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高二期中考试数学试题（满分 150 分时间 120 分钟）
一．选择题（共 16 小题每小题 5 分共 80 分）
1．已知 i 为虚数单位，则 ＝（ ）
A． + i B． ﹣ i C．﹣ + i D．﹣ ﹣ i
2．若复数 ，其中 i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A．z 的虚部为﹣i B．|z|＝2
C．z 表示的点在第四象限 D．z 的共轭复数为﹣1﹣i
3． 展开式中 x2 的系数为（ ）
A．10 B．24 C．32 D．56
4．在某项测量中，测量结果 ξ～N（3，σ 2）（σ＞0），若 ξ 在（3，6）内取值的概率为
0.3，则 ξ 在（0，+∞）内取值的概率为（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.8 D．0.9
5．三张卡片的正反面上分别写有数字 0 与 1，2 与 3，4 与 5，把这三张卡片拼在一起表示
一个三位数，则三位数的个数为（ ）
A．36 B．40 C．44 D．48
6．要排一张有 5 个独唱和 3 个合唱的节目表，如果合唱节目不能排在第一个，并且合唱节
目不能相邻，则不同排法的种数是（ ）
A． B． C． D．
7．一个盒子里有 7 只好的晶体管、5 只坏的晶体管，任取两次，每次取一只，每一次取后
不放回，在第一次取到好的条件下，第二次也取到好的概率（ ）
A． B． C． D．
8．甲乙丙三位同学独立的解决同一个问题，已知三位同学能够正确解决这个问题的概率分
别为 、 、 ，则有人能够解决这个问题的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．将 4 名同学录取到 3 所大学，每所大学至少要录取一名，则不同的录取方法共有（ ）
A．12 B．24 C．36 D．72
10．一个袋中装有大小相同，编号分别为 1，2，3，4，5，6，7，8 的八个球，从中有放回第 2 页（共 14 页）
地每次取一个球，共取 2 次，则取得两个球的编号和小于 15 的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．6 本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，不同的分法种数是（ ）
A． B．
C．6 D．
12．设 X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22），这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结
论中正确的是（ ）
A．P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1）
B．P（X≤σ2）≤P（X≤σ1）
C．对任意正数 t，P（X≤t）≥P（Y≤t）
D．对任意正数 t，P（X≥t）≥P（Y≥t）
13．将 4 个不同的小球放入 3 个不同的盒子，其中有的盒子可能没有放球，则总的方法共有
（ ）
A．81 种 B．64 种 C．36 种 D．18 种
14．从 1，3，5，7 中任取 2 个数字，从 0，2，4，6，8 中任取 2 个数字，组成没有重复数
字的四位数，这样的四位数一共有（ ）个
A．576 B．1296 C．1632 D．2020
15．6 个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐 4 人，则不同的乘车方法数为（ ）
A．40 种 B．50 种 C．60 种 D．70 种
16．已知（1+x）n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则偶数项的二项式系数
和为（ ）
A．29 B．210 C．211 D．212
二．填空题（共 4 小题每小题 5 分共 20 分）第 3 页（共 14 页）
17．已知随机变量 ξ 服从二项分布 ，则 P（ξ＝3）＝ ．
18．若（x﹣2）n 展开式的二项式系数之和为 32，则展开式各项系数和为 ．
19．一个口袋内有 4 个不同的红球，6 个不同的白球，若取一个红球记 2 分，取一个白球记
1 分，从中任取 5 个球，使总分不少于 8 分的取法有 种 （用数字作答）
20．某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在
同一个食堂用餐的概率为 ．
三．解答题（共 4 小题 21 题 10 分，22 题 12 分，23、24 题分别 14 分共 50 分）
21．某大学“统计初步”课程的教师随机调查了选该课程的一些学生的情况，具体数据如表：
非统计专业 统计专业 合计
男 84 36 120
女 32 48 80
合计 116 84 200
（1）能否在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为“修统计专业与性别有关系”？
（2）用分层抽样方法在上述 80 名女生中按照“非统计专业”与“统计专业”随机抽取 10
名，再从抽到的这 10 名女生中抽取 2 人，记抽到“统计专业”的人数为 ξ，求随机变量 ξ
的分布列和数学期望．
参考公式： ，其中 n＝a+b+c+d；
临界值表：
P（K2≥k0） 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
22．在由 12 道选择题和 4 道填空题组成的考题中，如果不放回地依次抽取 2 道题，求：
（1）第一次抽到填空题的概率；
（2）第一次和第二次都抽到填空题的概率；
（3）在第一次抽到填空题的前提下，第二次抽到填空题的概率．
23．某面包店推出一款新面包，每个面包的成本价为 4 元，售价为 10 元，该款面包当天只
出一炉（一炉至少 15 个，至多 30 个），当天如果没有售完，剩余的面包以每个 2 元的价
格处理掉，为了确定这一炉面包的个数，以便利润最大化，该店记录了这款新面包最近 30
天的日需求量（单位：个），整理得表：第 4 页（共 14 页）
日需求量 15 18 21 24 27
频数 10 8 7 3 2
（1）根据表中数据可知，频数 y 与日需求量 x（单位：个）线性相关，求 y 关于 x 的线
性回归方程；
（2）若该店这款新面包每日出炉数设定为 24 个
（i）求日需求量为 15 个时的当日利润；
（ii）求这 30 天的日均利润．
相关公式： ，
24．在某项娱乐活动的海选过程中评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分
作为该选手的成绩，成绩大于等于 60 分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，不
超过 40 分的选手将直接被淘汰，成绩在（40，60）内的选手可以参加复活赛，如果通过，
也可以参加第二轮比赛．
（Ⅰ）已知成绩合格的 200 名参赛选手成绩的频率分布直方图如图，求 a 的值及估计这
200 名参赛选手的成绩平均数；
（Ⅱ）根据已有的经验，参加复活赛的选手能够进入第二轮比赛的概率为 ，假设每名
选手能否通过复活赛相互独立，现有 3 名选手进入复活赛，记这 3 名选手在复活赛中通
过的人数为随机变量 X，求 X 的分布列和数学期望．第 5 页（共 14 页）
高二期中考试数学试题（满分 150 分时间 120 分钟）
参考答案与试题解析
一．选择题（共 16 小题每小题 5 分共 80 分）
1．已知 i 为虚数单位，则 ＝（ ）
A． + i B． ﹣ i C．﹣ + i D．﹣ ﹣ i
【解答】解：原式＝ ＝ ＝﹣ + i．
故选：C．
2．若复数 ，其中 i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A．z 的虚部为﹣i B．|z|＝2
C．z 表示的点在第四象限 D．z 的共轭复数为﹣1﹣i
【解答】解：∵ ＝ ，
∴z 的虚部为﹣1；|z|＝ ；z 表示的点的坐标为（1，﹣1），在第四象限；z 的共轭复数
为 1+i．
故选：C．
3． 展开式中 x2 的系数为（ ）
A．10 B．24 C．32 D．56
【解答】解：（1+ ）（1+2x）4 的展开式中 x2 系数，只要求出（1+2x）4 的展开式中含 x2
的项及 x3 的系数，
∵（1+2x）4 的展开式的通项 Tr+1＝ ×2r•xr
令 r＝3 可得 T4＝4×23×x3＝32x3；
令 r＝2 可得 T3＝ ×22•x2＝24x2
故 x2 的系数为 24+32＝56，
故选：D．
4．在某项测量中，测量结果 ξ～N（3，σ 2）（σ＞0），若 ξ 在（3，6）内取值的概率为
0.3，则 ξ 在（0，+∞）内取值的概率为（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.8 D．0.9第 6 页（共 14 页）
【解答】解：∵ξ 服从正态分布 N（3，σ2）
∴曲线的对称轴是直线 x＝3，
∵ξ 在（3，6）内取值的概率为 0.3，
∴根据正态曲线的性质知在（0，3）内取值的概率为 0.3，则 ξ 在（0，+∞）内取值的概
率为 0.8．
故选：C．
5．三张卡片的正反面上分别写有数字 0 与 1，2 与 3，4 与 5，把这三张卡片拼在一起表示
一个三位数，则三位数的个数为（ ）
A．36 B．40 C．44 D．48
【解答】解：由题意，首先填百位，除 0 外有 5 种填法，十位上可以填剩余的两张卡片
的 4 个数字中的任意一个，有 4 种填法，
个位上只能填最后一张卡片上的两个数字，有 2 种填法，
根据分步乘法计数原理可得，三位数的个数是 5×4×2＝40．
故选：B．
6．要排一张有 5 个独唱和 3 个合唱的节目表，如果合唱节目不能排在第一个，并且合唱节
目不能相邻，则不同排法的种数是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵合唱节目不能排在第一个，并且合唱节目不能相邻，
∴先排列独唱节目，共有 A55 种结果，
再在五个独唱节目形成的除去第一个空之外的五个空中选三个位置排列，共有 A53 种结
果，
∴节目表不同的排法种数是 A55A53
故选：C．
7．一个盒子里有 7 只好的晶体管、5 只坏的晶体管，任取两次，每次取一只，每一次取后
不放回，在第一次取到好的条件下，第二次也取到好的概率（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：从 7 只好的晶体管、5 只坏的晶体管，任取两次，第一次取到好的晶体管共
＝77 种取法，
从 7 只好的晶体管、5 只坏的晶体管，任取两次，第一次取到好的条件下，第二次也取到第 7 页（共 14 页）
好的晶体管共 ＝42 种取法，
则在第一次取到好的条件下，第二次也取到好的概率 ＝ ，
故选：C．
8．甲乙丙三位同学独立的解决同一个问题，已知三位同学能够正确解决这个问题的概率分
别为 、 、 ，则有人能够解决这个问题的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：此题没有被解答的概率为 （1﹣ ）（1﹣ ）（1﹣ ）＝ ，
故能够将此题解答出的概率为 1﹣ ＝ ，
故选：B．
9．将 4 名同学录取到 3 所大学，每所大学至少要录取一名，则不同的录取方法共有（ ）
A．12 B．24 C．36 D．72
【解答】解：先从 4 名学生中任意选 2 个人作为一组，方法有 ＝6 种；再把这一组和
其它 2 个人分配到 3 所大学，方法有 ＝6 种．
再根据分步计数原理可得不同的录取方法为 6×6＝36 种，
故选：C．
10．一个袋中装有大小相同，编号分别为 1，2，3，4，5，6，7，8 的八个球，从中有放回
地每次取一个球，共取 2 次，则取得两个球的编号和小于 15 的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：一个袋中装有大小相同，编号分别为 1，2，3，4，5，6，7，8 的八个球，
从中有放回地每次取一个球，共取 2 次，
基本事件总数 n＝8×8＝64，
取得两个球的编号和不小于 15 包含的基本事件有：
（7，8），（8，7），（8，8），
∴取得两个球的编号和小于 15 的概率为 p＝ ．
故选：D．
11．6 本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，不同的分法种数是（ ）第 8 页（共 14 页）
A． B．
C．6 D．
【解答】解：由分步计数原理得不同的分法种数是 ．
故选：A．
12．设 X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22），这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结
论中正确的是（ ）
A．P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1）
B．P（X≤σ2）≤P（X≤σ1）
C．对任意正数 t，P（X≤t）≥P（Y≤t）
D．对任意正数 t，P（X≥t）≥P（Y≥t）
【解答】解：正态分布密度曲线图象关于 x＝μ 对称，所以 μ1＜μ2，从图中容易得到 P
（X≤t）≥P（Y≤t）．
故选：C．
13．将 4 个不同的小球放入 3 个不同的盒子，其中有的盒子可能没有放球，则总的方法共有
（ ）
A．81 种 B．64 种 C．36 种 D．18 种
【解答】解：根据题意，每个小球都有 3 种可能的放法，第 9 页（共 14 页）
根据分步计数原理知共有即 34＝81 种不同的放法，
故选：A．
14．从 1，3，5，7 中任取 2 个数字，从 0，2，4，6，8 中任取 2 个数字，组成没有重复数
字的四位数，这样的四位数一共有（ ）个
A．576 B．1296 C．1632 D．2020
【解答】解：根据题意，分 2 种情况讨论：
①、从 0，2，4，6，8 中取出 2 个数字不包含 0，此时有 C42C42A44＝864 种情况，即有 864
个没有重复数字的四位数；
②，从 0，2，4，6，8 中取出 2 个数字包含 0，此时有 C42C41C31A33＝432 种情况，即有
432 个没有重复数字的四位数；
则一共有 864+432＝1296 个四位数；
故选：B．
15．6 个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐 4 人，则不同的乘车方法数为（ ）
A．40 种 B．50 种 C．60 种 D．70 种
【解答】解：首先认定一辆车，把 6 个人选出来坐在这辆车里，
余下的人坐在另一辆车里，
符合条件的选法有选 2，3，4
分别有 C62，C63，C64 种结果，
根据分类计数原理知共有 15+20+15＝50 种结果，
故选：B．
16．已知（1+x）n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则偶数项的二项式系数
和为（ ）
A．29 B．210 C．211 D．212
【解答】解：已知（1+x）n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，
可得∁n3＝∁n7，可得 n＝3+7＝10．
（1+x）10 的展开式偶数项的二项式系数和为： ×210＝29．
故选：A．
二．填空题（共 4 小题每小题 5 分共 20 分）
17．已知随机变量 ξ 服从二项分布 ，则 P（ξ＝3）＝ ．第 10 页（共 14 页）
【解答】解：根据题意，随机变量 ξ 服从二项分布 ，
则 P（ξ＝3）＝C43（ ）3（ ）＝ ；
故答案为： ．
18．若（x﹣2）n 展开式的二项式系数之和为 32，则展开式各项系数和为 ﹣1 ．
【解答】解：由已知可得，2n＝32，则 n＝5．
取 x＝1，可得（x﹣2）5 展开式的各项系数和为（1﹣2）5＝﹣1．
故答案为：﹣1．
19．一个口袋内有 4 个不同的红球，6 个不同的白球，若取一个红球记 2 分，取一个白球记
1 分，从中任取 5 个球，使总分不少于 8 分的取法有 66 种 （用数字作答）
【解答】解：根据题意，设取出红球 x 个，白球 y 个，有 0≤x≤4，0≤y≤6，且 x、
y∈N，
则有 ，
解可得 或 ，
则不同的取法有 ＝66；
故答案为 66．
20．某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在
同一个食堂用餐的概率为 ．
【解答】解：甲、乙、丙三名学生选择每一个食堂的概率均为 ，
则他们同时选中 A 食堂的概率为： ＝ ；
他们同时选中 B 食堂的概率也为： ＝ ；
故们在同一个食堂用餐的概率 P＝ + ＝
故答案为：
三．解答题（共 4 小题 21 题 10 分，22 题 12 分，23、24 题分别 14 分共 50 分）
21．某大学“统计初步”课程的教师随机调查了选该课程的一些学生的情况，具体数据如表：
非统计专业 统计专业 合计第 11 页（共 14 页）
男 84 36 120
女 32 48 80
合计 116 84 200
（1）能否在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为“修统计专业与性别有关系”？
（2）用分层抽样方法在上述 80 名女生中按照“非统计专业”与“统计专业”随机抽取 10
名，再从抽到的这 10 名女生中抽取 2 人，记抽到“统计专业”的人数为 ξ，求随机变量 ξ
的分布列和数学期望．
参考公式： ，其中 n＝a+b+c+d；
临界值表：
P（K2≥k0） 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【解答】解；（Ⅰ）根据表中数据，
计算 ，
因为 P（K2＞7.879）＝0.005
所以能在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为“修统计专业与性别有关系”．
（Ⅱ）用分层抽样方法在上述 80 名女生中按照“非统计专业”与“统计专业”随机抽取
10 名，那么抽到“非统计专业”4 名，抽到“统计专业”6 名． ，
，
所以 ξ 的分布列为
ξ 0 1 2
P
．
22．在由 12 道选择题和 4 道填空题组成的考题中，如果不放回地依次抽取 2 道题，求：
（1）第一次抽到填空题的概率；
（2）第一次和第二次都抽到填空题的概率；第 12 页（共 14 页）
（3）在第一次抽到填空题的前提下，第二次抽到填空题的概率．
【解答】解：设第一次抽到填空题为事件 A，第二次抽到填空题为事件 B，则第一次和第
二次都抽到填空题为事件 AB．
（1）P（A）＝ ＝ ．
（2）P（AB）＝ ＝ ．
（3）P（B|A）＝ ＝ ．
23．某面包店推出一款新面包，每个面包的成本价为 4 元，售价为 10 元，该款面包当天只
出一炉（一炉至少 15 个，至多 30 个），当天如果没有售完，剩余的面包以每个 2 元的价
格处理掉，为了确定这一炉面包的个数，以便利润最大化，该店记录了这款新面包最近 30
天的日需求量（单位：个），整理得表：
日需求量 15 18 21 24 27
频数 10 8 7 3 2
（1）根据表中数据可知，频数 y 与日需求量 x（单位：个）线性相关，求 y 关于 x 的线
性回归方程；
（2）若该店这款新面包每日出炉数设定为 24 个
（i）求日需求量为 15 个时的当日利润；
（ii）求这 30 天的日均利润．
相关公式： ，
【解答】解：（1） ＝ （15+18+21+24+27）＝21 个，
＝ （10+8+7+3+2）＝6，
则 ＝第 13 页（共 14 页）
＝﹣0.7，
＝6+21×0.7＝20.7．
故 g 关于 x 的线性回归方程为 ＝﹣0.7x+20.7．
（2）①若日需求量为 15 个，则当日利润为 15×（ 10﹣4）+（24﹣15）×（2﹣4）＝72
（元），
②若日需求量为 18 个，则当日利润为 18×（10﹣4）+（24﹣18）×（2﹣4）＝96
（元），
若日需求量为 21 个，则当日利润为 21×（10﹣4）+（24﹣21）×（2﹣4）＝120
（元），
若日需求量为 24 或 27 个，则当日利润为 24×（10﹣4）＝144 （元），
则这 30 天的日均利润为 72× +96× +120× +144× ＝101.6，
综上所述，日需求量为 15 个时的当日利润为 72 元，这 30 天的日均利润为 101.6 元．
24．在某项娱乐活动的海选过程中评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分
作为该选手的成绩，成绩大于等于 60 分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，不
超过 40 分的选手将直接被淘汰，成绩在（40，60）内的选手可以参加复活赛，如果通过，
也可以参加第二轮比赛．
（Ⅰ）已知成绩合格的 200 名参赛选手成绩的频率分布直方图如图，求 a 的值及估计这
200 名参赛选手的成绩平均数；
（Ⅱ）根据已有的经验，参加复活赛的选手能够进入第二轮比赛的概率为 ，假设每名
选手能否通过复活赛相互独立，现有 3 名选手进入复活赛，记这 3 名选手在复活赛中通
过的人数为随机变量 X，求 X 的分布列和数学期望．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得：（0.01+a+0.02+0.03）×10＝1，
a＝0.04．第 14 页（共 14 页）
估计这 200 名选手的成绩平均数为：65×0.1+75×0.4+85×0.2+95×0.3＝82．
（Ⅱ）由题意知，X～B（3， ），X 可能的取值为 0，1，2，3．
P（X＝i）＝ ，
所以分布列为：
X 0 1 2 3
P
X 的数学期望为 E（X）＝3× ＝1．
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