， 若 恒为定值，求 的值. 21. 已知函数 ， ， . （1）讨论 的单调性； （2）若不等式 对任意 恒成立，求 的取值范围 请考生在第 22、23 题中任选一题做作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做题时请写清 题号. 22. 选修 4-4：极坐标与参数方程 在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.以 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 . （1）求曲线 的极坐标方程和直线 的直角坐标方程； （2）若 、 为曲线 上的两点，且 ，求 的最大值. 23. 选修 4-5：不等式选讲 已知函数 . （1）求不等式 的解集； （2）若函数 的最小值记为 ，设 ， ，且有 ，求 的最小值. 上饶市 2020 届六校高三第一次联考 数学答案（文科） 一、选择题（12×5=60 分） 1-5：ADBCD 6-10：CDCBA 11-12：BA 二、填空题（4×5=20 分） ( ),0M m l x ky m= + C A B 2 2 1 1 AM BM + m ( ) lnf x x x= + ( ) 21 2g x ax ax= + ( ) 1xh x mxe= − ( ) ( ) ( )F x g x f x= − ( ) ( )h x f x≥ ( )0,x∈ +∞ m xoy C 1 cos sin x y α α = +  = α O x l 3sin 6 2 πρ θ + =   C l A B C 3AOB π∠ = OA OB+ ( ) 2 1 1f x x x= − + + ( ) 2f x x≤ + ( )y f x= m 0a > 0b > a b m+ = 1 2 1 2b b ++ +13. 14. 2 15. 16. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 解：（1）设等差数列 的公差为 ， 由题意， ，解得： ， ， ∴ ； （2）∵ ， ∴ . 18.（1） 证明：∵ ，∴ ， 又平面 平面 ，平面 平面 ， 故 平面 ； 又 平面 ，故 ； 又四边形 为菱形，∴ ， ∴ 平面 . （2）∵ ， ∴ . 19.（1）由频率分布直方图可知，空气重度污染和严重污染的概率应为 ， 因为限行分单双号，某人因空气污染被限号出行的概率为 0.05. （2）列联表如下： 空气质量优良 空气质量污染 合计 限行前 90 90 180 限行后 55 35 90 1 0x y− + = 3 4 4 5 { }na d ( ) 1 2 1 5 45 352 4 2 a d d d a d × + =  = + 1 3a = 2d = ( )3 2 1 2 1na n n= + − = + 1 1 1 1 1 1 (2 1)(2 3) 2 2 1 2 3n n n b a a n n n n+  = = = − + + + +  1 1 1 1 1 1 1 2 3 5 5 7 2 1 2 3nT n n  = − + − + + − + +  1 1 1 2 3 2 3 6 9 n n n  = − = + +  90CBD∠ = ° CB BD⊥ SBD  ABCD BD= SBD ⊥ ABCD CB ⊥ SBD SD ⊂ SBD CB DS⊥ STDB DS BT⊥ DS ⊥ TBC 1 32 2 2 32 22BSTD BDSS S × × × ×= = =△ 1 2 62 33 2 2ABCDTS A BSTD C BSTDV V V− −  = + = + × =    ( )1 0.003 0.004 0.005 0.006 50 0.1− + + + × =合计 145 125 270 由表中数据可得 ， 所以有 的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关. 20. 解：（1）抛物线 的准线方程为 ，焦点 ， 当 的横坐标为 1 时， ，∴ ，解得 ， ∴抛物线 的方程为 . （2）由直线 的方程为 与抛物线 ： 联立， 消去 得： ，则 ， ， ， ， ，对任意 恒为定 值， 当 ，此时 ，∴ ，满足题意. 21.（1） ， ， ①当 时， ，所以 在 上单调递减； ②当 时，可知 在 上单调递减，在 上单调递增. （2）不等式 对任意 恒成立，即 恒成立， 因为 ，所以 ， 令 ， 2 2 270 (90 35 90 55) 2.979 2.706180 90 145 125K × × − ×= ≈ >× × × 90% C 2 px = − ,02 pF      P 3 2PF = 31 2 2 p+ = 1p = C 2 2y x= l x ky m= + C 2 2y x= x 2 2 2 0y ky m− − = 1 2 2y y m= − 1 2 2y y k+ = 1 1x ky m= + 2 2x ky m= + ( ) ( )22 2 22 2 1 1 2 2 1 11 1 x mB y yM mA xM = + − + − + + ( ) ( )2 2 2 2 1 2 1 1 1 1k y k y = + + + ( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 1 21 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 y y y yy y k y y k y y + −+= = + + ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 4 1 4 1 k m k m k m k m + += = + × + × k R∈ 1m = 2 2 1 1 1 AM BM + = 1m = ( ) 21 ( 1) ln2 ax a xF x x= + − − 1 ( 1)( 1)'( ) 1 ( 0)ax xF x ax a xx x − += + − − = > 0a ≤ ( )' 0F x < ( )F x ( )0,+∞ 0a > ( )F x 10, a      1 ,a  +∞   ( ) ( )h x f x≥ ( )0,x∈ +∞ 1 lnxmxe x x− ≥ + 0x > ln 1 x x xm xe + +≥ ( ) ln 1 x x xG x xe + +=， 令 ， ， 故 在 上单调递减，且 ， ， 故存在 使得 ， 即 即 ， 当 时， ， ； 当 ， ， ； 所以 ， 故实数 的取值范围是 . 22. 解：（1） ： ， ： . （2）不妨设 ， ， 则 ， ∴ 的最大值为 . 23. 解：（1）因为 . 从图可知满足不等式 的解集为 . 2 ( 1)( ln )'( ) x x x xG x x e + − −= ( ) lnp x x x= − − ( ) 1' 1 0p x x = − − < ( )p x ( )0,+∞ 1 11 0p e e   = − >   (1) 1 0p = − < 0 1 ,1x e  ∈   ( )0 0 0ln 0p x x x= − − = 0 0ln 0x x+ = 0 0 xx e−= ( )00,x x∈ ( ) 0p x > ( )' 0G x > ( )0 ,x x∈ +∞ ( ) 0p x < ( )' 0G x < ( ) 0 0 0 0 0 max 0 0 ln 1 1( ) 1x x x x xG x G x x e e e− + += = = =⋅ m 1m ≥ C 2cosρ θ= l 3 3 0x y+ − = 2cosOA θ= 2cos 3OB πθ = +   2cos 2cos 3OA OB πθ θ + = + +   2cos 2cos 3 πθ θ = + +   2 3sin 2 33 πθ = − − ≤   OA OB+ 2 3 ( ) 3 , 1 12 1 1 2, 1 2 13 , 2 x x f x x x x x x x  − < − = − + + = − + − ≤ ≤   > ( ) 2f x x≤ + [ ]0,1（2）由图可知函数 的最小值为 ，即 . 所以 ，从而 ， 从而 . 当且仅当 时，等号成立， ∴ 的最小值为 . ( )y f x= 3 2 3 2m = 3 2a b+ = 91 2 2a b+ + + = [ ]1 2 2 1 2( 1) ( 2)1 2 9 1 2a ba b a b  + = + + + + + + + +  2 2 2( 1) 2 2 2( 1)3 3 29 1 2 9 1 2 b a b a a b a b   + +  + + + + ≥ + ⋅   + + + +     = 6 4 2 9 += 2 2( 1) 1 2 b a a b + +=+ + 1 2 1 2a b ++ + 6 4 2 9 +