江西省赣州市2020届高三数学（文）下学期摸底试题（Word版附答案）

赣州市 2020 年高三年级摸底考试 文科数学试卷 （全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ，集合 ，则 中的元素个数为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 已知复数 在复平面内对应的点关于虚轴对称的点是（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ） A. 4 B. 8 C. 14 D. 68 5. 已 知 角 的 顶 点 为 坐 标 原 点 ， 始 边 与 轴 的 非 负 半 轴 重 合 ， 终 边 过 点 ，则 （ ） A. B. C. D. 6. 已知 ， 均为单位向量，则 是 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 从 1，2，，3，4，5 这 5 个数字中每次随机取出一个数字，取出后放回，连续取两次，则两 次取出的数字中至少有一个是奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线 ： 的焦点为 ，直线 与 轴的交点为 ，与抛物线 的交点为 ，且 ，则 的值为（ ） { }2| 2A x R x= ∈ ≥ { }2, 1,0,1,2B = − − ( )RC A B 5 1 2z i = + ( )1, 2− ( )1,2 ( )2,1− ( )1, 2− − 1y x = lny x= x xy e e−= − y x= { }na n nS 12 36S = 6 2a = 7a = α x ( )sin132 ,cos132P ° ° ( )tan 12α + ° = 3 3 3 3− 3 3 − a b a b⊥  2 2a b a b− = +    6 25 12 25 4 5 21 25 C ( )2 0y px p= > F 4y = y P C Q 2QF PQ= pA. 1 B. 2 C. 4 D. 8 9. 已知直线 经过不等式组 表示的平面区域，则实数 的取值范 围是（ ） A. B. C. D. 10. 在 1930 年，德国汉堡大学学生考拉兹提出猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，则 对它乘 3 再加 1；如果它是偶数，则对它除以 2.如此循环，最终都能得到 1.阅读如图所示的程 序框图，运行相应程序，输出的结果 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 11. 已知函数 的图象与函数 的图象相邻的三个交点分别是 ， ， ，则 的面积为（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数 ，若 ，且 ，则 的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡上的相应位置. 1y kx k= + + 2 6 0 3 0 2 x y x y y + − ≤  + − ≥  ≤ k 1 1,4 2  −   1 1, ,4 2    −∞ − +∞      1, 2  −∞   1, 4  −∞ −   i = 3sin 2y x= 3cos2y x= A B C ABC△ 3 4 π 3 2 π 3 4 π 3 2 π ( ) ( ) , 1 1 1 , 12 xe x f x x x − ≥=  + n ABED AB C AB / /AB DE AD AB⊥ 1 22 AB AD DE= = =（1）若点 是线段 的中点，求证： 平面 ； （2）若点 为 的中点，求点 到平面 的距离. 20. 已知函数 ，其导函数为 . （1）若不等式 在区间 上恒成立，求实数 的取值范围： （2）当 时，证明： 在区间 上有且只有两个零点. 21. 已知椭圆 ： 的短轴长为 2，直线 被椭圆截得的线段长为 ， 为坐标原点. （1）求椭圆 的方程； （2）是否存在过点 且斜率为 的直线 ，与椭圆交于 、 两点时，作线段 的垂直平分线分别交 轴、 轴于 、 ，垂足为 ，使得 与 的面积 相等，若存在，试求出直线 的方程，若不存在，请说明理由. （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 1 题计分.作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑. 22. [选修 4-4：坐标系与参数方程] 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 动 圆 ： ， （ ， 是参数）.以 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线 的极坐标方 程为 . （1）求动圆 的圆心的轨迹 的方程及直线 的直角坐标方程； F BC / /EF ACD C AB E BCD ( ) ( )sin lnf x a x x a R= − ∈ ( )'f x ( ) 1' 1f x x ≥ − 0, 3 π     a 2a = ( )'f x 0, 2 π     C ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 1x = 3 O C ( )1,0M ( )0k k ≠ l P Q PQ x y C D N ODC△ CMN△ l xOy C 2 2 24 2 cos 4 sin 7cos 8 0x y x yθ θ θ+ − − + − = Rθ ∈ θ O x l 2 cos 3 m πρ α + =   C 1C l（2）设 和 分别是 和 上的动点，若 的最小值为 1，求 的值. 23. [选修 4-5：不等式选讲] 设 ， ， 均为正数，且 . （1）证明： ； （2）若不等式 恒成立，求 的最大值. 赣州市 2020 年高三年级摸底考试文科数学参考答案 一、选择题 1-5：BDCAD 6-10：CDDAC 11-12：BA 二、填空题 13. 14. 15. -3 16. 三、解答题 17.（1）从茎叶图中，知甲班学生成绩不低于 70 分的人数共有 10 人，乙班学生成绩不低于 70 分的人数共有 16 人，且成绩不低于 70 分者为“成绩优良”. 因此可估计甲班“成绩优良”的概率为 ， 乙两个班“成绩优良”的概率为 . （2）乙班学习的效果更好. （写出以下一个理由给 2 分） 理由 l：乙班样本成绩大多在 70 分以上，甲班样本成绩 70 分以下的明显更多. 理由 2：甲班样本成绩的平均分为 70.2；乙班样本成绩的平均分为 79.05. 理由 3：甲班样本成绩的中位数为 ， 班样本成绩的中位数为 . 18.（1）设等比数列 的公比为 ，则 ， 因为 ，所以 ， M N 1C l MN m a b c 1a b c+ + = 1 3ab bc ca+ + ≤ 2 2 2a b c tb c a + + ≥ t 2 3 3 2 3 10 0.520 = 16 0.820 = 68 72 702 + = 77 78 77.52 + = { }na q 0q > 4 25S S= 1q ≠所以 ， 整理得 ， 解得 （ 舍去），又 ，所以 ， 所以 . （2）由（1）可得 ， 所以 ， 由 得 ， 所以当 时， ，此时 ， 当 时， ，此时 ， 当 时， ，此时 . 所以最小正整数 . 19.（1）证明：取 得中点 ，连接 、 ，则 平行且等于 ， 又 ，∴ ， 所以四边形 是平行四边形. 所以 ， 又 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . 另解：取 的中点 ，可通过平面 与平面 平行，再证明 平面 . （2）由题意，平面 平面 ，平面 平面 ， ， ( ) ( )4 2 1 11 1 51 1 a q a q q q − − = ×− − 4 24 5 0q q− + = 2 4q = 2 1q = 0q > 2q = 2 12 2 2n n na − −= ⋅ = 12n nS −= ( ) 1 18 15 8 2 1 15 2 2 8n n n n nS a − −− = − − ⋅ = − 12 8 0n− − = 4n = 1 3n≤ ≤ 12 8 0n− − < 8 15n nS a< 4n = 12 8 0n− − = 8 15n nS a= 5n ≥ 12 8 0n− − > 8 15n nS a> 5n = AC G DG FG FG 1 2 AB 1/ / 2DE AB / /DE FG DEFG / /DG EF DG ⊆ ACD EF ⊄ ACD / /EF ACD AB M EMF ADC / /EF ACD ABED ⊥ ABC ABED  ABC AB= DA AB⊥平面 ，∴ 平面 ， ∴ ，又 ， ，∴ 平面 ， 因为点 为 的中点，所以 ， 又 ，且 ，所以 . 此时， ， ∴ . 设点 到平面 的距离为 ，则 ， 解得 . 20.（1） ， 由题意得： 在 上恒成立 即 在 上恒成立， 由于函数 在 上单调递减，所以， ， ， 所以 . （2）证明：当 时， . 设 ，则 ， 令 ， 则 ， 所以 在 上单调递减， DA ⊆ ABED DA ⊥ ABC DA BC⊥ AC BC⊥ DA AC A= BC ⊥ ADC C AB AC BC= AC BC⊥ 4AB = 2 2AC BC= = 1 2 4 2 2 43 2C ABEDV − += ⋅ ⋅ ⋅ = 8 44 3 3E BCD C ABED D ABCV V V− − −= − = − = E BCD d 1 1 42 2 2 33 2 3E BCDV d− = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 6 3d = ( ) 1' cosf x a x x = − ( ) 1' 1f x x ≥ − 0, 3 π     ⇔ 1 cosa x ≥ 0, 3 π     cosy x= 0, 3 π     1 cos 12 x≤ < max 1 2cos x   =   2a ≥ 2a = ( ) 1 2 cos 12cos' x xx x xf x −= − = ( ) 2 cos 1h x x x= − ( ) ( )' 2 cos sinh x x x x= − ( ) cos sinx x x xϕ = − '( ) 2 sin cos 0 0 2x x x x x x πϕ  = − − < < 02 2 π πϕ   = − ( )' 0h x > ( )h x ( )00, x 0 , 2x x π ∈   ( ) 0xϕ < ( )' 0h x < ( )h x 0 , 2x π     ( )0 1h = − 2 1 04 4h π π  = −