高考冲刺 数形结合的思想

第 1 页 共 24 页 高考冲刺 数形结合的思想 在高考题中，数形结合的题目出现在高中数学知识的方方面面上，把图象作为工具、载体，以此寻求 解题思路或制定解题方案，真正体现数形结合的简捷、灵活特点的多是填空小题。 从近三年新课标高考卷来看，涉及数形结合的题目略少，预测今后可能有所加强。因为对数形结合等 思想方法的考查，是对数学知识在更高层次的抽象和概括能力的考查，是对学生思维品质和数学技能的考 查，是新课标高考明确的一个命题方向。 1．数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究 图形的性质，是一种重要的数学思想方法。它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。“数缺形时 少直观，形少数时难入微”，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质。 2．数形结合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考纲指出“数学科的命题，在考查基础知识 的基础上，注重对数学思想思想方法的考查，注重对数学能力的考查”，灵活运用数形结合的思想方法， 可以有效提升思维品质和数学技能。 3．“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查，考查时要与数学知识相结 合”，用好数形结合的思想方法，需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示，为用好 数形结合思想打下坚实的知识基础。 4．函数的图象、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是 “以形示数”，而解析几何的方程、 斜率、距离公式，向量的坐标表示则是“以数助形”，还有导数更是数形结合的产物，这些都为我们提供 了 “数形结合”的知识平台。 5．在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数 形结合的习惯，解题先想图，以图助解题。用好数形结合的方法，能起到事半功倍的效果，“数形结合千 般好，数形分离万事休”。 【知识升华】 纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的 效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。是通过“以形助数”（将所研究的代数问题转化为研究其对应 的几何图形）或“以数助形”（借助数的精确性来阐明形的某种属性），把抽象的数学语言与直观的图形结 合起来思考，也就是将抽象思维与形象思维有机地结合起来，是解决问题的一种数学思想方法。它能使抽 象问题具体化，复杂问题简单化，在数学解题中具有极为独特的策略指导与调节作用。 具体地说，数形结合的基本思路是：根据数的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形的 特性和规律，解决数的问题；或将图形信息全部转化成代数信息，使解决形的问题转化为数量关系的讨论。 选择题，填空题等客观性题型，由于不要求解答过程，就某些题目而言，这给学生创造了灵活运用数 形结合思想，寻找快速思路的空间。但在解答题中，运用数形结合思想时，要注意辅之以严格的逻辑推理， “形”上的直观是不够严密的。 1．高考试题对数形结合的考查主要涉及的几个方面：第 2 页 共 24 页 （1）集合问题中 Venn 图（韦恩图）的运用； （2）数轴及直角坐标系的广泛应用； （3）函数图象的应用； （4）数学概念及数学表达式几何意义的应用； （5）解析几何、立体几何中的数形结合。 2. 数形结合思想解决的问题常有以下几种： (1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围； (2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围； (3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系； (4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式； (5)构建立体几何模型研究代数问题； (6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题； (7)构建方程模型，求根的个数； (8)研究图形的形状、位置关系、性质等． 3．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则： （1）等价性原则。要注意由于图象不能精确刻画数量关系所带来的负面效应； （2）双方性原则。既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分 析容易出错； （3）简单性原则。不要为了“数形结合”而数形结合，具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利； 二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系，做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值 范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线为佳。 4．进行数形结合的信息转换，主要有三个途径： （1）建立坐标系，引入参变数，化静为动，以动求解，如解析几何； （2）构造成转化为熟悉的函数模型，利用函数图象求解； （3）构造成转化为熟悉的几何模型，利用图形特征求解。 5.常见的“以形助数”的方法有： (1)借助于数轴、文氏图，树状图，单位圆； (2)借助于函数图象、区域(如线性规划)、向量本身的几何背景； (3)借助于方程的曲线，由方程代数式，联想其几何背景，并用几何知识解决问题，如点，直线，斜率， 距离，圆及其他曲线，直线和曲线的位置关系等，对解决代数问题都有重要作用，应充分予以重视.。第 3 页 共 24 页 【典型例题】 类型一、数轴、韦恩图在集合中的应用 【例 1】设集合 A={x|1＜x＜4}，集合 B ={x| -2x-3≤0}, 则 A∩（ ）=（ ） A．(1,4) B．(3,4) C．.(1,3) D．(1,2)∪（3,4） 【思路点拨】先求出集合 B，再利用数轴画图求解。 【答案】B； 【解析】B ={x| -2x-3≤0}= ，A∩（ ）={x|1＜x＜4} = 。故选 B. 【总结升华】不等式型集合的交、并集通常可以利用数轴进行，解题时注意验证区间端点是否符合题 意。 举一反三： 【变式 1】设全集 则 （ ） A． B． 　　　Ｃ． 　　　 Ｄ． 【答案】B； 【解析】画出韦恩图，可知 。 【变式 2】设平面点集 ，则 所表示的平面图形的面积为（ ） （A） （B） （C） （D） 2x 2x }31|{ ≤≤− xx  }3,1|{ >−< xxx 或 }43|{ ( )f x 2 2 2 ( 2)( ) 2 ( 2) x x xf x x x x  − ≥= − + + 2 max( ) ( ) 2f x f a a a= = −第 7 页 共 24 页 则直线 y=a，与 y=f（x）的图象有 5 个交点，则方程 f（x）﹣a=0 共有五个实根， 最左边两根之和为﹣6，最右边两根之和为 6， ∵x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1）， ∴f（﹣x）= （﹣x+1）， 又 f（﹣x）=﹣f（x）， ∴f（x）=﹣ （﹣x+1）= （1﹣x）﹣1=log2（1﹣x）， ∴中间的一个根满足 log2（1﹣x）=a，即 1﹣x=2a， 解得 x=1﹣2a， ∴所有根的和为 1﹣2a．故选 A． 【总结升华】这类题“万变不离其宗”只需掌握基本初等函数的图像及其图像变换口诀再配合函数性质即 可轻松解决. 举一反三： 【变式】（2016 渭南一模）设函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且对任意的 x∈R，都有 f（x+2）=f （x）．当﹣1≤x≤0 时，f（x）=﹣x2，若直线 y=﹣x+m 与函数 y=f（x）的图象有两个不同的公共点，则实 数 m 的值为（　　） A．2k﹣ （k∈Z） B．2k+ （k∈Z） C．2k 或 2k﹣ （k∈Z） D．2k 或 2k+ （k∈Z） 【答案】D 【解析】∵f（x+2）=f（x）． ∴函数的周期是 2， 若 0≤x≤1，则﹣1≤﹣x≤0， 则 f（﹣x）=﹣x2， ∵函数 f（x）是偶函数， ∴f（﹣x）=﹣x2=f（x）， 即 f（x）=﹣x2，0≤x≤1， 作出函数 f（x）的图象如图：第 8 页 共 24 页 作出直线 y=﹣x+m， 在一个周期[﹣1，1]内，当直线经过点（1，﹣1）时，两个函数有两个交点，此时 m=0， 当直线与 y=﹣x2 相切时，两个函数有两个交点， 由﹣x2=﹣x+m 得 x2﹣x+m=0， 由判别式△=0，即 1﹣4m=0， 得 m= ， ∵函数的周期是 2k， ∴m=2k 或 2k+ （k∈Z），故选 D． 【变式 2】设函数 在 R 上可导，其导函数为 ，且函数 的图像如题（8）图 所示，则下列结论中一定成立的是（ ） （A）函数 有极大值 和极小值 （B）函数 有极大值 和极小值 （C）函数 有极大值 和极小值 （D）函数 有极大值 和极小值 【答案】D； 【 解 析 】 由 图 象 可 知 当 时 ， ， 所 以 此 时 ， 函 数 递 增 . 当 时 ， ， 所 以 此 时 ， 函 数 递 减 . 当 时 ， ，所以此时 ，函数递减.当 时， ，所以此时 ，函数递增.所以函数 有极大值 ，极小值 ,选 D. 类型二：利用数形结合思想解决方程中的参数问题 【例 4】若关于 x 的方程 有两个不同的实数根，求实数 m 的取值范围。 【思路点拨】将方程的左右两边分别看作两个函数，画出函数的图象，借助图象间的关系后求解，可 简化运算。 【解析】画出 和 的图象， ( )f x , ( )f x )(')1( xfxy −= ( )f x (2)f (1)f ( )f x ( 2)f − (1)f ( )f x (2)f ( 2)f − ( )f x ( 2)f − (2)f 2−xf 12 0，a≠1)对任意 x∈ 都成立， 则 a 的取值范围为____________． 【解析】记 y1＝logax，y2＝sin 2x，原不等式相当于 y1>y2， 作出两个函数的图象，如图所示， x y=k 3 4 x = 1 (1, ) 2 − 5 ( 1, ) 2 − 9 16k = − 1 5 2 2k− ≤ < 2 3 2x x k− = (0, )4 π第 11 页 共 24 页 知当 y1＝logax 过点 A 时，a＝ ， 所以当     + + 0，b>0)的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60°的直线与双曲线的右支有 且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是(　　) A．(1,2] B．(1,2) C．[2，＋∞) D．(2，＋∞) 4．若对任意 x∈R，不等式|x|≥ax 恒成立，则实数 a 的取值范围是(　　) A．a 0ω > ( )f x 3π 5π 7π( ) ( ) ( )4 3 6f f f− < < 3π 7π 5π( ) ( ) ( )4 6 3f f f− < < 5π 7π 3π( ) ( ) ( )3 6 4f f f< < − 5π 3π 7π( ) ( ) ( )3 4 6f f f< − < 1 3 5π 6 O x y π 12第 17 页 共 24 页 9．用计算机产生随机二元数组成区域 ，对每个二元数组(x，y)，用计算机计算 x2＋y2 的值， 记“(x，y)”满足 x2＋y2