江西省九校2020届高三数学（理）联考试题（Word版附答案）

2020 年高安中学彭泽一中泰和中学樟树 中学高三联合考试数学试卷（理科） 一、选择题 1．已知集合 ，集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 2．设复数 ，且 ，则 的虚部为（ ） A． B． C． D． 3．在等比数列 中， ， ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 4．下图的框图中，若输入 ，则输出的 值为（ ） A． B． C． D． 5．已知 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 6．已知某函数的图象如图所示，则其解析式可以是（ ） { }1A x Z x= ∈ > − { }2log 2B x x= < A B = { }1 4x x− < < { }0 4x x< < { }0,1,2,3 { }1,2,3 ( )1z bi b R= + ∈ 2 3 4z i= − + z 2i 2i− 2 2− { }na 1 1a = 6 8 3 5 1 27 a a a a + =+ 6a 1 27 1 81 1 243 1 729 15 16x = i 3 4 5 6 3log 0.8a = 0.83b = 2.10.3c = a ab c< < ac b c< < ab a c< < c ac b< ∈ x 1 2 min 3x x π− = ( )f x 6 π数图像关于 轴对称，则 的可能取值为（ ） A． B． C． D． 11．已知直线 与双曲线 的一条渐近线交于点 ，双曲线 的左，右焦点分别为 ，且 ，则双曲线 的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 或 12．已知 ，设函数 ，若关于 的不等式 在 上恒成立，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 13．已知向量 ，向量 ，则 ______. 14 ． 已 知 抛 物 线 过 点 ， 则 抛 物 线 的 准 线 方 程 为 ______. 15．已知数列 ， ，其中数列 满足 ，前 项和为 满足 ； 数 列 满 足 ， 且 ， ， ，则数列 的第 项的值为______. 16．如图，四棱锥 中，底面为四边形 .其中 为正三角形，又 .设三棱锥 ，三棱锥 的体积分别是 ， 三棱锥 ，三棱锥 的外接球的表面积分别是 .对于以下结论：① ； y ϕ 6 π 3 π 2 3 π 5 6 π 2x a= ( )2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b − = > > P C 1 2,F F 2 1 1cos 4PF F∠ = − C 15y x= ± 3 15 11y x= ± 2 15 11y x= ± 15y x= ± 3 15 11y = ± k R∈ ( ) ( ) 2 3 2 2 , 1 1 , 1x x kx k xf x x k e e x  − + ≤=  − − + > x ( ) 0f x ≥ x R∈ k 20,e   22,e   [ ]0,4 [ ]0,3 ( )1, 1a = − ( )0,1b = 2a b− =  ( )2: , 0C y mx m R m= ∈ ≠ ( )1,4P − C { }na { }nb { }na ( )10n na a n N+ += ∈ n nS ( )2 2ln 1 , 02n nS n N n+ − += − ∈ ≤ { }nb ( )12n nb b n N+ += ∈ 1 1b = 1 1n n nb bn+ = + ( ), 12n N n+∈ ≤ { }n na b⋅ 2020 P ABCD− ABCD ACD△ 3DA DB DB DC DB AB⋅ = ⋅ = ⋅      P ABD− P ACD− 1 2,V V P ABD− P ACD− 1 2,S S 1 2V V 1 2S S< 1 2S S= 1 2S S> ABC△ , ,A B C , ,a b c 2cos 3A = 2B A= 8b = a M BC AM 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 2 4AA AC BD= = = , , ,E F P Q 1 1 1 1, ,AA BB CC DD BF DQ= 1CP BF DQ AE− = − = , , ,E F P Q EF  PQB P B PQ E− − 5 5 CP19．已知圆 ，圆 ，如图， 分别交 轴正半轴于点 ， .射线 分别交 于点 ，动点 满足直线 与 轴垂直，直线 与 轴垂直. （1）求动点 的轨迹 的方程； （2）过点 作直线 交曲线 与点 ，射线 与点 ，且交曲线 于点 .问： 的值是否是定值？如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请说明理由. 20．某校高三男生体育课上做投篮球游戏，两人一组，每轮游戏中，每小组两人每人投篮两 次，投篮投进的次数和不少于 次称为“优秀小组”.小明与小亮同一小组，小明、小亮投篮投进 的概率分别为 . （1）若 ， ，则在第一轮游戏他们获“优秀小组”的概率； （2）若 ，且游戏中小明小亮小组要想获得“优秀小组”次数为 次，则理论上至少 要进行多少轮游戏才行？并求此时 的值. 21．已知函数 ， ，其中 . （1）求函数 的单调区间； （2）若对任意 ，任意 ，不等式 恒成立时最大的 记为 ，当 时， 的取值范围. 22．在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），在以坐标 2 2 1 : 2C x y+ = 2 2 2 : 4C x y+ = 1 2,C C x E A OD 1 2,C C ,B D P BP y DP x P C E l C ,M N OH l⊥ H C Q 2 1 1 MN OQ + 3 1 2,P P 1 2 3P = 2 1 2P = 1 2 4 3P P+ = 16 1 2,P P ( ) lnf x a x x a= − + ( ) lng x kx x x b= − − , ,a b k R∈ ( )f x [ ]1,a e∈ [ ]1,x e∈ ( ) ( )f x g x≥ k c [ ]1,b e∈ b c+ xOy 1C 1 cos sin x y θ θ = +  = θ原点为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中.曲线 的极坐标方程为 . （1）求曲线 和曲线 的一般方程； （2）若曲线 上任意一点 ，过 点作一条直线与曲线 相切，与曲线 交于 点，求 的最大值. 23．已知点 的坐标满足不等式： . （1）请在直角坐标系中画出由点 构成的平面区域 ，并求出平面区域 的面积 ； （2）如果正数 满足 ，求 的最小值. 2020 届九校联考数学（理科）参考答案 一、选择题 1．D【解析】 ，∵ ，∴ ，故选 D. 2．D【解析】 ，∴ ，∴ ，∴ .故选 D. 3 ． C 【 解 析 】 设 等 比 数 列 公 比 为 ， 则 ， 所 以 .故选 C. 4．B 5．C【解析】 ， ， ，故选 C. 6．D x 2C 2 2 48 3 sin ρ θ= + 1C 2C 2C P P 1C 1C A PA ( ),P x y 1 1 1x y− + − ≤ P Ω Ω S , ,a b c ( )( )a c b c S+ + = 2 3a b c+ + { }0 4B x x= < < { }1A x Z x= ∈ > − { }1,2,3A B = 2 21 2 3 4z b bi i= − + = − + 2b = 1 2z i= + 1 2z i= − { }na q 36 8 3 5 1 1 27 3 a a q qa a + = = ⇒ =+ 5 6 1 1 243a a q= ⋅ = 0a < 1b > 0 1c< = − + ≥ 2k e≤ 1k ≤ 1k > ( )f x ( )1,k ( ),k +∞ ( ) ( ) 3 0kf x f k e e≥ = − + ≥ 3k ≤ 1 3k< ≤ 0 3k< ≤ 10 1 16y = − 1 4 19 , 12 11 , 2 n na n n  ==   − ≥ 1 1b = 1 1n n nb bn+ = + ( ) 11n nnb n b += + { }nnb 1 nb n = { }na { }nb 60 2020 2020 40 40a b a b⋅ = ⋅ 40 10 1a a= = 40 4 1 4b b= = 2020 2020 40 40 1 4a b a b⋅ = ⋅ = 2AD = ACD△ 3DA DB DB DC DB AB⋅ = ⋅ = ⋅      ( ) 0DA DB DB DC DB DA DC⋅ − ⋅ = ⋅ − =       DB AC⊥ 30ADB∠ = °得 ， 化 简 可 以 得 ， ∴ ，易得 ，故 ，由于 ，所以 与 的外接圆相同（四点共圆），所以三棱锥 ，三棱锥 的外接球相 同，所以 . 三、解答题 17．解：（1）由 ， ，得 ， 所以 ， 由正弦定理 ，可得 . （2） ， 在 在 中，由余弦定理得： 所以， . 18．解：（1）证法 1：在棱 分别取点 ，使得 ，易知四边形 是平行四边形，所以 ，联结 ，则 ，且 所以四边形 为矩形，故 ，同理， 且 ，故四边形 是平行四边形，所以 ，所以 故 四点共面 又 ， 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . 3DB DC DB AB⋅ = ⋅    ( )3DB DC DB DB DA⋅ = ⋅ −     4 3 3DB = 90DAB∠ = ° ABD ACDS S ∈ ( ) 1a a xf x x x −′ = − = 0x > a R∈ 0a ≤ ( )f x ( )0,+∞ 0a > ( )f x ( )0,a ( ),a +∞（2）原不等式 . ∵ ， ，∴ ， 令 ， 令 在 上递增； ①当 时，即 ，∵ ，所以 时 ， ， ∴ 在 上递增；∴ . ②当 ，即 时 ， ，∴ 在 上递 减； ∴ . ③当 时， 在上递增； 存在唯一实数 ，使得 ，则当 时 . 当 时 ∴ . ∴ .此时 . 令 在 上递增， ，∴ . ( )1 ln lna x x x x bk x + − + +⇔ ≤ [ ]1,a e∈ [ ]1,x e∈ ( )1 ln ln 1 ln lna x x x x b x x x x b x x + − + + + − + +≥ ( ) ( ) 2 1 ln ln lnx x x x b x x bg x g xx x + − + + − + −′= ⇒ = ( ) ( ) 1ln 1p x x x b p x x ′= − + − ⇒ = − + ( ) lnp x x x b⇒ = − + − ( )1,+∞ ( )1 0p ≥ 1b ≤ [ ]1,b e∈ 1b = [ ]1,x e∈ ( ) ( )0 0p x g x′≥ ⇒ ≥ ( )g x [ ]1,e ( ) ( )min 1 2 2c g x g b b c b= = = ⇒ + = = ( ) 0p e ≤ [ ]1,b e e∈ − [ ]1,x e∈ ( ) ( )0 0p x g x′≤ ⇒ ≤ ( )g x [ ]1,e ( ) ( )min 2 2 1 2, 1b bc g x g e b c b e ee e e e + +  = = = ⇒ + = + ∈ + + +   ( ) ( )1 0p p e < ( ) lnp x x x b= − + − ( )0 1,x e∈ ( )0 0p x = ( )01,x x∈ ( ) ( )0 0p x g x′⇒ < ⇒ < ( )0 ,x x e∈ ( ) ( )0 0p x g x′⇒ > ⇒ > ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0min 0 0 1 ln ln 1lnx x x x bc g x g x xx x + − + += = = = + 0 0 0 0 0 0 1 1ln lnb c x x x xx x + = + + − = + 0 0lnb x x= − ( ) ( ) ( )1 1ln 1 0xh x x x h x h xx x −′= − ⇒ = − = > ⇒ [ ]1,e ( ) ( )01, 1 1,b e x e∈ − ⇒ ∈ 12,b c e e  + ∈ +  综上所述， . 22．解：（1）曲线 的一般方程是 ∵ ，且 ， ， ∴曲线 的一般方程为 （2）设点 的坐标为 ，∵ ， ∴ ，即 时， 23．解：（1）如图，平面区域平面区域 由一个正方形及其内部组成，四个顶点分别为 ， ， ， ，所以 . （ 2 ） 由 （ 1 ） ， 而 都 为 正 数 ， 所 以 当且仅当 取得最小值. 22, 1b c e e  + ∈ + +   1C ( )2 21 1x y− + = 2 2 2x y ρ+ = cosx ρ θ= siny ρ θ= 2C 2 2 116 12 x y+ = P ( )4cos ,2 3sinθ θ 2 2 1PA PC r= − ( ) ( ) ( )22 22 2 1 4cos 1 2 3sin 4cos 8cos 13 4 cos 1 9PC θ θ θ θ θ= − + = − + = − + ( )24 cos 1 8 2 6PA θ= − + ≤ cos 1θ = − max 2 6PA = Ω ( )1,0 ( )2,1 ( )1,2 ( )0,1 1 2 2 22S = × × = ( )( ) 2a c b c+ + = , ,a b c ( ) ( )( )2 3 2 2 2 4a b c a c b c a c b c+ + = + + + ≥ + + = ( )2 2a c b c+ = + =