湖南省永州市2020届高三数学（理）第三次模拟试题（Word版附答案）

永州市 2020 年高考第三次模拟考试试卷 数学（理科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知复数 满足 （ 为虚数单位），则在复平面内复数 对应的点位于 （ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知 ， ， ，则（ ） A. B. C. D. 4. 图 1 为某省 2019 年 1 至 4 月快递业务量统计图，图 2 是该省 2019 年 1 至 4 月快递业务收 入统计图，下列对统计图理解错误的是（ ）（“同比”指与去年同月相比） A. 2019 年 1 至 4 月的快递业务收入在 3 月最高，2 月最低，差值超过 20000 万元 B. 2019 年 1 至 4 月的快递业务收入同比增长率不低于 ，在 3 月最高 C. 从 1 至 4 月来看，该省在 2019 年快递业务量同比增长率月增长 D. 从两图来看 2019 年 1 至 4 月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率不完全一致 { }| 1 3M x x= − < < ( ){ }2| lg 1N x y x= = − M N = { }| 1 3x x− < < { }| 1 1x x− < < { }|1 3x x< < { }| 1 1x x− < ≤ z ( )1 2 3 4z i i⋅ + = − i z 0.30.4a = 0.30.3b = 0.40.3c = a c b> > a b c> > c a b> > b c a> > 30%5. 下列说法正确的是（ ） A. 若“ ”为真命题，则“ ”为真命题 B. 命题“ ， ”的否定是“ ， ” C. 命题“若 ，则 ”的逆否命题为真命题 D. “ ”是“ ”的必要不充分条件 6. 在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，则角 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知平面向量 ， ， 均为单位向量，若 ，则 的最大值是（ ） A. B. 3 C. D. 8. 我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，构成种 类繁多的精美图案.如图所示的窗棂图案，是将边长为 的正方形的内切圆六等分，分别以各 等分点为圆心，以 为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形.若在正方形内随机取一点， 则该点在窗棂图案上阴影内的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， .若对任意的 ， 成立，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. p q∨ p q∧ 0x∀ > 1 0xe x− − > 0 0x∃ ≤ 0 0 1 0xe x− − ≤ 1x ≥ 1 1x ≤ 1x = − 2 5 6 0x x− − = ABC△ A B C a b c cos cos 2 cosb C c B c C− = ⋅ C ,8 6 π π     0, 6 π     ,6 2 π π     ,8 2 π π     a b c 1 2a b⋅ =  ( ) ( )a b b c+ ⋅ −    1 3+ 3 32 + 1 2 32 + 2R R 3 31 π− 3 3 2 4 π − 3 32 π− 3 2 4 π − ( )f x R 0x < ( ) 2 2f x x= − + [ ]1,2x∈ − ( ) ( )f x a f x+ > a ( )0,2 ( ) ( )0,2 ,6−∞ ( )2,0− ( ) ( )2,0 6,− +∞10. 已知双曲线 ： 的左、右顶点分别为 ， ，左焦点为 ， 为 上一点，且 轴，过点 的直线 与线段 交于点 （异于 ， ），与 轴 交于点 ，直线 与 轴交于点 ，若 （ 为坐标原点），则 的离心率为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 11. 已知函数 ， 在区间 上有且仅有 2 个零点， 对于下列 4 个结论：①在区间 上存在 ， ，满足 ；② 在区 间 有且仅有 1 个最大值点；③ 在区间 上单调递增；④ 的取值范围是 ，其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①③ B. ①③④ C. ②③ D. ①④ 12. 设函数 恰有两个极值点，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 二项式 的展开式中 的系数是______. 14. 在今年的疫情防控期间，某省派出 5 个医疗队去支援武汉市的 4 个重灾区，每个重灾区至 少分配一个医疗队，则不同的分配方案共有______种.（用数字填写答案） 15. 已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过点 且斜率为 的直线交抛物线于点 （ 在第一象限）， ，垂足为 ，直线 交 轴于点 ，则 ______. 16. 在四面体 中， ， ， ， ， 平面 ， 平面 ， ， 分别为线段 ， 的中点，当四面体以 为轴旋转时，直线 与直 线 夹角的余弦值的取值范围是______. C ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > A B F P C PF x⊥ A l PF M P F y N MB y H 3HN OH=  O C ( ) ( )sin 03f x x πω ω = + >   ( ) 1 2f x = [ ]0,π ( )0,π 1x 2x ( ) ( )1 2 2f x f x− = ( )f x ( )0,π ( )f x 0,15 π     ω 11 5,16 2     ( ) 1ln 2 xe t x xx xf x  = + − −   t ( )1,2 e   +∞    [ )1,3 e  +∞   [ ), 1,2 3 e e   +∞    [ )1,+∞ 52x x  −   2x− 2 4y x= F l F 3 M M MN l⊥ N NF y D MD = ABCD CA CB= DA DB= 6AB = 8CD = AB ⊂ α l ⊥ α E F AD BC AB EF l三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17 题~第 21 题为必考题，考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必做题：60 分. 17. 已知 是公差不为零的等差数列 的前 项和， ， 是 与 的等比中项. （1）求数列 的通项公式； （2）设数列 ，数列 的前 项和为 ，若 ， 求正整数 的最小值. 18. 在如图的空间几何体中，四边形 为直角梯形， ， ， ， ，且平面 平面 ， 为棱 的中点. （1）证明： ； （2）求二面角 的正弦值. 19. 已知椭圆 ： 与抛物线 ： 有共同的焦点 ，且两曲 线的公共点到 的距离是它到直线 （点 在此直线右侧）的距离的一半. （1）求椭圆 的方程； （2）设 为坐标原点，直线 过点 且与椭圆交于 ， 两点，以 ， 为邻边作平行 四边形 .是否存在直线 ，使点 落在椭圆 或抛物线 上？若存在，求出点 坐标； 若不存在，请说明理由. 20. 为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段 由评委给出所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员由组委会按规 nS { }na n 3 6S = 3a 1a 9a { }na ( )* 2 4( 1) 4 1 n n n ab n Nn = − ∈− { }nb 2n 2nP 2 11 2020nP + < n BCED 90DBC∠ = ° 2BC DE= 2AB AC= = 3CE AE= = BCED ⊥ ABC F AB DF AC⊥ B AD E− − C ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > D 2 4y x= − F F 4x = − F C O l F A B OA OB OAMB l M C D M则另行确定.数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数 都在 内，在 以组距为 5 画分数的频率分布直方图（设“ ”时，发现 满足 ， ， . （1）试确定 的所有取值，并求 ； （2）组委会确定：在第一阶段比赛中低于 85 分的参赛者无缘获奖也不能参加附加赛；分数 在 的参赛者评为一等奖；分数在 的同学评为二等奖，但通过附加赛有 的 概率提升为一等奖；分数在 的同学评为三等奖，但通过附加赛有 的概率提升为二等 奖（所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级）.已知学生 和 均参加了本次比赛，且 学生 在第一阶段评为二等奖. （i）求学生 最终获奖等级不低于学生 的最终获奖等级的概率； （ii）已知学生 和 都获奖，记 ， 两位同学最终获得一等奖的人数为 ，求 的分布列 和数学期望. 21. 已知函数 ， . （1）当 时，总有 ，求 的最小值； （2）对于 中任意 恒有 ，求 的取值范围. （二）选考题：10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一题计分. 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 中，曲线 的方程为 .以原点 为极点， 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 . （1）写出曲线 的极坐标方程，并求出直线 与曲线 的交点 ， 的极坐标； （2）设 是椭圆 上的动点，求 面积的最大值. X [ )70,100 Y=频率 组距 Y 8 109 , 16300 1 1 , 1615 20 n n Y k nn − ≤=   − ⋅ > − *n N∈ ( )5 5 1n X n≤ < + n k [ )95,100 [ )90,95 1 11 [ )85,90 1 7 A B A B A A B A B ξ ξ ( ) ( ) ( )1 ln 1f x x x= + + ( ) 2 cos2 xg x ax x x= + − 0x ≥ ( ) 2 2 xf x mx≤ + m [ ]0,1 x ( ) ( )f x g x≤ a xoy C 2 22 0x x y− + = O x l ( ) 3 R πθ ρ= ∈ C l C M N P 2 2 14 x y+ = PMN△23. 选修 4-5：不等式选讲 已知 . （1）解关于 的不等式： ； （2）若 的最小值为 ，且 ，求证： . 永州市 2020 年高考第三次模拟考试试卷 数学（理科）参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1-5：CDBCC 6-10：ACBDB 11-12：BD 1. 解析： ， ，选 C. 2. 解析： ，在第四象限，选 D. 3. 解析： ，即 ，而 ，即 ， ∴ ，选 B. 4. 解析：由图表易知，选 C. 5. 解析：“ ”为真，则命题 ， 有可能一真一假，则“ ”为假，故选项 A 说 法不正确；命题“ ， ”的否定应该是“ ， ”，故 选项 B 说法不正确；因命题“若 ，则 ”为真命题，则其逆否命题为真命题，故选 项 C 说法正确；因 ，但 或 ，所以 “ ”是“ ”的充分不必要条件，选项 D 说法不正确；选 C. 6. 解析：∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ，∴ 且 ，∴ ，选 A. ( ) 2 2 1f x x x= + − x ( ) 2xf x x > ( )f x M ( ), ,a b c M a b c R++ + = ∈ 2 2 2 2 2 2 2a b a c c b c b a + + ++ + ≥ { } { }2| 1 0 | 1 1N x x x x x= − > = > < −或 { }|1 3M N x x= < b c> 0.3 0.30.4 4 10.3 3 a b    = = >       a b> a b c> > p q∨ p q p q∧ 0x∀ > 1 0xe x− − > 0 0x∃ > 0 0 1 0xe x− − ≤ 1x ≥ 1 1x ≤ 21 5 6 0x x x= − ⇒ − − = 2 5 6 0 1x x x− − = ⇒ = − 6x = 1x = − 2 5 6 0x x− − = sin cos sin cos 2sin cosB C C B C C− = ( )sin sin 2B C C− = 2B C C− = 3B C= 3 2C π< 4 2B C C π+ = > 8 6C π π< 0a < a 0a > ( )y f x= ( ) ( )f x a f x+ > 0a < ( )y f x= ( ) ( )f x a f x+ > [ ]1,2x∈ − ( ) ( )2,0 6,x∈ − +∞ P FM m= ( )( )0, 0H h h > 3HN OH= −  ( )0, 2N h− AFM AON△ △ 2 m c a h a −= BOH BFM△ △ h a m c a = + 1 2 c a c a −= + 3c a= [ ]0,x π∈ ,3 3 3x π π πω ωπ + ∈ +   3z x πω= + ,3 3z π πωπ ∈ +   1sin 2z = ,3 3 π πωπ +   5 6z π= 13 6z π= 13 17 6 3 6 π π πωπ≤ + < ,3 3z π πωπ ∈ +   3sin sin 22 2 π π− = ( )0,π 1x 2x ( ) ( )1 2 2f x f x− = 2z π= x [ ]0,π 5 2z π= x [ ]0,π故②结论错误；解（*）得 ，所以④成立；当 时， ， 由于 ，故 ，此时 是增函数，从而 在 上单调递增.综上，①③④成立，选 B. 12. 解析：求导得 有两个零点等价于函数 有一个不等于 1 的零点，分离参数得 ，令 ， ， 在 递减，在 递增，显然在 取得最小值 ，作 的图像，并作 的图象，注意到 ， ，（原定义域 ，这里为方便讨论，考虑 ），当 时直线 与 只有一个交点即 只有一个零点（该零点值大于 1）；当 时 在 两侧附近同号， 不是极值点；当 时函数 有两个不同零点（其 中一个零点等于 1），但此时 在 两侧附近同号，使得 不是极值点不合.选 D. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横 线上. 13. -80 14. 240 15. 16. 13. 解析：展开式通项 ，依题意， ，得 ， 的系数是 . 14. 解析：依题意，先选出一个重灾区（有 种选法），分配有两个医疗队，有 种分配法， 另 3 个重灾区各分配一个医疗队，有 种分配法，所以不同的分配方案数共有 11 5 6 2 ω≤ < 0,15x π ∈   ,3 15 3z π ωπ π ∈ +   11 5 6 2 ω≤ < , ,3 15 3 3 2z π ωπ π π π   ∈ + ⊆       siny z= ( )f x 0,15 π     ( ) ( )2 1' 2 1xxf x e x tx −  = − +  ( ) ( )2 1xx e x tϕ = − + ( ) 2 1 xet h xx = =+ ( ) ( )02 1 xeh x xx = >+ ( ) ( )2 2 1' 2 1 xxh x e x −= + ( )h x 10, 2      1 ,2  +∞   1 2x = 2 e ( )h x y t= ( )0 1h = ( )1 13 eh = < 0x > ( )0h 1t ≥ y t= ( ) 2 1 xeh x x = + ( )xϕ 2 et = ( ) ( )2 1' 2 1xxf x e x tx −  = − +  1 2x = 1 2x = 3 et = ( ) ( )2 1xx e x tϕ = − + ( ) ( )2 1' 2 1xxf x e x tx −  = − +  1x = 1x = 2 3 40, 5      5 3 5 2 5 5 2( ) ( 2) r r r r rC x r C xx − −  − = −   5 3 22 r− = − 3r = 2x− ( )33 5 2 80C − = − 1 4C 2 5C 3 3A. 15. 解析：设准线 与 轴交于 .易知 ，由抛物线定义知 ，由于 ，所以 为等边三角形，三角形边长为 ，又 是 的中位线， 就是该等边三角形的高， . 16. 解析：易证 ，又 ， ，∴ ，得 .当四面体 绕 旋转时，由 即 绕 旋转，故 与直线 所成角的范围为 ，直线 与直线 夹角的余弦值的取值范围是 . 三、解答题：本大题共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 命题意图：第 1 问考查等差、等比数列基本量的运算求数列通项公式； 第 2 问考查利用裂项相消法求数列前 和. 解：（1）∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ . 所以数列 是以 1 为首项和公差的等差数列，故综上 ， . （2）（裂项相消）：由上题可知 ， 所以 ， 所以 ， 故 的最小值为 505. 18. 命题意图：第 1 问考查线线平行与垂直的证明； 第 2 问考查利用线线、线面垂直的判定，求二面角. 1 2 3 4 5 3 240C C A = l x E ( )1,0F MN MF= 60NMF∠ = ° NMF△ 2 4NM FE= = OD FEN△ MD 2 3MD = AB CD⊥ / /GE CD / /GF AB GE GF⊥ 5EF = AB / /GF AB EF GF EF l [ ]90 ,90GFE°− ∠ ° EF l 40, 5      n 2 1 9 3a a a⋅ = 1a d= 3 3 3 6S a d= + = 1 1a d= = { }na na n= *n N∈ ( ) ( )2 4 1 11 14 1 2 1 2 1 n n n nb n n n  = − = − + − − +  1 1 1 1 1 1 1 1 11 3 3 5 5 7 2 3 2 1 2 1 2 1nP n n n n = − − + + − − + − + + +− − − + 11 2 1n = − + + 2 1 1 20191 4 1 20 0 42nP nn + = < ⇒ >+ n解：（1）证明：取 中点为 ，连接 和 ，因为 ，且 ，又因 为 ，且 ，故 ，且 ， 即四边形 为平行四边形，故 . ∵ ，∴ ，又 ，则 . （2）∵平面 平面 ，平面 平面 ， ， ∴ 平面 ，又∵ 平面 ，∴ ，又 ， ∵ ， 平面 ，∴ 平面 ， ∴ ，∵ ，∴ ， ， 取 中点 连接 和 ，四边形 为直角梯形，则 ， ∵ 平面 ， ∴ 平面 ，故 ， ，∵ ， ， 所以可以以 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系， ∵ ，∴ ， 则 ， ， ， ， ， ， ， 则 为平面 的一个法向量， 设平面 的一个法向量为 ，则 ，即 ， 令 ，则 ， ，则 ， 设二面角 为 ，则 ， 故二面角 的正弦值为 . 19. 命题意图：第 1 问考查求椭圆的标准方程； 第 2 问考查直线与圆锥曲线位置关系. AC G GE GF / /GF BC 1 2GF BC= / /DE BC 1 2DE BC= / /GF DE GF DE= GFDE / /GE DF CE AE= GE AC⊥ / /GE DF DF AC⊥ BCED ⊥ ABC BCED  ABC BC= DB BC⊥ DB ⊥ ABC AC ⊂ ABC DB AC⊥ DF AC⊥ BD DF D= ,BD DF ⊂ ABD AC ⊥ ABD AC AB⊥ 2AB AC= = 2 2BC = 2DE = BC O OE OA BCED / /OE DB DB ⊥ ABC OE ⊥ ABC OE BC⊥ OE OA⊥ AB AC= OA BC⊥ OA x OB y OE z 3CE AE= = 1OE = ( )0, 2,1D ( )0,0,1E ( )2,0,0A ( )0, 2,0C − ( )2, 2,1AD = − ( )2,0,1AE = − ( )2, 2,0CA = ( )2, 2,0CA = ABD ADE ( ), ,n x y z= 0 0 n AD n AE  ⋅ = ⋅ =     2 2 0 2 0 x y z x z − + + = − + = 1x = 2z = 0y = ( )1,0, 2n = B AD E− − θ 6cos cos , 6 n CAn CA n CA θ ⋅= = = ×      B AD E− − 30 6解：（1）如图，由题意知 ，因而 ，即 ，又两曲线在第二象限内的 交点 到 的距离是它到直线 的距离的一半，即 ，得 ，则 ，代入到椭圆方程，得 . 由 ，解得 ， ，所以所求椭圆的方程为 . （2）当直线 的斜率存在，且不为 0 时，设直线 的方程为 ， 由 ，得 ， 设 ， ， ，则 ， ， 由于 为平行四边形，则 ， 故 ， 若点 在椭圆 上，则 ，代入得 ，解得 无解， 若点 在抛物线 上，则 ： ，代入得 解得 无解 当直线斜率不存在时，易知存在点 在椭圆 上， 故不存在直线 ，使点 落在抛物线 上，存在直线 ，使点 落在椭圆 . 20. 命题意图：第 1 问考查频率分布直方图； 第 2 问考查概率、分布列、数学期望. 解：（1） 在 内，按组距为 5 可分成 6 个小区间分别是 ， ， ， ， ， ， 因 ，由 ， ，得 ， ( )1,0F − 1c = 2 2 1a b= + ( ),Q QQ x y F 4x = − 4 2( 1)Q Qx x+ = − + 2 3Qx = − 2 8 3Qy = 2 2 4 8 19 3a b + = 2 2 2 2 4 8 19 3 1 a b a b  + =  = + 2 4a = 2 3b = 2 2 14 3 x y+ = AB AB ( )1y k x= + 2 2 ( 1) 14 3 y k x x y = + + = 2 2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x k x k+ + + − = 0 0( , )M x y 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1 2 2 8 3 4 kx x k −+ = + 2 1 2 2 4 12 3 4 kx x k −⋅ = + OABM OM OA OB= +   2 0 1 2 2 0 1 2 1 1 1 2 2 8 3 4 6( 1) ( 1) ( 2) 3 4 kx x x k ky y y k x k x k x x k  −= + = +  = + = + + + = + + = + M C 2 2 0 0 14 3 x y+ = 4 2 2 2 16 12 1(3 4 ) k k k + =+ k M D D 2 0 04y x= − 2 2 2 2 2 36 32 (3 4 ) 3 4 k k k k =+ + k ( )2,0M − C l M D l ( )2,0M − C X [ )70,100 [ )70,75 [ )75,80 [ )80,85 [ )85,90 [ )90,95 [ )95,100 70 100X≤ < ( )5 5 1n X n≤ < + *n N∈ 14,15,16,17,18,19n =每个小区间对应的频率值分别是 （1） ，解得 ， 故 的取值是 14，15，16，17，18，19， . （2）（i）由于参赛学生很多，可以把频率视为概率，由（1）知，学生 的分数属于区间 ， ， ， ， ， 的概率分别是 ， ， ， ， ， ，我们用符号 （或 ）表示学生 （或 ）在第一轮获奖等级为 ，通过附加 赛最终获奖等级为 ，其中 ，记 “学生 最终获奖等级不低于学生 的最终获奖等级”， 则 . （ii）学生 最终获得一等奖的概率是 ， 学生 最终获得一等奖的概率是 ， ， ， ， 的分布列为 0 1 2 8 109 , 14,15,1660 1 15 , 17,18,193 0 5 2 n n k n P n Y − ==   − ⋅ =− =  3 11 19 1 11 5 1 160 60 60 3 2k  + + + − + + =   3 50k = n 3 50k = B [ )70,75 [ )75,80 [ )80,85 [ )85,90 [ )90,95 [ )95,100 3 60 11 60 19 60 14 60 11 60 2 60 ijA ijB A B i j ( ), 1,2,3j i i j≤ = W = B A ( ) ( )1 21 22 22 32 22P B B B AP B AW = + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 21 22 22 32 22P B P B P B P A P B P A= + + + 2 11 1 11 10 10 14 1 10 51 60 60 11 60 11 11 60 7 11 220 = + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = A ( )21 1 11P A = B ( )' ' 1 21 2 11 1 1 27 27 11 9P B B+ = + ⋅ = 1 1 80( 0) 1 111 9 99P ξ   = = − − =     1 1 1 1 18( 1) 1 111 9 11 9 99P ξ    = = − + − =       1 1 1( 2) 11 9 99P ξ = = ⋅ = ξ ξ P 80 99 18 99 1 99. 21. 命题意图：第 1 问考查不等式恒成立问题； 第 2 问考查不等式放缩求参数取值范围. 解：（1）令 ， ， ， ∴ 在 上单调递增，且 ， 若 ， 在 上单调递增，∴ ， 即 满足条件， 若 ， ， 存在单调递减区间 ，又∵ ， 所以存在 使得 与已知条件矛盾，所以 ， 的最小值为 1. （2）由（1）知 ，如果 ，则必有 成立. 令 ，则 ， ，则 ， ， . 若 ，必有 恒成立，故当 时， 恒成立， 下面证明 时， 不恒成立. 令 ， ，当 时， ， 在区间 上单调递增， 故 ，即 ，故 . ， 令 ， ， 80 18 1 20( ) 0 1 299 99 99 99E ξ = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ( ) ( )2 1 ln( 1)2 xx mx x xϕ = + − + + ( ) ( )' ln 1 1x x m xϕ = + − + − ( ) 1'' 1 01x x ϕ = − >+ ( )' xϕ [ )0,+∞ ( )' 0 1mϕ = − 1m ≥ ( )xϕ [ )0,+∞ ( ) ( )0 0xϕ ϕ≥ = 1m ≥ 1m < ( )0 1 0mϕ = − < ( )xϕ [ ]00, x ( )0 0ϕ = 0x ( )0 0xϕ < 1m ≥ m ( ) 2 2 xf x x≤ + ( )2 2 x x g x+ ≤ ( ) ( )f x g x≤ ( ) ( ) 2 2 xh x g x x  = − +   ( ) ( 1) cos ( 1 cos )h x a x x x x a x= − − = − − ( ) ( 1 cos ) 0h x x a x= − − ≥ 1 cos 0a x− − ≥ 1 cosa x≥ + 2a ≥ ( ) 0h x ≥ ( ) ( )f x g x≤ 2a ≥ ( ) ( )f x g x≤ 2a < ( ) ( )f x g x≤ 1( ) ( ) ( 1)ln( 1)f x f x x x x x= − = + + − ( ) ( )' 1 ln 1f x x= + 0x > ( ) ( )' 1 ln 1 0f x x= + > ( )1f x [ ]0,1 ( ) ( )1 1 0 0f x f≥ = ( ) ( )1 0f x f x x= − ≥ ( )x f x≤ 2 ( ) ( ) ( ) ( 1) cos2 xg x f x g x x a x x x− ≤ − = − + − 1 cos2 xx a x = − + −   ( ) 1 cos2 xt x a x= − + − ( ) 1' sin 02t x x= + >在 上单调递增， ，则一定存在区间 （其中 ），当 时， ，则 ，故 不恒成立. 综上所述：实数 取值范围是 . 22. 命题意图：第 1 问考查曲线的普通方程化极坐标方程和解极坐标方程组； 第 2 问考查三角函数的最值问题. 解：（1）曲线 的极方程： ， 联立 得， ， . （2）易知 ，直线 ： . 设点 ，则点 到直线 的距离 ， ∴ （其中 ）. ∴ 面积的最大值为 . 23. 命题意图：第 1 问考查利用分类讨论思想解绝对值不等式； 第 2 问考查分段函数求最值、构造法和基本不等式等. 解：（1）当 时， 等价于 ，该不等式恒成立， 当 时， 等价于 ，该不等式解集为 ， 当 时， 等价于 ，解得 ， 综上， 或 ， 所以不等式 的解集为 . （2） ， ( )t x [ ]0,1 ( )0 2 0t a= − < ( )0,m 0 1m< < ( )0,x m∈ ( ) 0t x < ( ) ( ) ( ) 0g x f x xt x− ≤ < ( ) ( )f x g x≤ a [ )2,+∞ C 2cosρ θ= 2cos 3 ρ θ πθ = = (0,0)M (1, )3N π 1MN = l 3y x= (2cos ,sin )P α α P l 2 3 cos sin 2d α α− = ∴ 13sin( )1 2 4PMNS MN d α ϕ ∆ − = ⋅ ⋅ = tan 2 3ϕ = PMN△ 13 4 0x < ( ) 2xf x x > 2 2 1 2x x+ − > − 0 1x< ≤ ( ) 2xf x x > 2 2 0x x− > ∅ 1x > ( ) 2xf x x > 2 2 2 2x x+ − > 5 1x > − 0x < 5 1x > − ( ) 2xf x x > ( ) ( ),0 5 1,−∞ − +∞ ( ) 2 2 2 2 2, 12 1 2 2, 1 x x xf x x x x x x  + − ≥= + − =  − +