2020届山西省运城市高三下学期调研测试数学（文）试题（解析版）

第 1 页 共 19 页 2020 届山西省运城市高三下学期调研测试数学（文）试题 一、单选题 1．已知集合 ，集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据交集定义直接计算得到答案. 【详解】 集合 ，集合 ，则 . 故选： . 【点睛】 本题考查了交集运算，属于简单题. 2．已知复数 满足 ，其中 是虛数单位，则此复数 的虛部为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】化简得到 ，得到答案. 【详解】 ，则 ，故复数虚部为 . 故选： . 【点睛】 本题考查了复数的化简，复数的虚部，意在考查学生的计算能力. 3．某学校美术室收藏有 幅国画，其中山水画、花鸟画各 幅，现从中随机抽取 幅 进行展览，则恰好抽到 幅不同种类的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设山水画为 ， ，花鸟画为 ， ，列出所有情况，统计满足条件的情 { }2,0,2,3A = − 2 0{ | }B x x= − ≤ ≤ A B = { }2,3 { }2− ( )2,0− { }2,0− { }2,0,2,3A = − 2 0{ | }B x x= − ≤ ≤ { }2,0A B = − D z ( )2 2 1i z i− ⋅ = − i z 1 3 5 5 3 5 2 1 4 3 2 5 5 iz ii −= = − +− ( )2 2 1i z i− ⋅ = − ( )( ) ( )( ) 2 1 22 1 4 3 4 3 2 2 2 5 5 5 i ii iz ii i i − +− − += = = = − +− − + 3 5 B 4 2 2 2 5 6 4 5 3 4 2 3 1A 2A 1B 2B第 2 页 共 19 页 况，得到概率. 【详解】 设山水画为 ， ，花鸟画为 ， ， 则共有 6 种情况，满足条件的有 4 种， 故 . 故选： . 【点睛】 本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力. 4．若 ，则 的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】计算得到 ， ， ，得到答案. 【详解】 ， ， ， 故 . 故选： . 【点睛】 本题考查了数值的大小比较，意在考查学生对于函数单调性的灵活运用. 5．古代数学著作《九章算术》有如下的问题:“今有女子善织，日自倍，五日织五尺， 问日织几何?”意思是:“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的 2 倍，己知她 5 天共 织布 5 尺，问这女子每天分别织布多少?”根据上述己知条件，若要使织布的总尺数不少 于 30 尺，则至少需要（ ） A．6 天 B．7 天 C．8 天 D．9 天 【答案】C 【解析】由等比数列前 项和公式求出这女子第一天织布 尺，由此利用等比数列前 项和公式能求出要使织布的总尺数不少于 30 尺，该女子所需的天数至少为多少天． 【详解】 1A 2A 1B 2B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2, , , , , , , , , , ,A A A B A B A B A B B B 4 2 6 3p = = D 0.6 2.1 2 5log 0.6, 2.1 , log 3a b c= = = , ,a b c a b c> > b c a> > c b a> > b a c> > 0a < 1b > 0 1c< < 2.1 2.1log 0.6 log 1 0a = < = 0.6 02.1 2.1 1b = > = 2 2 2 50 log 1 log log 2 13c= < = < = b c a> > B n 5 31 n第 3 页 共 19 页 解：设该女子第一天织布 尺， 则 ， 解得 ， 前 天织布的尺数为： ， 由 ，得 ， 解得 的最小值为 8． 故选： ． 【点睛】 本题考查等比数列在生产生活中的实际应用，解题时要认真审题，注意等比数列的性质 的合理运用，属于基础题． 6．在 中，若点 满足 ，点 为线段 中点，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据 ，化简得到答案. 【详解】 . 故选： . 【点睛】 本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力. 7．已知函数 的两个相邻的对称轴之间的距离为 ，为 了得到函数 的图象，只需将 的图象（ ） A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度 C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度 【答案】D 【解析】先由函数 的两个相邻的对称轴之间的距离为 ，得到周期，求出 ，再 x 5(1 2 ) 51 2 x − =− 5 31x = ∴ n ( )5 2 131 n − 5 (2 1) 3031 n −  2 187n  n C ABC∆ D 3CD DB=  M AC MD = 3 1 4 4AB AC-  1 1 3 6AB AC−  2 1 3 3AB AC−  3 1 4 4AB AC+  MD MA AB BD= + +    ( )1 1 3 1 2 4 4 4MD MA AB BD AC AB AC AB AB AC= + + = − + + − = −          A ( ) sin ( 0)6f x x πω ω = + >   2 π ( ) sing x xω= ( )y f x= 6 π 6 π 12 π 12 π ( )f x 2 π ω第 4 页 共 19 页 由平移原则，即可得出结果. 【详解】 因为函数 的两个相邻的对称轴之间的距离为 ， 所以 的最小正周期为 ，因此 ， 所以 ， 因此，为了得到函数 的图象，只需将 的图象向右 平移 个单位长度. 故选 D 【点睛】 本题主要考查三角函数的性质，以及三角函数的平移问题，熟记三角函数的平移原则即 可，属于常考题型. 8．若 、 满足约束条件 ，则 的最小值为（ ）. A．0 B．-1 C．-2 D．-3 【答案】C 【解析】画出可行域,再根据线性规划的方法求解即可. 【详解】 作出 满足约束条件 ,表示的平面区域, ( ) sin ( 0)6f x x πω ω = + >   2 π ( )f x T π= 2 2T πω = = ( ) sin 2 sin 26 12f x x x π π   = + = +       ( ) sin 2g x x= ( ) sin 2 12f x x π = +   12 π x y 3 0 2 0 0 x y x y y + − ≤  − ≥  ≥ 4 3z x y= − ,x y 3 0 2 0 0 x y x y y + − ≤  − ≥  ≥第 5 页 共 19 页 得到如图的 及其内部,其中 , 将直线 进行平移, 当 经过点 时,目标函数 达到最小值 . 故选：C 【点睛】 本题主要考查了线性规划求最值的方法,属于基础题. 9．执行如图所示的程序框图，若输入 ，则输出 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】运行程序进行计算，退出循环后计算出输出的 的值. 【详解】 输入 ， ，判断是， ，判断是， ， 判断是，……，依次类推， ，判断否，输出 .故选 B. 【点睛】 本小题主要考查程序框图计算输出结果，考查裂项求和法，属于基础题. 10．若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示，则所截去的三棱锥的 外接球的表面积等于 （ ） ABC ( ) ( ) ( )1,2 , 3,1 , 1,0A B C − 4 3z x y= − 4 3z x y= − A z 4 1 3 2 2z = × − × = − 9n = S 8 9 9 10 10 11 11 12 S 9n = 0, 1S i= = 1 , 21 2S i= =× 1 1 , 31 2 2 3S i= + =× × 1 1 1 , 101 2 2 3 9 10S i= + + + =× × × 1 1 1 1 2 2 3 9 10S = + + +× × × 1 1 1 1 1 1 91 12 2 3 9 10 10 10 = − + − + + − = − =第 6 页 共 19 页 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由三视图可知被截去的三棱锥是长方体的一个角，三棱锥的外接球即所对应长 方体的外接球，外接球的直径为长方体的体对角线，从而可求得外接球的表面积． 【详解】 由三视图知几何体是底面为边长为 3，4，5 的三角形，高为 5 的三棱柱被平面截得的， 如图所示：截去的三棱锥是长方体的一个角，AB⊥AD，AD⊥AC，AC⊥AB， 所以将三棱锥补成长方体，其外接球相同，外接球的直径为长方体的体对角线，半径为： ，外接球的表面积为： 故选 A． 【点睛】 本题考查由三视图还原几何体，考查三棱锥外接球表面积的求法，求外接球半径的常见 方法有：①若三条棱两两垂直则用 （a,b,c 为三棱的长）；②若 面 ABC（SA=a），则 （r 为 外接圆半径）；③可以转化为长方体 34π 32π 17π 17 2 π 2 2 21 13 3 4 342 2 + + = 214 34 342 π π × =   2 2 2 24R a b c= + + SA ⊥ 2 2 24 4R r a= + ABC∆第 7 页 共 19 页 的外接球. 11．设双曲线 的左、右焦点分别为 ，过 作倾斜角为 直 线与 轴和双曲线的右支交于 、 两点，若点 平分线段 ，则该双曲线的离心率是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】双曲线 的左焦点 为 ,直线 的方程为 ， 令 ，则 ，即 ，因为 平分线段 ，根据中点坐标公式可得 ，代入双曲线方程，可得 ，由于 ，则 ，化简可 得 ，解得 ，由 ，解得 ，故选 B. 【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求 解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想 到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之 间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 用有关的一些量表示出 来，再利用其中的一些关系构造出关于 的等式，从而求出 的值.本题是利用点到直线的 距离等于圆半径构造出关于 的等式，最后解出 的值. 12．已知函数 ( 为自然对数的底数) ，若函数 恰好有两个零点，则实数 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】画出函数 和 的图像， 在 恒有一个零点，故 与 在 时相切，计算得到答案. 【详解】 ，即 ，如图所示：画出函数 和 的图 像， ，即 ， ，且 ， 故 在 时有且仅有一个零点，故 与 在 时相切. ( ) 2 , 0 2 4 1, 0 xe xf x x x x  >= − + + ≤ e ( ) ( )g x f x kx= + k 2e− e e− 2e ( )f x y kx= − ( )g x 0x < y kx= − ( )f x 0x > ( ) ( ) 0g x f x kx= + = ( )f x kx= − ( )f x y kx= − 22 4 1x x kx− + + = − ( )22 4 1 0x k x+ − =− ( )24 8 0k∆ = + + > 1 2 1 2x x = − ( )g x 0x < y kx= − ( )f x 0x >第 8 页 共 19 页 当 ，设切点为 ， ， ， ， ，解得 ， . 故选： . 【点睛】 本题考查了函数的零点问题，画出图像确定相切是解题的关键. 二、填空题 13．某市统计局就某地居民的月收入调查了 人，并根据所得数据画出样本的频率 分布直方图如图所示.(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示 )试根据频率分布直方图求出样本数据的中位数为__________． 【答案】 【解析】确定中位数在 之间，设为 ，则 ，计算得 到答案. 0x > ( )0 0,x kx− ( ) xf x e= ( )' xf x e= ( ) 0 0' xf x e k= = − 0 0 xe kx= − 0 1x = k e= − C 10000 [ )1000,1500 2400 2000 2500 t 2000 0.25 0.2500 t − × =第 9 页 共 19 页 【详解】 根据频率分布直方图知： ， ， . 故中位数在 之间，设为 ，则 ， 解得 . 故答案为： . 【点睛】 本题考查了频率分布直方图求中位数，意在考查学生的计算能力和应用能力. 14．曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 ________. 【答案】 ． 【解析】先对函数 求导，求出其在点 处的切线斜率，进而 可求出结果. 【详解】 因为 ，所以 ， 因此，曲线 在点 处的切线斜率为 ； 又该切线与直线 垂直，所以 . 故答案为 【点睛】 本题主要考查导数在某点处的切线斜率问题，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型. 15．已知数列 的前 项和为 ，且 ， ，则数列 的通项公 式为________. 【答案】 【解析】由 ，两式相减 ，结合 ，得 出数列 是等比数列，即可得出其通项公式. 【详解】 由 ，两式相减得 1 0.0002 500 0.1p = × = 2 0.0004 500 0.2p = × = 3 0.0005 500 0.25p = × = 2000 2500 t 2000 0.25 0.5 0.1 0.2 0.2500 t − × = − − = 2400t = 2400 21( ) ln2f x x x x= + (1 (1))f， 1 0ax y− − = a = 1 2 − 21( ) ln2f x x x x= + (1 (1))f， 21( ) ln2f x x x x= + ( ) ln 1f x x x′ = + + 21( ) ln2f x x x x= + (1 (1))f， (1) 1 1 2k f ′= = + = 1 0ax y− − = 1 2a = − 1 2 − { }na n nS 1 1a = 1 1n nS a += − { }na 12n− 1 1 21, 1n n n nS a S a+ + += − = − 2 12n na a+ += 2 12 2a a= = { }na 1 1 21, 1n n n nS a S a+ + += − = − 1 2 1n n na a a+ + += −第 10 页 共 19 页 又 ，解得 数列 是等比数列 故答案为 【点睛】 本题主要考查了求等比数列的通项公式，属于中档题. 16．已知抛物线 的焦点 和准线 ，过点 的直线交 于点 ，与抛物线 的一个交点为 ，且 ，则 _________ 【答案】 【解析】 垂直于准线于 ，准线与 轴交于点 ， ，则 ， ，得到答案. 【详解】 如图所示： 垂直于准线于 ，准线与 轴交于点 ， ，则 . ， . 故答案为： . 2 12n na a+ +∴ = 1 1 2 1a S a= = − 2 12 2a a= = ∴ { }na 12n na -\ = 12n− 2: 4C y x= F l F l A B 3 FA FB= −  AB = 32 3 BD D x E 3 FA FB= −  4 8 3 3BD EF= = 4AB BF= BD D x E 3 FA FB= −  4 8 3 3BD EF= = 8 3BF BD= = 324 3AB BF= = 32 3第 11 页 共 19 页 【点睛】 本题考查了抛物线中线段的长度问题，意在考查学生的计算能力和转化能力. 三、解答题 17．在 中，角 所对的边分别为 ，且 . （1）求边长 ； （2）若 ，求 的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）根据正弦定理得到 ， ，得到答案. （2）根据正弦定理得到 ， ，再利用面积公式计算 得到答案. 【详解】 由正弦定理及已知得 ，所以 ， ， 所以 ，因为 ，所以 . ，且 由正弦定理得 ， ABC∆ , ,A B C , ,a b c sin cosC 3c B b= = b 5c = ABC∆ 3 2b = 21 2 sin sin sin cosC B B C= 45C °= 3sin 5B = ( ) 7 2sin sin 10A B C= + = ( )1 ,sinCsinB sinBcosC= 0 B π< < sin 0B ≠ 0 C π< < sin cos , 45C C C °= = cos 3b C = 3 2b = ( )2 3 2, 4b C π= = 5,c = ∴ 3 2 5,sin sin sin sin 4 b c B C B π= ∴ =第 12 页 共 19 页 所以 ，又因为 ，所以 ， ， ，所以 . 【点睛】 本题考查了正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和应用能力. 18．近年来，随着互联网的发展，诸如“滴滴打车”“神州专车”等网约车服务在我国各： 城市迅猛发展，为人们出行提供了便利，但也给城市交通管理带来了一些困难.为掌握 网约车在 省的发展情况， 省某调查机构从该省抽取了 个城市，分别收集和分析 了网约车的 两项指标数 ，数据如下表所示： 城市 1 城市 2 城市 3 城市 4 城市 5 指标数 指标数 经计算得： （1）试求 与 间的相关系数 ，并利用 说明 与 是否具有较强的线性相关关系 (若 ，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)； （2）立 关于 的回归方程，并预测当 指标数为 时， 指标数的估计值. 附：相关公式： ， 参考数据： 【答案】（1）0.95， 与 具有较强的线性相关关系（2）估计值为 【解析】（1）直接利用公式计算得到 ，得到答案. （2）计算得到回归方程为 ，代入数据计算得到答案. 3sin 5B = b c< 0 2B C π< < < cos 4 5B = ( ) 7 2sin sin sin cos cos cos 10A B C B C B C= + = + = 1 21sin2 2ABCS bc A∆ = = M M 5 ,A B ( ), 1,2,3,4,5i ix y i = A x 2 4 5 6 8 B y 3 4 4 4 5 ( ) ( )5 52 2 1 1 2 5, 2i i i i x x y y = = − = − =∑ ∑ y x r r y x 0,75r > y x A 7 B ( )( ) ( ) ( ) 1 5 52 2 1 1 n i i i i i i i x x y y r x x y y = = = − − = − − ∑ ∑ ∑ ( )( ) ( ) 1 2 1 , n i i i n i i x x y y b a y bx x x = = − − = = − − ∑ ∑   0.3 0.55, 0.9 0.95≈ ≈ y x 4.6 0.95r ≈  3 5 10 2y x= +第 13 页 共 19 页 【详解】 ， ， ， 相关系数 ， 因为 ，所以 与 具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型拟合 与 的 关系. （2）由 可知， ， ， 所以 与 之间线性回归方程为 ，当 时， . 当 指标数为 时， 指标数的估计值为 . 【点睛】 本题考查了相关系数，回归方程，意在考查学生的计算能力和应用能力. 19．如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PC⊥平面 ABCD，点 M 为 PB 中点，底面 ABCD 为 梯形，AB∥CD，AD⊥CD，AD=CD=PC= AB． （1）证明：CM∥平面 PAD； （2）若四棱锥 P-ABCD 的体积为 4，求点 M 到平面 PAD 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）利用线面平行判定定理，结合中位线定理，即可证明； （2）设 ，则 ，由四棱锥 的体积得出 ， 由 平面 知，点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，过点 作 ，垂足于点 ，利用线面垂直的判定定理以及性质得出 平面 ( )1 2 4 5 6 8 55x + + + += = 3 4 4 4 5 45y + + + += = ( )( )5 1 6i i i x x y y = − − =∑ ( )( ) ( ) ( ) 5 1 5 52 2 1 1 6 9 0.95102 5 2 i i i i i i i x x y y r x x y y = = = − − = = = ≈ − − ∑ ∑ ∑  0.75r > y x y x ( )1 ( )( ) ( ) 5 1 5 2 1 6 3 20 10 i i i i i x x y y b x x = = − − = = = − ∑ ∑   3 54 510 2a y bx= − = − × = y x  3 5 10 2y x= + 7x =  3 57 4.610 2y = × + = A 7 B 4.6 1 2 2 AD x= , 2CD PC x AB x= = = P ABCD− 2x = //CM PAD M PAD C PAD C CF PD⊥ F CF ⊥第 14 页 共 19 页 ，从而得出点 M 到平面 PAD 的距离. 【详解】 （1）取 中点为 ，连接 为 中点， 且 又 ，且 且 四边形 为平行四边形， 平面 平面 平面 （2）设 ，则 由四边形 是直角梯形， 平面 得四棱锥 的体积为 由 平面 知，点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离 过点 作 ，垂足于点 平面 ， 平面 , 平面 PAD PA E ,DE ME M PB //ME AB∴ 1 2ME AB=  //AB CD 1 2CD AB= //ME CD∴ ME CD= ∴ CDEM //DE CM∴ DE ⊂ ,PAD CM ⊄ PAD //CM∴ PAD AD x= , 2CD PC x AB x= = = ABCD PC ⊥ ABCD P ABCD− 21 1 ( 2 ) 4, 23 2 x x x x× + = ∴ = //CM PAD M PAD C PAD C CF PD⊥ F PC ⊥ ABCD AD ⊂ ABCD PC AD∴ ⊥ ,AD CD PC CD C⊥ ∩ = ,PC CD ⊂ PCD第 15 页 共 19 页 平面 平面 ， 平面 平面 由 知， 到平面 的距离等于 【点睛】 本题主要考查了证明线面平行以及求点到平面的距离，属于中档题. 20．已知椭圆 的离心率为 ，右焦点为 ，以原点 为圆 心，椭圆 的短半轴长为半径的圆与直线 相切. （1）求椭圆 的方程； （2）如图，过定点 的直线 交椭圆 于 两点，连接 并延长交 于 ，求证： . 【答案】（1） （2）证明过程详见解析 【解析】（1）设出圆的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出 b，利用离心率求 出 a，即可求出椭圆 C 的标准方程； （2）依题意可知直线 斜率存在，设 方程为 ，代入 整理得 ， 与椭圆有两个交点， . 设 ， ，直线 ， 的斜率分别为 ， ，利用韦达定理证明 即可. 【详解】 AD∴ ⊥ PCD CF ⊂ PCD AD CF∴ ⊥ , ,PD AD D PD AD∩ = ⊂ PAD CF∴ ⊥ PAD 2,PC CD PC CD= = ⊥ 2CF = M∴ PAD 2 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 2 2 F O C 2 0x y− − = C (2,0)P l C ,A B AF C M PFM PFB∠ = ∠ 2 2 12 x y+ = l l ( )2y k x= − 2 2 12 x y+ = ( )2 2 21 2 8k x k x+ − 28 2 0k+ − =  l 0∴∆ > ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y AF BF 1k 2k 1 2 0k k+ =第 16 页 共 19 页 解：（1）依题意可设圆 方程为 ， 圆 与直线 相切， . ， 由 解得 ， 椭圆 的方程为 . （2）依题意可知直线 斜率存在，设 方程为 ，代入 整理得 ， 与椭圆有两个交点， ，即 . 设 ， ，直线 ， 的斜率分别为 ， 则 ， . ， 即 . 【点睛】 本题考查椭圆的标准方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，圆的圆心与半径的求法， 考查分析问题解决问题的能力． 21．已知函数 . （1）若 ，求函数 的单调区间； （2）对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；（2） . C 2 2 2x y b+ =  C 2 0x y− + = 2 2 2 1 1 1 b∴ = = + 2 2 1a c∴ − = 2 2 c a = 2a = ∴ C 2 2 12 x y+ = l l ( )2y k x= − 2 2 12 x y+ = ( )2 2 21 2 8k x k x+ − 28 2 0k+ − =  l 0∴∆ > 22 1 0k − < ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y AF BF 1k 2k 2 1 2 2 8 1 2 kx x k + = + 2 1 2 2 8 2 1 2 kx x k −= + ( )1,0F 1 2 1 2 1 21 1 y yk k x x ∴ + = +− − ( ) ( )1 2 1 2 2 2 1 1 k x k x x x − −= +− − 1 2 1 12 1 1k k x x  = − + − −  ( )1 2 1 2 1 2 22 1 x xk k x x x x  + −= −   − + +  2 2 2 2 2 2 8 21 22 8 2 8 11 2 1 2 k kk k k k k k −+= − − − ++ + 2 2 4 22 02 1 kk k k −= − =− PFM PFB∠ = ∠ ( ) ln 1f x ax x= + + 1a = − ( )f x 0x > ( ) xf x e≤ a ( )0,1 ( )1,+∞ { }1a a e≤ −第 17 页 共 19 页 【解析】（1）求出函数 的定义域与导数，然后在定义域内分别解不等式 和 ，可得出函数 的单调递减区间和单调递增区间； （2）由 ，利用参变量分离法得出 在 恒成立， 令 ，将问题转化为 ，然后利用导数求出函数 在 上的最小值，可得出实数 的取值范围. 【详解】 （1）当 时， ，定义域为 ， . 令 ，得 ；令 ，得 . 因此，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ； （2）不等式 恒成立，等价于 在 恒成立， 令 ， ，则 ， 令 ， ， . 所以 在 单调递增，而 ， 所以 时， ，即 ， 单调递减； 时， ，即 ， 单调递增. 所以在 处 取得最小值 ， 所以 ，即实数 的取值范围是 . 【点睛】 本题考查利用导数求函数的单调区间，以及利用导数研究不等式恒成立问题，解题的关 键在于利用参变量分离转化为函数的最值来求解，避免了分类讨论，考查化归与转化思 想，属于中等题. 22．在平面直角坐标系 中,已知直线 的参数方程为 （ 为参数）.在 ( )y f x= ( ) 0f x′ < ( ) 0f x′ > ( )y f x= ln 1 xax x e+ + ≤ ln 1xe xa x − −≤ ( )0, ∞+ ( ) ln 1xe xg x x − −= ( )mina g x≤ ( )y g x= ( )0, ∞+ a 1a = − ( ) ln 1f x x x= − + ( )0, ∞+ ( ) 1 11 xf x x x −′ = − = ( ) 0f x′ > 0 1x< < ( ) 0f x′ < 1x > ( )y f x= ( )0,1 ( )1,+∞ ln 1 xax x e+ + ≤ ln 1xe xa x − −≤ ( )0, ∞+ ( ) ln 1xe xg x x − −= 0x > ( ) ( ) 2 1 lnxx e xg x x ′ − += ( ) ( )1 lnxh x x e x= − + 0x > ( ) 1 0xh x xe x = + >′ ( )y h x= ( )0, ∞+ ( )1 0h = ( )0,1x∈ ( ) 0h x < ( ) 0g x′ < ( )y g x= ( )1,x∈ +∞ ( ) 0h x > ( ) 0g x′ > ( )y g x= 1x = ( )y g x= ( )1 1g e= − 1a e −≤ a { }1a a e≤ − xOy l 1 2 3 12 x t y t  =  = − t第 18 页 共 19 页 以坐标原点 为极点, 轴的正半轴为极轴,且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系 中,曲线 的极坐标方程是 . （1）求直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程； （2）设点 .若直 与曲线 相交于两点 ,求 的值. 【答案】（1） ， ；（2） . 【解析】（1）利用代入法消去参数方程中的参数可求直线 的普通方程，极坐标方程展 开后，两边同乘以 ，利用 ，即可得曲线 的直 角坐标方程；（2）直线 的参数方程代入圆 的直角坐标方程，利用韦达定理、直线 参数方程的几何意义即可得结果. 【详解】 （1）将直线 l 的参数方程消去参数 t 并化简，得 直线 l 的普通方程为 . 将曲线 C 的极坐标方程化为 . 即 .∴x2+y2=2y+2x. 故曲线 C 的直角坐标方程为 . （2）将直线 l 的参数方程代入 中，得 . 化简，得 . ∵Δ>0，∴此方程的两根为直线 l 与曲线 C 的交点 A，B 对应的参数 t1，t2. 由根与系数的关系，得 ， ，即 t1，t2 同正. 由直线方程参数的几何意义知, . 【点睛】 本题主要考查参数方程和普通方程的转化、极坐标方程和直角坐标方程的转化以及直线 参数方程的应用，属于中档题. 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程， 消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等 O x C 2 2sin 4 πρ θ = +   l C ( )0, 1P − l C ,A B PA PB+ 3 1 0x y− − = 2 2( 1) ( 1) 2x y− + − = 2 3 1+ l ρ 2 2 2 , cos , sinx y x yρ ρ θ ρ θ= + = = C l C 3 1 0x y− − = 2 2 22 2 sin cos2 2 ρ ρ θ θ = +    2 2 sin 2 cosρ ρ θ ρ θ= + ( ) ( )2 21 1 2x y− + − = ( ) ( )2 21 1 2x y− + − = 221 31 2 22 2t t   − + − =        ( )2 1 2 3 3 0t t− + + = 1 2 2 3 1t t+ = + 1 2 3t t = 1 2 1 2 2 3 1PA PB t t t t+ = + = + = +第 19 页 共 19 页 式消元法；极坐标方程化为直角坐标方程，只要将 和 换成 和 即可. 23．已知 ． （1）已知关于 的不等式 有实数解，求 的取值范围； （2）求不等式 的解集． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）依据能成立问题知， ，然后利用绝对值三角不等式求出 的最小值，即求得 的取值范围；（2）按照零点分段法解含有两个绝对值的不等式即 可。 【详解】 因为不等式 有实数解，所以 因为 ，所以 故 。 ①当 时， ，所以 ，故 ②当 时， ，所以 ，故 ③当 时， ，所以 ，故 综上，原不等式的解集为 。 【点睛】 本题主要考查不等式有解问题的解法以及含有两个绝对值的不等式问题的解法，意在考 查零点分段法、绝对值三角不等式和转化思想、分类讨论思想的应用。 cosρ θ sinρ θ x y ( ) 1 2f x x x= + + − x ( )f x a< a ( ) 2 2f x x x≥ − 3a > 1,2 3 − +  ( )minf x a< ( )f x a ( )1 ( )f x a< ( )minf x a< ( ) ( ) ( )1 2 1 2 3f x x x x x= + + − ≥ + − − = ( )min 3f x = 3a > ( ) ( ) 2 1, 2 2 3, 1 2 2 1, 1 x x f x x x x − ≥ = − <