2020年高考《考试大纲》押题卷全国I卷文科数学

… … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ … … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … 1 2020 年高考押题卷全国 I 卷文科数学 1．已知集合 A={x|x≤2},集合 B={x|log3x0, ∴Q(x)min=Q(ea-1)=0,∴f(x)-(ax2-x-ea-1)≥0 恒成立, ∴f(x)≥ax2-x-ea-1 恒成立. (2)∵f(x)=xln x+ax2-(a+1)x,∴g(x)=f'(x)=ln x+2ax-a,f(1)=-1,f'(1)=a,∴f(x)的图象在 x=1 处的 切线方程为 y=ax-a-1, 由题意知方程 ln x+2ax-a=ax-a-1 有两个根,即 ln x+ax+1=0 有两个根. 令 h(x)=ln x+ax+1,x>0,则 h'(x)=1 푥+a=푎푥 + 1 푥 , 若 a≥0,则 h'(x)>0,h(x)在(0,+∞)上是增函数, h(x)=0 最多有一个根,不合题意; 若 a0,h(x)在(0,-1 푎)上是增函数, 当 x>-1 푎时,h'(x)0,b>0)的左、右焦点分别为 F1(-c,0),F2(c,0),A 为双曲线 C 的右支上一点,且|AF1|=2c, AF1 与 y 轴交于点 B,若 F2 B 是∠AF2 F1 的平分线,则双曲线 C 的离心率 e= . 【答案】 3 + 5 2 【解析】 本题主要考查双曲线的离心率、三角形相似及角平分线定理等,考查数形结合思想,考查 数学运算、数学抽象的核心素养. 先利用角平分线及|AF1|=2c 得到三角形相似,进而得到|AB|,再根据角平分线定理得到|AB|, 即可求解离心率. 由题意得,|AF1|=|F1F2|, 所以∠F1AF2=∠F1F2A,又|F1B|=|F2B|,所以∠BF1F2=∠BF2F1,又 F2 B 是∠AF2 F1 的平分 线,所以∠BF1F2=∠AF2B, 所以△BAF2∽△AF2F1,所以|AF2|2=|AB|·|F1F2|,即(2c-2a)2=|AB|·2c,所以|AB|=2(푐 - 푎)2 푐 ,由角 平分线定理知, |퐴퐵| |퐵퐹1| = |퐴퐹2| |퐹1퐹2|,则|퐵퐹1| |퐴퐵| +1= |퐹1퐹2| |퐴퐹2| +1,所以 |퐴퐵| |퐴퐹1| = |퐴퐹2| |퐹1퐹2| + |퐴퐹2|,所以|AB|= 2푐 - 2푎 2푐 - 2푎 + 2푐·2c=2푐(푐 - 푎) 2푐 - 푎 = 2(푐 - 푎)2 푐 ,… … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ … … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … 21 故 c2-3ac+a2=0⇒e2-3e+1=0⇒e=3 + 5 2 . 17．已知△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,ccos B+2ccos C=a,C≠π 2. (1)求证:b=2c; (2)若 a=12,A=π 3,求△ABC 的面积. 【答案】 (1)由 ccos B+2ccos C=a,根据正弦定理可得 sin Ccos B+2sin Ccos C=sin A=sin(C+B)=sin Ccos B+cos Csin B, 所以 2sin Ccos C=cos Csin B , 因为 C≠π 2,所以 cos C≠0,所以 2sin C=sin B,由正弦定理可得 b=2c. (2)因为 A=π 3,所以 cos A=푏2 + 푐2 - 푎2 2푏푐 = 1 2, 将 a=12 及 b=2c 代入消去 b 可得,c=4 3,所以 b=8 3,S△ABC=1 2bcsin A=24 3. 【解析】 本题考查正、余弦定理,三角形的面积公式,考查考生的化归与转化能力、运算求解能力, 考查数学运算、数学抽象的核心素养. (1)由 ccos B+2ccos C=a,根据正弦定理及两角和的正弦公式化简可得 b=2c;(2)由(1)再结 合余弦定理可解得 b,c 的值,利用三角形的面积公式可求出面积. 18．如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,PD⊥平面 ABCD,∠BAD=60°,Q 为 AD 的中点,AD=4,PD=6,点 M 为线段 PC 上一点. (1)若 PM=tPC(t>0),试确定实数 t 的值,使得 PA∥平面 MQB; (2)过点 M 作 ME∥PD,交 CD 于点 E,过点 E 作 EF∥AD,交 BQ 于点 F,若∠MFE=45°,试 求三棱锥 M-BQD 的体积. 【答案】 (1)当 t=1 3时,PA∥平面 MQB. 证明如下:连接 AC,设 AC∩BQ=O,连接 OM. 在△AOQ 与△COB 中,因为 AD∥BC,所以∠OQA=∠OBC, ∠OAQ=∠OCB, 所以△AOQ∽△COB, 所以퐴푂 푂퐶 = 퐴푄 퐶퐵 = 1 2,所以퐴푂 퐴퐶 = 1 3,所以푂퐶 퐴퐶 = 2 3.22 由 PM=1 3PC,知퐶푀 퐶푃 = 2 3,所以퐶푀 퐶푃 = 푂퐶 퐴퐶,所以 PA∥OM. 因为 OM⊂平面 MQB,PA⊄平面 MQB,所以 PA∥平面 MQB. (2)因为底面 ABCD 为菱形,且 Q 为 AD 的中点,AD=4,所以 AQ=2,因为 AB=4,∠BAD=60°, 所以由余弦定理得 BQ=2 3,所以 AB2=BQ2+AQ2,所以 BQ⊥AD, 又 ME∥PD,EF∥AD,PD⊥平面 ABCD,所以 ME⊥平面 ABCD,且 EF⊥BQ,所以 ME⊥EF, 又∠MFE=45°,所以 ME=EF. 设 ME=EF=h,则由퐸퐶 퐶퐷 = 푀퐸 푃퐷可知 EC=2 3h. 在梯形 DQEF 中,过点 D 作 DH⊥EF 于点 H,则 EH=h-2,DE=4-2 3h,又∠FED=∠BCD=60°, 所以 h-2=(4-2 3h)cos 60°,所以 h=3, 所以三棱锥 M-BQD 的体积 V=1 3S△BDQ·ME,其中 S△BDQ=1 2DQ·BQ=1 2×2×2 3=2 3, 所以 V=1 3×2 3×3=2 3. 【解析】 本题主要考查线面平行的证明及三棱锥体积的求解,考查空间想象能力及运算求解能力, 考查逻辑推理、直观想象的核心素养. (1)利用线面平行的判定定理即可得证;(2)利用平面几何的知识先求出 ME,即三棱锥 M- BQD 的高,再求解三棱锥 M-BQD 的体积. 19．已知某市大约有 800 万网络购物者,某电子商务公司对该市 n 名网络购物者某年度 上半年的消费情况进行了统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间[0.5,1.1]内,其频率分 布直方图如图所示. (1)求该市 n 名网络购物者该年度上半年的消费金额的平均数与中位数(以各区间的中点 值代表该区间的均值). (2)现从前 4 组中选取 18 人进行网络购物爱好调查. (i)求在前 4 组中各组应该选取的人数; (ii)在前 2 组所选取的人中,再随机选 2 人,求这 2 人都是来自第二组的概率. 【答案】 (1)根据频率分布直方图可知,所求平均数约为 0.55×0.15+0.65×0.20+0.75×0.25+0.85×0.30+0.95×0.08+1.05×0.02=0.752(万元). 设所求中位数为 x 万元. 因为在频率分布直方图中,中位数左右两边的小矩形的面积之和应该相等,所以由图易知 中位数位于区间[0.7,0.8)内. 所以(1.5+2.0)×0.1+(x-0.7)×2.5=0.5,解得 x=0.76.… … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ … … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … 23 所以该市 n 名网络购物者该年度上半年的消费金额的平均数,中位数分别为 0.752 万元 ,0.76 万元. (2)(i)易知前 4 组的频率之比为 1.5∶2∶2.5∶3=3∶4∶5∶6, 现从前 4 组中选取 18 人进行网络购物爱好调查, 所以在[0.5,0.6),[0.6,0.7),[0.7,0.8),[0.8,0.9)中应该选取的人数分别是 18× 3 3 + 4 + 5 + 6=3,18× 4 3 + 4 + 5 + 6=4,18× 5 3 + 4 + 5 + 6=5,18× 6 3 + 4 + 5 + 6=6. (ii)在前 2 组所选取的人中,第一组的记为 x,y,z,第二组的记为 a,b,c,d. 由题意,在前 2 组所选取的人中,再随机选取 2 人,所有可能的情况有 (x,y),(x,z),(x,a),(x,b),(x,c),(x,d),(y,z),(y,a),(y,b),(y,c),(y,d),(z,a),(z,b),(z,c),(z,d),(a,b),(a,c),(a,d),( b,c),(b,d),(c,d),共 21 种. 其中,这 2 人都是来自第二组的情况有 (a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),共 6 种. 故这 2 人都是来自第二组的概率 P= 6 21 = 2 7. 【解析】 本题考查频率分布直方图、平均数与中位数、抽样方法、古典概型等知识,考查考生分 析问题、解决问题的能力和应用意识,考查数学建模、数学运算的核心素养. (1)用每个区间的中点值(即矩形底边中点的横坐标)乘以对应的频率,然后求和即得消费 金额的平均数的估计值,根据中位数的定义,即可求解消费金额的中位数的估计值;(2)(i) 先求得频率之比,然后求得应该抽取的人数,(ii)利用古典概型的概率计算公式求解即可. 20．已知圆 C 满足下列条件:①圆心 C 在第一象限;②圆心 C 在直线 2x-y=0 上;③圆 C 与 x 轴相切;④被直线 x-y=0 截得的弦长为 14. (1)求圆 C 的方程; (2)若直线 l:(2m+1)x+(m+1)y-3m-2=0,判断直线 l 与圆 C 的位置关系,并说明理由. 【答案】 (1)由已知可设圆心 C(a,2a)(a>0),则圆 C 的半径 r=2a. 圆心 C 到直线 x-y=0 的距离 d=|푎 - 2푎| 2 = 2 2 a, 故 2 푟2 - 푑2=2 4푎2 - 1 2푎2 = 14a= 14, ∴a=1,∴圆 C 的方程为(x-1)2+(y-2)2=4. (2)直线 l:(2m+1)x+(m+1)y-3m-2=0 可化为(2x+y-3)m+x+y-2=0, 令{2푥 + 푦 - 3 = 0, 푥 + 푦 - 2 = 0, 得{푥 = 1, 푦 = 1,∴直线 l 恒过定点(1,1), 又(1-1)2+(1-2)20),则圆的半径为 2a,再根据圆被直线所截的 弦长即可得 a 的值,进而得到圆的方程;(2)求出直线 l 恒过定点(1,1),再根据点在圆内可得 直线 l 与圆相交. 21．已知函数 f(x)=(2x-1)ln x-ax+a(a∈R). (1)当 a=1 时,求函数 f(x)的极小值; (2)若函数 f(x)及其导函数 f'(x)在区间(1,+∞)上都有零点,求实数 a 的取值范围. 【答案】 (1)当 a=1 时,f(x)=(2x-1)ln x-x+1, f'(x)=2ln x+2푥 - 1 푥 -1=1-1 푥+2ln x,当 00, 所以函数 f(x)的极小值为 f(1)=(2-1)ln 1-1+1=0. (2)f'(x)=2ln x+2푥 - 1 푥 -a=2(ln x+1)-1 푥-a,注意到 f(1)=0,f'(1)=1-a,因此以 1 为分界点讨论. ①当 a>1 时,令 g(x)=f'(x)=2(ln x+1)-1 푥-a(x∈(1,+∞)), g'(x)=2 푥 + 1 푥2>0, 所以函数 f'(x)在区间(1,+∞)上单调递增,而 f'(1)=1-a0),得(-x1,1-y1)=λ(x2,y2-1),50 所以{ - 푥1 = 휆푥2 ①, 1 - 푦1 = 휆(푦2 - 1) ②,将①式两边平方并把푥21=4y1,푥22=4y2 代入,得 y1=λ2y2 ③, 由②③得 y1=λ,y2=1 휆,且 x1x2=-λ푥22=-4λy2=-4.对 y=1 4x2 求导得 y'=1 2x, 所以过抛物线上 G,H 两点的切线方程分别为 y=1 2x1(x-x1)+y1,y=1 2x2(x-x2)+y2,即 y=1 2x1x-1 4푥21 ,y=1 2x2x-1 4푥22,解得两切线的交点 S 的坐标为( 푥1 + 푥2 2 , 푥1푥2 4 ),即 S( 푥1 + 푥2 2 ,-1), 则퐹푆·퐺퐻=( 푥1 + 푥2 2 ,-2)·(x2-x1,y2-y1)=1 2(푥22-푥21)-2(1 4푥22-1 4푥21)=0.所以퐹푆·퐺퐻为定值. 【解析】 本题主要考查抛物线的定义、方程、几何性质,定值问题,考查运算求解能力、数形结合 能力,考查数学运算的核心素养. (1)运用抛物线的定义及平面几何知识求出 p,进而求抛物线的方程;(2)写出切线方程,求 出交点坐标,利用向量的坐标运算即可证得结论. 21．已知函数 f(x)=x3-3x2. (1)求曲线 y=f(x)在点 P(1,-2)处的切线方程; (2)若函数 g(x)=2f(x)+3(1-a)x2+6ax(a>1)在[1,2]上的值域为[p(a),q(a)],求 φ(a)=q(a)-p(a)的 最小值. 【答案】 (1)因为 f(x)=x3-3x2,所以 f'(x)=3x2-6x,所以曲线 y=f(x)在点 P(1,-2)处的切线的斜率为 f'(1)=-3,所以切线方程为 y-(-2)=-3×(x-1),即 3x+y-1=0. (2)因为 g(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax,所以 g'(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a), 令 g'(x)=0,得 x=1 或 x=a,若 1