数学（理科）
考生注意：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分.考试时间 120 分钟.
2.请将各题答案填写在答题卡上.
3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.若 ，则 （ ）
A. B.3 C. D.1
2.设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
3.某单位去年的开支分布的折线图如图 1 所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）
如图 2 所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）
A. B. C. D.
4.若双曲线 的离心率为 ，则 （ ）
A. B. C.4 D.
5.如图在等腰直角 中， ， 分别为斜边 的三等分点（ 靠近点 ），过 作
的垂线，垂足为 ，则 （ ）
1 3
2 2z i= − + 1z z
+ =
3− 1−
{ }2| 12 0A x x x= + − < { | 2 3}B x x= + < A B =
{ | 7}x x < { | 2 3}x x− 5 m
n
=
1
4
1
4
− 4−
ABC△ D E BC D B E
AD F AF =A. B.
C. D.
6.已知底面是等腰直角三角形的三棱锥 的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角
形全等，则（ ）
A. ， ， 两两垂直 B.三棱锥 的体积为
C.三棱锥 的侧面积为 D.
7.山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台
苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位： ）服从正态分布 ，则直径在
内 的 概 率 为 （ 附 ： 若 ， 则 ，
）
A.0.6826 B.0.8413 C.0.9544 D.0.8185
8.已知函数 的图象关于直线 对称，则 的最小值为
（ ）
A. B. C. D.
9.若曲线 存在斜率小于 1 的切线，则 的取值范围为（ ）
8 4
15 15AB AC+ 2 1
5 5AB AC+
4 8
15 15AB AC+ 3 1
5 5AB AC+
P ABC−
PA PB PC P ABC− 8
3
P ABC− 3 5 | | | | | | 6PA PB PC= = =
mm ( )280,5N (75,90]
( )2~ ,X N µ σ ( ) 0.6826P Xµ σ µ σ− < + =
( 2 2 ) 0.9544P Xµ σ µ σ− < + =
( ) sin 3cos ( 0)f x x xω ω ω= + >
8x
π= ω
1
3
4
3
2
3
8
3
4 3 ( 0)y x x ax x= − + > aA. B. C. D.
10.已知函数 则函数 的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
11.已知直线 与抛物线 交于 ， 两点，直线 与抛物
线 交于 ， 两点，设 ，则（ ）
A. B. C. D.
12.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》
卷下第二十六题，叫做“物不知数”原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之
剩三，七七数之剩二问物几何？现有这样一个相关的问题：将 1 到 2020 这 2020 个自然数中
被 5 除余 3 且被 7 除余 2 的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项
之和为（ ）
A.56383 B.59189 C.57171 D.61242
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上.
13. 的展开式中 的系数为___________.（用数字作答）
14.在等比数列 中， ， ，则 的前 5 项和为___________.
15.已知 为偶函数，当 时， ，当 时， ，则不
等式 的解集为___________.
16.在矩形 中， ， 为 的中点，将 和 分别沿 ，
翻折，使点 与 重合于点 .若 ，则三棱锥 的外接球的表面
积为_______.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤.17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分.
3, 2
−∞
1, 2
−∞
5, 4
−∞
1, 4
−∞
2
9
4 3, 0,( )
2 log 9, 0,
x
x
xf x
x x
+= + − >
( ( ))y f f x=
( 1,0)− 73, 2
7 ,42
(4,5)
( 1)y k x= − 2: 4C y x= A B 2 ( 2)y k x= −
2: 8D y x= M N | | 2 |AB MNλ = −
12λ = − 12 0λ− < < 16λ = − 16λ < −
812
2
x
x
−
1
x
{ }na 1 2 1a a+ = 1 5 27a a+ = { }na
( )f x 0 4x
ABCD 4BC = M BC ABM△ DCM△ AM
DM B C P 150APD∠ = ° M PAD−17.（12 分）
如图，四棱锥 的侧棱 与四棱锥 的侧棱 都与底面 垂直，
， ， ， ， ， .
（1）证明： 平面 .
（2）求平面 平面 所成的锐二面角的余弦值.
18.（12 分）
已知椭圆 的焦距为 ，短轴长为 .
（1）求 的方程；
（2）若直线 与 相交于 ， 两点，求以线段 为直径的圆的标准方程.
19.（12 分）
的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .已知 ， ， .
（1）求 ；
（2）求 内切圆的半径.
20.（12 分）
追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，
某城市环保局随机抽取了一年内 100 天的空气质量指数（ ）的检测数据，结果统计如下：
空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染
天数 6 14 18 27 25 20
（1）从空气质量指数属于 ， 的天数中任取 3 天，求这 3 天中空气质量至少有
2 天为优的概率.
（2）已知某企业每天因空气质量造成的经济损失 （单位：元）与空气质量指数 的关系式
E ABCD− DE F ABCD− BF ABCD
AD CD⊥ AB CD 3AB = 4AD CD= = 5AE = 3 2AF =
DF BCE
ABF CDF
2 2
2 2: 1( 0)x y a ba b
Ω + = > > 2 6 2 2
Ω
2y x= + Ω A B AB
ABC△ A B C a b c 2C A= 4a = 6c =
b
ABC△
AQI
AQI [0,50] (50,100] (100,150] (150,200] (200,250] (250,300]
[0,50] (50,100]
y x为 假设该企业所在地 7 月与 8 月每天空气质量为优、良、轻度污染、
中度污染、重度污染、严重污染的概率分别为， ， ， ， ， .9 月每天的空气质
量对应的概率以表中 100 天的空气质量的频率代替.
（i）记该企业 9 月每天因空气质量造成的经济损失为 元，求 的分布列；
（ii）试问该企业 7 月、8 月、9 月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望是否
会超过 2.88 万元？说明你的理由.
21.（12 分）
已知函数 ，函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）证明：当 时， .
（3）证明：当 时， .
（二）选考题：共 10 分.请考生从第 22，23 两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一
个题目计分.
22.[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系 中曲线 的参数方程为 （ 为参数）以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴，建立极坐标系.已知点 的直角坐标为 ，过 的直线 与曲线 相
交于 ， 两点.
（1）若 的斜率为 2，求 的极坐标方程和曲线 的普通方程；
（2）求 的值.
23.[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）
已知函数 ，记不等式 的解集为 .
（1）求 ；
（2）设 ， ，证明： .
0,0 100,
220,100 250,
1480,250 300.
x
y x
x
= 数学参考答案（理科）
1.C 因为 ，所以 .
2.B 因为 ， ，所以 .
3.B 水费开支占总开支的百分比为 .
4.D 因为 可化为 ，所以 ，则
，即 .
5.A 设 ， 则 ， ， ， 所 以
， 所 以 . 因 为
， 所 以
.
6.D 根据三视图，可得三棱锥 的直观图如图所示，其中 为 中点， 底
面 所以三棱锥 的体积为 ， ，
， ， 不可能两两垂直，三棱锥 的侧面积为 .
7.D 由题意， ， ，则 ， ，
1 3
2 2z i= − + 1 1 3 1 3 12 2 2 2z i iz
+ = − + − − = −
{ | 4 3}A x x= − < < { | 2 7}B x x= −
−
2
21 5be a
= + =
2
2
1
41
b n
a
m
−
= = 4m
n
= −
6BC = 2DE = 10AD AE= = 10 10 4 4cos 2 10 5DAE
+ −∠ = =×
4
5
AF AF
AD AE
= = 4
5AF AD=
1 1 2 1( )3 3 3 3AD AB BC AB AC AB AB AC= + = + − = +
4 2 1 8 4
5 3 3 15 15AF AB AC AB AC = × + = +
P ABC− D AB PD ⊥
ABC P ABC− 1 1 42 2 23 2 3
× × × × = | | | | | | 6PA PB PC= = =
PA PB PC P ABC− 2 5 2 2+
80µ = 5σ = (75 85) 0.6826P X< = (70 90) 0.9544P X< =所 以 ，
.
故果实直径在 内的概率为 0.8185.
8.B 因 为 ， 所 以 ， 即
，因为 ，所以 的最小值为 .
9.C 由题意可得 在 上有解.
设 ， ，
令 ，得 ；令 ，得 .
故 ，则 .
10.B 当 时， ，此时， 无零点；
当 时， 为增函数，且 .
令 ， 得 ， 因 为 ，
，
所以函数 的零点所在区间为 .
11.A 设 ， ， 联 立 得 ， 则
. 因 为 直 线 经 过 的 焦 点 ， 所 以
.同理可得 ，所以 .
1(85 90) (0.9544 0.6826) 0.13592P X< = × − =
(75 90) 0.6826 0.1359 0.8185P X< = + =
(75,90]
( ) 2sin 3f x x
πω = + ( Z)8 3 2k k
π π πω π× + = + ∈
48 ( Z)3k kω = + ∈ 0ω > ω 4
3
3 24 3 1y x x a′ = − + < (0, )x ∈ +∞
3 2( ) 4 3 ( 0)f x x x a x= − + > 2( ) 12 6 6 (2 1)f x x x x x′ = − = −
( ) 0f x′ < 10 2x< < ( ) 0f x′ > 1
2x >
min
1 1( ) 12 4f x f a = = −
( ( ))y f f x= 73, 2
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 2
( 1),
4 ,
y k x
y x
= −
=
( )2 2 2 22 4 0k x k x k− + + =
2
1 2 2 2
2 4 42kx x k k
++ = = + ( 1)y k x= − C
1 2 2
4| | 4AB x x p k
= + + = + 2
2| | 8MN k
= + 4 16 12λ = − = −12.B 被 5 除余 3 且被 7 除余 2 的正整数构成首项为 23，公差为 的等差数列.记该
数列为 ，则 ，令 ，解得 ，
故该数列各项之和为 .
13. 的展开式的通项 ，令
，得 ，则 的系数为 .
14. ∵ ，∴ ，∴ ， ，∴ 的前 5 项和为
.
15. 当 时， ，解得 ，所以 ；当
时， ，解得 ，所以 .因为 为偶函数，所以不等式
的解集为 .
16. 由题意可知， ， ，所以 平面 .设 外接圆的
半径为 ，则由正弦定理可得 ，即 ，所以 ，设三棱锥
外接球的半径为 ，则 ，所以外接球的表面积为
.
17.（1）证明：∵ 平面 ，∴ .
∵ ， ，∴ .
同理可得 .
又 平面 ， 平面 ，
∴ .
∵ ，∴四边形 为平行四边形，∴ .
5 7 35× =
{ }na 23 35( 1) 35 12na n n= + − = − 35 12 2020na n= −
258 35n
58 5758 23 35 591892
×× + × =
7
4
812
2
x
x
−
388 8 2 2
1 8 8
1(2 ) ( 1) 2
2
r
rr r r r r
rT C x C x
x
−− −
+
= − = −
38 12 r− = − 6r = 1
x
6 4
8
72 4C − =
121
4
34 5
1 2
27a a qa a
+ = =+ 3q = 1(1 ) 1a q+ = 1
1
4a = { }na
( )5
1 1 121
1 4
a q
q
−
=−
( 8, 3) (3,8)− − 0 4x 3x > 3 4x< <
4x ≥ ( ) 21 2 5f x x= − > 8x < 4 8x ( 8, 3) (3,8)− −
68π MP PA⊥ MP PD⊥ MP ⊥ PAD ADP△
r 2sin
AD rAPD
=∠
4 2sin150 r=° 4r =
M PAD− R
2
2 2 1 16 172
AMR r = + = + =
24 68Rπ π=
DE ⊥ ABCD DE AD⊥
4AD = 5AE = 3DE =
3BF =
DE ⊥ ABCD BF ⊥ ABCD
BF DE
BF DE= BEDF DF BE∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 .
（2）解：以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ，
则 ， .
设平面 的法向量为 ，
则 ，即
令 ，则 ，得 .
易知平面 的一个法向量为 ，
∴ ，
故所求锐二面角的余弦值为 .
18.解：（1）因为 ， ，
所以 ， ， .
所以的 方程为 .
（2）联立 消去 得 .
设 ， ，则 ， ，
BE ⊂ BCE DF ⊄ BCE DF BCE
D D xyz−
(0,0,0)D (4,0,0)A (0,4,0)C (4,3, 3)F −
(0,4,0)DC = (4,3, 3)DF = −
CDF ( , , )n x y z=
0n DC n DF⋅ = ⋅ = 4 0,
4 3 3 0,
y
x y z
=
+ − =
3x = 4z = (3,0,4)n =
ABF (1,0,0)m =
3cos , 5| || |
m nm n
m n
⋅〈 〉 = =
3
5
2 2 6c = 2 2 2b =
6c = 2b = 2 2 6 8a = + =
Ω
2 2
18 2
x y+ =
2 2
2,
1,8 2
y x
x y
= + + =
y 25 16 8 0x x+ + =
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2
16
5x x+ = − 1 2
8
5x x =所以 ， 中点坐标为 .
因为 ，
所以所求圆的标准方程为 .
19.解：（1）由 ，得 ，
则 .
又 ， ，所以 .
由余弦定理得， ，即 ，
即 ，解得 或 5.
当 时， ，则 ，从而 ， ，这与 矛盾，故 .
当 时， ，则 ，故 .
（2）由（1）知 ， 的面积为 ，
则 内切圆的半径 .
（注：本题阅卷时若岀现两解而未舍去一解，两问各扣 1 分，一般地，解三角形出现两解都
要验证）
20.解：（1）设 为选取的 3 天中空气质量为优的天数，则
.
（2）（ⅰ） 的可能取值为 0，220，1480，
，
1 2 8
2 5
x x+ = − AB 8 2,5 5
−
2
2 16 8 8 3| | 1 1 45 5 5AB = + − − × =
2 28 2 48
5 5 25x y + + − =
2C A= sin sin2 2sin cosC A A A= =
2 cosc a A=
4a = 6c = 3cos 4A =
2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 316 36 2 6 4b b= + − × ×
2 9 20 0b b− + = 4b =
4b = a b= A B=
4A
π=
2C
π= 2 2 2a b c+ ≠ 4b ≠
5b = 21cos 2cos 1 cos28C A A= = − = 2C A= 5b =
5b = ABC△ 1 15 7sin2 4bc A =
ABC△
15 72 74
4 5 6 2r
×
= =+ +
ξ
2 1 3 0
6 14 6 14
3 3
20 20
23( 2) ( 2) ( 3) 114
C C C CP P P C C
ξ ξ ξ= = + = = + =
X
20 1( 0) (0 100) 100 5P X P x= = = = ，
，
则 的分布列为
0 220 1480
（ii）由（i）知 （元），
故该企业 9 月的经济损失的数学期望为 （元）.
设该企业 7 月与 8 月每天因空气质量造成的经济损失为 元，
则 ， ，
，
所以 （元），
所以 7 月与 8 月因空气质量造成经济损失的总额为 （元）.
因为 万，
所以这 3 个月经济损失总额的数学期望会超过 2.88 万元.
21.（1）解： 的定义域为 ， ，
当 ， 时， ，则 在 上单调递增；
当 ， 时，令 ，得 ，令 ，得 ，则 在
上单调递减，在 上单调递增；
当 ， 时， ，则 在 上单调递减；
70 7( 220) (100 250) 100 10P X P x= = < = =
10 1( 1480) (250 300) 100 10P X P x= = < = =
X
X
P 1
5
7
10
1
10
1 7 10 220 1480 3025 10 10EX = × + × + × =
30 9060EX =
Y
1 1 1( 0) 6 3 2P Y = = + = 1 1 1 1( 220) 6 12 12 3P Y = = + + =
1( 1480) 6P Y = =
1 1 10 220 1480 3202 3 6EY = × + × + × =
320 (31 31) 19840× + =
19840 9060 28900 2.88+ = >
( )g x (0, )+∞ ( ) ax bg x x
−′ =
0a > 0b < ( ) 0g x′ > ( )g x (0, )+∞
0a > 0b > ( ) 0g x′ > bx a
> ( ) 0g x′ < 0 bx a
< < ( )g x 0, b
a
, )b
a
+∞
0a < 0b > ( ) 0g x′ < ( )g x (0, )+∞当 ， 时，令 ，得 ，令 ，得 ，则 在
上单调递增，在 上单调递减.
（2）证明：设函数 ，则 .
因为 ，所以 ， ，
则 ，从而 在 上单调递减，
所以 ，即 .
（3）证明：当 时， .
由（1）知， ，所以 ，
即 .
当 时， ， ，
则 ，
即 .
又 ，
所以 ，
即 .
22.解：（1） 的直角坐标方程为 ，即 ，
则 的极坐标方程为 .
曲线 的普通方程为 .
（2）直线 的参数方程为 （ 为参数， 为 的倾斜角），
代入曲线 的普通方程，得 .
0a < 0b < ( ) 0g x′ > 0 bx a
< < ( ) 0g x′ < bx a
> ( )g x 0, b
a
,b
a
+∞
( ) ( ) (3 1)h x f x x= − + 2( ) cos 31h x xx
′ = + −+
0x ≥ 2 (0,2]1x
∈+ cos [ 1,1]x ∈ −
( ) 0h x′ ≤ ( )h x [0, )+∞
( ) ( ) (3 1) (0) 0h x f x x h= − + = ( ) 3 1f x x +
1a b= = ( ) 1 lng x x x= − −
min( ) (1) 0g x g= = ( ) (1 ln ) 0g x x x= − +
1 lnx x+
1x > − 2( 1) 0x + > 2 sin( 1) 0xx e+ >
2 sin 2 sin( 1) 1 ln ( 1)x xx e x e + + +
2 sin( 1) 2ln( 1) sin 1xx e x x+ + + +
( )2 sin 2 sin2 2 ( 1)x xx x e x e+ + > +
( )2 sin2 2 2ln( 1) sin 1xx x e x x+ + > + + +
( )2 sin( ) 2 2 xf x x x e< + +
l 2( 2)y x= + 2 4 0x y− + =
l 2 cos sin 4 0ρ θ ρ θ− + =
C 2 2( 1) 4x y+ + =
l 2 cos ,
sin
x t
y t
α
α
= − +
= t α l
C 2 2 cos 3 0t t α− − =设 ， 对应的参数分别为 ， ，则 .
23.（1）解：
由 ，解得 ，
故 .
（2）证明：因为 ， ，所以 ， ，
所以 ，
所以 .
M N 1t 2t 1 2 3PM PN t t⋅ = = −
14 , ,2
1 1( ) 2, ,2 2
14 , ,2
x x
f x x
x x
− −
= − <
| | | | | | 1 0ab a b− − + >
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