2020届四川省遂宁市高三二诊数学（文）试题（解析版）

第 1 页 共 21 页 2020 届四川省遂宁市高三二诊数学（文）试题 一、单选题 1．已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用函数定义域，化简集合 A，利用集合交集、补集的运算，即得解 【详解】 由题意得集合 ， 所以 ， 故 ． 故选：D 【点睛】 本题考查了集合的交集和补集运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础 题 2．若 为虚数单位，则复数 ，则 在复平面内对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】首先根据特殊角的三角函数值将复数化为 ，求出 ，再利用复 数的几何意义即可求解. 【详解】 ， ， 则 在复平面内对应的点的坐标为 ，位于第二象限. 1| 2 A x y x  = = −  { 2, 1,0,1,2,3}B = − − ( )A B =R  { 2, 1,0,1,2}− − {0,1,2,3} {1,2,3} {2,3} 1| 2 A x y x  = = −  ( ,2)= −∞ [2, )R A = +∞ ( ) {2,3}R A B∩ = i 2 2sin cos3 3z i π π= − + z 3 1 2 2z i= − − z  2 2 3 1sin cos3 3 2 2z i i π π= − + = − − 3 1 2 2 iz −∴ = + z 3 ,2 2 1 −   第 2 页 共 21 页 故选：B 【点睛】 本题考查了复数的几何意义、共轭复数的概念、特殊角的三角函数值，属于基础题. 3．“ ”是“ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】【详解】 “ ”是“ ”的充要条件，选 C. 4．函数 （其中 ， ， ）的图象如图，则此函 数表达式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图象的顶点坐标求出 ，由周期求出 ，通过图象经过点 ，求出 ，从而得出函数解析式. 【详解】 解：由图象知 ， ，则 ， 图中的点 应对应正弦曲线中的点 ， 所以 ，解得 ， 1x > 2log 0x > 2log 0 1x x> ∴ > ∴ 1x > 2log 0x > ( ) ( )sinf x A x= +ω ϕ 0A > 0>ω 2 πϕ < ( ) 3sin 2 4f x x π = +   ( ) 13sin 2 4f x x π = +   ( ) 3sin 2 4f x x π = −   ( ) 13sin 2 4 πf x x = −   A ω 3 ,02 π     ϕ 3A = 5 34 42 2T π π π = − =   2 1 4 2 ω π= =π 3 ,02 π     ( ,0)π 1 3 2 2 π ϕ π× + = 4 πϕ =第 3 页 共 21 页 故函数表达式为 ． 故选：B. 【点睛】 本题主要考查三角函数图象及性质，三角函数的解析式等基础知识；考查考生的化归与 转化思想，数形结合思想，属于基础题. 5．已知 ， 是两条不重合的直线， 是一个平面，则下列命题中正确的是（ ） A．若 ， ，则 B．若 ， ，则 C．若 ， ，则 D．若 ， ，则 【答案】D 【解析】利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断. 【详解】 解：选项 A 中直线 ， 还可能相交或异面， 选项 B 中 ， 还可能异面， 选项 C，由条件可得 或 ． 故选：D. 【点睛】 本题主要考查直线与平面平行、垂直的性质与判定等基础知识；考查空间想象能力、推 理论证能力，属于基础题. 6．已知实数 、 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图象知当直线 过点 时， 取得最大值. 【详解】 解：作出约束条件表示的可行域是以 为顶点的三角形及其内部，如 下图表示： 当目标函数经过点 时， 取得最大值，最大值为 . ( ) 13sin 2 4f x x π = +   m n α / /m α / /n α //m n / /m α n ⊂ α //m n m n⊥ m α⊥ / /n α m α⊥ / /n α m n⊥ m n m n / /n α n ⊂ α x y 1 0 3 3 0 0 x y x y y − + ≥  − − ≤  ≥ 2z x y= + 1− 2 7 8 C z ( 1,0),(1,0),(2,3)− ( )2,3C z 7第 4 页 共 21 页 故选：C. 【点睛】 本题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识,属 于中档题. 7．已知 ， ， 分别是 三个内角 ， ， 的对边， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】原式由正弦定理化简得 ，由于 ， 可求 的值. 【详解】 解：由 及正弦定理得 . 因为 ，所以 代入上式化简得 . 由于 ，所以 . 又 ，故 . 故选：C. 【点睛】 本题主要考查正弦定理解三角形，三角函数恒等变换等基础知识；考查运算求解能力， 推理论证能力，属于中档题. 8．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包 a b c ABC A B C cos 3 sina C c A b c+ = + A = 6 π 4 π 3 π 2 3 π 3sin sin cos sin sinC A A C C= + sin 0C ≠ 0 A π< < A cos 3 sina C c A b c+ = + sin cos 3sin sin sin sinA C C A B C+ = + B A Cπ= − − sin sin cos cos sinB A C A C= + 3sin sin cos sin sinC A A C C= + sin 0C ≠ 1sin 6 2A π − =   0 A π< < 3A π=第 5 页 共 21 页 含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“ ”表示 一个阳爻，“ ”表示一个阴爻）．若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，这 两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】基本事件总数为 个，都恰有两个阳爻包含的基本事件个数为 个，由此求出 概率. 【详解】 解：由图可知，含有两个及以上阳爻的卦有巽、离、兑、乾四卦， 取出两卦的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（巽，乾），（离，兑），（离，乾），（兑， 乾）共 个，其中符合条件的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（离，兑）共 个， 所以，所求的概率 . 故选：B. 【点睛】 本题渗透传统文化，考查概率、计数原理等基本知识，考查抽象概括能力和应用意识， 属于基础题． 9．如图，平面四边形 中， ， ， ， ，现将 沿 翻折，使点 移动至点 ，且 ，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ） 1 3 1 2 2 3 3 4 6 3 6 3 3 1 6 2P = = ACBD AB BC⊥ AB DA⊥ 1AB AD= = 2BC = ABD△ AB D P PA AC⊥ P ABC−第 6 页 共 21 页 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得 面 ，可知 ，因为 ，则 面 ，于是 .由此推出三棱锥 外接球球心是 的中点，进而算出 ，外接球半径为 1，得出结果. 【详解】 解：由 ，翻折后得到 ，又 ， 则 面 ，可知 ． 又因为 ，则 面 ，于是 ， 因此三棱锥 外接球球心是 的中点． 计算可知 ，则外接球半径为 1，从而外接球表面积为 ． 故选：C. 【点睛】 本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能 力、运算求解能力及创新意识，属于中档题． 10．设 ， 是双曲线 的左，右焦点， 是坐标原点， 过点 作 的一条渐近线的垂线，垂足为 ．若 ，则 的离心率为 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设过点 作 的垂线，其方程为 ，联立方程，求 得 ， ，即 ，由 ，列出相应方程，求出离心率. 【详解】 8π 6π 4π 8 2 3 π PA ⊥ ABC PA BC⊥ AB BC⊥ BC ⊥ PAB BC PB⊥ P ABC− PC 2CP = DA AB⊥ PA AB⊥ PA AC⊥ PA ⊥ ABC PA BC⊥ AB BC⊥ BC ⊥ PAB BC PB⊥ P ABC− PC 2CP = 4π 1F 2F ( )2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b − = > > O 2F C P 1 6PF OP= C 2 3 2 3 ( )2 ,0F c by xa = ( )ay x cb = − − 2ax c = aby c = 2 ,a abP c c      1 6PF OP=第 7 页 共 21 页 解：不妨设过点 作 的垂线，其方程为 ， 由 解得 ， ，即 ， 由 ，所以有 ， 化简得 ，所以离心率 ． 故选：B. 【点睛】 本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解、推理 论证能力，属于中档题． 11．函数 与 的图象上存在关于直线 对称的点，则 的取 值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可知，曲线 与 有公共点，即方程 有 解，可得 有解，令 ，则 ，对 分类讨论， 得出 时， 取得极大值 ，也即为最大值，进而得出结论. 【详解】 解：由题可知，曲线 与 有公共点，即方程 有解， 即 有解，令 ，则 ， 则当 时， ；当 时， ， 故 时， 取得极大值 ，也即为最大值， 当 趋近于 时， 趋近于 ，所以 满足条件． 故选：C. 【点睛】 ( )2 ,0F c by xa = ( )ay x cb = − − ( ) by xa ay x cb  =  = − − 2ax c = aby c = 2 ,a abP c c      1 6PF OP= 22 2 2 4 2 2 2 2 26a b a a a bcc c c c    + + = +       2 23a c= 3= =ce a ( ) 2f x ax= − ( ) xg x e= y x= a , 4 e −∞   , 2 e −∞   ( ],e−∞ ( 2,e −∞  ( ) 2f x ax= − lny x= 2 lnax x− = 2 ln xa x += ( ) 2 ln xh x x += ( ) 2 1 ln xh x x − −′ = x 1x e = ( )h x 1h ee   =   ( ) 2f x ax= − lny x= 2 lnax x− = 2 ln xa x += ( ) 2 ln xh x x += ( ) 2 1 ln xh x x − −′ = 10 x e < < ( ) 0h x′ > 1x e > ( ) 0h x′ < 1x e = ( )h x 1h ee   =   x 0 ( )h x −∞ a e≤第 8 页 共 21 页 本题主要考查利用导数研究函数性质的基本方法，考查化归与转化等数学思想，考查抽 象概括、运算求解等数学能力，属于难题． 12．已知抛物线 和点 ，直线 与抛物线 交于不同两点 ， ，直线 与抛物线 交于另一点 ．给出以下判断： ①直线 与直线 的斜率乘积为 ； ② 轴； ③以 为直径的圆与抛物线准线相切. 其中，所有正确判断的序号是（ ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【答案】B 【解析】由题意，可设直线 的方程为 ，利用韦达定理判断第一个结论； 将 代入抛物线 的方程可得， ，从而， ，进而判断第二个 结论；设 为抛物线 的焦点，以线段 为直径的圆为 ，则圆心 为线段 的 中点．设 ， 到准线的距离分别为 ， ， 的半径为 ，点 到准线的距离 为 ，显然 ， ， 三点不共线，进而判断第三个结论. 【详解】 解：由题意，可设直线 的方程为 ， 代入抛物线 的方程，有 ． 设点 ， 的坐标分别为 ， ， 则 ， ． 所 ． 则直线 与直线 的斜率乘积为 ．所以①正确． 将 代入抛物线 的方程可得， ，从而， ， 根据抛物线的对称性可知， ， 两点关于 轴对称， 所以直线 轴．所以②正确． 如图，设 为抛物线 的焦点，以线段 为直径的圆为 ， 则圆心 为线段 的中点．设 ， 到准线的距离分别为 ， ， 的半径为 2: 4C y x= ( )2,0D 2x ty= − C A B BD C E OB OE 2− / /AE y BE DE 2x my= + 2x ty= − C 1 8Ay y = 2Ay y= − F C BE M M BE B E 1d 2d M R M d B E F DE 2x my= + C 2 4 8 0y my− − = B E ( )1 1,x y ( )2 2,x y 1 2 4y y m+ = 1 2 8y y = − ( )( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 4 4x x my my m y y m y y= + + = + + + = OB OE 1 2 1 2 2y y x x = − 2x ty= − C 1 8Ay y = 2Ay y= − A E x / /AE y F C BE M M BE B E 1d 2d M第 9 页 共 21 页 ，点 到准线的距离为 ，显然 ， ， 三点不共线， 则 ．所以③不正确． 故选：B. 【点睛】 本题主要考查抛物线的定义与几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运 算求解能力、推理论证能力和创新意识，考查数形结合思想、化归与转化思想,属于难 题． 二、填空题 13．已知平面向量 ， ，且 ，则向量 与 的夹角的大 小为________． 【答案】 【解析】由 ，解得 ，进而求出 ，即可得出结果. 【详解】 解：因为 ，所以 ，解得 ，所以 ，所以向量 与 的夹角的大小为 ． 都答案为： . 【点睛】 本题主要考查平面向量的运算，平面向量垂直，向量夹角等基础知识；考查运算求解能 力，属于基础题． 14．某中学举行了一次消防知识竞赛，将参赛学生的成绩进行整理后分为 5 组，绘制如 图所示的频率分布直方图，记图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五组， 已知第二组的频数是 80，则成绩在区间 的学生人数是__________． R M d B E F 1 2 | | | | | | 2 2 2 d d BF EF BEd R + += = > = ( ),2a m= ( )1,3b = ( )b a b⊥ −   a b 4 π ( )b a b⊥ −   4m = 2cos , 2a b =  ( )b a b⊥ −   ( ) ( )1,3 1, 1 1 3 0m m⋅ − − = − − = 4m = ( ) ( ) 2 2 2 2 4,2 1,3 2cos , 24 2 1 3 a b ⋅= = + ⋅ +   a b 4 π 4 π [80,100]第 10 页 共 21 页 【答案】30 【解析】根据频率直方图中数据先计算样本容量，再计算成绩在80～100 分的频率，继 而得解. 【详解】 根据直方图知第二组的频率是 ，则样本容量是 ， 又成绩在 80～100 分的频率是 ， 则成绩在区间 的学生人数是 ． 故答案为：30 【点睛】 本题考查了频率分布直方图的应用，考查了学生综合分析，数据处理，数形运算的能力， 属于基础题. 15．已知 ，且 ，则 __________． 【答案】 【解析】试题分析：因 ,故 ,所以 ， , 应填 . 【考点】三角变换及运用． 16．已知 是定义在 上的偶函数，其导函数为 ．若 时， ， 则不等式 的解集是___________． 【答案】 0.040 10 0.4× = 80 2000.4 = (0.010 0.005) 10 0.15+ × = [80,100] 200 0.15 30× = 3sin 4 5 πα + =   3 4 4 π πα< < cosα = 2 10 − 3 4 4 π πα< < 2 10 − ( )f x R ( )f x′ 0x > ( ) 2f x x′ < 2(2 ) ( 1) 3 2 1f x f x x x− − > + − 11, 3  −  第 11 页 共 21 页 【解析】构造 ，先利用定义判断 的奇偶性，再利用导数判断其 单调性，转化 为 ，结合奇偶性，单调 性求解不等式即可. 【详解】 令 ，则 是 上的偶函数， ，则 在 上递减，于是在 上递增． 由 得 ， 即 ， 于是 ， 则 ， 解得 ． 故答案为： 【点睛】 本题考查了利用函数的奇偶性、单调性解不等式，考查了学生综合分析，转化划归，数 学运算的能力，属于较难题. 三、解答题 17．某商场为改进服务质量，在进场购物的顾客中随机抽取了 人进行问卷调查．调 查后，就顾客“购物体验”的满意度统计如下： 满意 不满意 男 女 是否有 的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关？ 若在购物体验满意的问卷顾客中按照性别分层抽取了 人发放价值 元的购物 券．若在获得了 元购物券的 人中随机抽取 人赠其纪念品，求获得纪念品的 人 2( ) ( )g x f x x= − ( )g x 2(2 ) ( 1) 3 2 1f x f x x x− − > + − (2 ) ( 1)g x g x> − 2( ) ( )g x f x x= − ( )g x R ( ) ( ) 2 0g x f x x′ ′= − < ( )g x (0, )+∞ ( ,0)−∞ 2(2 ) ( 1) 3 2 1f x f x x x− − > + − 2 2(2 ) (2 ) ( 1) ( 1)f x x f x x− > − − − (2 ) ( 1)g x g x> − (| 2 |) (| 1|)g x g x> − | 2 | | 1|x x< − 11 3x− < < 11, 3  −   200 40 40 80 40 ( )1 97.5% ( )2 6 100 100 6 2 2第 12 页 共 21 页 中仅有 人是女顾客的概率． 附表及公式： ． 【答案】 有 的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关； . 【解析】 由题得 ，根据数据判断出顾客购物体验的满意度 与性别有关； 获得了 元购物券的 人中男顾客有 人，记为 ， ；女顾客有 人，记为 ， ， ， ．从中随机抽取 人，所有基本事件有 个，其中仅有 1 人是女顾 客的基本事件有 个，进而求出获得纪念品的 人中仅有 人是女顾客的概率. 【详解】 解析： 由题得 所以，有 的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关． 获得了 元购物券的 人中男顾客有 人，记为 ， ；女顾客有 人，记为 ， ， ， ． 从中随机抽取 人，所有基本事件有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 个． 其中仅有 1 人是女顾客的基本事件有： ， ， ， ， ， ， ， ，共 个． 所以获得纪念品的 人中仅有 人是女顾客的概率 ． 1 ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + ( )2 0P K k≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ( )1 97.5% ( )2 8 15 ( )1 2 50 5.556 5.0249K = ≈ > ( )2 100 6 2 1A 2A 4 1B 2B 3B 4B 2 15 8 2 1 ( )1 ( )2 2 200 40 40 80 40 50 5.556 5.024120 80 80 120 9K × − ×= = ≈ >× × × 97.5% ( )2 100 6 2 1A 2A 4 1B 2B 3B 4B 2 ( )1 2,A A ( )1 1,A B ( )1 2,A B ( )1 3,A B ( )1 4,A B ( )2 1,A B ( )2 2,A B ( )2 3,A B ( )2 4,A B ( )1 2,B B ( )1 3,B B ( )1 4,B B ( )2 3,B B ( )2 4,B B ( )3 4,B B 15 ( )1 1,A B ( )1 2,A B ( )1 3,A B ( )1 4,A B ( )2 1,A B ( )2 2,A B ( )2 3,A B ( )2 4,A B 8 2 1 8 15P=第 13 页 共 21 页 【点睛】 本小题主要考查统计案例、卡方分布、概率等基本知识，考查概率统计基本思想以及抽 象概括等能力和应用意识，属于中档题． 18．已知等差数列 满足 ，公差 ，等比数列 满足 ， ， ． 求数列 ， 的通项公式； 若数列 满足 ，求 的前 项和 ． 【答案】 ， ； . 【解析】 由 ，公差 ，有 ， ， 成等比数列，所以 ，解得 .进而求出数列 ， 的通项公式； 当 时，由 ，所以 ，当 时，由 ， ，可得 ，进而求出前 项和 ． 【详解】 解： 由题意知， ，公差 ，有 1， ， 成等比数列， 所以 ，解得 ． 所以数列 的通项公式 ． 数列 的公比 ，其通项公式 ． 当 时，由 ，所以 ． 当 时，由 ， ， 两式相减得 ， 所以 ． { }na 1 1a = 0d > { }nb 1 1b a= 2 2b a= 3 5b a= ( )1 { }na { }nb ( )2 { }nc 31 2 1 1 2 3 n n n c cc c ab b b b ++ + +⋅⋅⋅+ = { }nc n nS ( )1 2 1na n= − 13n nb −= ( )2 3n nS = ( )1 1 1a = 0d > 1 1 d+ 1 4d+ ( ) ( )21 1 1 4d d+ = × + 2d = { }na { }nb ( )2 1n = 1 2 1 c ab = 1 3c = 2n 31 2 1 1 2 3 n n n c cc c ab b b b ++ + +⋅⋅⋅+ = 3 11 2 1 2 3 1 n n n c cc c ab b b b − − + + +⋅⋅⋅+ = 12 3n nc −= ⋅ n nS ( )1 1 1a = 0d > 1 d+ 1 4d+ ( ) ( )21 1 1 4d d+ = × + 2d = { }na 2 1na n= − { }nb 3q = 13n nb −= ( )2 1n = 1 2 1 c ab = 1 3c = 2n ≥ 31 2 1 1 2 3 n n n c cc c ab b b b ++ + +⋅⋅⋅+ = 3 11 2 1 2 3 1 n n n c cc c ab b b b − − + + +⋅⋅⋅+ = 1 n n n n c a ab += − 12 3n nc −= ⋅第 14 页 共 21 页 故 所以 的前 项和 ， ． 又 时， ，也符合上式，故 . 【点睛】 本题主要考查等差数列和等比数列的概念，通项公式，前 项和公式的应用等基础知识； 考查运算求解能力，方程思想，分类讨论思想，应用意识，属于中档题． 19．如图，在四棱锥 中底面 是菱形， ， 是边长 为 的正三角形， ， 为线段 的中点． 求证：平面 平面 ； 是否存在满足 的点 ，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】 证明见解析； 2. 【解析】 利用面面垂直的判定定理证明即可； 由 ，知 ，所以可得出 ，因此， 的充要条件是 ，继而得出 的值. 【详解】 解： 证明：因为 是正三角形， 为线段 的中点， 所以 ． 1 3, 1 2 3 , 2n n nc n− ==  ⋅ ≥ { }nc n 2 3 13 2 3 2 3 2 3 2 3n nS −= + × + × + × +⋅⋅⋅+ × ( )13 1 3 3 2 31 3 n n − × −  = + =−   2n ≥ 1n = 1 1 1 3S a= = 3n nS = n P ABCD− ABCD 60BAD∠ = ° PAD△ 2 10PC = E AD ( )1 PBC ⊥ PBE ( )2 ( )0PF FCλ λ= >  F 3 4B PAE D PFBV V− −= λ ( )1 ( )2 ( )1 ( )2 PF FCλ=  ( )1 FC PCλ + = D PFB P BDC F BDC F BCDV V V Vλ− − − −= − = 3 4B PAE D PFBV V− −= 1 3 2 4 λ λ+ = λ ( )1 PAD△ E AD PE AD⊥第 15 页 共 21 页 因为 是菱形，所以 ． 因为 ， 所以 是正三角形， 所以 ，而 ， 所以 平面 ． 又 ， 所以 平面 ． 因为 平面 ， 所以平面 平面 ． 由 ，知 ． 所以， ， ． 因此， 的充要条件是 ， 所以， ． 即存在满足 的点 ，使得 ，此时 ． 【点睛】 本题主要考查平面与平面垂直的判定、三棱锥的体积等基础知识；考查空间想象能力、 运算求解能力、推理论证能力和创新意识；考查化归与转化、函数与方程等数学思想， 属于难题． 20．已知椭圆 的中心在坐标原点 ，其短半轴长为 ，一个焦点坐标为 ，点 在椭圆 上，点 在直线 上的点，且 ． 证明：直线 与圆 相切； 求 面积的最小值． 【答案】 证明见解析； 1. 【解析】 由题意可得椭圆 的方程为 ，由点 在直线 上，且 知 的斜率必定存在，分类讨论当 的斜率为 时和斜率不为 时的情况 ABCD AD AB= 60BAD∠ = ° ABD△ BE AD⊥ BE PE E∩ = AD ⊥ PBE / /AD BC BC ⊥ PBE BC ⊂ PBC PBC ⊥ PBE ( )2 PF FCλ=  ( )1 FC PCλ + = 1 1 1 2 2 2B PAE P ADB P BCD F BCDV V V V λ − − − − += = = D PFB P BDC F BDC F BCDV V V Vλ− − − −= − = 3 4B PAE D PFBV V− −= 1 3 2 4 λ λ+ = 2λ = ( )0PF FCλ λ= >  F 3 4B PAE D PFBV V− −= 2λ = C C 1 ( )1,0 A C B 2y = OA OB⊥ ( )1 AB 2 2 1x y+ = ( )2 AOB ( )1 ( )2 ( )1 C 2 2 12 x y+ = B 2y = OA OB⊥ OA OA 0 0第 16 页 共 21 页 列出相应式子，即可得出直线 与圆 相切； 由 知， 的面积为 【详解】 解： 由题意，椭圆 的焦点在 轴上，且 ，所以 ． 所以椭圆 的方程为 ． 由点 在直线 上，且 知 的斜率必定存在， 当 的斜率为 时， ， ， 于是 ， 到 的距离为 ，直线 与圆 相切． 当 的斜率不为 时，设 的方程为 ，与 联立得 ， 所以 ， ，从而 ． 而 ，故 的方程为 ，而 在 上，故 ， 从而 ，于是 ． 此时， 到 的距离为 ，直线 与圆 相切． 综上，直线 与圆 相切． 由 知， 的面积为 ， 上式中，当且仅当 等号成立， 所以 面积的最小值为 1． 【点睛】 本题主要考查直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解 能力、推理论证能力和创新意识，考查化归与转化思想，属于难题． 21．已知函数 ， 为 的导数，函数 在 处 取得最小值． （1）求证： ； AB 2 2 1x y+ = ( )2 ( )1 AOB 1 12S OA OB= ⋅  ( )1 C x 1b c= = 2a = C 2 2 12 x y+ = B 2y = OA OB⊥ OA OA 0 2OA = 2OB = 2AB = O AB 1 AB 2 2 1x y+ = OA 0 OA y kx= 2 2 12 x y+ = ( )2 21 2 2k x+ = 2 2 2 1 2Ax k = + 2 2 2 2 1 2A ky k = + 2 2 2 2 2 1 2 kOA k += + OB OA⊥ OB x ky= − B 2y = 2x k= − 2 22 2OB k= + 2 2 1 1 1 OA OB + = O AB 1 AB 2 2 1x y+ = AB 2 2 1x y+ = ( )2 ( )1 AOB ( )22 2 2 2 2 1 1 21 2 2 1 1 1 2 12 22 1 2 2 1 2 1 2 kkS OA OB k k k k + +  += ⋅ = = = + + ≥ + + +  0k = AOB ( ) lnxf x e x x ax= − + ( )f x′ ( )f x ( )f x′ 0x x= 0 0ln 0x x+ =第 17 页 共 21 页 （2）若 时， 恒成立，求 的取值范围． 【答案】（1）见解析； （2） . 【解析】（1）对 求导，令 ，求导研究单调性，分析可得存 在 使得 ，即 ，即得证； （2）分 ， 两种情况讨论，当 时， 转化 利用均值不等式即得证；当 ， 有两个不同的零点 ， ，分析可得 的最小值为 ，分 ， 讨论即得解. 【详解】 （1）由题意 ， 令 ，则 ，知 为 的增函数， 因为 ， ， 所以，存在 使得 ，即 ． 所以，当 时 ， 为减函数， 当 时 ， 为增函数， 故当 时， 取得最小值，也就是 取得最小值． 故 ，于是有 ，即 ， 所以有 ，证毕． （2）由（1）知， 的最小值为 ， ①当 ，即 时， 为 的增函数， 0x x ( ) 1f x  a [1 , )e− +∞ ( )f x ( ) ln 1xg x e x a= − + − 0 1 12 t< < ( )0 0g t′ = 0 0 1 0te t − = 0 0 1 1 0x ax + + −  0 0 1 1 0x ax + + − < 0 0 1 1 0x ax + + −  ( )n 2 0mi 0 0 0 1( )f x f x x x ax = = + + 0 0 1 1 0x ax + + − < ( )f x′ 1x 2x ( )f x ( )2f x 1a e≥ − 1a e< − ( ) ln 1xf x e x a′ = − + − ( ) ln 1xg x e x a= − + − 1( ) xg x e x ′ = − ( )g x′ (0, )+∞ (1) 1 0g e′ = − > 1 2 02g e′   = − = ( )g x 0x t= ( )g x ( )f x′ 0 0x t= 0 0 1 0xe x − = 0 0 1xe x = 0 0ln 0x x+ = ( ) ln 1xf x e x a′ = − + − 0 0 1 1x ax + + − 0 0 1 1 0x ax + + −  0 0 11a xx  − +   ( )f x [ )0 ,x +∞第 18 页 共 21 页 所以 ， ， 由（1）中 ，得 ，即 ． 故 满足题意． ②当 ，即 时， 有两个不同的零点 ， ， 且 ，即 ， 若 时 ， 为减函数，（） 若 时 ， 为增函数， 所以 的最小值为 ． 注意到 时， ，且此时 ， （ⅰ）当 时， ， 所以 ，即 ， 又 ， 而 ，所以 ，即 ． 由于在 下，恒有 ，所以 ． （ⅱ）当 时， ， 所以 ， 所以由（）知 时， 为减函数， 所以 ，不满足 时， 恒成立，故舍去． ( ) 0 2 0min 0 0 0 0 0 0 1( ) lnxf x f x e x x x a x x ax = = − + = + + 2 0 0 0 0 0 0 0 1 1 11 1x x x xx x x   + + − + = + −     0 1 12 x< < 0 0 1 1 1xx  + − >   ( ) 1f x > 0 0 11a xx  − +   0 0 1 1 0x ax + + − < 0 0 11a xx  < − +   ( )f x′ 1x 2x 1 0 2x x x< < ( ) 2 2 2 2 2ln 1 0 ln 1x xf x e x a a x e′ = − + − = ⇒ = − + ( )0 2,x x x∈ ( )2( ) 0f x f x′ ′< = ( )f x ( )2 ,x x∈ +∞ ( )2( ) 0f x f x′ ′> = ( )f x ( )f x ( )2f x (1) 1f e a= + = 1a e= − (1) 1 0f e a′ = + − = 1a e≥ − ( )2(1) 1 0f e a f x′ ′= + − = 20 1x<  21 0x− ≥ ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2ln ln ln 1 1x x x xf x e x x ax e x x x e x x e x= − + = − + − + = − + ( )( )2 21 1 1xx e= − − + 2 1 0xe − > ( )( )2 21 1 1 1xx e− − + > ( )2 1f x > 0 1 12 x< < 0 0 1 x ex  + > ( )21,x x∈ ( )f x ( ) (1) 1f x f e a< = + < 0x x ( ) 1f x 第 19 页 共 21 页 故 满足条件． 综上所述： 的取值范围是 ． 【点睛】 本题考查了函数与导数综合，考查了利用导数研究函数的最值和不等式的恒成立问题， 考查了学生综合分析，转化划归，分类讨论，数学运算能力，属于较难题. 22．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 以 为极点， 轴正半轴 为极轴建立极坐标系，设点 在曲线 上，点 在曲线 上，且 为正三角形． （1）求点 ， 的极坐标； （2）若点 为曲线 上的动点， 为线段 的中点，求 的最大值． 【答案】（1） ， ； （2） . 【解析】（1）利用极坐标和直角坐标的互化公式，即得解； （2）设点 的直角坐标为 ，则点 的直角坐标为 ．将此代入 曲线 的方程，可得点 在以 为圆心， 为半径的圆上，所以 的 最大值为 ，即得解. 【详解】 （1）因为点 在曲线 上， 为正三角形， 所以点 在曲线 上． 又因为点 在曲线 上， 所以点 的极坐标是 ， 从而，点 的极坐标是 ． （2）由（1）可知，点 的直角坐标为 ，B 的直角坐标为 0 0 11 1e a xx  − < − +   a [1 , )e− +∞ xOy 1C cos , sin . x y θ θ =  = O x A 2 : sin 1C ρ θ = B 3 6: ( 0)C πθ ρ= − > AOB A B P 1C M AP | |BM A 2, 6 π     B 2, 6 π −   1 32 + M ( , )x y P (2 3,2 1)x y− − 1C M 3 1,2 2Q       1 2 | |BM 1| | 2BQ + B 3 6: ( 0)C πθ ρ= − > AOB A ( 0)6 πθ ρ= > A 2 : sin 1C ρ θ = A 2, 6 π     B 2, 6 π −   A ( 3,1) ( 3, 1)−第 20 页 共 21 页 设点 的直角坐标为 ，则点 的直角坐标为 ． 将此代入曲线 的方程，有 即点 在以 为圆心， 为半径的圆上． ， 所以 的最大值为 ． 【点睛】 本题考查了极坐标和参数方程综合，考查了极坐标和直角坐标互化，参数方程的应用， 考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 23．已知函数 ． （1）解不等式： ； （2）求证： ． 【答案】（1） ； （2）见解析. 【解析】（1）代入得 ，分类讨论，解不等式即可； （2）利用绝对值不等式得性质， ， ，比较 大小即可. 【详解】 （1）由于 ， 于是原不等式化为 ， 若 ，则 ，解得 ； 若 ，则 ，解得 ； 若 ，则 ，解得 ． 综上所述，不等式解集为 ． （2）由已知条件， M ( , )x y P (2 3,2 1)x y− − 1C 3 1 cos ,2 2 1 1 sin ,2 2 x y θ θ  = +  = + M 3 1,2 2Q       1 2 2 23 3| | ( 3) ( ) 32 2BQ = − + = | |BM 1 1| | 32 2BQ + = + ( ) | 2 1|f x x= + ( ) ( 2) 6f x f x+ −  ( )2 2 2( 1) 2 3 2f x a f x x a x a a+ − − + + + + − { | 1 2}x x−   ( ) ( 2) | 2 1| | 2 3|f x f x x x+ − = + + − ( )2 2( 1) 2 2f x a f x a+ − − + 2 2 22 3 2 3 2 3x a x a a a a+ + + + − − + 2 23 2 3,2 2a a a− + + ( ) ( 2) | 2 1| | 2 3|f x f x x x+ − = + + − | 2 1| | 2 3| 6x x+ + −  2 1x < − 2 1 (2 3) 6x x− − − −  11 2x− < − 1 3 2 2x−   2 1 (2 3) 6x x− − + −  1 3 2 2x−   3 2x > 2 1 (2 3) 6x x+ + −  3 22 x<  { | 1 2}x x−  第 21 页 共 21 页 对于 ，可得 ． 又 ， 由于 ， 所以 ． 又由于 ， 于是 ． 所以 ． 【点睛】 本题考查了绝对值不等式得求解和恒成立问题，考查了学生分类讨论，转化划归，数学 运算能力，属于中档题. x∀ ∈R ( )2 2 2 2( 1) 2 2 1 | 2 1| 2 2 2 2f x a f x x a x a a+ − − = + + − − + = + ( )2 2 2 2 22 3 2 2 3 2 3 2 3x a x a a a a a a a+ + + + − + − − = − + 2 2 1 83 2 3 3 03 3a a a − + = − + >   2 2 22 3 2 3 2 3x a x a a a a+ + + + − − + ( )2 2 2 23 2 3 2 2 2 1 ( 1) 0a a a a a a− + − + = − + = −  2 23 2 3 2 2a a a− + + ( )2 2 2( 1) 2 3 2f x a f x x a x a a+ − − + + + + −