2020届高三数学下学期综合测试卷（4）（Word版附答案）

2020 届高三下学期数学综合测试（4） 一、填空题： 1．复数 的虚部为 . 2．某校共有 400 名学生参加了一次数学竞赛,竞赛成绩的频率分布直方图如图所示，则在本次 竞赛中,得分不低于 80 分以上的人数为 . 3。根据如图所示的伪代码，可知输出 S 的值为 4．若等差数列 的前 5 项和 ，且 ，则 . 5 ． 设 为 两 条 不 同 的 直 线 ， 为 两 个 不 同 的 平 面 ， 下 列 命 题 中 正 确 的 是 ．（填序号） ①若 则 ；②若 则 ； ③若 则 ；④若 则 ． 6．在 中,已知 ,若 分别 是角 所对的边,则 的最大值为__________． 7．已知向量 ， ， ，若 夹角为锐角，则 取值 范围是 8．先后掷两次正方体骰子（骰子的六个面分别标有点数 1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面 的点数分别为 ，则 是奇数的概率是 ． 9．设关于 x 的不等式 ，只有有限个整数解，且 0 是其 中一个解，则全部不等式的整数解的和为 10．对于三次函数 ，给出定义：设 是函数 的 ABC∆ sin sin cos sin sin cosA B C A C B= sin sin cosB C A+ , ,a b c , ,A B C 2 ab c 4 3 1 2 i i + + { }na 5 25S = 2 3a = 7a = ,l m ,α β , // , ,l mα β α β⊥ ⊥ l m⊥ // , , ,l m m lα β⊥ ⊥ //α β // , // , // ,l mα β α β //l m , , , ,m l l mα β α β β⊥ = ⊂ ⊥ l α⊥ (2, 1)a = − ( 1, )b m= − ( 1,2)c = − ( )a b c+  与 m ,m n mn 2 8( 1) 7 16 0,( )ax a x a a Z+ + + + ≥ ∈ 3 2( ) ( 0)f x ax bx cx d a= + + + ≠ '( )f x ( )y f x= 0 50 60 70 80 90100 0.015 0.025 频率 组距 成绩 0.030 导 数 ， 是 的 导 数 ， 若 方 程 有 实 数 解 ， 则 称 点 为 函 数 的“拐点”。某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次 函 数 都 有 对 称 中 心 ， 且 “ 拐 点 ” 就 是 对 称 中 心 。 请 你 根 据 这 一 发 现 ， 求 ： 函 数 对称中心为 ； 11．已知椭圆的标准方程为 ，若椭圆的焦距为 ，则 的取值集 合为 。 12．一个质点从 A 上出发依次沿图中线段到达 B、C、D、E、F、G、H、I、J 各点，最后又 回到 A（如图所示），其中： ，AB//CD//EF//HG//IJ，BC//DE//FG//HI//JA。欲知此质 点所走路程，至少需要测量 n 条线段的长度，则 n 的值为 13．记 ，已知函数 是偶函数 （ 为实常数），则函数 的零点为__________．（写出所有零点） 14．已知对角线互相垂直且面积为 5 的四边形，其顶点都在半径为 3 的圆上，设圆心到两对 角线的距离分别为 ，则 的最大值为 。 二、解答题 15、（本小题共 14 分）已知动点 在角 的终边上. （1）若 ，求实数 的值； （2）记 ，试用 将 S 表示出来. 16、（本小题共 14 分）四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，且 ，侧面 PAD 是正三角形，其所在的平面垂直于底面 ABCD，点 G 为 AD 的中点. （1）求证：BG 面 PAD；（2）E 是 BC 的中点，在 PC 上求一点 F，使得 PG 面 DEF. { }    > ≤= 时当 时当 bab baaba , ,,min { }34,12min)( 222 +−−++= xxttxxxf t )(xfy = ''f '( )f x ''( ) 0f x = 0x 0 0( , ( ))x f x ( )y f x= 3 21 1 5( ) 33 2 12f x x x x= − + − ( )2 2 16 3 2n x y n Nn ∗+ = ∈− 2 5 n AB BC⊥ 1 2,d d 1 2d d+ 1(3 , 1)( 0, )2P t t t t+ ≠ ≠ α 6 πα = t 1 sin 2 cos2 1 sin 2 cos2S α α α α − += − − t 60BAD∠ =  ⊥ // F E G D CB A P 17．（本小题满分 14 分） 某工厂生产一种产品的原材料费为每件 40 元，若用 x 表示该厂生 产这种产品的总件数，则电力与机器保养等费用为每件 0.05x 元，又该厂职工工资固定支出 12500 元。 （1）把每件产品的成本费 P（x）（元）表示成产品件数 x 的函数，并求每件产品的最低成本 费； （2）如果该厂生产的这种产品的数量 x 不超过 3000 件，且产品能全部销售，根据市场调查： 每件产品的销售价 Q（x）与产品件数 x 有如下关系： ，试问生产多少件 产品，总利润最高？（总利润=总销售额-总的成本） 18、（本小题共 16 分）已知椭圆的中心为坐标原点 O，椭圆短半轴长为 1，动点 在直线 上． （1）求椭圆的标准方程 （2）求以 OM 为直径且被直线 截得的弦长为 2 的圆的方程； （3）设 F 是椭圆的右焦点，过点 F 作 OM 的垂线与以 OM 为直径的圆交于点 N． 求证：线段 ON 的长为定值，并求出这个定值． ( ) 170 0.05Q x x= − (2, )M t ( 0)t > 2 (ax ac = 为长半轴，c为半焦距） 3 4 5 0x y− − = 19．（本小题共 16 分）已知 . （1）若函数 在区间 上有极值，求实数 的取值范围； （2）若关于 的方程 有实数解，求实数 的取值范围； （3）当 ， 时，求证： . 20．设数列 的前 n 项和为 ， （1）求证：数列 是等比数列； （2）若 ，是否存在 q 的某些取值，使数列 中某一项能表示为另外三项之和？若 能求出 q 的全部取值集合，若不能说明理由。 （3）若 ，是否存在 ，使数列 中，某一项可以表示为另外三项之和？若 存在指出 q 的一个取值，若不存在，说明理由。 1 ln( ) xf x x += ( )f x ( , 1)a a + a x 2( ) 2f x x x k= − + k *n N∈ 2n ≥ 1 1 1( ) 2 2 3 1nf n n < + + +⋅⋅⋅+ − { }na nS 1 1 1 (1 ) ( , , 0, 1)1 n n a qS a q R a qq −= ∈ ≠ ≠− { }na *q N∈ { }na q R∈ [3, )q∈ +∞ { }na 数学Ⅱ（附加题） 21.（本小题满分 10 分） 已知正数 ， ， 满足 ，求证： ． 22（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 在矩阵 对应的变换下得到的直线过点 ， 求实数 的值． 23．（本小题满分 10 分） 椭圆中心在原点，焦点在 轴上。离心率为 ，点 是椭圆上的一个动点，若 的最大值为 ，求椭圆的标准方程． 24. （ 本 小 题 满 分 10 分 ） 已 知 ，（其中 ）⑴求 及 ；⑵试比较 与 的大小，并说明理由． x 1 2 ( , )P x y yx 32 + 10 2 3 0 1 2 3( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)n n nx a a x a x a x a x+ = + − + − + − + + − n N ∗∈ 0a 1 2 3n nS a a a a= + + + + nS 2( 2)2 2nn n− + a b c 1abc = ( 2)( 2)( 2) 27a b c+ + + ≥ y kx= 0 1 1 0      (4 1)P , k 2020 届高三数学(下)综合（4）答案 1、-1 2、160 3、21 4、13 5、②④ 6、 7、 8、 9、-10 10、（ 1 2,1） 11、{2，4，5} 12、3 13、 14、 15、解：（1） 是角 的终边上一点， 则 --------------------------3 分 又 ，则 ，所以 . ---------------- 6 分 （2） = = -9 分 -------------------12 分 ----------------------------14 分 16、（1）连结 BD，因为四边形 ABCD 为菱形，且 ， 所以三角形 ABD 为正三角形，又因为点 G 为 AD 的中点，所以 BG AD；---------4 分 因为面 PAD 底面 ABCD，且面 PAD 底面 ABCD=AD， 所以 BG 面 PAD. ----------------7 分 （2）当点 F 为 PC 的中点时，PG 面 DEF 连结 GC 交 DE 于点 H 因为 E、G 分别为菱形 ABCD 的边 BC、AD 的中点，所以四边形 DGEC 为平行四边形 所以点 H 为 DE 的中点，又点 F 为 PC 的中点 所以 FH 时三角形 PGC 的中位线，所以 PG FH ------------------------------10 分 因为 面 DEF， 面 DEF 2 3 1,3 ±±=x 2, 5m m> ≠ 1 4 26  1(3 , 1)( 0, )2P t t t t+ ≠ ≠ α 1tan 3 t t α += 6 πα = 1 3 3 3 t t + = 3 1 2t +=  1 sin 2 cos2 1 sin 2 cos2S α α α α − += − − 2 2 1 2sin cos 2cos 1 1 2sin cos 1 2sin α α α α α α − ⋅ + − − ⋅ − + cos (cos sin ) sin (sin cos ) α α α α α α − − 1 1 1tan 3 S t t α∴ = − = − + 3 1 tS t ∴ = − + 60BAD∠ =  ⊥ ⊥ ⊥ // // FH ⊂ PG ⊄ 所以 PG 面 DEF. 综上：当点 F 为 PC 的中点时，PG 面 DEF. ---------------------------14 分 17．解：（Ⅰ） ………………………………………3 分 由基本不等式得 当且仅当 ，即 时，等号成立 ……………………5 分 ∴ ，成本的最小值为 元． ……………………6 分 （Ⅱ）设总利润为 元，则 当 时, ……………………………………………………13 分 答：生产 件产品时，总利润最高，最高总利润为 元．………………14 分 18、解：（1）又由点 M 在准线上，得 故 ， ……………2 分 从而 所以椭圆方程为 ……………4 分 （2）以 OM 为直径的圆的方程为 即 其圆心为 ,半径 ……………6 分 因为以 OM 为直径的圆被直线 截得的弦长为 2 所以圆心到直线 的距离 所以 ，……………8 分 解得 所求圆的方程为 ……………10 分 （3）方法一：由平几知： ……………11 分 直线 OM： ，直线 FN： // // 12500( ) 40 0.05P x xx = + + ( ) 2 12500 0.05 40 90P x ≥ × + = 12500 0.05xx = 500x = 12500( ) 40 0.05P x xx = + + 90 y 125001301.0)()( 2 −+−=−= xxxxPxxQy 29750)650(1.0 2 +−−= x 650x = max 29750y = 650 29750 2 2a c = 21 2c c + = 1c∴ = 2a = 2 2 12 x y+ = ( 2) ( ) 0x x y y t− + − = 2 2 2( 1) ( ) 12 4 t tx y− + − = + (1, )2 t 2 14 tr = + 3 4 5 0x y− − = 3 4 5 0x y− − = 2 1d r= − 2 t= 3 2 5 5 2 t t− − = 4t = 2 2( 1) ( 2) 5x y− + − = 2ON OK OM= 2 ty x= 2 ( 1)y xt = − − 由 得 ……………13 分 ……………15 分 所以线段 ON 的长为定值 ．……………16 分 方法二、设 ，则 ……………11 分 ……………13 分 又 ………15 分 所以， 为定值……………16 分 19．解：（1） ， 当 时， ；当 时， ； 函数 在区间（0，1）上为增函数；在区间 为减函数 -------------------------3 分 当 时，函数 取得极大值，而函数 在区间 有极值. ，解得 . ---------------------------5 分 （2）由（1）得 的极大值为 ，令 ，所以当 时，函数 取得最小值 ，又因为方程 有实数解，那么 ，即 ， 所以实数 的取值范围是： . ----------10 分 （另解： ， ， 令 ，所以 ，当 时， 当 时， ；当 时， 当 时，函数 取得极大值为 当方程 有实数解时， .） 2 2 ( 1) ty x y xt  =  = − − 2 4 4Kx t = + 2 2 2 2 2 (1 ) (1 )4 4 4(1 ) 2 24 4 K M t tON x x t t ∴ = + • + = + • • =+ 2 0 0( , )N x y 0 0 0 0 0 0 ( 1, ), (2, ) ( 2, ), ( , ) FN x y OM t MN x y t ON x y = − = = − − =     0 0 0 0, 2( 1) 0, 2 2FN OM x ty x ty⊥ ∴ − + = ∴ + =   22 0 0 0 0 0 0 0 0, ( 2) ( ) 0, 2 2MN ON x x y y t x y x ty⊥ ∴ − + − = ∴ + = + =   2 2 0 0 2ON x y= + = 1 ln( ) xf x x += 2 2 1 (1 ln ) ln( ) x x xxf x x x ⋅ − + ′∴ = = − ∴ (0,1)x∈ ( ) 0f x′ > (1, )x∈ +∞ ( ) 0f x′ < ∴ ( )f x (1, )+∞ ∴ 1x = ( )f x ( )f x ( , 1)a a + ∴ 1 1 1 a a  0 1a< < ( )f x (1) 1f = 2( ) 2g x x x k= − + 1x = ( )g x (1) 1g k= − 2( ) 2f x x x k= − + 1 1k − ≤ 2k ≤ k 2k ≤ 2( ) 2f x x x k= − + 21 ln 2xk x xx +∴ = + − ( )h x = 21 ln 2x x xx + + − ( )h x′ = 2 ln x x − 2 2x+ − 1x = ( ) 0h x′ = (0,1)x∈ ( ) 0h x′ > (1, )x∈ +∞ ( ) 0h x′ < ∴ 1x = ( )h x (1) 2h = ∴ 2( ) 2f x x x k= − + 2k ≤ （ 3 ） 函 数 在 区 间 为 减 函 数 ， 而 ， ，即 --------------12 分 即 ，而 ， 结论成立. ----------------------16 分 20．解：（1）n=1 时， ， 时， （n=1 也符合） ， ，即数列 是等比数列。 （2）若 则 可设 ，两边同除以 得： 因为左边能被 q 整除，右边不能被 q 整除，因此满足条件的 q 不存在。 （3）若 则 可设 ， ， ， 不成立。 21.已知正数 ， ， 满足 ，求证： ． 证明： …………………………………………4分  ( )f x (1, )+∞ 11 1( *, 2)n N nn + > ∈ ≥ 1(1 ) (1) 1f fn ∴ + < = 1 11 ln(1 ) 1n n ∴ + + < + 1ln( 1) lnn n n + − < ln ln 2 ln1 ln3 ln 2 ln ln( 1)n n n∴ = − + − +⋅⋅⋅+ − − 1 1 11 2 3 1n < + + +⋅⋅⋅+ − 1 1 11 ln 2 2 3 1n n + < + + +⋅⋅⋅+ − ( ) 1 lnn f n n⋅ = + 1 1 1( ) 2 2 3 1nf n n ∴ < + + +⋅⋅⋅+ − 1 1a S a= = 2n ≥ 1 1 1 ( )1 n n n n n n aa S S q q aqq − − −= − = − =− 1( )n na aq n N− +∴ = ∈ 1n n a qa +∴ = { }na 4 3 2 1n n n na a a a= + + 34 2 1 ( , 2)nn n nq q q q q N q= + + ∈ ≥ 4 3 2 1n n n n> > > 1nq 3 14 1 2 1 1n nn n n nq q q−− −− − = 4 3 2 1n n n na a a a= + + 34 2 1 ( , 2)nn n nq q q q q N q= + + ∈ ≥ 4 3 2 1n n n n> > > 3q ≥ 3 34 4 4 2 11 13 3 n nn n n n nq q q q q q q q− −= ≥ ≥ > + + ∴ 4 3 2 1n n n na a a a= + + a b c 1abc = ( 2)( 2)( 2) 27a b c+ + + ≥ ( 2)( 2)( 2)a b c+ + + ( 1 1)( 1 1)( 1 1)a b c= + + + + + + 3 3 33 3 3a b c⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅≥ 327 abc= ⋅ （当且仅当 时等号成立）． …………………………………………… 10 分 22．解：设变换 T： ，则 ，即 ………………………… 5 分 代入直线 ，得 ． 将点 代入上式，得 k 4．…………………………………………………………… 10 分 23.【解】离心率为 ，设椭圆标准方程是 ，它的参数方程为 是参数 最大值是 ，椭圆的标准方程是 24. 解】⑴取 ，则 ；取 ，则 ， ∴ ； ------4 分 ⑵要比较 与 的大小，即比较： 与 的大小， 当 时 ， ； 当 时 ， ； 当 时 ， ； 猜想：当 时， ，下面用数学归纳法证明： 由上述过程可知， 时结论成立， 假设当 时结论成立，即 ， 两边同乘以 3 得： 而 1 2 2 2 2 2 14 3 x y c c + =    = = θ θ sin3 cos2 y x (θ ) 2 3x y+ 4 cos 3 sin 5 sin( )c c cθ θ θ ϕ= + = + 5c 11216 22 =+ yx 1x = 0 2na = 2x = 0 1 2 3 3n na a a a a+ + + + + = 1 2 3 3 2n n n nS a a a a= + + + + = − nS 2( 2)2 2nn n− + 3n 2( 1)2 2nn n− + 1n = 23 ( 1)2 2n nn n> − + 2,3n = 23 ( 1)2 2n nn n< − + 4,5n = 23 ( 1)2 2n nn n> − + 4n ≥ 23 ( 1)2 2n nn n> − + 4n = ,( 4)n k k= ≥ 23 ( 1)2 2k kk k> − + 1 2 1 2 23 3 ( 1)2 2 2 2( 1) [( 3)2 4 4 2]k k k kk k k k k k k+ + > − + = + + + − + − −  2 2( 3)2 4 4 2 ( 3)2 4( 2) 6 ( 3)2 4( 2)( 1) 6 0k k kk k k k k k k k k− + − − = − + − − + = − + − + + > 27= 1a b c= = = x x y y ′   →   ′    0 1 1 0 x x y y y x ′      = =      ′        . x y y x ′ =  ′ = ， y kx= x ky′ ′= (4 1)P ， = ∴ ， 即 时 结 论 也 成 立 ， ∴ 当 时 ， 成立. 综 上 得 ， 当 时 ， ； 当 或 时 ， 1 1 23 (( 1) 1)2 2( 1)k kk k+ +> + − + + 1n k= + 4n ≥ 23 ( 1)2 2n nn n> − + 2,3n = nS < 2( 2)2 2nn n− + 1n = 4,n n N ∗≥ ∈ nS > 2( 2)2 2nn n− +