2020 届湖南名师联盟高三第一次模拟考试卷
文科数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条
形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1 ． 设 全 集 是 实 数 集 ， ， ， 则
（ ）
A． B． C． D．
2．若复数 ，则 （ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
3．下列说法正确的是（ ）
A．“ ”的否定是
B．命题“设 ，若 ，则 或 ”是一个假命题
C．“ ”是“函数 为幂函数”的充分不必要条件
D．向量 ， ，则 在 方向上的投影为 5
4．在 中， ，且 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
5．已知实数 ， 满足 ，则该不等式组所表示的平面区域的面积为（ ）
A． B． C．2 D．31
2
U R { | 2 2}M x x x= < − >或 { }2| 4 3 0N x x x= − + <
( )UM N =
{ | 2 1}x x− ≤ < { | 2 2}x x− ≤ ≤ { |1 2}x x< ≤ { | 2}x x <
4z i= − z z⋅ =
,x∀ ∈R 2 0x > 0 ,x∃ ∈R 2
0 0x <
,a b∈R 4a b+ ≠ 2a ≠ 2b ≠
1m = 2 2( ) mf x m x +=
(3,4)a = (0,1)b = a b
ABC ,BD DC= AP PD= BP AB ACλ µ= + λ µ+ =
1
2
1
2
− 1
2
−
x y
0
1
2 4
y
x y
x y
≥
− ≥
+ ≤
3
26．函数 在 上的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
7 ． 设 是 双 曲 线 的 两 个 焦 点 ， 是 上 一 点 ， 若
，且 的最小内角为 ，则 的离心率为（ ）
A．6 B． C．3 D．
8．当 时， ，则下列大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9 ． 函 数 （ ） 的 部 分 图 象 如 图 所 示 ， 则 函 数
的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
10．在区域 内任取一点 ，满足 的概率为（ ）
sin3( ) 1 cos2
xf x x
= + ,2 2
π π −
1,F 2F
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > P C
1 2 6PF PF a+ = 1 2PF F 30° C
6 3
0 1x< < ln( ) xf x x
=
( )2 2( ) ( )f x f x f x< < ( )2 2 ( ) ( )f x f x f x< <
( )2 2( ) ( )f x f x f x< < ( )2 2( ) ( )f x f x f x< <
( ) cos( )f x xω ϕ= + 0,ω > | | 2
πω <
3( ) ( )g x f x ϕπ= −
π 2π 4π
2
π
0 2
0 1
x
y
≤ ≤
≤ ≤ ( , )P x y 2 2y x x≤ − +A． B． C． D．
11 ． 设 是 定 义 在 上 的 可 导 函 数 ， ， 且 ， 则 不 等 式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
12．若关于 的不等式 在区间 上恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．二项式 的展开式中常数项为_________．所有项的系数和为_________．
14．设向量 ，则向量 与向量 的夹角为_______．
15．已知函数 ，则函数 的所有零点所构成的集合为
_______．
16．在 中，角 的对边分别为 ，若 ， 是锐角，
且 ， ，则 的面积为________．
三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．
17．（12 分）已知等比数列 的前 项和为 ，且 对一切正整数 恒成立．
（1）求 和数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
18 ．（ 12 分 ） 如 图 ， 在 多 面 体 中 ， 已 知 ， ,
， ， ，平面 平面 ， 为 的中点，连
接 ．
n
1
2
2
3 4
π 4
4
π−
( )f x [ 1,1]− (0) 0f = 2( ) 2f x x′ = +
( ) (1 2 ) 0f a f a+ − >
[0,1] [ 1,1)− ( 1,1]− [0,1)
x
2( 1) 1ln
a x
x
− ≤ (1,2] a
(0,ln 2] ( ,ln 2]−∞ (ln 2, )+∞ ( ,1]−∞
5
2
1x x
+
(1,1),a = ( 1,2)b = − a b+ a
2
, 1( ) log ( 1), 1
x xf x x x
≤= − > ( ( ))y f f x=
ABC ,A ,B C ,a ,b c cos 1 cos2
cos 1 cos2
b C C
c B B
+= + C
2 7a = 1cos 3A = ABC
{ }na n nS 1 2n na S+ = + n
1a { }na
{ }nS nT
B ACDE− 2AB BC CD= = = 2 2AC =
2AE =
4ACD
π∠ = AE AC⊥ ABC ⊥ ACDE F BC
DF（1）求证： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积．
19．（12 分）众所周知，大型网络游戏（下面简称网游）的运行必须依托于网络的基础上，否
则会出现频繁掉线的情况，进而影响游戏的销售和推广，某网游经销在甲地区 5 个位置
对两种类型的网络（包括“电信”和“网通”）在相同条件下进行游戏掉线的测试，得到
数据如下：
位置
类型 A B C D E
电信 4 3 8 6 12
网通 5 7 9 4 3
（1）如果在测试中掉线次数超过 5 次，则网络状况为“糟糕”，否则为“良好”，那么在
犯错误的概率不超过 0.15 的前提下，能否说明网络状况与网络的类型有关？
（2）若该游戏经销商要在上述接受测试的电信的 5 个地区中任选 2 个作为游戏推广，求
A，B 两地区至少选到一个的概率．
参考公式： ．
20 ．（ 12 分 ） 已 知 椭 圆 的 两 个 焦 点 分 别 为 ， ， 且 椭 圆 过 点
．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若与直线 平行的直线交椭圆 于 两点，当 时，求 的面
积．
21．（12 分）已知函数 ．
//DF ABE
B DEF−
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
( )2
0P K k≥ 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
0k 0.46 0.71 1.32 2.07 2.71 3.84 5.024 6.635 7.879 10.828
C 1( 3,0)F − 2 ( 3,0)F C
31, 2P
C
OP C ,A B OA OB⊥ AOB
( )2( ) 2ln 4 3f x x a x x= + − +（1）若 ，求 的单调区间．
（2）证明：① ；
②对任意 ， 对 恒成立．
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系 中，圆 的参数方程为 （ 为参数， 为常
数）．以原点 为极点，以 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线 的极坐标方程为
．
（1）求圆 的普通方程和直线 的直角坐标方程；
（2）若直线 圆 有两个公共点，求实数 的取值范围．
23．（10 分）【选修 4-5：不等式选讲】
设函数 ，其中 ．
（1）当 ，求等式 的解集；
（2）若不等式 的解集为 ，求 的值．
2020 届湖南名师联盟高三第一次模拟考试卷
文科数学答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．【答案】C
【解析】由于 ，
所以 ， ，
所以 ．
2．【答案】C
【解析】 ．
3．【答案】C
4
3a = ( )f x
ln 1x x≤ −
( ,0)a∈ −∞ ( ) 0f x < 3 2 ,ax a
− ∈ +∞
xOy C 2 cos
2 sin
x t a
y a
= +
=
a t
O x l
3cos 24
πρ θ − =
C l
l C t
( ) | | 2f x x a x= − + 0a >
3a = ( ) 2 4f x x≥ +
( ) 0f x ≤ { | 2}x x ≤ − a
{ | 2 2}M x x x= < − >或
U { | 2 2}M x x= − ≤ ≤ { |1 3}N x x= < <
( )U { |1 2}M N x x= < ≤
(4 )(4 ) 16 ( 1) 17z z i i⋅ = − + = − − =【解析】“ ”的否定是“ ”，A 错误；
B 选项命题的逆否命题为：“若 ，则 ”为真命题，B 错误；
为幂函数时， ，可判断 C 正确；
在 方向上的投影为 ，D 错误，
故选 C．
4．【答案】C
【解析】
，
．
5．【答案】B
【解析】根据题中所给的约束条件，画出其对应的区域如下图所示，
其为阴影部分的三角区，
解方程组可以求得三角形三个顶点的坐标分别为 ，
根据三角形的面积公式可以求得 ．
6．【答案】C
【解析】 ， 为奇函数，D 不对，
在 上的零点为 0， ，A 不对，
又 ，B 不对．
,x∀ ∈R 2 0x > 0 ,x∃ ∈R 2
0 0x ≤
2,a = 2b = 4a b+ =
2 2( ) mf x m x += 1m = ±
a b 4 41| |
a b
b
⋅ = =
1 1 1 1
2 2 2 4BP BA BD BA BC= + = +
1 1 3 1( )2 4 4 4AB AC AB AB AC= − + − = − +
3 1 1
4 4 2
λ µ∴ + = − + = −
(1,0), (2,1), (4,0)
1 3(4 1) 12 2S = × − × =
( ) ( )f x f x− = − ( )f x∴
sin3( ) 1 cos2
xf x x
= + ,2 2
π π − 3
π±
06f
π > 7．【答案】D
【解析】不妨设 ，则 ，
又 ，解得 ， ，
则 是 的最小内角为 ，
所以 ，
所以 ，
化简得 ，解得 ．
8．【答案】D
【解析】根据 ，得到 ，而 ，
所以根据对数函数的单调性可知 时， ，
从而可得 ，函数 单调递增，
所以 ，
而 ，所以有 ，
故选 D．
9．【答案】A
【解析】由图知 ，
点 是五点作图的第二个点，则 ，
，
易知 与 的最小正周期相同，均为 ．
10．【答案】C
【解析】如图，曲线 的轨迹是以 为圆心，1 为半径的上半圆，
1 2|PF PF> 1 2 2PF PF a− =
1 2 6PF PF a+ = 1 4PF a= 2 2PF a=
1PF F∠ 1 2PF F 30°
2 2 2 2
2 1 1 2 1 1 22 cos30PF PF F F PF F F= + − ⋅ °
2 2 2 3(2 ) (4 ) (2 ) 2 4 2 2a a c a c= + − × × ×
2 2 3 3 0e e− + = 3e =
0 1x< < 20 1x x< < < 2
ln( ) xf x x
′ =
0 1x< < 1 ln 0x− >
( ) 0f x′ > ( )f x
( )2 ( ) (1) 0f x f x f< < =
2
2
2
ln( ) 0xf x x
= >
( )2 2( ) ( )f x f x f x< <
7 2 24 12 3 4
T T
π π π ππ ωω= − = ⇒ = = ⇒ =
,03
π
2 3 2 6
π π πϕ ϕ× + = ⇒ = −
3 1( ) ( ) cos 2 6 2g x f x x
πϕπ
∴ = − = − +
( )y g x= 1cos 2 6 2y x
π = − +
2
2T
π π= =
2 2y x x= − + (1,0)由几何概型得 ．
11．【答案】D
【解析】 是偶函数且大于 0， ，
则 为 上的奇函数和增函数，
，
则 ．
12．【答案】B
【 解 析 】 关 于 的 不 等 式 在 区 间 上 恒 成 立 关 于 的 不 等 式
在区间 上恒成立．
显然当 时，关于 的不等式 在区间 上恒成立．
当 时，在同一坐标系内分别作出 的图象，
所以关于 的不等式 在区间 上恒成立 点的位置不低
于 点的位置 ．
综上，实数 的取值范围为 ．故选 B．
2
2 4P
π
π= =
2( ) 2f x x′ = + (0) 0f =
( )f x [-1,1]
( ) (1 2 ) 0 ( ) (1 2 ) (2 1)f a f a f a f a f a+ − > ⇒ > − − = −
1 1
1 1 2 1 0 1
2 1
a
a a
a a
− ≤ ≤
− ≤ − ≤ ⇒ ≤ −
x
2( 1) 1ln
a x
x
− ≤ (1,2] ⇔ x
2( 1) lna x x− ≤ (1,2]
0a ≤ x
2( 1) 1ln
a x
x
− ≤ (1,2]
0a > 2( 1) ,y a x= − lny x=
x 2( 1) lna x x− ≤ (1,2] A⇔
B 2ln 2 (2 1) 0 ln 2a a⇔ ≥ − ⇔ < ≤
a ( ,ln 2]−∞二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．【答案】5；32
【解析】展开式的通项为 ，
令 ，解得 ，
所以展开式中的常数项为 ，
令 ，得到所有项的系数和为 ，得到结果．
14．【答案】
【解析】 ， ， ．
15．【答案】
【解析】令 ，由 ，得 或 ，
再由 ，解得 ， ，
由 ，解得 ，
即函数 的所有零点所构成的集合为 ．
16．【答案】
【解析】由 ，
得 ， ， ，
所以 或 ，
又 ，所以 ，即 ，
所以 ， ， ，
5 5
5 2 2
1 5 52
1( )
r
rr r r
rT C x C xx
−−
+
= =
5 5 02 2 r− = 1r =
1
2 5 5T C= =
1x = 52 32=
4
π
(0,3)a b+ = ( ) 3 2cos 2| | 3 2
a b a
a b a
θ + ⋅= = =
+ ||
4
πθ =
{0,2,5}
( )t f x= ( ) 0f t = 0t = 2t =
( ) 0f x = 0x = 2x =
( ) 2f x = 5x =
( ( ))y f f x= {0,2,5}
7 2
cos 1 cos2
cos 1 cos2
b C C
c B B
+= +
2
2
sin cos 2cos
sin cos 2cos
B C C
C B B
= sin cos
sin cos
B C
C B
= sin 2 sin 2B C=
B C=
2B C
π+ =
1cos 3A = B C= b c=
2 2 2 2 cosa b c bc A= + −
2
2 22 283
bb − = 21b c= =， ．
三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1） ， ；（2） ．
【解析】（1）当 时， ，
与 两式相减得 ．
数列是等比数列， 公比 ， ．
又 ， ， ．
（2） 由 ，得 ，
．
18．【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【解析】（1）证明：过 作 于 ．
因为 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以四边形 为矩形，
所以 ， ，
取 的中点为 ，连接 ， ．
因为 为 的中点，所以 ， ，
所以 ， ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，因为 平面 ， 平面 ．
所以 平面 ．
2 2 2sin 1 cos 3A A= − = 1 sin 7 22S bc A= =
1 2a = 2n
na = 22 2 4n
nT n+= − −
2n ≥ 12n na S −= +
1 2n na S+ = + 1 2 ( 2)n na a n+ = ≥
∴ 2q = 2 12a a=
2 1 12 2a S a= + = + 1 2a∴ = 2n
na∴ =
1 2n na S+ = + 12 2n
nS += −
( ) ( )2
2 3 1 2 1 2
2 2 2 2 21 2
n
nn n n+
−
∴ = + +…+ − = −−
22 2 4n n+= − −
2
6
D DG AC⊥ G
AE AC⊥ //AE DG
2CD =
4ACD
π∠ = 2DG CG= =
2AE = AE DG=
AGDE
//ED AG ED AG=
AB H EH HF
F BC //HF AG HF AG=
//HF ED HF ED=
EDHF
//DF EH DF ⊄ ABE EH ⊂ ABE
//DF ABE（2）因为平面 平面 ， ，
所以 平面 ．
因为 平面 ，所以平面 平面 ，
因为 ， ，所以 ，
因为平面 平面 ，
平面 ，所以 平面 ，
因为四边形 为平行四边形，
所以三棱锥 的体积等于三棱锥 的体积，
等于三棱锥 的体积，
所以三棱锥 的体积
．
19．【答案】（1）详见解析；（2） ．
【解析】（1）根据题意列出 列联表如下：
位置
类型 糟糕 良好 合计
电信 3 2 5
网通 2 3 5
合计 5 5 10
，
在犯错误的概率不超过 的前提下，不能说明网络状况与网络的类型有关．
（2）依题意，在上述接受测试的电信的 5 个地区中任选 2 个作为游戏推广，
其 所 有 的 可 能 有
，
其中满足条件的为 ，
故所求概率 ．
ABC ⊥ ACDE AE AC⊥
AE ⊥ ABC
AE ⊂ ABE ABE ⊥ ABC
2AB BC= = 2 2AC = AB BC⊥
ABE ABC AB=
BC ⊂ ABC BC ⊥ ABE
EDFH
B DEF− B HEF−
F HEB−
B DEF−
1 1 1 1 1 22 2 13 3 4 3 4 6EHBS FB AB AE FB = ⋅ = × ⋅ ⋅ = × × × × =
7
10
2 2×
2
2 10 (9 4) 10 25 0.4 2.0725 5 5 5 25 25K
× − ×= = = >
2 2
2 2
3
1 3 14
a b
a b
− = + =
2
2
4
1
a
b
=
=
C
2
2 14
x y+ =
OP 3
2y x=
AB 3
2y x m= + ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
AB C
2 23 1 0x mx m+ + − =
( )2 23 4 1 0m m∆ = − − >
2 4m < 1 2
2
1 2
3
1
x x m
x x m
+ = − = −
OA OB⊥ 0OA OB⋅ =
1 2 1 2 1 2 1 2
3 3
2 2OA OB x x y y x x x m x m
⋅ = + = + + +
( ) 2
1 2 1 2
7 3
4 2x x m x x m= + + +
( )2 27 31 ( 3 )4 2m m m m= − + − +
25 7 04 4m= − = 2 7
5m =
( )2 2
1 2 1 2
3 7| | 1 4 44 2AB x x x x m= + + − = ⋅ −到直线 的距离 ，
所以 ．
21．【答案】（1） 单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ；
（2）①证明见解析；②证明见解析．
【解析】（1）若 ， ，
令 ，得 或 ，
则 的单调递增区间为 ， ，
令 ，得 ，
则 的单调递减区间为 ．
（2）①设 ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ，
故 ，从而 ，
即 ．
②当 时，由①知， ，
则 ，
若 ，则
，
O AB | | | |
3 71 4 2
m md = =
+
21 1 7 | | 91| | 42 2 2 107AOB
mS AB d m= ⋅ = × × − × =
( )f x 10, 2
3 ,2
+∞
1 3,2 2
4
3a = 2 4 2(2 1)(2 3)( ) (2 4) ( 0)3 3
x xf x x xx x
− −′ = + − = >
( ) 0f x′ > 3
2x > 10 2x< <
( )f x 10, 2
3 ,2
+∞
( ) 0f x′ < 1 3
2 2x< <
( )f x 1 3,2 2
( ) ln ( 1)g x x x= − − 1( ) ( 0)xg x xx
−′ = >
( ) 0g x′ > 0 1x< < ( ) 0g x′ < 1x >
max( ) (1) 0g x g= = ( ) ln ( 1) 0g x x x= − − ≤
ln 1x x≤ −
1x > ln 1x x< −
( )2( ) 2( 1) 4 3f x x a x x< − + − +
( ,0)a∈ −∞ ( )22( 1) 4 3x a x x− + − +
( 1)( 2 3 )x ax a= − + −
3 2( 1) aa x x a
− = − − 当 时， ，
则当 时， ，
故对任意 ， 对 恒成立．
22．【答案】（1） ；
（2） ．
【解析】（1）圆 的普通方程为 ，
将直线 的极坐标方程化为 ，
即 ，化简得 ．
（2） 圆 的普通方程为 ，
圆 的圆心为 ，半径为 ，
圆心 到直线 的距离 ，
直线 与圆 有两个公共点，
，解得 ，
的取值范围为 ．
23．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）当 时， 可化为 ，
由此可得 或 ，
故不等式 的解集为 ．
（2）由 ，得 ，
3 2 ,ax a
− ∈ +∞
3 2( 1) 0aa x x a
− − −
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