新建一中 2019-2020 学年高二下学期线上期中考试
文数
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知三条不重合的直线 m,n,l 和两个不重合的平面 α，β ,下列命题正确的是:( )
A．若 m//n，n α，则 m// α
B．若 α⊥β, α β=m, n⊥m ，则 n⊥α.
C．若 l⊥n ，m⊥n,则 l//m
D．若 l⊥α，m⊥β, 且 l⊥m ，则 α⊥β
3.．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的
三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为 2 和 6，高为 2，则该刍童的体
积为（ ）
A． B． C．27 D．18
4．下列说法正确的是（ ）
A．正棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥
B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形
C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点
{ | ( 1)( 2) 0}A x x x= + − < { || 1| 2}B x x= + < A B =
( 1,1)− ( 1,2)− ( 3,1)− ( 3,2)−
100
3
104
35.在空间四边形 ABCD 的边 AB,BC,CD,DA 上分别取 E,F,G,H 四点,若 EF 与 HG 交于点 M,则
( )
A.M 一定在直线 AC 上 B.M 一定在直线 BD 上
C.M 可能在直线 AC 上,也可能在 BD 上 D.M 既不在 AC 上,也不在 BD 上
6.在调查中学生近视情况时，某校男生 150 名中，有 80 名近视，女生 140 名中，
有 70 名近视．在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时，所求的 等于（ C ）
A．5.732 B．4.603 C．0.322 D．7.035
7.用斜二测画法画正方形的直观图是有一条边长为 4 的平行四边形，则此正方形的
面积是（）
A、16 B、16 或 64 C、8 D、16 或 8
8.已知 6 个高尔夫球中有 2 个不合格，每次任取 1 个，不放回地取两次．在第一次取到合格高
尔夫球的条件下，第二次取到不合格高尔夫球的概率为（ ）
A． B． C． D．
9.一竖立在水平面上的圆锥物体的母线长为 2m，一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上的点 P 出发，
绕圆锥表面爬行一周后回到 P 点，蚂蚁爬行的最短路径为 ，则圆锥的底面圆半径为（ ）
A．1m B． C． D．
2χ
3
5
2
5
2
3
3
10
2 3m
2
3 m 4
3 m 3
2 m10.下列四个正方体图形中， ， 为正方体的两个顶点， ， ， 分别为其所在棱的
中点，能得出 平面 的图形的序号是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
11. 、 分别为两条异面直线上的两条线段，已知这两条异面直线所成的角为 ，
， ， ,则线段 =（ ）
A. 4 B. C.8 D.不能确定
12．已知圆柱的轴截面周长为 6，体积为 V，则下列关系式总成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13.正方体的各个面所在平面可以把空间分成_______部分.
14．甲、乙、丙三人参加招聘老师面试，最终只有一人能够被录用，得到
面试结果后，甲说：“丙被录用了”；乙说：“甲被录用了”；丙说：“我没被录用”.若这三人中
仅有一人说法错误，则甲、乙、丙三人被录用的是__________
15. 已知一个正四面体的俯视图如图所示，
则其左视图面积为___________.
A B M N P
/ /AB MNP
AD BC °60
cmAD 8= BCAB ⊥ BCDC ⊥ BC
34
V π≥ 1
8V ≥ π 1
8V π≤ V π≤16.如图，四边形 ABCD 为正方形，E，F 分别为 AB，AD 的中点， N 是平面 ABCD
外一点，设 AC∩BD=O，P 为 NC 上一点，若 OP∥平面 NEF，则
NP∶PC=_______________.
三、解答题
17．已知函数 的最小值为
（1）求不等式 的解集;
（2）若 ,求 的最大值.
18. 如图，正方体 中，E,F 分别为 上的点，且使得
,
(1) 求证： ;
(2) 求异面直线 所成角的余弦值。
19.光伏发电是利用太阳能电池及相关设备将太阳光能直接转化为电能．近几年在国内出台的
光伏发电补贴政策的引导下，某地光伏发电装机量急剧上涨，如下表：
年份
年份代码
新增光伏装机量 兆瓦
某位同学分别用两种模型：① ；② 进行拟合，得到相应的回归方程
并进行残差分析，残差图如下(注：残差等于 )：
( ) ( )2 0f x x x t t= − + − > 2
( ) 8f x x t+ − ≥
2 2 2 52 3 5 2a b c t+ + = 2 3ac bc+
1111 DCBAABCD − 11,CCBB
2
1
1
1 ==
FC
CF
BE
EB
111 DCABD 平面⊥
DFEA 与1
2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018
x 1 2 3 4 5 6 7 8
y 0.4 0.8 1.6 3.1 5.1 7.1 9.7 12.2
2ˆy bx a= + ˆy dx c= +
ˆi iy y−经过计算得 ， ， ，
， ，其中 ， ．
（1）根据残差图，比较模型①、模型②的拟合效果，应该选择哪个模型?并简要说明理由；
（2）根据（1）的判断结果及表中数据建立 关于 的回归方程，并预测该地区 年新
增光伏装机量是多少．(在计算回归系数时精确到 0.1)
参考公式： ， ．
20.如图：在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD， ,
PA=AB=BC,E 是 PC 中点。
求证：（1）CD⊥AE；（2）平面 PCD⊥平面 ABE。
21.如图，在四棱锥 O﹣ABCD 中，OA⊥底面 ABCD，且底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，且
OA＝2，M，N 分别为 OA，BC 的中点.
8
1
( )( ) 72.8i i
i
yx yx
=
− − =∑ 8
2
1
( ) 42i
i
x x
=
− =∑ 8
1
( )( ) 686.8i i
i
t t y y
=
− − =∑
8
2
1
( )i
i
t t
=
− =∑ 3570 5=y
2
i it x=
8
1
1
8 i
i
t t
=
= ∑
y x 2020
1
2
1
( )( )
( )
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b
x x
=
=
− −
=
−
∑
∑
ˆˆa by x= −
060=∠ABC（1）求证：直线 MN 平面 OCD；
（2）求点 B 到平面 DMN 的距离.
文数答案
1.【答案】D
， ，故 .
2．
【答案】D
试题分析：A 选项，直线 可能在平面 内；B 选项，如果直线 不在平面 内，不能得到 ；
C 选项，直线与 可能平行，可能异面，还可能相交；故选 .
3.
、
【答案】B
由题意几何体原图为正四棱台，底面的边长分别为 2 和 6，高为 2，
所以几何体体积 .
【答案】B
对于 A，若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形，若以正六边形为底面，侧棱
长必然要大于底面边长，故 A 错误；
对于 B，四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形，如图所示：
//
( )1,2A = − ( )3,1B = − ( )3,2A B = −
1 104(4 36 4 36) 23 3V = + + × × =故 B 正确；
对于 C，有两个平面互相平行，其余各面都是梯形，若侧棱不相交于一点，则不是棱台，故 C
错误；
对于 D，由于棱台是用平行于底面的平面截棱锥得到的，所以棱台的各侧棱延长后一定交于一
点，故 D 错误．
5.
解析因为 E,F,G,H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB,BC,CD,DA 上的点,EF 与 HG 交于点 M,
所以 M 为平面 ABC 与平面 ACD 的公共点.而两个平面的交线为 AC,所以 M 一定在直线 AC 上,
故选 A.
答案 A
6.在调查中学生近视情况时，某校男生 150 名中，有 80 名近视，女生 140 名中，
有 70 名近视．在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时，所求的 等于（ C ）
C．0.322
7.
[答案] B
.
8.【答案】B
记事件 第一次取到的是合格高尔夫球
事件 第二次取到不合格高尔夫球
由题意可得事件 发生所包含的基本事件数
事件 发生所包含的基本事件数
2χ
{A = }
{B = }
B ( ) 4 2 8n A B∩ = × =
A ( ) 4 5 20n A = × =所以
9.
【答案】B
将圆锥侧面展开得半径为 2m 的一扇形，蚂蚁从 爬行一周后回到 （记作 ），作
，如下图所示：
由最短路径为 ，即 ，
由圆的性质可得 ，即扇形所对的圆心角为 ，
则圆锥底面圆的周长为 ，
则底面圆的半径为 ，
故选：B.
10.
【答案】C
对于①，连接 如图所示，由于 ，根据面面平行的性质定理可知平面
平面 ，所以 平面 .
( ) ( )
( )
8 2
20 5
n A BP B A n A
∩= = =
P P 1P
1OM PP⊥
2 3m 1 2 3, 2PP OP= =
1 3POM POM
π∠ = ∠ = 2
3
π
2 423 3l
π π= × =
4
23
2 2 3
lr
π
π π= = =
AC / / , / /MN AC NP BC
/ /MNP ACB / /AB MNP对于②，连接 交 于 ，由于 是 的中点， 不是 的中点，所以在平面
内 与 相交，所以直线 与平面 相交.
对于③，连接 ，则 ，而 与 相交，即 与平面 相交，所以
与平面 相交.
对于④，连接 ，则 ，由线面平行的判定定理可知 平面 .
综上所述，能得出 平面 的图形的序号是①④.
故选：C
11.
BC MP D N AC D BC ABC
AB DN AB MNP
CD / /AB CD CD PN CD PMN AB
MNP
CD / / / /AB CD NP / /AB MNP
/ /AB MNP答案选 A
12．
【答案】D
设圆柱的底面半径为 r，高为 h，则由题意得：4r＋2h＝6，即 2r＋h＝3，于是有
，当且仅当 r＝h 时取等号．．
二、填空题
13.【答案】27
14．【答案】甲
解：假设甲说的是真话，即丙被录用，则乙说的是假话，丙说的是假话，不成立；
假设甲说的是假话，即丙没有被录用，则丙说的是真话，
若乙说的是真话，即甲被录用，成立，故甲被录用；
若乙被录用，则甲和乙的说法都错误，不成立.
15.已知一个正四面体的俯视图如图所示，
则其左视图面积为___________.【答案】
16.
【解析】设 AC∩EF=H，连接 NH.
因为 OP∥平面 NEF，平面 NEF∩平面 NHC=NH，
所以 OP∥NH，所以 NP∶PC=HO∶OC.
在正方形 ABCD 中，因为 E，F 分别为 AB，AD 中点，
所以 HO∶OC=1∶2.所以 NP∶PC=1∶2.
三、解答题
17．
解：（1） ，且
3 3
2 3
3 3
r r hV r hπ π π π+ + = ≤ = =
2
( ) ( )2 2 2 2x x t x x t t− + − ≥ − − − = − = 0t >，
当 时，令 ，得 ；
当 时，令 ，得 ，无解；
当 时，令 ，得 。
综上，不等式的解集为
（2）
，当且仅当 时等号成立
的最大值为 。
4( 0 )t t∴ = = 舍去
( )
10 3 , 2
2 2 4 6 ,2 4
3 10, 4
x x
f x x t x x x x
x x
−
1° 2x < 10 3 8x− ≥ 2 2,3 3x x≤ ∴ ≤
2° 2 4x≤ ≤ 6 8x− ≥ 2x −≤
3° 4x > 3 10 8x − ≥ 6, 6x x≥ ∴ ≥
2 63x x x ≤ ≥ 或
2 2 22 3 5 10a b c+ + =
( ) ( )2 2 2 2 2 2 210 2 3 5 2 3 4 6a b c a c b c ac bc∴ = + + = + + + ≥ +
2 3 5ac bc∴ + ≤ 1a b c= = = ±
2 3ac bc∴ + 519.
【解析】（1）选择模型①．
理由如下：根据残差图可以看出，模型①的估计值和真实值比较相近，
模型②的残差值相对较大一些，所以模型①的拟合效果相对较好．
（2）由（1）可知， 关于 的回归方程为 ，
令 ，则 ．
y x 2ˆˆ ˆy bx a= +
2t x= ˆˆ ˆy bt a= +由所给数据可得 ，
所以 ，
所以 关于 的回归方程为 ，
预测该地区 年新增光伏装机量为 兆瓦．
8
1
1 1 (1 4 9 16 25 36 49 64) 25.58 8i
i
t t
=
= = × + + + + + + + =∑
1.05.252.05,2.03570
8.686 −=×−=−=≈= tbyab
y x 1.02.0 2−= xy
2020 9.191.0102.0 2 =−×=y21.
【详解】
（1）取 中点为 ，连接 ，如下图所示：
在 中，因为 分别是 的中点，
故 // ；
在正方形 中，因为 分别是 的中点，
故 // ；
又因为 ， 平面 ，
， 平面 ，
故平面 //平面 ，
又因为 平面 ，故 //平面 ，即证.
（2）连接 ，如下图所示：
因为 点为 中点，故
AD P ,PN PM
OAD ,M P ,OA AD
PM OD
ABCD ,P N ,AD BC
PN CD
PM PN P∩ = ,PM PN ⊂ PMN
OD CD D∩ = ,OD DC ⊂ ODC
PMN ODC
MN ⊂ PMN MN ODC
,BM BD
N BC 1 12BN BC= =
1 1 1 2 12 2BNDS BN DC= × × = × × =
又因为 平面 ，且
故 .
又在 中，容易知 ，
故 边上的高为 ，
故 .
设点 到平面 的距离为 ，
则
解得 .
故点 到平面 的距离为 .
MA ⊥ ABCD 1 12MA OA= =
1 1
3 3M BND BNDV S MA− = × =
MND 5, 5, 6DN MD MN= = =
MN 14
2
21
2MNDS =
B MND h
1 1
3 3B MND M BND MNDV V S h− −= = × × =
2 21
21h =
B MND 2 21
21
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