2020年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟卷(文科)5套

1 2020 年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 1．若集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据集合的交集的概念得到 ，故答案为：D． 2．设复数 （ 是虚数单位），则在复平面内，复数 对应的点的坐标为 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ，所以复数 对应的点为 ，故选 A． 3．若向量 ， ，则 （ ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【解析】 ，故 ，故选 D． 4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） { }| 1 1A x x= − < < { }| 0 2B x x= < < A B = { }| 1 1x x− < < { }| 1 2x x− < < { }| 0 2x x< < { }| 0 1x x< < { }| 0 1A B x x= < > ( )2,0F − 3 2 2 13 x y− = 2 2 13 yx − = 2 2 13 y x− = 2 2 13 xy − = 2 2 2 2 0x y a b − = by xa = ± by xa = ± 2 2 2 3 2 b a c c a b = = = +        2 2 1 3 a b = =    2 2 13 yx − = 3 6．函数 的部分图象如图，且 ，则图中 的 值为（ ） A．1 B． C．2 D． 或 2 【答案】B 【解析】∵ ，且 ，∴ ． ∴ ，∴ ， ∴ 或 ，∴ 或 ， 又周期 ，∴ ，∴ ．选 B． 7 ． 在 中 ， 内 角 ， ， 的 对 边 分 别 为 ， ， ， 若 函 数 无极值点，则角 的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数 无极值点，则导函数无变号零 点 ， ， ( ) ( )sin 2f x x θ θ π = π + > ( )0,1P 3 2e = C l ( )2, 1Q − C A B P PA 1k PB 2k 1 2k k+ 2 2 14 x y+ = ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > ( )0,1P 1b = 3 2e = 3 2 c a = 2a = 2 2 14 x y+ = AB l 2x = AB ( )1 2y k x+ = − 2 1y kx k= − − 2 2 2 1 14 y kx k x y = − − + =   ( ) ( )2 2 21 4 8 2 1 16 16 0k x k k x k k+ − + + + = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 13 ， 所以 为定值，且定值为 ．···········12 分 21．已知函数 ， ． （1）讨论函数 的单调性； （2）已知 ，若函数 恒成立，试确定 的取值范围． 【答案】（1）答案见解析；（2） ． 【解析】（1）由 ，得： ， ，······1 分 当 时， 在 上恒成立， 函数 在 上单调递增；···········3 分 当 时 ， 令 ， 则 ， 得 ， ， ∵ ，∴ ， ∴令 得 ，令 得 ， 1 2 1 2 1 2 1 1y yk k x x − −+ = + = ( ) ( )2 1 1 2 1 2 2 2 2 2x kx k x kx k x x − − + − − ( )( )1 2 1 2 1 2 2 2 2kx x k x x x x − + += = ( )( )1 2 1 2 2 22 k x xk x x + +− ( ) ( ) ( ) 2 2 8 2 12 16 1 k k kk k k + ⋅ += − =+ ( )2 2 1 1k k− + = − 1 2k k+ 1− ( ) 2lnf x x ax x= − + a∈R ( )f x 0a > ( ) 0f x ≤ a [ )1,+∞ ( ) 2lnf x x ax x= − + ( ) 22 1ax xf x x − + +′ = 0x > 0a≤ ( ) 0f x′ > ( )0,+∞ ( )f x ( )0,+∞ 0a > ( )' 0f x = 22 1 0ax x− + + = 1 1 8 1 4 ax a − += 2 1 8 1 4 ax a + += 1 2 1 02x x a = − < 1 20x x< < ( ) 0f x′ > ( )20,x x∈ ( ) 0f x′ < ( )2 ,x x∈ +∞ 14 ∴ 在 上单调递增，在 上单调递减．········6 分 （2）由（1）可知，当 时，函数 在 上单调递增，在 上 单调递减， ∴ ，即需 ，即 ，···········8 分 又由 得 ，代入上面的不等式得 ，···········9 分 由函数 在 上单调递增， ，所以 ，·······10 分 ∴ ，∴ ， 所以 的取值范围是 ．···········12 分 请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22．选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，曲线 ： （ 为参数），在以 为极点， 轴 的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线 ： ． （1）写出曲线 和 的普通方程； （2）若曲线 上有一动点 ，曲线 上有一动点 ，求使 最小时 点的 坐标． 【答案】（1） ， ；（2） ． ( )f x 1 8 10, 4 a a  + +    1 8 1 ,4 a a  + + +∞    0a > ( )f x ( )20, x ( )2 ,x +∞ ( ) ( )2maxf x f x= ( )2 0f x ≤ 2 2 2 2ln 0x ax x− + ≤ ( )2 0f x′ = 2 2 2 1 2 xax += 2 22ln 1x x+ ≤ ( ) 2lnh x x x= + ( )0,+∞ ( )1 1h = 20 1x< ≤ 2 1 1x ≥ 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 12 2 xa x x x  += = +    ≥ a [ )1,a∈ +∞ xOy 1C 2cos sin x y θ θ =  = θ O x 2C ( )cos sin 4p θ θ− = 1C 2C 1C M 2C N MN M 2 2 1 : 14 xC y+ = 2 : 4 0C x y− − = 4 5 5,5 5  −    15 【解析】（1） ，···········2 分 ．···········5 分 （2）设 ， 结合图形可知， 最小值即为点 到直线 的距离的最小值． ∵ 到直线 的距离 ，···········7 分 ∴当 时， 最小，即 最小． 此 时 ， ， 结 合 可 解 得 ： ， ， 即所求 的坐标为 ．···········10 分 23．已知 是常数，对任意实数 ，不等式 恒成 立． （1）求 的取值集合； （2）设 ，求证： ． 【答案】（1） ；（2）见解析． 【解析】（1） ，···········2 分 ，···········4 分 2 2 1 : 14 xC y+ = 2 : 4 0C x y− − = ( )2cos ,sinM θ θ MN M 2C M 2C ( )5sin 42cos sin 4 2 2 d θ ϕθ θ + −− −= = ( )sin 1θ ϕ+ = d MN 2cos sin 5θ θ− = 2 2sin cos 1θ θ+ = 2 5cos 5 θ = 5sin 5 θ = − M 4 5 5,5 5  −    a x 1 2 1 2x x a x x+ − − ≤ ≤ + + − a 0m n> > 2 2 12 22m a nm mn n + +− + ≥ { }3 ( ) ( )1 2 1 2 3x x x x+ − − ≤ + + − = ( ) ( )1 2 1 2 3x x x x+ + − ≥ + + − = 16 ， 的取值集合为 ．···········5 分 （2） ，即 ．···········10 分 ∴ 3a = a { }3  ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 12 m n m n m n m n m n − + = − + − + − − ( ) ( ) ( )3 2 13 3m n m n m n − ⋅ − ⋅ = −≥ ( )2 12 2 3m n m n ∴ − + − ≥ 2 2 12 22m a nm mn n + +− + ≥ 17 2020 年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合 ， ，则集合 （） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解方程组 ，得 ．故 ．选 D． 2．若复数 （ 为虚数单位），则 （） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ， ，选 C． 3．为考察 ， 两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等 高条形图： ( ){ }, 2M x y x y= + = ( ){ }, 2N x y x y= − = M N = { }0,2 ( )2,0 ( ){ }0,2 ( ){ }2,0 2 2 x y x y + = − =    2 0 x y =  = ( ){ }2,0M N = 2i 1 iz  =  −  i z = 2 1 1 2 2 2 2i 1 iz  =  −  1 1 i2i 2 −= = −− 1 1i2 2z∴ = − = A B 18 根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（） A．药物 的预防效果优于药物 的预防效果 B．药物 的预防效果优于药物 的预防效果 C．药物 、 对该疾病均有显著的预防效果 D．药物 、 对该疾病均没有预防效果 【答案】B 【解析】由 、 两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到的等高 条形图，知：药物 的预防效果优于药物 的预防效果．故选 B． 4．已知 ，则 （） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 ，所以 ， 药物A实验结果 患病 未患病 服用药 没服用药 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 药物B实验结果 患病 未患病 服用药 没服用药 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 B A A B A B A B A B A B ( )cos 2cos2 α απ + = π −   tan 4 απ − =   4− 4 1 3 − 1 3 ( )cos 2cos2 α απ + = π −   sin 2cos tan 2α α α− = − ⇒ = 19 所以 ，故选 C． 5．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑 堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧 面积为（） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三 角形，两条直角边分别是 、斜边是 2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是 2，∴几 何体的侧面积 ，故选：C． 6．设变量 ， 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为 （） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【解析】画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示）． 1 tan 1tan 4 1 tan 3 αα α π − − = = −  +  4 2 2+ 4 4 2+ 4 6 2+ 2 2 2 2 2 2 4 4 2S = × + × × = + x y 2 2 0 2 2 0 2 x y x y y + − − +    ≥ ≤ ≤ z x y= + 20 由 ，得 ．平移直线 ，结合图形可得，当直线（图中 的虚线）经过可行域内的点 A 时，直线在 y 轴上的截距最大，此时 z 取得最大 值． 由 ，解得 ，故点 A 的坐标为（2，2）．∴ ， 即目标函数 的最大值为 4．选 D． 7．已知 ，下列程序框图设计的是求 的值，在“”中应填的执行语句是（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不妨设 ，要计算 ， 首 先 ， 下 一 个 应 该 加 ， 再 接 着 是 加 ， 故 应 填 ． 开始 i=1,n=2018 结束 i≤2017？ 是 否 输入x0 S=2018 输出S S=Sx0 S=S+n i=i+1 z x y= + y x z= − + y x z= − + 2 2 2 0 y x y = − + =    2 2 x y = =    max 2 2 4z = + = z x y= + ( ) 2017 20162018 2017 2 1f x x x x= + + + + ( )0f x 2018n i= − 2017n i= − 2018n i= + 2017n i= + 0 1x = ( )1 2018 2017 2016 2 1f = + + + + + 2018 1 2018S = × = 2017 2016 2018n i= − 21 8．[2018·达州期末]若函数 存在两个零点，且一个为正数，另一 个为负数，则 的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，若 存在两个零点，且一个为正数，另一个为负 数，则 ，故选 C． 9．阿波罗尼斯（约公元前 262-190 年）证明过这样一个命题：平面内到两定点 距离之比为常数 （ 且 ）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏 圆．若平面内两定点 ， 间的距离为 2，动点 与 ， 距离之比为 ，当 ， ， 不共线时， 面积的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，以经过 ， 的直线为 轴，线段 的垂直平分线为 轴，建 立 直 角 坐 标 系 ； 则 ： ， ， 设 ， ； ， 两 边 平 方 并 整 理 得 ： ．∴ 面积的最大值是 ， 选 A． ( ) 2 4xf x a= − − a ( )0,4 ( )0,+∞ ( )3,4 ( )3,+∞ ( ) 2 4xf x a= − − ( )3 4a∈ ， k 0k > 1k ≠ A B P A B 2 P A B PAB△ 2 2 2 2 2 3 2 3 A B x AB y ( )1 0A − ， ( )1 0B ， ( )P x y， 2PA PB ＝ ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 x y x y + + ∴ − + ＝ ( )22 2 26 1 0 3 8x y x x y+ − + = ⇒ − + = PAB△ 1 2 2 2 2 22 × × = 22 10．已知双曲线 ： 的右顶点为 ，右焦点为 ， 为 双曲线在第二象限上的一点， 关于坐标原点 的对称点为 ，直线 与直线 的交点 恰好为线段 的中点，则双曲线的离心率为（） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【解析】不妨设 ，由此可得 ， ， ， ， 由于 ， ， 三点共线，故 ，化简得 ，故离心率 ． 11．设锐角 的三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， ，则 周长的取值范围为（） A． B． C ． D． 【答案】C 【解析】因为 为锐角三角形，所以 ， ， ，即 ， ， ，所以 ， ； 又因为 ， 所以 ，又因为 ，所以 ；由 ， E 2 2 2 2 1x y a b − = ( 0, 0)a b> > A F B B O C CA BF M BF 1 2 1 5 2 , bB c a  −   ( ),0A a 2 , bC c a  −   ( ),0F c 2 0, 2 bM a      A C M 2 2 2 b b a a a a c =− − 3c a= 3e = ABC△ A B C a b c 1c = 2A C= ABC△ ( )0,2 2+ ( )0,3 3+ ( )2 2,3 3+ + (2 2,3 3+ +  ABC△ 0 2A π< < 0 2B π< < 0 2C π< < 0 2 2C π< < 0 2 2C C π< π − − < 0 2C π< < 6 4C π π< < 2 3cos2 2C< < 2A C= sin 2sin cosA C C= 1c = 2cosa C= sin sin b c B C = 23 即 ，所以 ，令 ， 则 ，又因为函数 在 上单调递增，所以函数值 域为 ，故选：C． 12．已知 ，若方程 有一个零点，则实数 的取 值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意函数 的图象与直线 有一个交点．如图是 的 图象， 时， ， ，设切点为 ，则切线为 ， 把 代 入 ， ， ； 时 ， ， ， 设 切 点 为 ， 则 切 线 为 ， 把 代 入 ， 解 得 ， 又 ， ，所以由图象知当 时，满足题意，故选 B． 2sin sin3 4cos 1sin sin c B Cb CC C = = = − 24cos 2cosa b c C C+ + = + cost C= 2 3( ,2 2t ∈  24 2y t t= + 2 3( ,2 2   )(2 2 ,3 3+ + ( ) 2 , 11 2 e , 1x xf x x x  >= −  − ≤ ( ) 2f x mx= + m ( ] { },0 6 4 2−∞ − + ( ] { }, e 0, 6 4 2−∞ − − + ( ] { },0 6 3 2−∞ − ( ] { }, e 0,6 3 2−∞ − − ( )f x 2y mx= + ( )f x 1x > ( ) 2 1f x x = − ( ) ( )2 2 1 f x x ′ = − − ( )0 0,x y ( ) ( )02 0 0 2 2 1 1 y x xx x − = − −− − ( )0,2 0 2 2x = + ( )0 4 2 6f x′ = − 1x≤ ( ) 2 exf x = − ( ) exf x′ = − ( )0 0,x y ( ) ( )0 0 02 e ex xy x x− − = − − ( )0,2 0 1x = ( )1 2 ef = − ( ) 11 e ef ′ = − = − ( ] { }, e 0,4 2 6m∈ −∞ − − 24 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 13．已知平面向量 与 的夹角为 ，且 ， ，则 __________． 【答案】2 【解析】 ， ，即 ， ，化简得： ， ． 14．已知 ， ， ，若 恒成立，则实数 的取值范围 是__________． 【答案】 【解析】由题意可得： ，当且仅当 ， 时 等 号 成 立 ， 即 ， 由 恒 成 立 的 结 论 可 得 ： ，即实数 的取值范围是 ． 15．将正整数对作如下分组，第 组为 ，第 组为 ，第 组为 ，第 组为 则第 组第 个数对为__________． 【答案】 a b 3 π 1=b 2 2 3+ =a b =a 2 2 3+ = a b 22 12∴ + =a b 2 24 4 12+ ⋅ + =a a b b 2 24 1 cos60 4 1 12∴ + × × °+ × =a a 2 2 8 0+ − =a a 2∴ =a 0a > 0b > 2 2a b+ = 2 4a b m+ > m 4m < 2 2 22 4 2 2 2 2 2 2 2 4a b a b a b a b++ = + + = =≥ 1a = 1 2b = ( ) min 2 4 4a b+ = ( ) min 2 4a bm < + m 4m < 1 ( ) ( ){ }1,2 , 2,1 2 ( ) ( ){ }1,3 , 3,1 3 ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,4 , 2,3 , 3,2 , 4,1 4 ( ) ( )( )( ){ }1,5 , 2,4 4,2 5,1 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 30 16 (17,15) 25 【解析】根据归纳推理可知，每对数字中两个数字不相等，且第一组每一对数字 和为 ，第二组每一对数字和为 ，第三组每对数字和为 ， ，第 组每一 对数字和为 ， 第 组第一对数为 ，第二对数为 ，第 对 数为 ，第 对数为 ，故答案为 ． 16．在三棱椎 中，底面 是等边三角形，侧面 是直角三角形， 且 ， ，则该三棱椎外接球的表面积为________． 【答案】12π 【解析】由于 ， ， ，则 ，因此取 中点 ， 则 有 ， 即 为 三 棱 锥 外 接 球 球 心 ， 又 由 ， 得 ， 所 以 ， 所 以 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．已知数列 满足 ． （1）证明： 是等比数列； （2）求 ． 【答案】（1）证明见解析；（2） ． 【解析】（1）由 得： ，···········1 分 因为 ， 所以 ，···········3 分 从而由 得 ，···········5 分 3 4 5 ...... 30 32 ∴ 30 ( )1,31 ( )2,30 ,....... 15 ( )15,17 16 ( )17,15 ( )17,15 P ABC− ABC PAB 2PA PB= = PA AC⊥ PA PB= CA CB= PA AC⊥ PB CB⊥ PC O OP OC OA OB= = = O P ABC− 2PA PB= = 2 2AC AB= = ( )222 2 2 2 3PC = + = ( )2 4 3 12S = π× = π { }na 2n nS a n= − ( )*n∈N { }1na + 1 3 5 2 1... na a a a ++ + + + ( )*n∈N 2 32 3 5 3 n n+ − − 1 12 1S a= − 1 1a = ( ) ( )( )1 12 2 1n n n nS S a n a n− −− = − − − − ( )2n≥ 12 1n na a −= + ( )11 2 1n na a −+ = + 1 1 21 n n a a − + =+ ( )2n≥ 26 所以 是以 为首项， 为公比的等比数列．···········6 分 （2）由（1）得 ，···········8 分 所以 ．···········12 分 18．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体 1000 名学生中随机抽取了 100 名学生的体检表，得到如图的频率分布直方图（图 1）． （1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在 5.0 以下的人 数； （2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生 的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在 1～50 名和 951～1000 名的学生进 行了调查，得到图 2 中数据，根据表中的数据，能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为视力与学习成绩有关系？ { }1na + 2 2 2 1n na = − ( ) ( )3 2 1 1 3 5 2 1 2 2 2 1n na a a a n+ ++ + +⋅⋅⋅+ = + +⋅⋅⋅+ − + ( ) ( ) 12 1 4 11 4 n n +− = − +− 2 32 3 5 3 n n+ − −= 27 【答案】(1)820；(2)在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为视力与学习成绩有 关系． 【解析】（1）由图可知，第一组有 3 人，第二组 7 人，第三组 27 人，·········1 分 设后四组的频数构成的等差数列的公差为 ， 则 ，解得 ， 所以后四组频数依次为 ， ， ， ，···········3 分 所以视力在 5.0 以下的频数为 3+7+27+24+21=82 人，···········5 分 故全年级视力在 5.0 以下的人数约为 1000×0.82＝820(人)．···········6 分 （2） ，········10 分 因此能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为视力与学习成绩有关系．······12 分 19．如图，在四棱椎 中， ， 平面 ， 平面 ， ， ， ． （1）求证：平面 平面 ； （2）在线段 上是否存在一点 ，使 平面 ？若存在，求出 的值； 若不存在，说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． A B C D E d ( ) ( ) ( )27 27 2 27 3 63d d d− + − + − = 3d = 27 24 21 18 ( )2 2 100 41 18 32 9 300 4.110 3.84150 50 73 27 73k × × − ×= = ≈ >× × × E ABCD− AE DE⊥ CD ⊥ ADE AB ⊥ ADE 6CD DA= = 2AB = 3DE = ACE ⊥ CDE DE F AF∥ BCE EF ED 28 【解析】（1）证明：因为 平面 ， 平面 ，所以 ，·····2 分 又因为 ， ， 所以 平面 ，···········4 分 又因为 平面 ，所以平面 平面 ．···········6 分 （2）结论：在线段 上存在一点 ，且 ，使 平面 ．······8 分 解：设 为线段 上一点，且 ，过点 作 交 于 ，则 ． 因为 平面 ， 平面 ，所以 ．···········9 分 又因为 ，所以 ， ，···········10 分 所以四边形 为平行四边形，则 ．···········11 分 又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．·····12 分 20．已知椭圆 的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等 边三角形，且椭圆 的短轴长为 ． （1）求椭圆 的标准方程； （2）是否存在过点 的直线 与椭圆 相交于不同的两点 ， ，且满足 A B C D E M F CD ⊥ ADE AE ⊂ ADE CD AE⊥ AE DE⊥ CD DE D= AE ⊥ CDE AE ⊂ ACE ACE ⊥ CDE DE F 1 3 EF ED = AF∥ BCE F DE 1 3 EF ED = F FM CD∥ CE M 1 3FM CD= CD ⊥ ADE AB ⊥ ADE CD AB∥ 3CD AB= MF AB= FM AB∥ ABMF AF BM∥ AF ⊄ BCE BM ⊂ BCE AF∥ BCE 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > C 2 3 C ( )0,2P l C M N 29 （ 为坐标原点）若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理 由． 【答案】(1) ；(2)答案见解析． 【解析】（1）由题意得： ，···········2 分 解得 ，∴椭圆 的标准方程是 ···········4 分 （2）当直线 的斜率不存在时， ， ，不符合题意···········5 分 当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ， ， 由 消 整理得： ， ，解得 或 ，···········6 分 ， ，···········7 分 ∴ ，···········9 分 ∵ ，∴ ，···········10 分 2OM ON⋅ =  O l 2 2 14 3 x y+ = 2 2 2 2 2 3 2 b a c a b c = = = +      2 3 a b  = =  C 2 2 14 3 x y+ = l ( )0, 3M ( )0, 3N − 3OM ON⋅ = −  l l 2y kx= + ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y 2 2 14 3 2 x y y kx + = = +   y ( )2 23 4 16 4 0k x kx+ + + = ( ) ( )2 216 16 3 4 0k k∆ = − + > 1 2k < − 1 2k > 1 2 2 16 3 4 kx x k + = − + 1 2 2 4 3 4x x k = + 1 2 1 2OM ON x x y y⋅ = + =  ( ) ( )2 1 2 1 21 2 4k x x k x x+ + + + ( )2 2 2 2 2 2 4 1 32 16 1243 4 3 4 3 4 k k k k k k + −= − + =+ + + 2OM ON⋅ =  2 2 16 12 23 4 k k − =+ 30 解得 ，满足 ，···········11 分 所以存在符合题意的直线，其方程为 ．···········12 分 21．已知函数 ， ． （1）当 时，求函数 在点 处的切线方程； （2）当 时，令函数 ，若函数 在区间 上有两个零点，求实数 的取值范围． 【答案】（1）切线方程为 ；（2）实数 的取值范围是 ． 【解析】（1）当 时， ． 当 时， ，所以点 为 ，···········1 分 又 ，因此 ．···········2 分 因此所求切线方程为 ．···········4 分 （2）当 时， ， 则 ．···········6 分 因为 ，所以当 时， ，···········7 分 且当 时， ；当 时， ； 故 在 处取得极大值也即最大值 ．···········8 分 2 2k = ± 0∆ > 2 22y x= ± + ( ) ( )21 lnf x a x x= − + a∈R 2a = ( )y f x= ( )( )1, 1P f 1a = − ( ) ( ) ln 2 1g x f x x x m= + − + + ( )g x 1 ,ee      m 1y x= − m 2 11,2 e  +   2a = ( ) ( )22 1 lnf x x x= − + 22 4 ln 2x x x= − + + 1x = ( )1 0f = ( )( )1, 1P f ( )1,0P ( ) 14 4f x x x ′ = − + ( )1 1k f ′= = ( )0 1 1 1y x y x− = × − ⇒ = − 1a = − ( ) 22lng x x x m= − + ( ) ( )( )2 1 12 2 x xg x xx x − + −′ = − = 1 ,eex  ∈   ( ) 0g x′ = 1x = 1 1e x< < ( ) 0g x′ > 1 ex< < ( ) 0g x′ < ( )g x 1x = ( )1 1g m= − 31 又 ， ， ， 则 ，所以 在区间 上的最小值为 ，······10 分 故 在 区 间 上 有 两 个 零 点 的 条 件 是 ， 所以实数 的取值范围是 ．···········12 分 请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22．选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）， 以 坐 标 原 点 为 极 点 ， 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线 的 极 坐 标 为 ． （1）求曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程； （2）若曲线 和曲线 有三个公共点，求以这三个公共点为顶点的三角形的面 积． 【答案】（1） ， ；（2）4． 【解析】（1）由 消去参数 ， 2 1 12e eg m  = − −   ( ) 2e 2 eg m= + − ( ) 2 2 1 1e 2 e 2e eg g m m − = + − − + +   24 e= − + 2 1 0e < ( ) 1e eg g  <    ( )g x 1 ,ee      ( )eg ( )g x 1 ,ee      ( ) 2 1 1 0 1 12 0e e g m g m = − >   = − −       ≤ 2 11 2 em⇒ < +≤ m 2 11,2 e  +   xOy 1C 2cos 2sin x m y α α = + =    α x 2C 2sin 2cosρ θ θ= 1C 2C 1C 2C ( )2 2 4x m y− + = 2 2y x= 2cos 2sin x m y α α = + =    α 32 得 ，即为曲线 的普通方程．···········2 分 由 得 ， 结合互化公式得 ，即为曲线 的直角坐标方程．···········5 分 （2）因为曲线 和曲线 都是关于 轴对称的图形，它们有三个公共点，所以 原点是它们的其中一个公共点，所以 中 ，···········6 分 解 得三个交点的坐标分别为 ， ， ，·····8 分 所以所求三角形面积 ．···········10 分 23．选修 4-5：不等式选讲 已知函数 （1）解不等式 ； （2）记函数 的值域为 ，若 ，证明： ． 【答案】(1) ；（2）见解析． 【解析】(1)依题意，得 ，···········2 分 于是得 或 或 ，··········4 分 解得 ，即不等式 的解集为 ．···········5 分 ( )2 2 4x m y− + = 1C 2sin 2cosρ θ θ= 2 2sin 2 cosρ θ ρ θ= 2 2y x= 2C 1C 2C x ( )2 2 4x m y− + = 2m = ( )2 2 2 2 4 2 x y y x − + = =   ( )0,0 ( )2,2 ( )2, 2− ( )1 2 2 2 42S  = × − − × =  ( ) 2 1 1f x x x= − + + ( ) 3f x ≤ ( ) ( ) 1g x f x x= + + M t M∈ 2 31 3t tt + +≥ { | 1 1}x x− ≤ ≤ ( ) 3 1 12 1 2 13 2 x x f x x x x x  − − = − < ( )( )23 1 0 t t t − + ≥ 2 31 3t tt + +≥ 34 2020 年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 1．设 是虚数单位，若复数 ，则 的共轭复数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】复数 ，根据共轭复数的概念得到， 的共轭复数为： ．故答案为：D． 2．若双曲线 的一个焦点为 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由双曲线性质： ， ， ， ，故选 B． 3．将函数 的图像向左平移 个单位后，得到函数 的图像， 则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ，∴ ，故选 D． i i 1 iz = + z 1 1 i2 2 + 11 i2 + 11 i2 − 1 1 i2 2 − i i 1 1 i 2z += =+ z 1 1 i2 2 − 2 2 1yx m − = ( )3,0− m = 2 2 8 9 64 2 1a = 2b m= 2 1 9c m∴ = + = 8m = πsin 2 4y x = −   π 6 ( )f x π 12f   =   2 6 4 + 3 6 4 + 3 2 2 2 ( ) π π πsin 2 sin 26 4 12f x x x     = + − = +         π π 2sin12 4 2f   = =   35 4．函数 ， 的值域为 ，在区间 上随机取一个数 ， 则 的概率是（ ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】 ， ，即值域 ，若在区间 上随机取一 个数 ， 的事件记为 ，则 ，故选 B． 5．已知变量 和 的统计数据如下表： 根据上表可得回归直线方程 ，据此可以预报当 时， （ ） A．8.9 B．8.6 C．8.2 D．8.1 【答案】D 【解析】 ， ， ∴ ， ，∴ 时， ，故选 D． 6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） ( ) 1 2 x f x  =    ( )0,x∈ +∞ D ( )1,2− x x D∈ 1 2 1 3 1 4 0x > 10 12 x ∴ < F 2 2 13 y x− = M N MNF△ F p = 2 3 3 3 3 2 2y px= 2 px = − 2 2 13 y x− = 39 解 得 由 双 曲 线 的 对 称 性 知 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， ， ， ， ．故选 A． 12．若关于 的不等式 在 上恒成立，则实数 的 取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意， 或 ， 令 ， 则 ， 所以当 时， ，当 时， ， 当 时， ，当 时， ， 所以 或 ，即 或 ，故选 A． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 13．已知 ， ，则“ ”是直线 与直线 平行的 233 4 py = ± + MNF△ π 4FMN∴∠ = 2 tan 1 33 4 pFMN p ∴ ∠ = = + 2 2 33 4 pp∴ = + 2 3p∴ = x e 1 1 xk xx + − > ( ) ( )0 0−∞ + ∞， ， k ( ) 2 5e e  −∞ − + ∞  ， ， ( ) 2 32e e  −∞ − + ∞  ， ， 2 1 5 e e    −∞ − + ∞      ， ， 2 2 3 e e    −∞ − + ∞      ， ， e 1 e 11 1 x xk kx xx x + +− > ⇔ > + ⇔ 2 0 1 ex x x xk > + −> 2 0 1 ex x x xk ( )2,x∈ +∞ ( ) 0f x′ < ( )2k f> ( )1k f< − 2 5 ek > ek < − x y∈R 1a = 1 0ax y+ − = 1 0x ay+ + = 40 __________条件（从“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不 必要”中选择一个） 【答案】充要 【解析】若直线 与直线 平行，则有 ，即 ， 且当 时，两直线重合，舍去，因此 ，即 是直线 与直 线 平行的充要条件，故答案为充分必要． 14．若当 时，函数 取得最小值，则 ______． 【答案】 【解析】 ，所以 ，因为 在 ， 所 以 ， 所 以 ， 故 或 者 （舍），故填 ． 15．在矩形 中， ， ．边 上（包含 、 ）上的动点 与 延长线上（包含点 ）的动点 满足 ，则 的最小值为 ____． 【答案】 【解析】以 为原点建立平面直角坐标系，则 ，设 ， ，则 ， ， ，故 1 0ax y+ − = 1 0x ay+ + = 2 1a = 1a = ± 1a = − 1a = 1a = 1 0ax y+ − = 1 0x ay+ + = x θ= ( ) 3cos sinf x x x= − cosθ = 3 10 10 − ( ) 3cos sinf x x x= − ( ) 3sin cosf x x x′ = − − ( )f x x θ= ( ) 0f θ′ = 3sin cos 0θ θ− − = 1tan 3 θ = − 3 10cos 10 10sin 10 θ θ  = −  = 3 10cos 10 10sin 10 θ θ  =  = − 3 10 10 − ABCD 2AB = 1AD = DC D C P CB B Q DP BQ=  PA PQ⋅  3 4 D ( )0,1A DP x= [ ]0,2x∈ ( ),0P x ( )2, 1Q x + ( ) ( ) 2 2 1 3,1 2 , 1 1 2 4PA PQ x x x x x x ⋅ = − ⋅ − + = − + = − +     41 最小值为 ． 16 ． 已 知 定 义 在 上 的 函 数 是 奇 函 数 ， 且 满 足 ， ，数列 满足 且 ，则 _______． 【答案】 【 解 析 】 因 为 函 数 是 奇 函 数 ， 所 以 ， 又 因 为 ， 所以 ，所以 ，即 ， 所以 是以 为周期的周期函数；由 可得 ， 则 ，即 ， 所以 ， ，又因为 ， ， 所以 ．故答案为： ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 ． 已 知 在 中 ， 角 ， ， 的 对 边 分 别 为 ， ， ， 且 ． （1）求角 的大小： 3 4 R ( )f x ( ) ( )3f x f x− = ( )1 3f − = { }na 1 1a = ( )1n n na n a a+= − ( )*n∈N ( ) ( )36 37f a f a+ = 3− ( )f x ( ) ( )f x f x− = − ( ) ( )3f x f x− = ( ) ( )3f x f x− = − − ( ) ( )3f x f x+ = − ( ) ( )6f x f x+ = ( )f x 6 ( )1n n na n a a+= − 1 1n n a n a n + += 1 2 2 1 1 2 3 1 1 3 2 11 2 4 1 n n n n n n n a a a a n n na a na a a a n n n − − − − − − −= ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅ ⋅ = × × ×⋅⋅⋅× × =− − − na n= 36 36a = 37 37a = ( )1 3f − = ( )0 0f = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )36 37 0 1 1 1 3f a f a f f f f+ = + = = − − = − 3− ABC△ A B C a b c sin cos 0a B b A− = A 42 （2）若 ， ．求 的面积． 【答案】（1） ；（2）4． 【解析】（1）在 中，由正弦定理得 ．······1 分 即 ，又角 为三角形内角， ， 所以 ，···········3 分 即 ，···········4 分 又因为 ，所以 ．···········6 分 （2）在 中，由余弦定理得： ， 则 ．···········7 分 即 ．···········8 分 解得 （舍）或 ．···········10 分 所以 ．···········12 分 18．某品牌经销商在一广场随机采访男性和女性用户各 50 名，其中每天玩微信 超过 6 小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如下： 微信控 非微信控 合计 男性 26 24 50 女性 30 20 50 合计 56 44 100 （1）根据以上数据，能否有 95%的把握认为“微信控”与“性别”有关？ （2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出 5 人，求所抽取的 5 人中“微 信控”和“非微信控”的人数； 2 5a = 2b = ABC△ π 4A = ABC△ sin sin sin cos 0A B B A− = ( )sin sin cos 0B A A− = B sin 0B ≠ sin cos 0A A− = π2 sin 04A − =   ( )0,πA∈ π 4A = ABC△ 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − ⋅ 2 220 4 4 2c c  = + − ⋅    2 2 2 16 0c − − = 2 2c = − 4 2c = 1 22 4 2 42 2S = × × × = 43 （3）从（2）中抽取的 5 位女性中，再随机抽取 3 人赠送礼品，试求抽取 3 人中 恰有 2 人位“微信控”的概率． 参考公式： ，其中 ． 参考数据： 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 【答案】（1）没有 的把握认为“微信控”与“性别”有关；（2） ；（3） ． 【解析】（1）由列联表可得： ，··· ·3 分 所以没有 的把握认为“微信控”与“性别”有关．···········4 分 （2）根据题意所抽取的 位女性中，“微信控”有 人，“非微信控”有 人····6 分． （3）抽取的 位女性中，“微信控” 人分别记为 ， ， ；“非微信控” 人分 别记为 ， ． 则再从中随机抽取 人构成的所有基本事件为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共有 种；···········9 分 抽取 人中恰有 人为“微信控”所含基本事件为： ， ， ， ， ， ，共有 种，···········11 分 所求为 ．···········12 分 19．在三棱锥 ， 和 都是边长为 的等边三角形， ， ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + + ( )2 0P K k≥ 0k 95% 2 3 5 ( ) ( )( )( )( ) ( )2 2 2 100 26 20 30 24 50 0.649 3.84150 50 56 44 77 n ad bcK a b c d a c b d − × × − ×= = = ≈ > 1F 1 2 1F 2 2: 2 15 0M x y x+ + − = 2F l A B 2F l 1l M C D ACBD 2 2 14 3 x y+ = 12,8 3   1 2 c a = 2a c= M ( )2 21 16x y+ + = ( )1 1 0F − ， 1c = 2a = 2 2 2b a c= − 3b = 2 2 14 3 x y+ = ( )2 1,0F l x k : 1l x = 1 : 0l y = 3AB = 8CD = ACBD 46 （ii）当 与 轴平行时，此时 ，直线 ，直线 ， 可得： ， ，四边形 面积为 ．·········6 分 （iii）当 与 轴不垂直时，设 的方程为 ，并设 ， ． 由 ，得 ． 显然 ，且 ， ．···········8 分 所以 ．···········9 分 过 且与 垂直的直线 ，则圆心到 的距离为 ， 所以 ．···········10 分 故四边形 面积： ． 可得当 与 轴不垂直时，四边形 面积的取值范围为 ．······11 分 综上，四边形 面积的取值范围为 ．···········12 分 21．已知函数 ． （1）若 是函数的极值点，求 的值及函数 的极值； （2）讨论函数的单调性． l x 0k = : 0l y = 1 : 1l x = 4AB = 4 3CD = ACBD 8 3 l x l ( )1y k x= − ( )0k ≠ ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( ) 2 2 1 14 3 y k x x y  = −  + = ( )2 2 2 24 3 8 4 12 0k x k x k+ − + − = 0∆ > 2 1 2 2 8 4 3 kx x k + = + 2 1 2 2 4 12 4 3 kx x k −= + ( )2 2 1 2 2 12 1 1 4 3 k AB k x x k + = + − = + 2F l ( )1 1: 1l y xk = − − 1l 2 2 1k + 2 2 2 22 2 4 32 4 4 11 kCD kk   += − =  ++  ACBD 2 1 112 12 4 3S AB CD k = = + + l x ACBD ( )12,8 3 ACBD 12,8 3   ( ) ( ) ( ) ( )21 1 1 2 ln 02f x ax a x a x a= + − + − > 2x = a ( )f x 47 【答案】（1） ，极大值为 ，极小值为 ；（2）见解析． 【解析】（1）∵ ， ∴ ，···········1 分 由已知 ，解得 ，···········2 分 此时 ， ， 当 和 时， ， 是增函数， 当 时， ， 是减函数，···········4 分 所以函数 在 和 处分别取得极大值和极小值． 故函数 的极大值为 ， 极小值为 ．···········5 分 （2）由题意得 ，···········6 分 ①当 ，即 时，则当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增．···········7 分 ②当 ，即 时， 则当 和 时， ， 单调递增； 1 4a = 5 8 − 1 ln 2 12 − ( ) ( ) ( )21 1 1 2 ln2f x ax a x a x= + − + − ( ) ( ) ( )1 21 0af x ax a xx −= + +′ − > ( ) ( ) 1 2 12 2 1 2 02 2 af a a a − =′ = + − + − = 1 4a = ( ) 21 3 1 ln8 4 2f x x x x= − + ( ) ( )( )1 21 3 1 4 4 2 4 x xf x x x x − −= − + =′ 0 1x< < 2x > ( ) 0f x′ > ( )f x 1 2x< < ( ) 0f x′ < ( )f x ( )f x 1x = 2x = ( )f x ( ) 1 3 51 8 4 8f = − = − ( ) 1 3 1 12 ln2 ln2 12 2 2 2f = − + = − ( ) ( ) 1 21 af x ax a x −= + − +′ ( ) ( )2 1 1 2ax a x a x + − + −= ( ) ( ) 1 21 0 aa x x a xx − − −  = > 1 2 0a a − ≤ 1 2a≥ 0 1x< < ( ) 0f x′ < ( )f x 1x > ( ) 0f x′ > ( )f x 1 20 1a a −< < 1 1 3 2a< < 1 20 ax a −< < 1x > ( ) 0f x′ > ( )f x 48 当 时， ， 单调递减．···········9 分 ③当 ，即 时， 则当 和 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减．···········11 分 ④当 ，即 时， ，所以 在定义域 上单调递 增． 综上：①当 时， 在区间 上单调递减，在区间 和 上单调递增； ②当 时， 在定义域 上单调递增； ③ 当 时 ， 在 区 间 上 单 调 递 减 ， 在 区 间 和 上单调递增； ④当 时， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增．······12 分 请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22．直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 ． （1）在以 为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求 ， 的极坐标方 程； 1 2 1a xa − < < ( ) 0f x′ < ( )f x 1 2 1a a − > 10 3a< < 0 1x< < 1 2ax a −> ( ) 0f x′ > ( )f x 1 21 ax a −< < ( ) 0f x′ < ( )f x 1 2 1a a − = 1 3a = ( ) 0f x′ ≥ ( )f x ( )0,+∞ 10 3a< < ( )f x 1 21, a a −     ( )0,1 1 2 ,a a − +∞   1 3a = ( )f x ( )0,+∞ 1 1 3 2a< < ( )f x 1 2 ,1a a −     1 20, a a −     ( )1,+∞ 1 2a≥ ( )f x ( )0,1 ( )1,+∞ xOy 1C 1 cos sin x y α α = + =    α 2 2 2 : 13 xC y+ = O x 1C 2C 49 （2）射线 与 异于极点的交点为 ，与 的交点为 ，求 ． 【答案】（1）曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的极坐标方程为 ；（2） ． 【解析】（1）曲线 ： （ 为参数）化为普通方程为 ， 所以曲线 的极坐标方程为 ，···········3 分 曲线 的极坐标方程为 ．···········5 分 （2）射线 与曲线 的交点的极径为 ，···········7 分 射线 与曲线 的交点的极径满足 ， 解得 ，···········9 分 所以 ．···········10 分 23．选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ． （1）若 ，求 的取值范围； （2）若存在 ，使得 成立，求 的取值范围． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）由 得 ， ∴ ，或 ，或 ，······3 分 ( )π 03 θ ρ= ≥ 1C A 2C B AB 1C 2cosρ θ= 2C ( )2 21 2sin 3ρ θ+ = 1 2 30 15AB ρ ρ= − = − 1C 1 cos sin x y α α = + =    α 2 2 2x y x+ = 1C 2cosρ θ= 2C ( )2 21 2sin 3ρ θ+ = ( )π 03 θ ρ= ≥ 1C 1 π2cos 13 ρ = = ( )π 03 θ ρ= ≥ 2C 2 2 2 π1 2sin 33 ρ  + =   2 30 5 ρ = 1 2 30 15AB ρ ρ= − = − ( ) 3f x x= − ( ) ( )2 9f t f t+ < t [ ]2,4x∈ ( )2 3f x x a+ + ≤ a 1 5t− < < [ ]4,0a∈ − ( ) ( )2 9f t f t+ < 3 2 3 9t t− + − < 3 2 3 3 2 9 t t t− + − <   ≤ 3 32 3 2 3 9 t t t  <    x f x ( ) 0 1 0 < − <    x f x 0 1 3 > − > 1F 2F 1F 60° y A B A 1FB 3 2 3+ 2 1+ 2 2 2 2 1x y a b − = ( 0, 0)a b> > F ( ),0c− l ( )3y x c= + 0x = 3y c= ( )0, 3A c A 1FB ( ),2 3B c c 2 2 2 2 12 1c c a b − = ( )1ce ea = > 2 2 2 12 11 ee e − =− 4 214 1 0e e− + = 2 7 4 3e = ± 1e > 2 3e = + 42 713 78 x x= ⇒ = 57 14．某四棱锥的三视图如图所示（单位： ），则该几何体的侧面积是________ ． 【答案】27 【解析】由三视图得到几何体如图： 侧面积为 ；故答案为：27． 15．已知平面向量 ， 的夹角为 ，且 ， ．若平面向量 满足 ，则 __________． 【答案】 【解析】 cm 2cm 1 1 1 13 4 3 4 3 5 5 3 272 2 2 2 × × + × × + × × + × × = a b 120° 1=a 2=b m 1⋅ = ⋅ =m a m b =m 21 3 58 如图，设 ， ，则 ， ，设 由 ，得 ，解得 ． ．即 答案为 ． 16．已知函数 ，若关于 的方程 有两个不 等实数根，则 的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 ，易知 的图象如下： ，令 ，则 ，得 ， ，当 有两个不等实根是，则 ，所以 ，即 的取值范围是 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．在 内，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ． （1）求角 的值； OA＝a OB＝b 1 0A（，） 1 3B −（ ， ） ( )x ym＝ ， ， 1⋅ = ⋅ =m a m b 1 3 1 − + ＝ ＝ x x y 1 2 3 3 x y   ＝ ＝ 2 2 2 3 211 3 3  ∴ = +     m ＝ 21 3 ( ) exf x x= x ( ) ( ) ( )2 2 3 0f x tf x t− + = ∈R t 1 3e3, 2e 2  +   exy x= ( ) exf x x= ( ) 11 ef − = ( )f x k= 2 2 3 0k tk− + = 32t k k = + 0k > ( )f x k= 1 ek > 12 3 2 3eet< < + t 1 3e3, 2e 2  +   ABC△ A B C a b c ( )cos cos cosb A c B c a B− = − B 59 （2）若 的面积为 ， ，求 的值． 【答案】（1） ；（2）7． 【解析】（1）∵ ． ∴由正弦定理，得 ．···········1 分 ∴ ． ．···········3 分 又 ，∴ ．···········4 分 又∵ ， ．··········5 分又 ， ．··········6 分 （2）据（1）求解知 ，∴ ．①··········8 分 又 ，·········9 分 ∴ ，②··········10 分 又 ，∴据①②解，得 ．··········12 分 18．随着共享单车的成功运营，更多的共享产品逐步走入大家的世界，共享汽车、 共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷．某公司随机抽取 人对共 享产品对共享产品是否对日常生活有益进行了问卷调查，并对参与调查的 人中的性别以及意见进行了分类，得到的数据如下表所示： （1）根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过 的前提下，认为对共享产 品的态度与性别有关系． （2）现按照分层抽样从认为共享产品增多对生活无益的人员中随机抽取 人， ABC△ 3 3 13b = a c+ 3B π= ( )cos cos cosb A c B c a B− = − ( )sin cos sin cos sin sin cosB A C B C A B− = − sin cos cos sin 2sin cosA B A B C B+ = ( )sin 2sin cosA B C B∴ + = + + = πA B C ( )sin sinA B C+ = 0 < < πC 1cos 2B∴ = ( )0∈ π，B 3 π∴ =B 3 π=B 2 2 2 2 22 cosb a c ac B a c ac= + − = + − 1 sin 3 32S ac B= = 12ac = 13b = 7a c+ = 1000 1000 0.1% 6 60 再从 人中随机抽取 人赠送超市购物券作为答谢，求恰有 人是女性的概率． 参考公式： ． 临界值表： 【答案】（1）可以；（2） ． 【解析】（1）依题意，在本次的实验中， 的观测值 ，··········4 分 故可以在犯错误的概率不超过 的前提下，认为对共享产品的态度与性别有 关系．··········6 分 （2）依题意，应该认为共享产品增多对生活无益的女性中抽取 人，记为 ， ， ， ，从认为共享产品增多对生活无益的男性中抽取 人，记为 ， ， 从以上 人中随机抽取 人，所有的情况为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共 种，··········9 分 其中满足条件的为 ， ， ， ， ， ， ， 共 8 种情况．··········11 分 故所求概率 ．··········12 分 19．在如图所示的五面体 中，四边形 为菱形，且 ， 平面 ， ， 为 中点． （1）求证： 平面 ； 6 2 1 ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + 8 15 2K ( )2 2 1000 400 200 300 100 700 300 500 500K × × − ×= × × × 47.619 10.828≈ > 0.1% 4 A B C D 2 a b 6 2 ( ),A B ( ),A C ( ),A D ( ),A a ( ),A b ( ),B C ( ),B D ( ),B a ( ),B b ( ),C D ( ),C a ( ),C b ( ),D a ( ),D b ( ),a b 15 ( ),A a ( ),A b ( ),B a ( ),B b ( ),C a ( ),C b ( ),D a ( ),D b 8 15P = ABCDEF ABCD 60DAB∠ = ° EF∥ ABCD 2 2EA ED AB EF= = = = M BC FM∥ BDE 61 （2）若平面 平面 ，求 到平面 的距离． 【答案】（1）见解析；（2） ． 【解析】 （1）取 中点 ，连接 ， 因为 分别为 中点，所以 ， 又 平面 ，且 平面 ，所以 平面 ，··········1 分 因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ， 所以 ． 又 ， ，所以 ， ． 所以四边形 为平行四边形．·········2 分 所以 ．··········3 分 又 平面 且 平面 ，所以 平面 ，··········4 分 又 ，所以平面 平面 ．··········5 分 ADE ⊥ ABCD F BDE 15 5 CD N ,MN FN ,N M ,CD BC MN BD∥ BD ⊂ BDE MN ⊄ BDE MN∥ BDE EF∥ ABCD EF ⊂ ABEF ABCD  ABEF AB= EF AB∥ 2 2 2AB CD DN EF= = = = AB CD∥ EF CD∥ EF DN= EFND FN ED∥ ED ⊂ BDE FN ⊄ BDE FN∥ BDE FN MN N= MFN∥ BDE 62 又 平面 ，所以 平面 ．··········6 分 （2）由（1）得 平面 ，所以 到平面 的距离等于 到平面 的距离． 取 的中点 ，连接 ， ， 因为四边形 为菱形，且 ， ， 所以 ， ， 因为平面 平面 ，平面 平面 ， 所以 平面 ， ， 因为 ，所以 ，··········8 分 所以 ，··········9 分 设 到平面 的距离为 ，又因为 ，··········10 分 所以由 ，得 ，解得 ． 即 到平面 的距离为 ．··········12 分 20．已知椭圆 的方程为 ，椭圆 的短轴为 的长轴且离心率为 ． （1）求椭圆 的方程； （2）如图， 分别为直线 与椭圆 、 的交点， 为椭 圆 与 轴的交点， 面积为 面积的 2 倍，若直 MF ⊂ MFN FM∥ BDE / /FM BDE F BDE M BDE AD H EH BH ABCD 60DAB∠ = ° 2EA ED AB EF= = = EH AD⊥ BH AD⊥ ADE ⊥ ABCD ADE  ABCD AD= EH ⊥ ABCD EH BH⊥ 3EH BH= = 6BE = 2 21 6 156 22 2 2BDES  = × × − =   △ F BDE h 1 1 3 342 2 4 2BDM BCDS S∆ ∆= = × × = E BDM M BDEV V− −= 1 3 1 1533 2 3 2h× × = × × 15 5h = F BDE 15 5 1C 2 2 14 3 x y+ = 2C 1C 3 2 2C M N、 l 1C 2C P 2C y PON△ POM△ 63 线 的方程为 ，求 的值． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）椭圆 的长轴在 轴上，且长轴长为 4， ∴椭圆 的短轴在 轴上，且短轴长为 4．·········1 分 设椭圆 的方程为 ，则有 ，·········2 分 ∴ ， ，∴椭圆 的方程为 ．·········5 分 （2）设 ， ， 由 面积为 面积的 2 倍得 ， ∴ ．·········6 分 联立方程 ，消 得 ，·········8 分 ∴ ．同样可求得 ．·········10 分 ∴ ，解得 ，·········11 分 ∵ ，∴ ．·········12 分 21．已知函数 ． l ( 0)y kx k= > k 2 2 14 16 x y+ = 3k = 1C x 2C x 2C 2 2 2 2 1( 0)y x a ba b + = > > 2 2 4 3 11 2 2 =  = − =        b b a 4a = 2b = 2C 2 2 14 16 x y+ = ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y PON△ POM△ 2ON OM= 2 12x x= 2 2 14 3 y kx x y = + = y 2 12 4 3x k = ± + 1 2 12 4 3x k = + 2 2 16 4x k = + 2 2 16 1224 4 3k k =+ + 3k = ± 0k > 3k = ( ) ( )lnf x x x ax a= − ∈R 64 （1）求函数 的单调区间； （2）探究：是否存在实数 ，使得 恒成立？若存在，求出 的值； 若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 的单调减区间为 ，单调增区间为 ；（2） ． 【解析】（1）依题意， ，·········1 分 令 ，解得 ，故 ，·········3 分 故当 时，函数 单调递减，当 时，函数 单调递 增； 故函数 的单调减区间为 ，单调增区间为 ．·········5 分 （2） ，其中 ， 由题意知 在 上恒成立， ， 由（1）可知，∴ ，······7 分 ∴ ，记 ，则 ，令 ，得 ．·······9 分 当 变化时， ， 的变化情况列表如下： ( )f x a ( ) 0f x a+ ≥ a ( )f x ( )10,ea− ( )1e ,a− +∞ 1a = ( ) ln 1f x x a′ = + − ( ) 0f x′ = ln 1x a= − 1eax −= ( )10,eax −∈ ( )f x ( )1e ,ax −∈ +∞ ( )f x ( )f x ( )10,ea− ( )1e ,a− +∞ ( ) ( )ln 1g x x x a x= − − 0x > ( ) 0g x ≥ ( )0,+∞ ( ) ln 1g x x a′ = + − ( ) ( ) ( )1 min eag x g x g −= = 极小 ( ) ( )1 1 11 e e 1 ea a aa a a− − −= − − − = − 1e 0aa −− ≥ ( ) 1eaG a a −= − ( ) 11 eaG a −′ = − ( ) 0G a′ = 1a = a ( )G a′ ( )G a 65 ∴ ，故 ，当且仅当 时取等号， 又 ，从而得到 ．·········12 分 请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22．选修 4-4：坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系 中，椭圆 的方程为 ，以 为极点， 轴 非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ． （1）求直线 的直角坐标方程和椭圆 的参数方程； （2）设 为椭圆 上任意一点，求 的最大值． 【答案】（1）直线 的直角坐标方程为 ，椭圆 的参数方程为 ，（ 为参数）；（2）9． 【解析】（1）由 ，得 ， 将 ， 代入，得直线 的直角坐标方程为 ．·······3 分 椭圆 的参数方程为 ，（ 为参数）．·········5 分 （2）因为点 在椭圆 上，所以设 ， 则 ， ( ) ( ) ( )max 1 0G a G a G= = = 极大 1e 0aa −− ≤ 1a = 1e 0aa −− ≥ 1a = xOy C 2 2 116 4 y x+ = O x l sin 33 ρ θ π + =   l C ( ),M x y C 2 3 1x y+ − l 3 6 0x y+ − = C 2cos 4sin x y ϕ ϕ = =    ϕ sin 33 ρ θ π + =   1 3sin cos 32 2 ρ θ ρ θ+ = cosx ρ θ= siny ρ θ= l 3 6 0x y+ − = C 2cos 4sin x y ϕ ϕ = =    ϕ M C ( )2cos ,4sinϕ ϕM 2 3 1 4 3cos 4sin 1 8sin 1 93x y ϕ ϕ ϕ π + − = + − = + −   ≤ 66 当且仅当 时，取等号，所以 ．·········10 分 23．选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ． （1）若 恒成立，求实数 的最大值； （2）记（1）中 的最大值为 ，正实数 ， 满足 ，证明： ． 【答案】（1）2；（2）见解析． 【解析】由 ，·········2 分 得 ，要使 恒成立，只要 ，即 ，实数 的最大值为 2；·········5 分 （2）由（1）知 ，又 ，故 ， ， ∵ ，∴ ，∴ ．·········10 分 sin 13 ϕ π + = −   max 2 3 1 9x y+ − = ( ) 1f x x x= + − ( ) 1f x m≥ − m m M a b 2 2a b M+ = 2a b ab+ ≥ ( ) 2 1 0 1 0 1 2 1 1 x x f x x x x − + = < 2 10 1e < < ( ) 2 2 2 1 1 0,1e e   + ∈    2 1 1 2e e− > 2 1e e− 1,2  +∞   74 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 13．已知 ， 为虚数单位，若 为纯虚数，则 的值为__________． 【答案】1 【解析】由题意得 ，∵ 为纯虚数， ∴ ，解得 ．答案：1． 14．我国古代数学家著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关 二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并 五关所税，适重一斤，问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第 1 关收 税金 ，第 2 关收税金为剩余金的 ，第 3 关收税金为剩余金的 ，第 4 关收 税金为剩余金的 ，第 5 关收税金为剩余金的 ，5 关所收税金之和，恰好重 1 斤，问原本持金多少？”若将题中“5 关所收税金之和，恰好重 1 斤，问原本持金 多少？”改成“假设这个人原本持金为 ，按此规律通过第 8 关”，则第 8 关需收 税金为__________ ． 【答案】 【解析】第 1 关收税金： ； 第 2 关收税金： ； 第 3 关收税金： ； …… 第 8 关收税金： ． a∈R i i 1 i a − + a ( )( ) ( )( ) ( )i 1 i 1 +1 ii 1 i 1 i 1 i 2 a a aa − − − −− = =+ + − i 1 i a − + 1 0 +1 0 a a − =  ≠ 1a = 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 x x 1 72 1 2 x 1 113 2 6 2 3 x xx − = =  ×  1 1 114 2 6 12 3 4 x xx − − = =  ×  8 9 72 x x=× 75 15．若 ， 满足约束条件 ，则 的取值范围为__________． 【答案】 【解析】画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示）． 表示可行域内的点 与点 连线的斜率． 由 ，解得 ，故得 ； 由 ，解得 ，故得 ． 因此可得 ， ， 结合图形可得 的取值范围为 ．答案： ． 16．已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，且 ，则当 的面积取最大值时， __________． 【答案】 【解析】由正弦定理得 ，故 x y 2 0 4 0 2 x y x y y − +  + −  ≥ ≤ ≥ 1 y x + 2 ,23      1 y x + ( ),M x y ( )1,0P − 4 0 2 x y y + − =  = 2 2 x y =  = ( )2,2B 2 0 2 x y y + + =  = 0 2 x y =  = ( )0,2A 2PAk = 2 3PBk = 1 y x + 2 ,23      2 ,23      ABC△ A B C a b c 2 3c = 3 cos cos tan c a B b A C =+ ABC△ a = 2 3 ( ) sin sin sin 31sin cos cos sin sin sin tan C C C A B A B A B C C = = = =+ + 76 ， ． 故 当 为 等 边 三 角 形 面 积 取 得 最 大 值 ， 即 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．已知数列 是递增的等差数列， ， ， ， 成等比数 列． （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，数列 的前 项和 ，求满足 的最小的 的值． 【答案】（1） ；（2）13． 【解析】（1）设 的公差为 ，由条件得 ， ∴ ，···········4 分 ∴ ．···········6 分 （2） ，···········8 分 ∴ ． 由 得 ．···········11 分 ∴满足 的最小值的 的值为 ．···········12 分 18．某网站调查 2016 年大学毕业生就业状况，其中一项数据显示“2016 年就业 tan 3C = π 3C = ABC△ 2 3a b c= = = { }na 2 3a = 1a 3 1a a− 8 1a a+ { }na 1 3 n n n b a a + = { }nb n nS 36 25nS > n 2 1na n= − { }na ( 0)d d＞ ( )1 2 1 1 3 2 7 (2 ) 0 a d a a d d d + =  + =  > 1 1 2 a d =  = ( )1 2 1 2 1na n n= + − = − ( )( )1 3 3 3 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1n n n b a a n n n n+  = = = − − + − +  3 1 1 1 1 1 312 3 3 5 2 1 2 1 2 1n nS n n n  = − + − + + − = − + +  3 36 2 1 25 n n >+ 12n > 36 25nS > n 13 77 率最高学科”为管理学，高达 （数据来源于网络，仅供参考）．为了解高 三学生对“管理学”的兴趣程度，某校学生社团在高校高三文科班进行了问卷调 查，问卷共 100 道选择题，每题 1 分，总分 100 分，社团随机抽取了 100 名学 生的问卷成绩（单位：分）进行统计，得到频率分布表如下： 组号 分组 男生 女生 频数 频率 第一组 3 2 5 0.05 第二组 17 第三组 20 10 30 0.3 第四组 6 18 24 0.24 第五组 4 12 16 0.16 合计 50 50 100 1 （1）求频率分布表中 ， ， 的值； （2）若将得分不低于 60 分的称为“管理学意向”学生，将低于 60 分的称为“非 管理学意向”学生，根据条件完成下面 列联表，并据此判断是否有 的 把握认为是否为“管理学意向”与性别有关？ 93.6% [ )0,20 [ )20,40 x y z [ )40,60 [ )60,80 [ ]80,100 x y z 2 2× 99.9% 78 非管理学意向 管理学意向 合计 男生 女生 合计 （3）心理咨询师认为得分低于 20 分的学生可能“选择困难”，要从“选择困难” 的 5 名学生中随机抽取 2 名学生进行心理辅导，求恰好有 1 名男生，1 名女生被 选中的概率． 参考公式： ，其中 ． 参考临界值： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） ， ， ．（2）有 的把握认为是否为“管理 学意向”与性别有关．（3） ． 【解析】（1）依题意得 ， ， ．···········3 分 （2） 列联表： 非管理学意向 管理学意向 合计 男生 50 女生 50 a = c = b = d = ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + + ( )2P K k≥ k 8x = 25y = 0.25z = 99.9% 3 5 8x = 25y = 0.25z = 2 2× 40a = 10c = 20b = 30d = 79 合计 60 40 100 ···········5 分 ，···········7 分 故有 的把握认为是否为“管理学意向”与性别有关．···········8 分 （3）将得分在 中 3 名男生分别记为 ， ， ，得分在 中 2 名女 生记为 ， ，则从得分在 的学生中随机选取两人所有可能的结果有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共 10 种．···········10 分 设“恰好有 1 名男生，1 名女生被选中”为事件 ，则事件 所有可能的结果有： ， ， ， ， ， 共 6 种，···········11 分 ∴恰好有 1 名男生，1 名女生被选中的概率为 ．···········12 分 19．如图，在直三棱柱 中， 分别是棱 的中点，点 在 棱上，且 ， ， ． （1）求证： 平面 ； （2）当 时，求三棱锥 的体积． ( )2 2 100 40 30 20 10 16.667 10.82860 40 50 50K × − ×= = >× × × 99.9% [ )0,20 a b c [ )0,20 M N [ )0,20 ( ),a b ( ),a c ( ),a M ( ),a N ( ),b c ( ),b M ( ),b N ( ),c M ( ),c N ( ),M N A A ( ),a M ( ),a N ( ),b M ( ),b N ( ),c M ( ),c N 6 3 10 5 = 1 1 1ABC A B C− ,D E ,BC AB F 1CC AB AC= 1 3AA = 2BC CF= = 1C E∥ ADF 2AB = 1A DEF− 80 【答案】（1）见解析；（2） ． 【解析】（1）连接 交 于点 ，连接 ， 由 ， 分别是棱 ， 中点，故点 为 的重心，···········2 分 在 中，有 ， ，··········4 分 又 平面 ， 平面 ，···········6 分 （2）取 上一点 使 ， ∵ 且直三棱柱 ， ∴ ，∵ 为中点， ∴ ， ， 平面 ，···········8 分 ∴ ，···········9 分 而 ， 点 到平面 的距离等于 ， 3 12 CE AD P PF D E BC AB P ABC∆ ∴ 1CC E△ 1 2 3 CP CF CE CC = = ∴ 1PF EC∥ 1EC ⊄ ADF ∴ 1C E∥ ADF 1AA H 12AH HA= 12CF FC= 1 1 1ABC A B C− HF AC∥ ,D E DE AC∥ DE HF∥ HF∥ 1ADE 1 1 1 1A DEF F ADE H ADE D AHEV V V V− − − −= = = 1 1 11 12 2EHAS∆ = × × = D 1 1AA B B 3 2 81 ∴ ， ∴三棱锥 的体积为 ．···········12 分 20．已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ．过 且斜率为 的直线 与椭圆 相交于点 ， ．当 时，四边形 恰在 以 为直径，面积为 的圆上． （1）求椭圆 的方程； （2）若 ，求直线 的方程． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）当 时，直线 轴， 又四边形 恰在以 为直径，面积为 的圆上， ∴四边形 为矩形，且 ． ∴点 的坐标为 ．···········2 分 又 ，∴ ．···········3 分设 ，则 ． 1 1 1 1 3 3 3 2 2 12D A HE A DEFV V− −= × × = = 1A DEF− 3 12 C 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1F 2F 30, 2P b       k l C M N 0k = 1 2MNF F 1MF 25 16 π C 3 7PM PN MN⋅ = l 2 2 14 3 x y+ = 11 3 11 2y x= ± + 0k = l x∥ 1 2MNF F 1MF 25 16 π 1 2MNF F 1 5 2MF = M 2 , bc a      2 3 2 b ba = 3 2 b a = 2 , 3a k b k= = c k= 82 在 中， ， ， ∴ ，∴ ．∴ ， ，···········5 分 ∴椭圆 的方程为 ．···········6 分 （2）将 与椭圆方程联立得 ， 设 ， ，得 ， ．···········7 分 故 ． ···········8 分 又 ，··9 分 ∴ ，···········10 分 即 ，解得 ，···········11 分 ∴直线 的方程为 ．···········12 分 21．已知函数 ． （1）若 ，讨论函数 的单调性； 1 2Rt MF F△ 2 3 2MF k= 1 2 2FF k= 1 5 5 2 2MF k= = 1k = 2a = 3b = C 2 2 14 3 x y+ = 3: 2l y kx= + ( )2 23 4 12 3 0k x kx+ + − = ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y 1 2 2 12 3 4 kx x k + = − + 1 2 2 3 3 4x x k = − + ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 2 3+31 0 1 0 1 = 3 4 kPM PN k x k x k x x k ⋅ = + ⋅ − ⋅ + ⋅ − = + + ( ) 2 22 2 2 1 2 1 2 1 2 2 192 361 1 4 1 3 4 kMN k x x k x x x x k k += + − = + ⋅ + − = + ⋅ + 2 2 2 2 2 3+3 3 192 3613 4 7 3 4 k kkk k += ⋅ + ⋅+ + 2 27 1 192 36k k+ = + 11 11k = ± l 11 3 11 2y x= ± + ( ) 4 ln 1f x a x ax= − − 0a ≠ ( )f x 83 （2）若函数 在 上恒成立，求实数 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2） ． 【解析】（1）依题意 ，···········1 分 若 ，则函数 在 上单调递增，在 上单调递减；···········3 分 若 ，则函数 在 上单调递减，在 上单调递增．···········5 分 （2）因为 ，故 ，① 当 时，显然①不成立；···········6 分 当 时，①化为： ；② 当 时，①化为： ；③ 令 ，则···········7 分 ，···········8 分 当 时， 时， ， ， 故 在 是增函数，在 是减函数， ，···········10 分 因此②不成立，要③成立，只要 ， ， 所求 的取值范围是 ．···········12 分 ( ) ( )1f x ax x> + ( )0,+∞ a 1, 3  −∞ −   ( ) ( )44 a xaf x ax x −′ = − = 0a > ( )f x ( )0,4 ( )4,+∞ 0a < ( )f x ( )0,4 ( )4,+∞ ( ) ( )1f x ax x> + 24 ln 2 1 0a x ax ax− − − > 0a = 0a > 21 4ln 2x x xa < − − 0a < 21 4ln 2x x xa > − − ( ) 24ln 2 ( 0)h x x x x x= − − > ( ) ( )( )2 2 1 24 2 2 42 2 x xx xh x xx x x − ++ −′ = − − = − = − ∴ ( )0,1x∈ ( )' 0h x > ( )1,x∈ +∞ ( ) 0h x′ < ( )h x ( )0,1 ( )1,+∞ ∴ ( ) ( )max 1 3h x h= =− 1 3a > − 1 3a < − ∴ a 1, 3  −∞ −   84 请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题 计分。 22．在平面直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴正半轴为极轴，取相同 的单位长度建立极坐标系，已知曲线 ： ，直线 ： ． （1）将曲线 上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 2 倍、 倍后得 到曲线 ，请写出直线 ，和曲线 的直角坐标方程； （2）若直线 经过点 且 ， 与曲线 交于点 ，求 的 值． 【答案】（1） ， ；（2）2． 【 解 析 】（ 1 ） 因 为 ： ， 所 以 的 直 角 坐 标 方 程 为 ；·········2 分 设曲线 上任一点坐标为 ，则 ，所以 ， 代入 方程得： ，所以 的方程为 ．···········5 分 （2）直线 ： 倾斜角为 ，由题意可知， 直线 的参数方程为 （ 为参数），···········7 分 联立直线 和曲线 的方程得， ．设方程的两根为 ，则 xOy O x 1C 2 2 1x y+ = l ( )cos sin 4ρ θ θ− = 1C 3 2C l 2C 1l ( )1,2P 1l l∥ 1l 2C ,M N PM PN⋅ 4x y− = 2 2 14 3 x y′ ′+ = l ( )cos sin 4ρ θ θ− = l 4x y− = 2C ( ),x y′ ′ 2 3 x x y y ′ = ′ = 2 3 xx yy   ′= ′=  1C 22 12 3 x y′ ′   + =       2C 2 2 14 3 x y′ ′+ = l 4x y− = 4 π 1l 21 2 22 2 x t y t  = +  = + t 1l 2C 27 11 2 7 02 t t+ + = 1 2,t t 85 ，由直线参数 的几何意义可知， ．···········10 分 23．选修 4-5：不等式选讲 已知不等式 的解集为 ． （1）求 ， 的值； （2）若 ， ， ，求证： ． 【答案】（1） ， ；（2）证明见解析． 【解析】（1）由 ， 得 或 或 ，···········3 分 解得 ，∴ ， ．···········5 分 （2）由（1）知 ， ， ， ∴ ，当且仅当 即 ， 时取等号，∴ ，即 ．···········10 分 1 2 2t t = t 1 2 2PM PN t t⋅ = = 3 6x x x+ − < + ( ),m n m n 0x > 0y > 0nx y m+ + = 16x y xy+ ≥ 1m = − 9n = 3 6x x x+ − < + 3 3 6 x x x x   + − < + ≥ 0 3 3 6 x x < 0y > 9 1x y+ = ( )1 1 9 99 10 10 2 16y x y xx yx y x y x y  + + = + + + × =   ≥ 9y x x y = 1 12x = 1 4y = 1 1 16x y + ≥ 16x y xy+ ≥