数学试题
时间：120 分钟，满分 150
一、单选题（每小题 5 分）
1．已知数列 ，则 是这个数列的（ ）
A．第 5 项 B．第 6 项 C．第 7 项 D．第 8 项
2．不等式 的解集为（ ）
A． 或 B．
C． D． 或
3．已知 ，且 .下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
4.在等比数列{an}中，a2、a14 是方程 x2-5x+6=0 的两个根，则 a8 的值为（ ）
A． 或 B． C． D． 或
5．已知等差数列 、 ，其前 项和分别为 、 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
6. 在等差数列 中，已知 ,则 ( )
A．10 B．11 C．12 D．13
7．等差数列的 公差 不为 0， 是其前 项和，给出下列命题：
①若 ，且 ，则 和 都是 中的最大项；
②给定 ，对一切 ，都有 ；
③若 ，则 中一定有最小项；
④存在 ，使得 和 同号.
其中正确命题的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．若对于任意的 x＞0，不等式 恒成立，则实数 a 的取值范围是( )
1, 3, 5, , 2 1,n − 11
2 2 3 0x x− − + ≥
{ | 3x x ≥ 1}x ≤ − { | 1 3}x x− ≤ ≤
{ | 3 1}x x− ≤ ≤ { | 3x x ≤ − 1}x ≥
x y z> > 1x y z+ + =
xy yz> xy xz> xz yx> x y z y>
6− 6 6 6− 2 2−
{ }na { }nb n nS nT 2 3
3 1
n
n
a n
b n
+= −
11
11
S
T
=
15
17
25
32 1 2
{ }na 1 5 9 15a a a+ + = 4 6a a+ =
{ }na d nS n
0d < 3 8S S= 5S 6S { }nS
n ( )*k N k n∈ < 2n k n k na a a− ++ =
0d > { }nS
*k N∈ 1k ka a +− 1k ka a −−
2 3 1
x ax x
≤+ +A．a≥ B．a＞ C．a＜ D．a≤
9．已知数列 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
10．当 时，不等式 恒成立，则 k 之的取值范围是（ ）
A． B． C． D．（0，4）
11．已知{an}的前 n 项和 Sn= n 2-4 n +1,则|a1|+| a 2|+…+| a 10|= （ ）
A．68 B．67 C．61 D．60
12．若方程 的两根都大于 2，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题 5 分）
13．已知数列 的前 项和为 ，且 ，则 ________．
14．设等比数列 的前 n 项和为 ，若 ，则 为________.
15．已知函数 （a，b 为常数），且 ，
则
16．数列 的首项 ，且 ，则数列 的通项公式为
三、解答题
17．已知等差数列 前三项的和为 ，前三项的积为 .
（Ⅰ）求等差数列 的通项公式；
（Ⅱ）若 成等比数列，求数列 的前 20 项和
18．解关于 x 的不等式.
19．已知数列 的首项 ，前 项和为 ， ， .
1
5
1
5
1
5
1
5
{ }na
1n na a n+ − = 2020 1a a− =
2020 1010× 2019 1010× 2020 2020× 2019 2019×
x∈R 2 1 0kx kx− + >
(0, )+∞ [ )0,+∞ [ )0,4
( )2 2 5 0x m x m+ − + − = m
( ) ( ], 5 5, 4−∞ − − − ( ], 4−∞ − ( ], 2−∞ − ( ]5, 4− −
{ }na n nS 23 1
2 2nS n n= + 5a =
{ }na nS 10
5
1
2
S
S
=
15
10
S
S
3( ) sin tan 3f x x a x b x= + + + (2) 5f =
( 2)f − =
{ }na
1 2020a = ( )1 3 2n na a n ∗
+ = + ∈N { }na
2 3 1, ,a a a 20T
2 242 0x ax a+ − <
{ }na 1 1a = n nS +1=2 +1n na S *Nn∈（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
20．已知函数 ．
（1）若函数 在 上是单调函数，求实数 的取值范围；
（2）当 ， 时，不等式 恒成立，求实数 的范围．
21．已知数列 满足 .
（1）证明数列 是等差数列，并求 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
22.已知数列 满足： ，
（1）求 ， 的值；
（2）求数列 的通项公式；
（3）设 ，求数列 的前 n 项和 。
{ }na
3 1logn nb a += { }n na b+ n nT
2( ) ( 2) 3f x x a x= + − −
( )f x [ ]2− ，4 a
5a = [ 1,1]x∈ − ( ) 2 4f x m x> + − m
{ }na
1 1
1 ,2 3 1
n
n
n
aa a a+= = +
1
na
{ }na
{ }nb 1
2n n
n
b a
=
{ }nb n nS
{ }na
1 2 3
( 1)(2 +1)2 3 6n
n n na a a na
++ + +…+ =
*n N∈
1a 2a
{ }na
1
1
n
n n
b a a +
= ⋅ { }nb nT答案：
BCBBA ABABC BD
13．14 14． 15．1 16．
17．解：（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，则 ， ，
由题意得 解得 或
所以由等差数列通项公式可得
，或 .
故 ，或 .
（Ⅱ）当 时， ， ， 分别为 ， ， ，不成等比数列；
当 时， ， ， 分别为 ， ， ，成等比数列，满足条件.
故
记数列 的前 项和为 . 则
18．解：原不等式可化为 ，
即 ，
①当 即 时， ；
②当 时，即 时，原不等式的解集为 ；
3
2
12021 3 1n
na −= −
n｛a ｝ (3 11)
2n
n nS
−=
20 1 2 20 1 2 3 20( ) ( )T a a a a a a a= + + + = − + + + +
20 2=S 2
500
S−
=
( )( )6 7 0x a x a+ − <
06 7
a ax x + −
6 7
a ax− < <
6 7
a a− = 0a = ∅③当 即 时， ，
综上知：当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 .
19．解： （1）由题意得 ，
两式相减得 ，
所以当 时， 是以 3 为公比的等比数列.
因为 ，
所以， ，对任意正整数成立， 是首项为 1，公比为 3 的等比数列，
所以得 .
（2） ，所以 ，
20．解：（1）函数 的对称轴为 ,又有函数 在 上是单调函数
或 , 解得 或 .
实数 的取值范围为 .
（2）当 ， 时， 恒成立，即 恒成立，
6 7
a a− > 0a <
7 6
a ax< < −
0a >
6 7
a ax x
− < + − 2 1x x m+ + >令 ， 恒成立
函数 的对称轴 ,∴ ，即
的范围为 .
21.解：（1）∵ ，∴ ， ∴ 是等差数列，
∴ ， 即 ；
（2）∵ ，
∴ ，
则，
两式相减得 ，
∴ .
22.解：（1）由已知得 ，∴
(2)由 ，①得
时， ，②
①-②得 ∴ ， 也适合此式， ∴ （ ）．
（3）由（2）得 ，∴
( ) 2 1g x x x= + + ( )ming x m>
( )g x [ ]1 1,12x = − ∈ − ( )min
1 3
2 4g x g = − =
3
4 m>
m∴ 3( , )4
∞−
1 3 1
n
n
n
aa a+ = + 1
1 1 3
n na a+
− =
1
na
( )
1
1 1 1 3 3 1
n
n na a
= + − = − 1
3 -1na n
=
3 1
2n n
nb
−=
1 2 2
3 1-1 3 2 ` 3 1
2 2 2n n n
nS b b b
× − −= + + + = + + +×
n 2 +13
1 3 23 ` 3 1
2 2 2 2
1-1
n
nS
× − −= + + +×
2 3 1 1 1
11 1 1 1 1 3 1 5 3 3 12 3 +2 2 2 2 2 2 2 2 2 2n n n n n n
n nS − + +
− −= × + + + + = − −（ ）-
3 55 2n n
nS
+= −
1
1 2 3 16a
× ×= =
1 2
2 3 52 56a a
× ×+ = = 2 2a =
1 2 3
( 1)(2 +1)2 3 6n
n n na a a na
++ + + + =
2n ≥
1 2 3 1
( 1) [2( 1)+1]2 3 ( 1) 6n
n n na a a n a −
− −+ + + + − =
2
nna n= na n= 1 1a =
na n= *n N∈
na n=
1
1 1 1 1
n( 1) 1n
n n
b a a n n n+
= = = −⋅ + +∴ 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( 1 12 2 3 )1 1nT n
n
n n n
= − + − + + − = − =+ + +
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