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2020 届全国 100 所名校最新高考模拟示范卷模拟测试（二）
试题
一、单选题
1．若集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据并集的定义可直接求得结果.
【详解】
由并集的定义可得： .
故选： .
【点睛】
本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题.
2． 是虚数单位， ，则 （ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】由复数模长的定义可直接求得结果.
【详解】
， .
故选： .
【点睛】
本题考查复数模长的求解问题，属于基础题.
3．已知向量 ， ，若 ，则实数 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由向量平行关系可构造方程求得结果.
【详解】
， ，解得： .
{0,1,2,3}A = {2,3,4,5}B = A B =
{1,2,3,4,5} {0,1,4,5} {2,3} {0,1,2,3,4,5}
{ }0,1,2,3,4,5A B =
D
i 2z i= − | |z =
3 5 6
2z i= − ( )222 1 5z∴ = + − =
C
( )1,2a = ( )1,b λ= − //a b λ
1− 1 2− 2
//a b ( )1 2 1λ∴ × = × − 2λ = −第 2 页 共 19 页
故选： .
【点睛】
本题考查向量平行的坐标表示，属于基础题.
4．设命题 ，则 为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据全称量词否定的定义可直接得到结果.
【详解】
根据全称量词否定的定义可知： 为： ，使得 .
故选： .
【点睛】
本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.
5． 展开式中含 的系数是（ ）
A．15 B． C．10 D．
【答案】D
【解析】由二项展开式通项公式可确定 ，由此可求得系数.
【详解】
展开式的通项 ，
当 时， ，即 的系数为 .
故选： .
【点睛】
本题考查二项展开式指定项系数的求解问题，关键是熟练掌握二项展开式通项公式的形
式.
6．若双曲线 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，点
，则 ( )
C
2: , 0p x R x∀ ∈ > p¬
2, 0x R x∀ ∈ ≤ 2, 0x R x∀ ∈ >
2, 0x R x∃ ∈ > 2, 0x R x∃ ∈ ≤
p¬ x R∃ ∈ 2 0x ≤
D
51 1x
−
2x−
15− 10−
3r =
51 1x
−
( ) ( )5
5
1 5 5
1 1 1
r
r rr r r
rT C C xx
−
−
+
= ⋅ − = − ⋅
3r = 3 2 2
4 5 10T C x x− −= − = − 2x− 10−
D
( )2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
− = > > 1 2,F F 5
3
( ,0)P b 1
2
| |
| |
PF
PF
=第 3 页 共 19 页
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解析】根据题意写出 与 坐标，表示出 ，结合离心率公式计算即可.
【详解】
双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，
， ，
又 ，
， ，
该双曲线离心率为 ，
，即 ，
解得 ，
，
故选：C.
【点睛】
本题考查了双曲线的定义及性质，考查运算能力，属于基础题.
7．图为祖冲之之子祖暅“开立圆术”中设计的立体模型.祖暅提出“祖氏原理”，他将牟合
方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥的体积之差，从而求出牟合方盖的体积等于
（ 为球的直径），并得到球的体积为 ，这种算法比外国人早了一千多
年，人们还用过一些类似的公式，根据 ，判断下列公式中最精确的
一个是（ ）
A． B． C． D．
1F 2F 1
2
| |
| |
PF
PF
( )2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
− = > > 1F 2F
∴ ( )1 ,0F c− ( )2 ,0F c
( ,0)P b
∴ 1PF b c= + 2PF c b= −
5
3
∴ 5
3
c
a
=
2 22
2 2
5
3
c c
a c b
= = −
5
4
c
b
=
∴ 1
2
51 1| | 4 95| | 1 14
c
PF b c b
cPF c b
b
+ ++= = = =− − −
32
3 d d 31
6V dπ=
3.1415926π = ⋅⋅⋅
3 16
9d V≈ 3 2d V≈ 3 300
157d V≈ 3 15
8d V≈第 4 页 共 19 页
【答案】C
【解析】利用选项中的公式化简求得 ，找到最精确的选项即可.
【详解】
由 得： .
由 得： ， ；由 得： ， ；
由 得： ， ；由 得： ， ，
的公式最精确.
故选： .
【点睛】
本题考查数学史与立体几何的知识，关键是能够对选项中的公式进行准确化简求得 的
近似值.
8．已知 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】把已知两等式平方后作和，结合同角三角函数平方关系和两角和差余弦公式可
化简求得结果.
【详解】
由 得： ，
由 得： ，
两式相加得： ，即 ，
.
故选： .
【点睛】
本题考查利用三角恒等变换公式化简求值的问题，涉及到同角三角函数平方关系的应用；
关键是能够通过平方运算配凑出符合两角和差余弦公式的形式.
二、多选题
9．第 18 届国际篮联篮球世界杯（世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世
π
31
6V dπ= 3
6V
d
π =
A 3
9
16
V
d
≈ 6 9 3.37516
π =∴ ×≈ B 3
1
2
V
d
≈ 6 32
π∴ ≈ =
C 3
157
300
V
d
≈ 6 157 3.14300
π ×∴ ≈ = D 3
8
15
V
d
≈ 6 8 3.215
π ×∴ ≈ =
C∴
C
π
32cos cos 2
α β− = 32sin sin 2
α β+ = cos( )α β+
1
2
1
2
− 1
4
1
4
−
32cos cos 2
α β− = ( )2 2 2 92 cos cos 4 cos 4 cos cos cos 4
α β α α β β− = − + =
32sin sin 2
α β+ = ( )2 2 2 32sin sin 4sin 4sin sin sin 4
α β α α β β+ = + + =
( )5 4 cos cos sin sin 3α β α β− − = ( )4cos 2α β+ =
( ) 1cos 2
α β∴ + =
A第 5 页 共 19 页
界杯）于 2019 年 8 月 31 日至 9 月 15 日在中国的北京、广州、南京、上海、武汉、深
圳、佛山、东莞八座城市举行.中国队 12 名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所
示，则下列说法正确的是（ ）
A．第一场得分的中位数为 B．第二场得分的平均数为
C．第一场得分的极差大于第二场得分的极差 D．第一场与第二场得分的众数相等
【答案】ABD
【解析】根据茎叶图分别计算中位数、平均数、极差和众数，依次判断各个选项即可得
到结果.
【详解】
对于 ，将第一场得分从小到大排序可知中位数为 ， 正确；
对于 ，第二场得分的总分为 ，则平均数为
， 正确；
对于 ，第一场得分的极差为 ，第二场得分的极差为 ， 错误；
对于 ，第一场和第二场得分的众数均为 ， 正确.
故选： .
【点睛】
本题考查茎叶图的相关知识，涉及到利用茎叶图计算中位数、众数、平均数和极差的问
题，属于基础题.
10．已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点 、 ，若线段 的最小值为
，则（ ）
A．正方体的外接球的表面积为 B．正方体的内切球的体积为
C．正方体的棱长为 2 D．线段 的最大值为
【答案】ABC
【解析】设正方体的棱长为 ，由此确定内切球和外接球半径，由 的最小值为两球
半径之差可构造方程求得 ，进而求得外接球表面积和内切球体积；由 的最大值为
两球半径之和可得到最大值.
【详解】
5
2
19
3
A 2 3 5
2 2
+ = A
B 3 9 6 7 7 10 10 24 76+ + + + + + + =
76 19
12 3
= B
C 19 0 19− = 24 0 24− = C
D 0 D
ABD
M N MN
3 1−
12π 4
3
π
MN 2 3
a MN
a MN第 6 页 共 19 页
设正方体的棱长为 ，
则正方体外接球半径为体对角线长的一半，即 ；内切球半径为棱长的一半，即
.
分别为外接球和内切球上的动点，
，解得： ，即正方体棱长为 ， 正确，
正方体外接球表面积为 ， 正确；内切球体积为 ， 正确；
线段 的最大值为 ， 错误.
故选： .
【点睛】
本题考查正方体外接球和内切球相关问题的求解，关键是通过球的性质确定两球上的点
的距离最小值为 ，最大值为 .
11．已知圆 与直线 相切于点 ，圆 被 轴所截得的弦长为
2，则下列结论正确的是（ ）
A．圆 的圆心在定直线 上
B．圆 的面积的最大值为
C．圆 的半径的最小值为 1
D．满足条件的所有圆 的半径之积为 10
【答案】ABD
【解析】由切线的性质可确定 与 垂直，由此可求得 满足的直线方
程，可判断出 的正误；利用垂径定理可构造方程求得半径所有可能的取值，进而判断
出 的正误.
【详解】
圆 与 相切于 ， 与 垂直，
直线 斜率为 ，则 在直线 ，即 上， 正确；
设 ， 圆 半径 ，
a
3
2 a
2
a
,M N
min
3 3 1 3 12 2 2
aMN a a
−∴ = − = = − 2a = 2 C
∴ ( )2
4 3 12π π× = A 4
3
π
B
MN 3 3 12 2
aa+ = + D
ABC
R r− R r+
M 2 0x y+ + = (0, 2)A − M x
M 2 0x y− − =
M 50π
M
M
AM 2 0x y+ + = M
A
, ,B C D
M 2 0x y+ + = ( )0, 2A − AM∴ 2 0x y+ + =
∴ AM 1 M 2y x= − 2 0x y− + = A
( ), 2M a a − ∴ M ( )22 2 2 2r AM a a a= = + − + =第 7 页 共 19 页
圆 被 轴截得的弦长为 ，解得： 或
，
当 时，圆 面积最大，为 ， 正确；
当 时，圆 半径最小，为 ， 错误；
满足条件的所有半径之积为 ， 正确.
故选： .
【点睛】
本题考查直线与圆知识的综合应用，涉及到切线的性质、直线被圆截得的弦长问题；关
键是熟练应用垂径定理，即直线被圆截得的弦长等于 .
12．若存在 ，使得 对任意 恒成立，则函数 在 上有下界，其
中 为函数 的一个下界；若存在 ，使得 对任意 恒成立，则函
数 在 上有上界，其中 为函数 的一个上界.如果一个函数既有上界又有下
界，那么称该函数有界.下列说法正确的是（ ）
A．1 不是函数 的一个下界
B．函数 有下界，无上界
C．函数 有上界，无下界
D．函数 有界
【答案】BD
【解析】根据基本不等式可判断出 错误；利用导数可确定 中函数的单调性，从而
确定是否存在上下界；由 ， 可知 ，从而否定 ；根据正弦函数
的值域可进行放缩得到 中函数的上下界.
【详解】
对于 ，当 时， （当且仅当 时取等号）， 恒成立，
是 的一个下界， 错误；
对于 ， ，
时， ； 时， ，
∴ M x ( )22 22 2 2 4 4 2r a a a− − = + − = 5a = −
1a =
5a = − M 2 50rπ π= B
1a = M 2 C
5 2 2 10× = D
ABD
2 22 r d−
m ( )f x m≥ x D∈ ( )f x D
m ( )f x M ( )f x M≤ x D∈
( )f x D M ( )f x
1( ) ( 0)f x x xx
= + >
( ) lnf x x x=
2( )
xef x x
=
2
sin( ) 1
xf x x
= +
A B
2 0x > 0xe > ( ) 0f x > C
D
A 0x > 1 2x x
+ ≥ 1x = ( ) 1f x∴ > 1∴
( )f x A
B ( ) ( )ln 1 0f x x x′ = + >
( )10,x e−∴ ∈ ( ) 0f x′ < ( )1,x e−∈ +∞ ( ) 0f x′ >第 8 页 共 19 页
在 上单调递减，在 上单调递增，
， 有下界，
又 时， ， 无上界限，
综上所述： 有下界，无上界， 正确；
对于 ， ， ， ， 有下界， 错误；
对于 ， ， ，
又 ， ， ， 既有上界又有下界，
即 有界， 正确.
故选： .
【点睛】
本题考查函数的新定义运算的问题，关键是明确新定义运算实际考查了函数值域的求解
问题，涉及到利用导数来求解函数的单调区间和最值、放缩法的应用等知识.
三、填空题
13．设 是定义在 上的函数，若 是偶函数，且 ，则
________.
【答案】
【解析】根据偶函数的定义可构造方程 ，代入 和
即可求得结果.
【详解】
为偶函数， ，即 ，
，又 ， .
故答案为： .
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性求解函数值的问题，属于基础题.
14．已知函数 ，点 和 是函数 图象上
( )f x∴ ( )10,e− ( )1,e− +∞
( ) ( )1 1f x f e e
−∴ ≥ = − ( )f x∴
x → +∞ ( )f x → +∞ ( )f x∴
( ) lnf x x x= B
C 2 0x > 0xe > 2 0
xe
x
∴ > ( )f x∴ C
D [ ]sin 1,1x∈ − 2 2 2
1 sin 1
1 1 1
x
x x x
−∴ ≤ ≤+ + +
2
1 11x
− ≥ −+ 2
1 11x
≤+ 2
sin1 11
x
x
∴− ≤ ≤+
( )f x∴
( )f x D
BD
( )f x R ( ) ( )g x f x x= + ( 2) 4g − = −
(2)f =
6−
( ) ( )f x x f x x+ = − − 2x =
( )2 4g − = −
( )g x ( ) ( )g x g x∴ = − ( ) ( )f x x f x x+ = − −
( ) ( )2 2 2 2f f∴ + = − − ( ) ( )2 2 2 4g f− = − − = − ( )2 6f∴ = −
6−
( ) sin( )( 0)f x xω ϕ ω= + > 2 ,03
π
7 ,06
π
( )f x第 9 页 共 19 页
相邻的两个对称中心，则 _________.
【答案】2
【解析】根据正弦函数两相邻对称中心横坐标间隔为半个最小正周期可求得最小正周
期，由此可求得 .
【详解】
和 是 两个相邻的对称中心，
，即 ， .
故答案为： .
【点睛】
本题考查正弦型函数对称性和周期性的综合应用问题，关键是明确正弦型函数相邻的两
个对称中心横坐标间隔为半个最小正周期.
15．在正三棱柱 中， ， ， 分别为 ， 的
中点，平面 过点 ，且平面 平面 ，平面 平面 ，则异面直线
与 所成角的余弦值为________.
【答案】
【解析】由面面平行性质可知 ，取 的中点分别为 ，可证得 ，
由此得到异面直线所成角为 或其补角，通过求得 可确定所成角为
，进而得到结果.
【详解】
平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ，
取 的中点分别为 ，连接 ，如图所示，
则 ， ， 异面直线 与 所成的角为 或其补角，
ω =
ω
2 ,03
π
7 ,06
π
( )f x
7 2
2 6 3 2
T π π π∴ = − = 2T
π πω= = 2ω∴ =
2
1 1 1ABC A B C− 2 3AB = 1 2AA = ,E F 1AB 1 1AC
α 1C //α 1 1A B C α 1 1 1A B C l=
EF l
3
4
1 1//l A B 1 1 1 1,A B B C ,H G //GF l
GFE∠ cos GFE∠
GFE∠
//α 1 1A B C α 1 1 1A B C l= 1 1A B C 1 1 1 1 1A B C A B=
1 1//l A B∴
1 1 1 1,A B B C ,H G 1, , , ,EH EG GH GF AC
1 1//GF A B //GF l∴ ∴ EF l GFE∠第 10 页 共 19 页
， ， ， ， ，
， ，
异面直线 与 所成的角为 ，
异面直线 与 所成角的余弦值为 .
故答案为： .
【点睛】
本题以三棱柱为载体，综合考查异面直线所成角的求解；解答的基本方法是通过平移直
线，把异面直线平移到两条相交直线上，将异面直线所成角的问题转变为相交直线所成
角的问题.
四、双空题
16．已知 ， 分别为椭圆 的左、右焦点， 是椭圆上的一点，且在
轴的左侧，过点 作 的角平分线的垂线，垂足为 ，若 （ 为坐
标原点），则 __________， ________.
【答案】4
【解析】延长 ， 相交于 点，易知 ，得到 为 中点，结合
三角形中位线性质可求得 ，由 可求得结果；
结合椭圆定义可求得 ， ，由勾股定理确定 ，进而求得结果.
【详解】
如图，延长 ， 相交于 点，
由题意知： ，且 平分 ， ， 为 的中点，
2 3AB = 1 2AA = 1 4AC∴ = 1EH = 3HF GF= =
2EG EF∴ = =
3
32 2cos 02 4
GF
GFE EF
∴ ∠ = = = >
∴ EF l GFE∠
∴ EF l 3
4
3
4
1F 2F
2 2
116 8
x y+ = M y
2F 1 2F MF∠ N | | 2ON = O
2 1MF MF− = | |OM =
2 3
2F N 1MF Q 2MF FQ= N 2F Q
1FQ 1 2 1 1MQ MF MF MF FQ− = − =
2MF 1MF 1 1MF OF⊥
2F N 1MF Q
2MN F Q⊥ MN 1 2F MF∠ 2MF MQ∴ = N∴ 2F Q第 11 页 共 19 页
为 的中点， ， .
由椭圆定义知： ， ， ，
又 ， ， ，
.
故答案为： ； .
【点睛】
本题考查椭圆几何性质的应用，涉及到椭圆的定义和对称性的应用，考查学生对于椭圆
几何性质的基础知识的掌握情况.
五、解答题
17．从中国教育在线官方公布的考研动机调查来看，本科生扎堆考研的原因大概集中在
这 6 个方面：本科就业压力大，提升竞争力；通过考研选择真正感兴趣的专业；为了获
得学历；继续深造；随大流；有名校情结.如图是 2015～2019 年全国硕士研究生报考人
数趋势图（单位：万人）的拆线图.
（1）求 关于 的线性回归方程；
（2）根据（1）中的回归方程，预测 2021 年全国硕士研究生报考人数.
参考数据： ；
回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ，
.
【答案】（1） ；（2）338.6 万人
O 1 2F F 1
1// 2ON FQ∴ 2 1 1 1 4MF MF MQ MF FQ∴ − = − = =
2 1 8MF MF+ = 2 6MF∴ = 1 2MF =
1 2 2 16 8 4 2F F = − = 2 2 2
2 1 1 2MF MF F F∴ = + 1 1MF OF∴ ⊥
2 2
1 1 4 8 2 3OM MF OF∴ = + = + =
4 2 3
y t
( )( )5
1
311i i
i
t t y y
=
− − =∑
ˆˆ ˆy a bt= +
( )( )
( )
1
2
1
ˆ
n
i i
i
n
i
i
t t y y
b
t t
=
=
− −
=
−
∑
∑
ˆˆa y bt= −
ˆ 31.1 120.9y t= +第 12 页 共 19 页
【解析】（1）根据折线图中数据计算得到最小二乘法所需数据，利用最小二乘法求得回
归直线；
（2）将 代入回归直线即可求得所求预测值.
【详解】
（1）由折线图中数据计算得： ，
，
由参考数据知， ，
， ，
所求回归方程为 .
（2）将 年对应的 代入回归方程得： ，
预测 年全国硕士研究生报考人数约为 万人.
【点睛】
本题考查最小二乘法求解回归直线并利用回归直线进行预测的问题，涉及到折线图的读
取问题；关键是熟练掌握最小二乘法，对学生的运算能力有一定要求.
18．在① .② 的面积 ，③ 这三个条件中任
选一个，补充在下面问题中，问题中的 是否为等边三角形，请说明理由.在
中， 分别为内角 的对边，且 ，
________，试判断 是否为等边三角形？（注：如果选择多个条件分别解答，按
第一个解答计分）
【答案】若选①，等边三角形；若选②，等边三角形；若选③，等边三角形.
【解析】利用正弦定理边化角整理可求得 ，进而得到 ，利用余弦定理可构造方
程，得到 ；
若选①，利用余弦定理的结论可求得 ，进而求得 ，从而得到结论；
若选②，根据三角形面积公式可求得 ，进而求得 ，从而得到结论；
若选③，利用正弦定理角化边可求得 ，进而求得 ，从而得到结论.
7t =
( )1 1 2 3 4 5 35t = + + + + =
( ) ( ) ( )5 2 2 2 2 2 2
1
2 1 0 1 2 10i
i
t t
=
− = − + − + + + =∑
( )( )5
1
311i i
i
t t y y
=
− − =∑
( )( )
( )
5
1
5 2
1
311ˆ 31.110
i i
i
i
i
t t y y
b
t t
=
=
− −
∴ = = =
−
∑
∑
ˆˆ 214.2 31.1 3 120.9a y bt= − = − × =
∴ ˆ 31.1 120.9y t= +
2021 7t = ˆ 31.1 7 120.9 338.6y = × + =
∴ 2021 338.6
2b c+ = ABC∆ 3
4ABCS∆ = 3sin sin 4B C =
ABC∆ ABC∆
, ,a b c , ,A B C ( cos cos )tan 3 , 1a C c A A b a+ = =
ABC∆
tan A A
2 2 1b c bc+ − =
1bc = 1b c= =
1bc = 1b c= =
1bc = 1b c= =第 13 页 共 19 页
【详解】
由 得： ，
即 ，
， ， ，又 ， .
由余弦定理得： .
若选①，则 ，解得： ，
，又 ，则 是等边三角形.
若选②， ，解得： ，
，即 ，又 ，则 是等边三角形.
若选③， ， ， ，
由正弦定理得： ，即 ，
，即 ，又 ，则 是等边三角形.
【点睛】
本题采用开放式设问的方式，考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边角互化的应
用、利用余弦定理和三角形面积公式解三角形等知识，属于常考题型.
19．已知数列 的前 项和为 ， ， ，
.
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）利用 与 的关系可证得数列 为等比数列，利用等比数列通项公式
求得结果；
（2）由（1）可求得 的通项公式，采用并项求和的方法，结合等差数列求和公式
可求得结果.
【详解】
( )cos cos tan 3a C c A A b+ = ( )sin cos sin cos tan 3sinA C C A A B+ =
( ) ( )sin tan sin tan sin tan 3sinA C A B A B A Bπ+ = − = =
( )0,B π∈ sin 0B∴ ≠ tan 3A∴ = ( )0,A π∈
3A
π∴ =
2 2 2 22 cos 1b c bc A b c bc+ − = + − =
( )22 2 3 4 3 1b c bc b c bc bc+ − = + − = − = 1bc =
1b c∴ = =
3A
π= ABC∆
1 3 3sin2 4 4ABCS bc A bc∆ = = = 1bc =
2 2 2b c∴ + = 1b c= =
3A
π= ABC∆
3A
π=
3sin 2A∴ = 23sin sin sin4B C A∴ = =
2bc a= 1bc =
2 2 2b c∴ + = 1b c= =
3A
π= ABC∆
{ }na n nS 1 4a = ( ) 13 1 4 n
n nS a−
+= −
( )21
2( 1) logn
n nb a+= − ⋅
{ }na
{ }nb 2n 2nT
4n
na = 2 4 (2 1)nT n n= − +
na nS { }na
{ }nb第 14 页 共 19 页
（1） ， 当 且 时， ，
，
整理可得： ，
当 且 时， ， ；
当 时， ， ，满足 ，
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列， .
（2）由（1）知： ，
【点睛】
本题考查利用 与 的关系证明数列为等比数列并求通项、并项求和法求解数列的前
项和的问题，涉及到等差数列求和公式的应用；关键是明确对于通项公式含有
的数列求和时，通常采用并项求和的方式，通过分组找到数列的规律.
20．如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 为直角梯形，
， ， ， ， 分别为线段
的中点.
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求多面体 的体积；
（3）求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3）
【解析】（1）连接 ，交 于点 ，证得四边形 为平行四边形，从而得到
为 中点，分别利用三角形中位线性质和线面平行的判定定理证得 平面 ，
( ) 13 1 4 n
n nS a−
+= − ∴ 2n ≥ n ∗∈N ( )1
13 1 4 n
n nS a− +
− = −
( ) ( ) ( )1
1 13 3 1 4 1 4n n
n n n n na S S a a− − +
− +∴ = − = − − −
( )( )11 4 4 0n
n na a−
+− − =
2n ≥ n ∗∈N 1 4 0n−− ≠ 1 4n na a+∴ =
1n = ( )1
1 1 23 3 1 4 12S a a−= = − = 2 16a∴ = 2 14a a=
∴ { }na 4 4 14 4 4n n
na −∴ = × =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21 1 12 2
2 21 log 4 1 log 2 1 4n n nn n
nb n+ + += − ⋅ = − ⋅ = − ⋅
( ) ( )2 22 2 2
2 4 1 2 3 4 2 1 2nT n n ∴ = − + − +⋅⋅⋅+ − −
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 1 2 1 2 3 4 3 4 4 1 1n= + × − + + × − +⋅⋅⋅+ − × −
( )( ) ( ) ( )4 24 3 7 4 1 4 4 2 12
n nn n n
+= × − − −⋅⋅⋅− − = − × = − +
na nS
n ( )1 n−
P ABCD− PA ⊥ ABCD ABCD
AB AD⊥ //BC AD 2 2 2AD BC PA= = = 1AB = , ,E F G
, ,AD DC PB
//PEF GAC
AGCPEF
GC PCD
1
3
1
6
BE AC O ABCE O
AC //PE GAC第 15 页 共 19 页
平面 ，由面面平行的判定定理可证得结论；
（2）利用切割的方式，通过所求体积 ，结合棱锥体积公
式可求得结果；
（3）以 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得所求的结果.
【详解】
（1）连接 ，交 于点 ，连接 ，
， 且 为 中点， ，
四边形 为平行四边形， 为 中点，又 为 中点，
，又 平面 ， 平面 ， 平面 ；
分别为 中点， ，
又 平面 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ， ， 平面 平面 .
（2） ， ， ；
又 为 中点， 到平面 的距离为 ，
，
分别为 中点， ，
又 ， ，
多面体 的体积 .
（3） 底面 ， ， 两两互相垂直，
则以 为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：
//EF GAC
P ABCD G ABC P DEFV V V V− − −= − −
A
BE AC O ,GO CE
//BC AD 2AD BC= E AD //BC AE∴
∴ ABCE O∴ AC G PB
//GO PE∴ GO ⊂ GAC PE ⊄ GAC //PE∴ GAC
,E F ,AD CD //EF AC∴
AC ⊂ GAC EF ⊄ GAC //EF∴ GAC
,PE EF ⊂ PEF PE EF E∩ = ∴ //PEF GAC
2 2 2AD BC PA= = = 1AB = ∴ ( )1 1 11 2 13 2 2P ABCDV − = × × + × =
G PB G∴ ABC 1 1
2 2PA =
1 1 1 11 13 2 2 12G ABCV −∴ = × × × × =
,E F ,AD CD 1
4DEF DACS S∆ ∆∴ =
( )1 11 2 1 1 1 12 2DACS∆ = × + × − × × = 1 1 113 4 12P DEFV −∴ = × × =
∴ AGCPEF 1 1 1 1
2 12 12 3P ABCD G ABC P DEFV V V V− − −= − − = − − =
PA ⊥ ABCD AB AD⊥ , ,AB AD AP∴
A第 16 页 共 19 页
则 ， ， ， ，
， ， ，
设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，则 ， ， ，
设直线 与平面 所成角为 ，则 ，
直线 与平面 所成角的正弦值为 .
【点睛】
本题考查立体几何中的面面平行关系的证明、多面体体积的求解、空间向量法求解直线
与平面所成角的问题；对于不规则几何体体积的求解，通常采用切割的方式，将问题转
化为棱锥或棱柱体积的求解问题.
21．已知点 是抛物线 上一点，点 为抛物线 的
焦点， .
（1）求直线 的方程；
（2）若直线 与抛物线 的另一个交点为 ，曲线 在点 与点 处的切线分别为
，直线 相交于点 ，求点 的坐标.
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）利用抛物线焦半径公式可求得抛物线方程和焦点坐标，进而求得 点坐标；
由直线两点式方程可整理得到直线的一般式方程；
（2）联立直线 方程与抛物线方程可求得 点坐标，假设切线方程，与抛物线方程
1 1,0,2 2G
( )1,1,0C ( )0,2,0D ( )0,0,1P
1 1,1,2 2GC ∴ = −
( )1,1, 1PC = − ( )0,2, 1PD = −
PCD ( ), ,n x y z=
0
2 0
n PC x y z
n PD y z
⋅ = + − =
⋅ = − =
1y = 2z = 1x = ( )1,1,2n∴ =
GC PCD θ
1
12sin 63 62
n GC
n GC
θ
⋅
= = =
⋅ ×
∴ GC PCD 1
6
( )( )8, 0P t t < ( )2: 2 0C y px p= > F C
10PF =
PF
PF C Q C P Q
,m n ,m n G G
4 3 8 0x y+ − = ( 2, 3)− −
P
PF Q第 17 页 共 19 页
联立后可利用 求出切线方程，两条切线方程联立即可求得交点坐标.
【详解】
（1） ， ，解得： ，
抛物线 的方程为 ， ，
又 为抛物线 上一点， ，又 ， ，
直线 的方程为 ，即 .
（2）联立 得： ，解得： 或 ，
，
设 ，联立 得： ，
由 得： ，
直线 的方程为： ，即 .
同理可求得直线 的方程为： .
由 得： ，即 点的坐标为 .
【点睛】
本题考查直线与抛物线的综合应用问题，涉及到抛物线焦半径公式的应用、抛物线切线
方程的求解等知识；解决直线与拋物线的综合问题时，需要注意：
（1）观察、应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；
（2）强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间
的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题；
（3）注重平面几何的知识，利用数形结合的思想处理问题.
22．已知函数 ，曲线 在点 处的切线过点
.
（1）求实数 的值；
（2）求函数 的单调区间；
0∆ =
10PF = 8 102
p∴ + = 4p =
∴ C 2 8y x= ( )2,0F
P C 2 64t∴ = 0t < 8t∴ = −
∴ PF 0 2
8 0 8 2
y x− −=− − − 4 3 8 0x y+ − =
2
4 3 8 0
8
x y
y x
+ − =
=
2 6 16 0y y+ − = 8y = − 2y =
1 ,22Q ∴
( ): 8 8m y k x+ = − ( )
2 8
8 8
y x
y k x
= + = −
2 8 64 64 0ky y k− − − =
( )64 4 64 64 0k k∆ = + + = 1
2k = −
∴ m ( )18 82y x+ = − − 2 8 0x y+ + =
n 2 1 0x y− + =
2 8 0
2 1 0
x y
x y
+ + =
− + =
2
3
x
y
= −
= − G ( )2, 3− −
( ) sinf x ax x= − ( )y f x= ,2 2f
π π
(2021,2020)
a
( ) ( )g x xf x=第 18 页 共 19 页
（3）若 ， ，证明：
【答案】（1） ；（2）单调递增区间 ，单调递减区间 ；（3）证明
见解析
【解析】（1）利用在某点处切线方程的求解方法可求得在点 处的切线方程，
将点 代入切线方程即可求得 ；
（2）由（1）可知当 时， ，从而可确定当 时， 的正负，
从而确定 在 上的单调性；根据奇偶性定义可知 为偶函数，从而求得
其在 上的单调性，进而得到所求单调区间；
（3）根据递推关系式可类推得到 ，利用（2）中当 时，
的结论，将所证不等式左侧进行放缩即可证得结论.
【详解】
（1） ， ，
又 ， 在点 处的切线方程为：
，
即为 ，
又切线过点 ， ，解得： .
（2） ， ，
当 时，由（1）知： ， 在 上单调递增，
，即 ，
，
当 时， ， 在 上单调递增；
又 ， 为偶函数，
1
1
2a = 1 2 2n n na a f a
π π
+
= −
11
1 4
n
n
a
a
π+− sin 0x x− > 0x > ( )g x′
( )g x ( )0, ∞+ ( )g x
( ),0−∞
10 1n na a +< < < 0x > sinx x>
( ) cosf x a x′ = − cos2 2f a a
π π ′∴ = − =
12 2
af
π π = −
∴ ,2 2f
π π
12 2
ay a x
π π − − = −
1y ax= −
( )2021,2020 2020 2021 1a∴ = − 1a =
( ) 2 2sin sing x ax x x x x x= − = − ( ) 2 sin cosg x x x x x′∴ = − −
0x > ( ) 1 cos 0f x x′ = − ≥ ( )f x∴ [ )0,+∞
( ) ( )0 0f x f∴ > = sin 0x x− >
( ) ( ) ( )2 sin cos sin 1 cosg x x x x x x x x x′ = − − = − + −
∴ 0x > ( ) 0g x′ > ( )g x∴ ( )0, ∞+
( ) ( ) ( ) ( )2 2sin sing x x x x x x x g x− = − + − = − = ( )g x∴第 19 页 共 19 页
在 上单调递减；
综上所述： 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（3） ， ，
， ， ， ，
依次类推可得到： .
， ， ，
又 ， ，
由（2）知：当 时， ，
，
.
【点睛】
本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到导数几何意义的应用、利用导数求解函数的
单调区间、利用导数证明与数列有关的不等式的问题；证明不等式的关键是能够将所证
不等式，利用已证得的结论进行适当放缩，属于较难题.
( )g x∴ ( ),0−∞
( )g x ( )0, ∞+ ( ),0−∞
sin2 2 2n n nf a a a
π π π = − 1 sin 2n na a
π
+
∴ =
1
1
2a = 2
2sin 4 2a
π∴ = = 1 20 2 2 2a a
π π π∴ < < < 2 30 1a a∴ < < <
10 1n na a +< < <
( )2
1
1 sin 1 cos 2sin 11 2 2 2 4
1 1 1 1
n n n
n
n n n n
a a aa
a a a a
π π π π
+
− − − − − = = =− − − −
0 1na< sinx x>
( ) ( )
( )
2
22sin 1 2 1 14 4 11 1 4 2 4 2 2 4
n n
n
n n
a a
aa a
π π
π π π π π
− − ∴ < = × − ≤ × ×
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