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高一摸底考试数学试题
一、单选题
1．分层随机抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类（层），然后每类抽取若干个
个体构成样本，所以分层随机抽样为保证每个个体等可能抽样，必须进行（ ）
A．每层等可能抽样 B．每层可以不等可能抽样
C．所有层按同一抽样比等可能抽样 D．所有层抽取的个体数量相同
2． 是虚数单位，复数 满足 ，则
A． 或 B． 或 C． D．
3．设 ，向量 ， ， ，且 ， ，则
＝（ ）
A． B． C． D．10
4．如图， 是水平放置的 的直观图， ， ，
则 的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．某学校 位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均
需该组织 位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地
发给 位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信
息的概率为（ ）
A． B． C． D．
i ( )iz a a= + ∈R z =
2 5 2 5 5 5
,x y∈R ( ,1)x=a (1, )y=b (2, 4)= −c ⊥a c / /b c | |+a b
5 10 2 5
O A B′ ′ ′∆ OAB∆ 2O A O B′ ′ ′ ′= = 45A O B′ ′ ′∠ =
OAB∆
2 3 4 5
10
4
4
2
5
12
25
16
25
4
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6．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ，则
的形状一定是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
7．在 △ ABC中，向量AB与AC满足( AB
|AB| + AC
|AC|)·BC = 0，且 BA
|BA|·
BC
|BC| = 2
2
，则 △ ABC为( )
A. 等边三角形 B. 直角三角形
C. 等腰非等边三角形 D. 等腰直角三角形
8．如图，在棱长为 的正方体 中，点 、 分别是棱 ， 的
中点， 是侧面 内一点，若 平面 ，则线段 长度的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知 ,满足 ,则实数 k 的值可能为( )
A． B． C．58 D．
10．已知 是不重合的直线， 是不重合的平面，则下列命题为假命题的是
（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ， ， ，则
ABC A B C a b c 2cos 2 2
C a b
a
+=
ABC
2 1 1 1 1ABCD A B C D− E F BC 1CC
P 1 1BCC B 1 //A P AEF 1AP
52, 2
3 2 5,4 2
3 2 , 52
5 ,2 22
(1,0), 1, (0, 1)a b c= = = − 3 7 0a kb c+ + =
58 58− 58−
,m n , ,α β γ
α γ⊥ β γ⊥ α β∥
m α⊂ n ⊂ α m β n β α β∥试卷第 3 页，总 5 页
C．若 ， ，则
D．若 ， ，则
11.1．某校高三年级共有 名学生参加了数学测验（满分 分），已知这 名学
生的数学成绩均不低于 分，将这 名学生的数学成绩分组如下： ，
， ， ， ， ，得到的频率分布直方图如
图所示，则下列说法中正确的是 （ ）
A．
B．这 名学生中数学成绩在 分以下的人数为
C．这 名学生数学成绩的中位数约为
D．这 名学生数学成绩的平均数为
12． 的内角 所对的边分别为 ，已知
，有以下结论：其中正确结论有（ ）
A．当 时， 成等差数列
B．
C．当 ， 时， 的面积为 ；
D．当 时， 为钝角三角形
三、填空题
α β∥ γ β∥ γ α
α β⊥ m β⊥ m α
800 150 800
90 800 [90,100)
[100,110) [110,120) [120,130) [130,140) [140,150]
0.045a =
800 110 160
800 121.4
800 125
ABC , ,A B C , ,a b c
sin :sin :sin ln 2:ln 4:lnA B C t=
6t = , ,a b c
2 8t< <
4t = ln 2a = ABC
215 ln 2
8
52 8t< < ABC试卷第 4 页，总 5 页
13．设 ,则方程 的解为_________.
14.设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若
，且 ，则 的面积为______.
15．如图，一栋建筑物 AB 高（30-10 ）m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔
CD．在它们之间的地面 M 点（B、M、D 三点共线）测得对楼顶 A、塔顶 C 的仰角分别
是 15°和 60°，在楼顶 A 处测得对塔顶 C 的仰角为 30°，则通信塔 CD 的高为______m．
16．已知平面向量 ， ， ， ，且 ，若 为平面单位向量，则
的最小值为__________.
x C∈ 1 3x x i+ = +
ABC A B C a b c
( )2 cos cos 0a c B b C+ + = 4ac = ABC
3
a b 1a = 2b = 1a b⋅ = e
( )a b e− ⋅ 试卷第 5 页，总 52 页
四、解答题
17．设 是虚数, 是实数,且 .
（1）求 的值及 的实部的取值范围;
（2）设 ,求证 为纯虚数.
18.已知 ， 的夹角为 45°.
（1）求 的值;
（2）若向量 的夹角是锐角，求实数 的取值范围.
19.如图，四棱锥 中， 平面 ， ， ，
， ， 分别为 ， 的中点.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若 ，求点 到平面 的距离.
20.某校高三年级 50 名学生参加数学竞赛，根据他们的成绩绘制了如图所示的频率分布直方
z 1
1z z z
= + 11 2z− < <
| |z z
1
1
zu z
−= + u
2, 1a b= = a b与
2a b+
( )2 - 3a b a bλ λ − 与（ λ
P ABCD− PA ⊥ ABCD AB AC⊥ / /AB CD
2AB CD= E F PB AB
/ /PAD EFC
2PA AB AC= = = B PCF试卷第 6 页，总 52 页
图，已知分数在 的矩形面积为 ，[ )90,100 0.16求： 分数在 的学生人数；
这 50 名学生成绩的中位数 精确到 ；
若分数高于 60 分就能进入复赛，从不能进入复赛的学生中随机抽取两名，求两人
来自不同组的概率．
21.已知在훥퐴퐵퐶中，角퐴,퐵,퐶的对边分别为푎,푏,푐,且
（1）求푏的值；
（2）若cos퐵 + 3sin퐵 = 2,求푎 + 푐的取值范围.
22.如图所示，正四棱锥 中， 为底面正方形的中心，侧棱 与底面 所
成的角的正切值为 ．
( )1 [ )50,60
( )2 ( 0.1)
( )3
cos cos 2 3sin
3sin
B C A
b c c
+ =
P ABCD− O PA ABCD
6
2（1）求侧面 与底面 所成的二面角的大小；
（2）若 是 的中点，求异面直线 与 所成角的正切值；
（3）问在棱 上是否存在一点 ，使 ⊥侧面 ，若存在，试确定点 的位置；
若不存在，说明理由．
PAD ABCD
E PB PD AE
AD F EF PBC F 高一摸底考试数学答案
1．C 2．C 3．B 4．C 5．C 6．A 7.D 8.C
9.AB 10.ABD 11．BC 12．BD
13. 14． 15．60 16．
17.解：（1）由 是虚数,设
则 ,
且 , 即 ,
此时, , .即 的实部的取值范围为 .
（2）设 ,
又 , 故 是纯虚数.
18.（1）∵
∴
（2）∵ 与 的夹角是锐角
∴ ，且 与 不能同向共线
∴ ， ，
∴ 或
4 3i− + 3 3−
z i( , 0)z a b a b b= + ∈ ≠R,
1
1 1z z a biz a bi
= + = + + + 2 2 2 2 2 2
a bi a ba bi a b ia b a b a b
− = + + = + + − + + +
2 2: 0bR b a bω ∈ − =+ 0b≠ 2 2 1a b∴ + = | | 1z =
1 2z a= 1
11 2, 12z a− < < ∴− < (2 )a bλ− ( 3 )a bλ −
2 7 6 0λ λ− + < 2 ( 3 )a b k a bλ λ− ≠ − 0k >
1 6λ< < 6 6λ< 푏 = 3
2 综上푎 + 푐 ∈ ( 3
2 , 3]
22.（1）取 中点 ，设 面 ，连 ，
则 为二面角的平面角，
为侧棱 与底面 所成的角，
，
B PCF 6
3h =
3
5
AD M PO ⊥ ABCD ,MO MP
PMO∠
PAO∠ PA ABCD
6tan 2PAO∠ =设 ， ， ，
∴ ．
（2）连 ， 为异面直线 与 所成的角．
因为 ， ，所以 平面 .
平面 ，所以 .
∵ ,∴ 。
（3）延长 交 于 ，取 中点 ，连 、 ．
因为 ， ， ，故 平面 ，因 平面
，
故平面 平面 ， 又 ，故 为等边三角形，
所以 ，由 平面 ，故
因为 ，所以 平面 . 取 的中点 ，∵ ，∴
， ∴四边形 为平行四边形，所以
∴ 平面 ．即 为四等分点
2, 2AB a AO a= = 3tan 2PO AO PAO a= ∠ = tan 3POPMO MO
∠ = =
60PMO∠ = °
, //OE OE PD OEA∠ PD AE
,AO BD AO PO⊥ ⊥ BD PO O= AO ⊥ PBD
OE ⊂ PBD AO OE⊥
2 21 1 5
2 2 4OE PD PO DO a= = + = 2 10tan 0 5
AOAEO E
∠ = =
MO BC N PN G EG MG
BC MN⊥ BC PN⊥ MN PN N∩ = BC ⊥ PMN BC ⊂
PBC
PMN ⊥ PBC , 60PM PN PMN= ∠ = ° PMN∆
MG PN⊥ MG ⊂ MG PN⊥ BC MG⊥
BC PN N= MG ⊥ PBC AM F //EG MF
1
2MF MA EG= = EGMF //MG EF
EF ⊥ PBC F
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