高考冲刺 分类讨论的思想

第 1 页 共 25 页 高考冲刺 分类讨论的思想 【高考展望】 数学中的分类讨论贯穿教材的各个部分，它不仅形式多样，而且具有很强的综合性和逻辑性. 分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思 维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。所谓分类讨论，就是当问 题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一 类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答.实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为 整”的数学策略.分类讨论思想是一种重要的数学思想，它在人的思维发展中有着重要的作用，因此在近几 年的高考试题中，他都被列为一种重要的思维方法来考察。 分类讨论是每年高考必考的内容，高考对本专题的考察为：将有一道中档或中档偏上的题目，其求解 思路直接依赖于分类讨论，特别关注以下方面：涉及指数、对数底的讨论，含参数的一元二次不等式、等 比数列求和，由 求 等。 【知识升华】 1．分类讨论的常见情形 （1）由数学概念引起的分类讨论：主要是指有的概念本身是分类的，在不同条件下有不同结论，则 必须进行分类讨论求解，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等. （2）由性质、定理、公式引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同条件 下结论不一致，如二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)，由 a 的正负而导致开口方向不确定，等比数列前 n 项和公 式因公比 q 是否为 1 而导致公式的表达式不确定等. （3）由某些数学式子变形引起的分类讨论：有的数学式子本身是分类给出的，如 ax2+bx+c＞0， a=0，a＜0，a＞0 解法是不同的. （4）由图形引起的分类讨论：有的图形的类型、位置也要分类，如角的终边所在象限，点、线、面 的位置关系等. （5）由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中常见. （6）由参数变化引起的讨论：所解问题含有参数时，必须对参数的不同取值进行分类讨论；含有参 数的数学问题中，参变量的不同取值，使得变形受限导致不同的结果. 2.分类的原则 （1）每次分类的对象是确定的，标准是同一的； 分类讨论问题的难点在于什么时候开始讨论，即认识为什么要分类讨论，又从几方面开始讨论，只 有明确了讨论原因，才能准确、恰当地进行分类与讨论.这就要求我们准确掌握所用的概念、定理、定义， 考虑问题要全面.函数问题中的定义域，方程问题中根之间的大小，直线与二次曲线位置关系中的判别式 nS na第 2 页 共 25 页 等等，常常是分类讨论划分的依据. （2）每次分类的对象不遗漏、不重复、分层次、不越级讨论. 当问题中出现多个不确定因素时，要以起主导作用的因素进行划分，做到不重不漏，然后对划分的 每一类分别求解，再整合后得到一个完整的答案.数形结合是简化分类讨论的重要方法. 3.分类讨论的一般步骤 第一，明确讨论对象，确定对象的范围； 第二，确定分类标准，进行合理分类，做到不重不漏； 第三，逐类讨论，获得阶段性结果； 第四，归纳总结，得出结论. 4. 分类讨论应注意的问题 第一，按主元分类的结果应求并集. 第二，按参数分类的结果要分类给出. 第三，分类讨论是一种重要的解题策略，但这种分类讨论的方法有时比较繁杂，若有可能，应尽量 避免分类. 【典型例题】 类型一、不等式中参数的讨论问题 【例 1】解关于 的不等式： . 【思路点拨】依据式子的特点，此题应先按对最高次项的系数 是否为 0 来分类，然后对式子分解因 式，并按两个根之间的大小关系来分类讨论.而对于 与 时，先写简单好作的 . 【解析】 （1）当 时，原不等式化为一次不等式： ，∴ ； （2）当 时，原不等式变为： ， ①若 ，则原不等式化为 ∵ ，∴ ，∴不等式解为 或 ， ②若 ，则原不等式化为 ， （ⅰ）当 时， ，不等式解为 ， （ⅱ）当 时， ，不等式解为 ； （ⅲ）当 时， ，不等式解为 ， x 2 ( 1) 1 0ax a x− + + < a 0a > 0a < 0a < 0a = 1 0x− + < 1x > 0a ≠ 1( 1)( ) 0a x x a − − < 0a < 1( 1)( ) 0x x a − − > 0a < 1 1a < 1x a < 1x > 0a > 1( 1)( ) 0x x a − − < 1a = 1 1a = x∈∅ 1a > 1 1a < 1 1xa < < 0 1a< < 1 1a > 11 x a < 0 或 a或 0a = 0 1a< < 1{ |1 }x x a < < 1a = ∅ 1a > 1{ | 1}x xa < < x 2 3 2( )x a a a x+ < + a R∈ 2( )( ) 0x a x a− − < a 2a 2a a= 0a = 1a = 2 0x < 2( 1) 0x − < x∈∅ 2a a> 0 1a< < 2( , )x a a∈ 2a a< 0a < 1a > 2( , )x a a∈ 0a = 1a = x∈∅ 0 1a< < 2( , )x a a∈ 0a < 1a > 2( , )x a a∈第 4 页 共 25 页 【解析】（1）根据题意，得方程 ax2﹣3x+2=0 的两个根为 1 和 b， ∴由根与系数的关系，得 ，解之得 a=1，b=2； （2）由（1）得关于 x 的不等式 ax2﹣（ac+b）x+bc＜0，即 x2﹣（c+2）x+2c＜0， 因式分解，得（x﹣c）（x﹣2）＜0 ①当 c=2 时，原不等式的解集为∅； ②当 c＜2 时，原不等式的解集为（c，2）； ③当 c＞2 时，原不等式的解集为（2，c）． 举一反三： 【变式】（2015 春 山西校级期末）关于 x 的不等式 ax2+（a﹣2）x﹣2≥0（a∈R） （1）已知不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），求 a 的值； （2）解关于 x 的不等式 ax2+（a﹣2）x﹣2≥0． 【解析】（1）∵关于 x 的不等式 ax2+（a﹣2）x﹣2≥0 可变形为 （ax﹣2）（x+1）≥0， 且该不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）， ∴a＞0； 又不等式对应方程的两个实数根为﹣1 和 2； ∴ =2，解得 a=1； （2）①a=0 时，不等式可化为﹣2x﹣2≥0，它的解集为{x|x≤﹣1}； ②a≠0 时，不等式可化为（ax﹣2）（x+1）≥0， 当 a＞0 时，原不等式化为（x﹣ ）（x+1）≥0， 它对应的方程的两个实数根为 和﹣1，且 ＞﹣1， ∴不等式的解集为{x|x≥ 或 x≤﹣1}； 当 a＜0 时，不等式化为（x﹣ ）（x+1）≤0， 不等式对应方程的两个实数根为 和﹣1， 在﹣2＜a＜0 时， ＜﹣1， ∴不等式的解集为{x| ≤x≤﹣1}； 在 a=﹣2 时， =﹣1，不等式的解集为{x|x=﹣1}； 在 a＜﹣2 时， ＞﹣1，不等式的解集为{x|﹣1≤x≤ }． 综上，a=0 时，不等式的解集为{x|x≤﹣1}， a＞0 时，不等式的解集为{x|x≥ 或 x≤﹣1}， ﹣2＜a＜0 时，不等式的解集为{x| ≤x≤﹣1}，第 5 页 共 25 页 a=﹣2 时，不等式的解集为{x|x=﹣1}， a＜﹣2 时，不等式的解集为{x|﹣1≤x≤ }． 类型二、函数与方程中的分类讨论问题 【例 3】函数 的图象可能是（ ） 【思路点拨】对底数 分两种情况讨论，结合图像恒过的定点可解。 【答案】D； 【解析】当 时单调递增， ，故 A 不正确；因为 恒不过点 ，所以 B 不正 确；当 时单调递减， ，故 C 不正确 ；D 正确. 【总结升华】含有参数的函数的综合问题（本例是函数图像）历来就是高中数学的重点和难点之一。 求解此类问题的关键一点就是紧扣对称轴，依此来展开有条理性的分类讨论。 举一反三： 【变式】函数 的图象经过点(-1，3)，且 f(x)在(-1，+∞)上恒有 f(x)3，不满足题意； (2)当 ，则 ，此时，x∈(-1，+∞)时， 即 f(x) ≠ 1a > 1 0a − < 1xy a a = − (1,1) 0 1a< < 1 0a − < 2( ) 1f x ax= + 0a > 3( )g x x bx= + ( )y f x= ( )y g x= c ,a b 2 4a b= ( ) ( )f x g x+ ( , 1]−∞ − a 10f(x) log (x ) 13a a= + + 10( 1) log ( 1) 1=33af a− = − + 2 10 1 03a a− + = 3a = 1 3a = 3a = 3f(x) log (x 10) 1= + + 1 3a = 1 3 10f(x) log (x ) 19 = + + 2)9 10(xlog9 1 9 10x 3 1 + 1 3 10f(x) log (x ) 19 = + +第 6 页 共 25 页 点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求 a、b 的值。 (2)利用分类讨论的方法对参数 a 进行讨论求解。 【解析】(1)由 为公共切点可得: ,则 , , ,则 , , ① 又 , , ,即 ,代入①式可得: . (2) , 设 则 ,令 ,解得: , ; , , 原函数在 单调递增,在 单调递减,在 上单调递增 ①若 ,即 时,最大值为 ; ②若 ,即 时,最大值为 ③若 时,即 时,最大值为 . 综上所述:当 时,最大值为 ;当 时,最大值为 . 【总结升华】此题应该说是导数题目中较为常规的类型题目,考查的切线、单调性、极值以及最值的问题 都是课本中要求的重点内容,也是学生掌握比较好的知识点. 举一反三： 【变式】设 ， （1）利用函数单调性的意义，判断 f(x)在（0，+∞）上的单调性； （2）记 f(x)在 00，ax1·x2>0 ∴当 0a 2a > 2 max (1) 3 5 2y g a a= = − + + = 3 21 2a += 3 21 2a −= 121 ≤≤− a 2 2a− ≤ ≤ 2 max 3( ) 2 6 22 4 ay g a a= = − + + = 3 4−=a 4a = 12 −0 (n＝1，2， 3…)． (1)求 q 的取值范围； (2)设 bn＝an＋2－3 2an＋1，记{bn}的前 n 项和为 Tn，试比较 Sn 与 Tn 的大小． 【思路点拨】(1)根据条件列出关于 q 的不等式，注意分类讨论．(2)能否判断{bn}为特殊数列进而求和作差、 作商比较大小． 【解析】(1)∵{an}是等比数列，Sn>0，可得 a1＝S1>0，q≠0， 当 q＝1 时，Sn＝na1>0； 当 q≠1 时，Sn＝ ，即 (n＝1,2,3，…)， 上式等价于① 　(n＝1,2,3，…) 或② (n＝1,2,3，…)， 解①式得 q>1； 解②式，由于 n 可为奇数、可为偶数，故－1− 1 0 1 0n q q −    1 1 2x + > ( )2 2 2 1log log 0a xx  + + =   21 1a xx  + =   1 4a = − 1 4 −第 24 页 共 25 页 （3）当 0＜x1＜x2 时， ， ， 所以 f（x）在（0，+∞）上单调递减． 函数 f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值分别为 f（t），f（t+1）。 即 at2+(a+1)t－1≥0，对任意 成立。 因为 a＞0，所以函数 y=at2+(a+1)t－1 在区间 上单调递增， 所以 时，y 有最小值 ，由 ，得 。 故 a 的取值范围为 14．【解析】 （1） . ∵ ，∴ ，∴ . （2） ，即 ∵ ，∴ ， ①当 时，当且仅当 时， 取得最小值－1，这与已知矛盾. ②当 时，当且仅当 时， 取得最小值 ， 由已知得 ，解得 ； ③当 时，当且仅当 时， 取得最小值 ， 由已知得 ，解得 ，这与 相矛盾. 综上所述， 即为所求. 15．【解析】 （1）当 AC 垂直于 x 轴时， ， 又∵|AF1|∶|AF2|=3∶1， ∴ ，从而 ， 1 2 1 1a ax x + > + 2 2 1 2 1 1log loga ax x    + > +        2 2 1 1( ) ( 1) log ( ) log ( ) 11f t f t a at t − + = + − + ≤+ 1[ ,1]2t ∈ 1[ ,1]2 1 2t = 3 1 4 2a − 3 1 04 2a − ≥ 2 3a ≥ 2[ , )3 +∞ 3 3cos cos sin sin cos22 2 2 2 x xa b x x x⋅ = ⋅ − ⋅ =  2 23 3| | (cos cos ) (sin sin )2 2 2 2 x xa b x x+ = + + −  22 2cos2 2 cosx x= + = [0, ]2x π∈ cos 0x ≥ | | 2cosa b x+ =  ( ) cos2 4 cosf x x xλ= − 2 2( ) 2(cos ) 1 2f x x λ λ= − − − [0, ]2x π∈ 0 cos 1x≤ ≤ 0λ < cos 0x = ( )f x 0 1λ≤ ≤ cos x λ= ( )f x 21 2λ− − 2 31 2 2 λ− − = − 1 2 λ = 1λ > cos 1x = ( )f x 1 4λ− 31 4 2 λ− = − 5 8 λ = 1λ > 1 2 λ = 2 2| | bAF a = 2 1 3| | bAF a = 2 1 2 4| | | | 2bAF AF aa + = =第 25 页 共 25 页 ∴a2=2b2，∴a2=2c2，∴ . （2）由（1）得椭圆的方程为 x2+2y2=2b2，焦点坐标为 F1（－b，0），F2（b，0）. ①当 AC、AB 的斜率都存在时，设 A（x0，y0），B（x1，y1），C（x2，y2）， 则 AC 所在的直线方程为 ， 由 得 . 又 A（x0，y0）在椭圆 x2+2y2=2b2 上，∴ ， 则有 . ∴ ， ∴ ， 故 ， 同理可得 ，∴ ； ②若 AC⊥x 轴，则 ， ，这时 ； ③若 AB⊥x 轴，则 ， ，这时 . 综上可知 是定值 6. 2 2 ce a = = 0 0 ( )yy x bx b = −− 0 0 2 2 2 ( ) 2 2 yy x bx b x y b  = − −  + = 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0( 2 2 ) 2 ( ) 0x y bx b y by x b y b y+ − + + − − = 2 2 2 0 02 2x y b+ = 2 2 2 2 0 0 0 0(3 2 ) 2 ( ) 0b bx y by x b y b y− + − − = 2 2 0 0 2 2 03 2 b yy y b bx = − − 2 0 03 2 y b y b x = − − 0 02 2 2 2 3 2| | | | y b xAF F C y b λ −= = =− 0 1 3 2b x b λ += 1 2 6λ λ+ = 2 1λ = 1 3 2 5b b b λ += = 1 2 6λ λ+ = 1 1λ = 2 5λ = 1 2 6λ λ+ = 1 2 λ λ+