2020届天津市滨海新区塘沽第一中学高三第二次模拟数学试题（解析版）

第 1 页 共 22 页 2020 届天津市滨海新区塘沽第一中学高三第二次模拟数学试 题 一、单选题 1．设复数 满足 （ 为虚数单位），则复数 的共轭复数在复平面内对 应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】先把 变形为 ，然后利用复数代数形式的乘除运算化 简，求出 ，得到其坐标可得答案. 【详解】 解：由 ，得 ， 所以 ，其在复平面内对应的点为 ，在第四象限 故选：D 【点睛】 此题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基 础题. 2．已知集合 ，则集合 真子集的个数为（ ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【解析】解出集合 ，再由含有 个元素的集合，其真子集的个数为 个可得答案. 【详解】 解：由 ，得 所以集合 的真子集个数为 个. 故选：C 【点睛】 z (1 ) 2 1z i i⋅ + = + i z (1 ) 2 1z i i⋅ + = + 2 1 1 iz i += + z (1 ) 2 1z i i⋅ + = + 2 1 (2 1)(1 ) 3 3 1 1 (1 )(1 ) 2 2 2 i i i iz ii i i + + − += = = = ++ + − 3 1 2 2z i= − 3 1,2 2  −   | 03 xA x Z x  = ∈ ≤ +  A A n 2 1n − | 03 xA x Z x  = ∈ ≤ +  { }| 3 0 { 2, 1,0}A x Z x= ∈ − < ≤ = − − A 32 1 7− =第 2 页 共 22 页 此题考查利用集合子集个数判断集合元素个数的应用，含有 个元素的集合，其真子集 的个数为 个，属于基础题. 3．已知 m 为实数，直线 ： ， ： ，则 “ ”是“ ”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】根据直线平行的等价条件，求出 m 的值，结合充分条件和必要条件的定义进 行判断即可． 【详解】 当 m=1 时，两直线方程分别为直线 l1：x+y﹣1=0，l2：x+y﹣2=0 满足 l1∥l2，即充分性 成立， 当 m=0 时，两直线方程分别为 y﹣1=0，和﹣2x﹣2=0，不满足条件． 当 m≠0 时，则 l1∥l2⇒ ， 由 得 m2﹣3m+2=0 得 m=1 或 m=2， 由 得 m≠2，则 m=1， 即“m=1”是“l1∥l2”的充要条件， 故答案为：A 【点睛】 （1）本题主要考查充要条件的判断，考查两直线平行的等价条件，意在考查学生对这 些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 本题也可以利用下面的结论解答，直线 和直线 平行，则 且两直线不重合,求 出参数的值后要代入检验看两直线是否重合. 4．已知圆 关于双曲线 的一条渐近 线对称，则双曲线 的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将圆 ，化为标准方程为，求得圆心为 .根据圆 n 2 1n − 1l 1 0mx y+ − = 2l ( )3 2 2 0m x my− + − = 1m = 1 2/ /l l 3 2 2 1 1 m m m − −= ≠ − 3 2 1 m m m − = 2 1 1 m −≠ − 1 1 1 0a x b y c+ + = 2 2 2 0a x b y c+ + = 1 2 2 1 0a b a b− = 2 2 4 2 1 0x y x y+ − + + = ( )2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b − = > > C 5 5 5 2 5 4 2 2 4 2 1 0x y x y+ − + + = ( )2 1−，第 3 页 共 22 页 关于双曲线 的一条渐近线对称，则 圆心在渐近线上， .再根据 求解. 【详解】 已知圆 ， 所以其标准方程为： ， 所以圆心为 . 因为双曲线 ， 所以其渐近线方程为 ， 又因为圆 关于双曲线 的一条渐近 线对称， 则圆心在渐近线上， 所以 . 所以 . 故选：C 【点睛】 本题主要考查圆的方程及对称性，还有双曲线的几何性质 ，还考查了运算求解的能力， 属于中档题. 5．已知数列 的通项公式是 ，则 （ ） A．0 B．55 C．66 D．78 【答案】D 【解析】先分 为奇数和偶数两种情况计算出 的值，可进一步得到数列 的通项公式，然后代入 转化计算，再根据等差数列求和公式 计算出结果. 2 2 4 2 1 0x y x y+ − + + = ( )2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b − = > > 1 2 b a = 2 1c be a a  = = +    2 2 4 2 1 0x y x y+ − + + = ( ) ( )2 22 1 4x y− + + = ( )2 1−， ( )2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b − = > > by xa = ± 2 2 4 2 1 0x y x y+ − + + = ( )2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b − = > > 1 2 b a = 2 51 2 c be a a  = = + =   { }na 2 2 1sin 2n na n π+ =    1 2 3 12a a a a+ + + ⋅⋅⋅+ = n 2 1sin 2 n π+     { }na 1 2 3 12a a a a+ + +⋅⋅⋅+第 4 页 共 22 页 【详解】 解：由题意得，当 为奇数时， ， 当 为偶数时， 所以当 为奇数时， ；当 为偶数时， ， 所以 故选：D 【点睛】 此题考查数列与三角函数的综合问题，以及数列求和，考查了正弦函数的性质应用，等 差数列的求和公式，属于中档题. 6．设 是定义在实数集 上的函数，满足条件 是偶函数，且当 时， ，则 ， ， 的大小关系 是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵y=f（x+1）是偶函数，∴f（-x+1）=f（x+1），即函数 f（x）关于 x=1 对称． ∵当 x≥1 时， 为减函数，∵f（log32）=f（2-log32）= f（ ） 且 = =log34，log34＜ ＜3，∴b＞a＞c， 故选 C n 2 1 3sin sin sin sin 12 2 2 2 n n π π ππ π π+     = + = + = = −           n 2 1sin sin sin 12 2 2 n n π ππ π+   = + = =       n 2 na n= − n 2 na n= 1 2 3 12a a a a+ + +⋅⋅⋅+ 2 2 2 2 2 21 2 3 4 11 12= − + − + −⋅⋅⋅− + 2 2 2 2 2 2(2 1 ) (4 3 ) (12 11 )= − + − +⋅⋅⋅+ − (2 1)(2 1) (4 3)(4 3) (12 11)(12 11)= + − + + − +⋅⋅⋅+ + − 1 2 3 4 11 12= + + + +⋅⋅⋅+ + 12 1+12 2 ×= （ ） 78= ( )f x R ( )1y f x= + 1x ≥ ( ) 1 12 x f x  = −   ( )3log 2a f= 3 1log 2b f  = −   ( )3c f= a b c> > b c a> > b a c> > c b a> > ( ) 1 12 x f x  = −   9 2 3log 3 1log 2 − 2 3log 9 2 3log第 5 页 共 22 页 7．已知函数 ，其中 ， ，其图象关于直线 对称，对满足 的 ， ，有 ，将函数 的图象 向左平移 个单位长度得到函数 的图象，则函数 的单调递减区间是（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据已知得到函数 两个对称轴的距离也即是半周期，由此求得 的值， 结合其对称轴，求得 的值，进而求得 解析式.根据图像变换的知识求得 的 解析式，再利用三角函数求单调区间的方法，求得 的单调递减区间. 【详解】 解：已知函数 ，其中 ， ，其图像关于直线 对称， 对满足 的 ， ，有 ，∴ . 再根据其图像关于直线 对称，可得 ， . ∴ ，∴ . 将函数 的图像向左平移 个单位长度得到函数 的图像. 令 ，求得 ， 则函数 的单调递减区间是 ， ， 故选 B. 【点睛】 本小题主要考查三角函数图像与性质求函数解析式，考查三角函数图像变换，考查三角 ( ) sin( )f x xω θ= + 0>ω 0, 2 πθ  ∈   6x π= ( ) ( )1 2 2f x f x− = 1x 2x 1 2 min 2x x π− = ( )f x 6 π ( )g x ( )g x ( ) 2,6k k k Z π ππ π − + ∈   ( ), 2k k k Z ππ π + ∈   ( )5,3 6k k k Z π ππ π + + ∈   ( )7,12 12k k k Z π ππ π + + ∈   ( )f x ω θ ( )f x ( )g x ( )g x ( ) sin( )f x xω θ= + 0>ω 0 0, 2 π ∈   6x π= ( ) ( )1 2 2f x f x− = 1x 2x 1 2 min 1 2 2 2x x π π ω− = = ⋅ 2ω = 6x π= 2 6 2k π πθ π× + = + k ∈Z 6 πθ = ( ) sin 2 6f x x π = +   ( )f x 6 π ( ) sin 2 cos23 6g x x x π π = + + =   2 2 2k x kπ π π≤ ≤ + 2k x k ππ π≤ ≤ + ( )g x , 2k k ππ π +   k ∈Z第 6 页 共 22 页 函数单调区间的求法，属于中档题. 8．袋中装有标号为 1，2，3，4，5，6 且大小相同的 6 个小球，从袋子中一次性摸出两 个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是 3 的倍数，则获奖，若有 5 人参与摸球， 则恰好 2 人获奖的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先确定摸一次中奖的概率，5 个人摸奖，相当于发生 5 次试验，根据每一次发 生的概率，利用独立重复试验的公式得到结果． 【详解】 从 6 个球中摸出 2 个，共有 种结果， 两个球的号码之和是 3 的倍数，共有 摸一次中奖的概率是 ， 5 个人摸奖，相当于发生 5 次试验，且每一次发生的概率是 ， 有 5 人参与摸奖，恰好有 2 人获奖的概率是 ， 故选： ． 【点睛】 本题主要考查了 次独立重复试验中恰好发生 次的概率，考查独立重复试验的概率， 解题时主要是看清摸奖 5 次，相当于做了 5 次独立重复试验，利用公式做出结果，属于 中档题． 9．已知函数 的图像上有且仅有四个不同的点关于直线 的对称点在 的图像上，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可化为函数 图像与 的图像有且只有四个不同的交点， 结合题意作图求解即可. 【详解】 40 243 70 243 80 243 38 243 2 6 15C = (1,2), (1,5), (2,4), (3,6), (4,5) ∴ 5 1 15 3 = 1 3 ∴ 3 5 2 22 1 80( ) ( )3 3 243C ⋅ ⋅ = C n k 2 ln 2 , 0( ) 2 , 0 x x x xf x x x x − >=  + ≤ 1y = − 1y kx= − k 1 ,12      (0,1) 1 ,02  −   ( 1,0)− ( )f x 1y kx= − −第 7 页 共 22 页 解：因为函数 的图像上有且仅有四个不同的点关于直线 的对称点在 的图像上，而函数 图像关于直线 的图像 为直线 ， 所以问题等价于函数 的图像与 的图像有且只有 四个不同的交点， 作函数 的图像与直线 如下图， 而直线 恒过点 ， 设直线 与 相切于点 ， 因为 ，所以 ， 解得 ，所以 ， 设直线 与 相切于点 ， 因为 ，所以 ，解得 ， 所以 ， 所以 ，所以 ， 故选：B 【点睛】 此题考查了函数零点个数与函数图像交点个数的转化，利用导数求切线，考查了作图能 力及数形结合的思想，属于较难题. 2 ln 2 , 0( ) 2 , 0 x x x xf x x x x − >=  + ≤ 1y = − 1y kx= − 1y kx= − 1y = − 1y kx= − − 2 ln 2 , 0( ) 2 , 0 x x x xf x x x x − >=  + ≤ 1y kx= − − ( )f x 1y kx= − − 1y kx= − − (0, 1)A − AC ln 2y x x x= − 0 0 0 0( , ln 2 )C x x x x− ln 1y x′ = − 0 0 0 0 0 ln 2 1ln 1 x x xx x − +− = 0 1x = 1ACk = − AB 2 2y x x= + 2 1 1 1( , 2 )B x x x+ 2 +2y x′ = 2 1 1 1 1 2 12 +2= x xx x + + 1 1x = − 2 2 0ABk = − + = 1 0k− < − < 0 1k<  1 3 4 x x ≤ > 3 14 x< ≤ 3 ,14      2 2 n x x  −   672− 1x = 2 512n = 9n = 1x = 2 512n = 9n = 2 2 n x x  −   2 9 18 3 1 9 9 2( ) ( ) ( 2)r r r r r r rT C x C xx − − + = − = − ⋅ 3r = 3 3 9( 2) 672C− = − 672−第 9 页 共 22 页 属于基础题. 12．已知 是抛物线 的焦点， 是 上一点， 的延长线交 轴于点 ．若 为 的中点，则 _________． 【答案】 【解析】由题意可得 ，又由于 为 的中点，且点 在 轴上，所以可得 点 的横坐标，代入抛物线方程中可求点 的纵坐标，从而可求出点 的坐标，再 利用两点间的距离公式可求得结果. 【详解】 解：因为 是抛物线 的焦点，所以 ， 设点 的坐标为 ， 因为 为 的中点，而点 的横坐标为 0， 所以 ，所以 ，解得 ， 所以点 的坐标为 所以 ， 故答案为： 【点睛】 此题考查抛物线的性质，中点坐标公式，属于基础题. 13．已知三棱锥 的四个顶点在球 的球面上， ， 是 边长为 2 的正三角形， ，则球 的体积为__________． 【答案】 【解析】由题意可得三棱锥 的三条侧棱 两两垂直，则它的外接球 就是棱长为 的正方体的外接球，求出正方体的对角线的长，就是球的直径，然后求 出球的体积. 【详解】 解：因为 ， 为正三角形， 所以 ， F 2: 2C y x= M C FM y N M FN | |FN = 3 2 1( ,0)2F M FN N y M M N F 2: 2C y x= 1( ,0)2F M 0 0( , )x y M FN N 0 1 4x = 2 0 1 12 4 2y = × = 0 2 2y = ± N (0, 2)± 1 32 4 2FN = + = 3 2 P ABC− O PA PB PC= = ABC PA PC⊥ O 6π P ABC− , ,PA PB PC 2 PA PB PC= = ABC APB APC BPC∠ = ∠ = ∠第 10 页 共 22 页 因为 ，所以三棱锥 的三条侧棱 两两垂直， 所以它的外接球就是棱长为 的正方体的外接球， 因为正方体的对角线长为 ，所以其外接球的半径为 ， 所以球的体积为 故答案为： 【点睛】 此题考查球的体积，几何体的外接球，考查空间想象能力，计算能力，属于中档题. 14．已知 ， ， ，且 ，则 的最小值为 ___________． 【答案】 【解析】由 ，先将 变形为 ，运用基本不等式可得最小 值，再求 的最小值，运用函数单调性即可得到 所求值. 【详解】 解：因为 ， ， ，且 ， 所以 因为 ，所以 ， 当且仅当 时，取等号， PA PC⊥ P ABC− , ,PA PB PC 2 6 6 2 3 4 6 63 2 π π × =    6π 0a > 0b > 4c ≥ 2a b+ = 5 2 2 ac c c b ab c + − + − 5 5 2 2( )2 2 a b+= 1 1 2 a b ab + − 2 25 4 a b ab + 5 5 1 15[ ( 2) 1]2 2 2 2c cc c + = − + +− − 0a > 0b > 4c ≥ 2a b+ = 5 1 1 5 2 2 2 2 ac c c acb ab c b ab c  + − + = + − + − −  2(2 2 ) 5 2 2 c a ab ab c + −= + − 2( )2 2 a b+= 2 2 2 ( )22 2 2 2 2 a ba aba ab ab ab ++ −+ − = 2 25 2 5 5 4 4 2 a b ab ab ab += ≥ = 5b a=第 11 页 共 22 页 所以 令 ，则 ， 令 ，则 ， 所以函数 在 上单调递增， 所以 所以 则所求最小值为 故答案为： 【点睛】 此题考查基本不等式的运用：求最值，注意变形和满足的条件：一正二定三相等，考查 利用单调性求最值，考查化简和运算能力，属于中档题. 三、双空题 15．若 的面积为 ，且 为钝角，则 _________； 的 取值范围是__________． 【答案】45° 【解析】由已知结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简可求出 ，然后结合正弦 定理及和差角公式进行化简后，结合正切函数的性质可求. 【详解】 5 1 1 5 2 2 2 2 ac c c acb ab c b ab c  + − + = + − + − −  2(2 2 ) 5 2 2 c a ab ab c + −= + − 5 5 2 2c c ≥ + − 1 15[ ( 2) 1]2 2c c = − + +− 2( 2)t c t= − ≥ 1 1 1 15[ ( 2) 1]= 5( 1)2 2 2c tc t − + + + +− 1 1( )= 1( 2)2f t t tt + + ≥ ' 2 1 1( )= 02f t t − > ( )f t [2, )+∞ 1 1 5( ) (2) 2 12 2 2f t f≥ = × + + = 1 1 1 1 5 5 55[ ( 2) 1]= 5( 1) 5 =2 2 2 2 2c tc t − + + + + ≥ ×− 5 5 2 5 5 2 ABC ( )2 2 21 4 a c b+ − C∠ B∠ = c a ( 2, )+∞ BÐ第 12 页 共 22 页 解：因为 由题意得 ， 所以 ，即 因为 ，所以 ， 所以 ， 由正弦定理可得， ， 故答案为：45°， 【点睛】 此题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力，属于中档题. 四、解答题 16．4 月 23 日是“世界读书日”，某中学开展了一系列的读书教育活动．学校为了解高 三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个读书小组 （每名学生只能参加一个读书小组）学生抽取 12 名学生参加问卷调查．各组人数统计 如下： 小组 甲 乙 丙 丁 人数 12 9 6 9 （1）从参加问卷调查的 12 名学生中随机抽取 2 人，求这 2 人来自同一个小组的概率； （2）从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取 2 人，用 表示抽得甲组学生的人 数，求随机变量 的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）见解析， 【解析】（1）采用分层抽样的方法甲组抽取 4 人，乙组抽取 3 人，丙组抽取 2 人，丁组 抽取 3 人，从参加问卷调查的 12 名学生中随机抽取 2 人，基本事件总数为 ， 这两人来自同一小组取法共有 ，由此可求出所求的概率； 1 sin2S ac B= 2 2 21 1 1( ) cos sin4 2 2a c b ac B ac B+ − = = cos sinB B= 4B π= 3 1 4 2C A π π= − > 0 4A π< < 0 tan 1A< < 3 2sin( ) (sin cos )sin 2 14 2 (1 ) 2sin sin sin 2 tan A A Ac C a A A A A π − + = = = = + > ( 2, )+∞ X X 13 66 4 3 2 12 66C = 2 2 2 4 3 22 13C C C+ + =第 13 页 共 22 页 （2）从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取 2 人，而甲、丙两个小组学生分别 有 4 人和 2 人，所以抽取的两人中是甲组的学生的人数 的可能取值为 0，1，2，分 别求出相应的概率，由此能求出随机变量 的分布列和数学期望. 【详解】 （1）由题设易得，问卷调查从四个小组中抽取的人数分别为 4，3，2，3（人）， 从参加问卷调查的 12 名学生中随机抽取两名的取法 共有（种）， 抽取的两名学生来自同一小组的取法共有 （种）， 所以，抽取的两名学生来自同一个小组的概率为 （2）由（1）知，在参加问卷调查的 12 名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别 为 4 人、2 人，所以，抽取的两人中是甲组的学生的人数 的可能取值为 0，1，2, 因为 所以随机变量 的分布列为： 0 1 2 所求 的期望为 【点睛】 此题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查分层抽样、 古典概型、排列组合等知识，考查运算能力，属于中档题. 17．如图，已知四边形 的直角梯形， ∥BC， ， ， ， 为线段 的中点， 平面 ， ， 为线段 上一点（ 不与端点重合）． X X 2 12 66C = 2 2 2 4 3 22 13C C C+ + = 13 66P = X 0 2 4 2 2 6 1( 0) 15 C CP X C = = = 1 1 4 2 2 6 8( 1) 15 C CP X C = = = 2 0 4 2 2 6 6( 2) 15 C CP X C = = = X X P 1 15 8 15 6 15 X 1 8 6 40 1 215 15 15 3 × + × + × = ABCD AD AD DC⊥ 4=AD 2DC BC= = G AD PG ⊥ ABCD 2PG = M AP M第 14 页 共 22 页 （1）若 ， （ⅰ）求证：PC∥平面 ； （ⅱ）求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值； （2）否存在实数 满足 ，使得直线 与平面 所成的角的正弦值为 ，若存在，确定的 值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（ⅰ）证明见解析（ⅱ） （2）存在， 【解析】（1）（i）连接 交 于点 ，连接 ， ，依题意易证四边形 为平行四边形，从而有 ， ，由此能证明 PC∥平面 （ii）推导出 ，以 为原点建立空间直角坐标系 ，利用向量法求解； （2）设 ，求出平面 的法向量， 利用向量法求解. 【详解】 （1）（ⅰ）证明：连接 交 于点 ，连接 ， ， 因为 为线段 的中点， 所以 , 因为 ，所以 因为 ∥ 所以四边形 为平行四边形． 所以 又因为 ， 所以 又因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ． AM MP= BMG PAD BMD λ AM APλ=  PB BMG 10 5 λ 11 11 1 3 λ = AC BG O OM CG ABCG AO OC= MO PC BMG BG GD⊥ G O xyz− (0,2,2) (0,2 ,2 ), (0,1)AM APλ λ λ λ λ= = = ∈  BMG AC BG O OM CG G AD 4=AD 1 22AG AD= = 2DC BC= = AG BC= AD BC ABCG AO OC= PM MA= MO PC MO ⊂ BMG PC ⊄ BMG PC  BMG第 15 页 共 22 页 （ⅱ）解：如图，在平行四边形 中 因为 ， ， 所以 以 为原点建立空间直角坐标系 则 ， ， ， 所以 ， ， ， 平面 的法向量为 设平面 的法向量为 ， 则 ，即 ，取 ，得 ， 设平面 和平面 所成的锐二面角为 ，则 所以锐二面角的余弦值为 （2）设 所以 ， ， 设平面 的法向量为 ，则 ，取 ，得 ， 因为直线 与平面 所成的角的正弦值为 ， BCDG BG CD CD GD⊥ BG GD⊥ G O xyz− (0,0,0)G (0,0,2)P (0,2,0)D (0, 2,0), (2,0,0), (2,2,0), (0, 1,1)A B C M− − (2,0, 2)PB = − (2,0,0)GB = (0, 1,1)GM = − ( 2,2,0), =( 2, 1,1)BD BM= − − −  PAD (1,0,0)n = BMD ( , , )m x y z= 0 0 m BD m BM  ⋅ =  ⋅ =   2 2 0 2 0 x z x y z − + = − − + = 1x = (1,1,3)m = PAD BMD θ 1 11cos 1111 m n m n θ ⋅ = = = ⋅     11 11 (0,2,2) (0,2 ,2 ), (0,1)AM APλ λ λ λ λ= = = ∈  (0,2 2,2 )M λ λ− ( 2,2 2,2 ), ( 2,0,0)BM BGλ λ= − − = −  BMG ( , , )p a b c= 2 0 (2 2) 2 0 p BG a p BM b cλ λ  ⋅ = − =  ⋅ = − + =   b λ= (0, ,1 )p λ λ= − PB BMG 10 5第 16 页 共 22 页 所以 解得 所以存在 满足 ，使得直线 与平面 所成的角的正弦值为 . 【点睛】 此题二查线面平行的证明，考查锐二面角的余弦值的求法，考查满足线面角的正弦值的 点是否存在的判断与求法，考查空间中线线，线面，面面的位置关系等知识，考查了推 理能力与计算能力，属于中档题. 18．已知椭圆 的焦距为 2，且过点 ． （1）求椭圆 的方程； （2）设 为 的左焦点，点 为直线 上任意一点，过点 作 的垂线交 于两点 ， （ⅰ）证明： 平分线段 （其中 为坐标原点）； （ⅱ）当 取最小值时，求点 的坐标． 【答案】（1） （2）（ⅰ）见解析（ⅱ）点 的坐标为 ． 【解析】（1）由题意得 ，再由 的关系求出 ，即可得椭圆的标准方程； （2）（i）设 ， 的中点为 ， ， 设直线 的方程为 ，代入椭圆方程中，运用根与系数的关系和中点坐标公 式，结合三点共线的方法：斜率相等，即可得证； PB p PB p ⋅ ⋅     2 2 2(1 ) 10 58 (1 ) λ λ λ −= = ⋅ + − 1 3 λ = 1 3 λ = AM APλ=  PB BMG 10 5 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > (2,0)P C F C M 4x = − F MF C A B OM AB O | | | | MF AB M 2 2 14 3 x y+ = M ( 4,0)− 1, 2c a= = , ,a b c b 1 1 2 2( 4,3 ), ( , ), ( , )M m A x y B x y− AB 0 0( , )N x y MFk m= − AB 1x my= −第 17 页 共 22 页 （ii）利用两点间的距离公式及弦长公式将 表示出来，由换元法的对勾函数的单 调性，可 得取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点 的坐标. 【详解】 解：（1）由题意得， ，所以 ， 所以椭圆方程为 （2）设 ， 的中点为 ， （ⅰ）证明：由 ，可设直线 的方程为 ， 代入椭圆方程 ，得 ， 所以 ， 所以 ，则直线 的斜率为 ， 因为 ，所以 ， 所以 三点共线，所以 平分线段 ； （ii）由两点间的距离公式得 由弦长公式得 所以 ， 令 ，则 ，由 在 上递增， 可得 ，即 时， 取得最小值 4， 所以当 取最小值时，点 的坐标为 【点睛】 | | | | MF AB | | | | MF AB M 2 2, 2c a= = 2 2 21, 4 1 3c b a c= = − = − = 2 2 14 3 x y+ = 1 1 2 2( 4,3 ), ( , ), ( , )M m A x y B x y− AB 0 0( , )N x y MFk m= − (0, 1)F − AB 1x my= − 2 2 14 3 x y+ = 2 2(3 4) 6 9 0m y my+ − − = 1 2 1 22 2 6 9,4 3 4 3 + = = −+ + my y y ym m 2 2 4 3,4 3 4 3 mN m m  − + +  ON 3 4ON mk = − 3 4OM mk = − OM ONk k= , ,O M N OM AB 2 29 9 3 1MF m m= + = + 2 2 2 1 2 1 2 1 21 1 ( ) 4AB m y y m y y y y= + ⋅ − = + ⋅ + − 2 2 2 2 2 2 2 36 36 12(1 )1 (4 3 ) 4 3 4 3 m mm m m m += + ⋅ + =+ + + 2 2 4 3 4 1+ MF m AB m += 21+ ( 1)t m t= ≥ 23 1 1 1(3 )4 4 MF t tAB t t += = + 1( ) 3g t t t = + [1, )+∞ 1t = 0m = ( )g t | | | | MF AB M ( 4,0)−第 18 页 共 22 页 此题考那可是椭圆方程和性质，主要考查椭圆方程的运用，运用根与系数的关系和中点 坐标公式，同时考查弦长公式，属于较难题. 19．已知各项均为正数的数列 的前 项和为 ，满足 ， ， ， ，恰为等比数列 的前 3 项． （1）求数列 ， 的通项公式； （2）求数列 的前 项和为 ；若对 均满足 ，求整数 的最大值； （3）是否存在数列 满足等式 成立，若存在，求出数 列 的通项公式；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） ， （2） ， 的最大整数是 673．（3）存 在， 【解析】（1）由 可得 （ ），然后把这两个等 式相减，化简得 ，公差为 1，因为 ， ， 为等比数列，所以 ，化简计算得， ，从而得到数列 的通项公式，再计算出 ， ， ，从而可求出数列 的通项公式； （2）令 ，化简计算得 ，从而可得数列 是 递增的，所以只要 的最小值大于 即可，而 的最小值为 ，所以可得 答案； （3）由题意可知， ， 即 ，这个可看成一个数列的前 项和，再写出其前（ ）项和，两式相减得， ，利用同样的方法可得 . 【详解】 { }na n nS 2 1 2 4n na S n+ = + + 2 1a − 3a 7a { }nb { }na { }nb 1 n n n nb a a +       n nT *n N∀ ∈ 2020n mT > m { }nc ( ) 1 1 1 1 2 2 n n i n i i a c n+ + − = − = − −∑ { }nc 1na n= + 2n nb = 12 12 n nT n + = −+ m 12n nc −= 2 1 2 4n na S n+ = + + 2 12 3nn Sa n−= + + 2n ≥ 1 1n na a+ = + 2 1a − 3a 7a ( )3 2 71a a a2 = − 1 2a = { }na 2 1a − 3a 7a { }nb 1 1 2 2 2 1 n n n n n n nbc a a n n + + = = −+ + 1 0n nc c+ − > { }nc nT 2020 m nT 1 1 1 3T c= = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 3 2 11 1 1 1 2 2n n n n na c a c a c a c n+ − −− + − + − +…+ − = − − ( )1 * 1 2 12 3 2 2,n n n nc c c nc n n N+ − −+ + +…+ = − − ∈ n 1n − ( )* 1 2 1 2 1,n n n nc c c c n N− −+ + +…+ = − ∈ ( )1 *2n nc n N−= ∈第 19 页 共 22 页 解：（1）由题，当 时， ，即 当 时， ① ② ①-②得 ，整理得 ，又因为各项均为正数的数列 ． 故 是从第二项的等差数列，公差为 1． 又 恰为等比数列 的前 3 项， 故 ，解得 ．又 ， 故 ，因为 也成立． 故 是以 为首项，1 为公差的等差数列．故 ． 即 2，4，8 恰为等比数列 的前 3 项，故 是以 为首项，公比为 的等 比数列， 故 ．综上 ， （2）令 ，则 所以数列 是递增的， 若对 均满足 ，只要 的最小值大于 即可 因为 的最小值为 ， 所以 ，所以 的最大整数是 673． 1n = 1 2 2 2 5a S= + 1 2 2 2 5a a= + 2n ≥ 2 1 2 4n na S n+ = + + 2 12 3nn Sa n−= + + 2 2 1 2 1n n na a a+ − = + ( )2 2 1 1n na a+ = + { }na { }1 1,n n na a a+ = + 2 3 71, ,a a a− { }nb ( ) ( ) ( )( )22 3 2 7 2 2 21 1 1 5a a a a a a= − ⇒ + = − + 2 3a = 1 2 2 2 5a a= + 1 2a = 2 1 1a a− = { }na 1 2a = 2 1 1na n n= + − = + { }nb { }nb 1 2b = 4 22 = 2n nb = 1na n= + 2n nb = 1 1 2 2 2 1 n n n n n n nbc a a n n + + = = −+ + 2 +1 1 1 1 1 2 1 ( 1) 2 2 2 2( )3 2 2 1 n n n n n n n n n n n n n b nbc c a a a a n n n n + + + + + + + +− = − = − − −+ + + + 22 2 3 1 n n n n + = −+ + 2 (3 1) 0( 3)( +1) n n n n += >+ { }nc *n N∀ ∈ 2020n mT > nT 2020 m nT 1 1 1 3T c= = 2020 3m < m第 20 页 共 22 页 （3）由 ，得 ， ③ ④ ③-④得， ⑤， ⑥ ⑤-⑥得， ， 所以存在这样的数列 ， 【点睛】 此题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，最值，恒成立问题，考查了推 理能力与计算能力，属于中档题. 20．已知 ，其中 ． （1）当 时，设函数 ，求函数 的极值． （2）若函数 在区间 上递增，求 的取值范围； （3）证明： ． 【答案】（1）极大值 ，无极小值；（2） ．（3）见解析 【解析】（1）先求导，根据导数和函数极值的关系即可求出； （2）先求导，再函数 在区间 上递增，分离参数，构造函数，求出函数的最 值，问题得以解决； （3）取 得到 ，取 ，可得 ，累加和根据对数的运算性和 放缩法即可证明. 【详解】 ( ) 1 1 1 1 2 2 n n i n i i a c n+ + − = − = − −∑ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 3 2 11 1 1 1 2 2n n n n na c a c a c a c n+ − −− + − + − +…+ − = − − ( )1 * 1 2 12 3 2 2,n n n nc c c nc n n N+ − −+ + +…+ = − − ∈ ( )* 1 2 3 12 3 ( 1) 2 ( 1) 2, 2,n n n nc c c n c n n n N− − −+ + +…+ − = − − − ∈ ( )* 1 2 1 2 1,n n n nc c c c n N− −+ + +…+ = − ∈ ( )1 * 1 2 3 1 2 1, 2,n n n nc c c c n n N− − − −+ + +…+ = − ∈ ( )1 *2n nc n N−= ∈ { }nc ( )1 *2n nc n N−= ∈ ( ) sin(1 ) lnf x a x x= − + a R∈ 0a = 2( ) ( )g x f x x= − ( )g x ( )f x (0,1) a 2 1 1sin ln3 ln2(2 ) n k k= < −+∑ 2 1ln 2 2 − 1a ≤ ( )f x (0,1) 1a = 1sin(1 ) ln (0 1)x xx − < < < 2 11 (2 )x k − = + 2 2 2 1 ( 1)( 3) (2 )sin sin 1 ln(2 ) (2 ) ( 1)( 3) k k k k k k k  + + += − 2 ' 1 1 2 (1 2 )(1 2 )( ) 2 x x xg x xx x x − − += − = = ' ( ) 0g x = 2 2x = 20 2x< < ' ( ) 0g x > 2 2x > ' ( ) 0g x < ( )g x 2(0, )2 2( , )2 +∞ 2 2x = 2 1 1( ) ln 22 2 2g = − − ( ) sin(1 ) lnf x a x x= − + ' 1( ) cos(1 )f x a x x = − − + ( )f x (0,1) ' 1( ) cos(1 ) 0f x a x x = − − + ≥ (0,1) 1 cos(1 )a x x ≤ − (0,1) 0a ≤ 1 cos(1 )a x x ≤ − (0,1) 0a > 1 cos(1 )x xa ≥ − ( ) cos(1 )t x x x= − ( ) cos(1 ) sin(1 ) 0t x x x x′ = − + − > (0,1) ( ) cos(1 )t x x x= − (0,1) 0 ( ) 1t x< < 1 1a ≥ 0 1a< ≤ 1a ≤ 1a = ( ) sin(1 ) lnG x x x= − + (0,1) sin(1 ) ln (1) 0x x G− + < = 1sin(1 ) ln (0 1)x xx − < <