文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷 选择题（60 分）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
2．已知复数 ，则
A． B．3 C．1 D．
3．命题“ ”的否定是
A． B．
C． D．
4．等差数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则 的值等于
A． B． C． D．
5．在△ABC 中，设三边 AB，BC，CA 的中点分别为 E，F，D，则 ＝
A． B． C． D．
6．已知 ，则
1 2iz i
+= | |z =
5 2 i−
{ }na n nS 3 12S = 6 51S = 9S
66 90 117 127
EC FA +
BD BD2
1 AC AC2
1
tan 2θ =
( )
( )
sin cos2
sin sin2
π θ π θ
π θ π θ
+ − − = + − −
A． B． C． D．
7．函数 为奇函数的充要条件是
A． B． C． D．
8．已知 为直线， 平面，则下列说法正确的是
① ，则 ② ，则
③ ，则 ④ ，则
A．①②③ B．②③④ C．①③ D．①④
9．函数 在区间 上的最大值与最小值的差记为 ，若
恒成立，则的取值范围是
A． B． C． D．
10．已知 是 上的偶函数，且在 上单调递减，则不等式 的解集
为
A． B． C． D．
11．已知三棱锥 中， ， ， ，若该三
棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为
A． B． C． D．
12．双曲线 的右焦点为 ， 为双曲线 上的一点，且位于第一
象限，直线 分别交于曲线 于 两点，若 为正三角形，则直线 的斜
率等于
A． B． C． D．
第 II 卷 非选择题（90 分）
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．设函数 ，则 ____________.
2 2− 0 2
3
( ) 2
1 1
a xf x x
−= + −
0 1a< < 1a> 0 1a< ≤ 1a ≥ , ,a b c , ,α β γ ,a bα α⊥ ⊥ / /a b ,α γ β γ⊥ ⊥ α β⊥ / / , / /a bα α / /a b // , //α γ β γ / /α β ( ) 1 xf x x = − [ ]2,5 max minf − max minf −− 2 2a a≥ − 1 3 2 2 ， [ ]1, 2 [ ]0,1 [ ]1,3 ( )f x R [ )0,+∞ ( ) ( )ln 1f x f>
( )1e ,1− ( )1e ,e− ( ) ( )0,1 e,∪ +∞ ( ) ( )10,e 1,− ∪ +∞
A BCD− 5AB CD= = 2= =AC BD 3AD BC= =
3
2
π
24π 6π 6π
( )2 2
2 2: 1 , 0x yC a ba b
− = > F P C
,PO PF C ,M N ∆POF MN
2 2− − 3 2− 2 2+ 2 3− −
( )2 2: 1 1M x y+ + = ( )2 2: 1 9N x y− + = P M
N P C
C
( )1y k x= − C ,R S x T k
OTS OTR∠ = ∠
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系 中，曲线 （ 为参数， ）.在以 为极点， 轴正半
轴为极轴的极坐标系中，直线 .
（I）若 与曲线 没有公共点，求 的取值范围；
（II）若曲线 上存在点到 距离的最大值为 ，求 的值.
23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
已知函数 ,
(I)解不等式
(II)若对于 ,有 ,求证: .
xOy cos ,: sin
x tC y
α
α
=
=
α 0t > O x
: cos 24l
πρ θ − =
l C t
C l 1 6 22
+ t
( ) 2 1,f x x x= − ∈R
( ) 1f x x< + ,x y ∈ R 1 11 , 2 13 6x y y− − ≤ + ≤ ( ) 1f x sin sin 3B B
π = −
1 3sin sin cos2 2B B B= − tan 3B=−
( )0,B π∈ 2
3B
π=
1 1 2 3sin sin 32 2 3 4ABCS ac B ac ac
π= = = =△ 4ac =
1 1 34 62a c ac a c
+ = + = × =
( )22 2 2 22 cos 36 1 4 2b a c ac B a c ac a c ac= + − = + + = + − = − =
AA′⊥ ABC ACC A′ ′
M CC′ 6AA CC′ ′= =
6
2C M′ = 1BC= 30BAC∠ = ° 90ACB∠ = °
3AC AC′ ′= = C M A C
A C AA
′ ′ ′=′ ′ ′
∵ ，∴ 与 相似
∴ ，∴
∴
∵ ，∴ 平面 ，
∴ 平面
∵ 平面 ，∴
∴ 平面 ，∴
（2）在 中， ， ，
所以 ．由（1）知 平面
由于四边形 是矩形，所以 ．
∴ ．
20．（1）解： ，
①若 时， 在 上单调递减；②若 时，当 时，
单调递减；当 时， 单调递增；
综上，若 时， 在 上单调递减；
若 时， 在 上单调递减；在 上单调递增；
（2）证明：要证 ，只需证 ，
由（1）可知当 时， ，即 ，
当 时，上式两边取以为底的对数，可得 ，
用 代替 可得 ，又可得 ，所以 ，
MC A C A A′ ′ ′ ′∠ = ∠ MC A′ ′∆ CAA′ ′∆
C A M A AC′ ′ ′ ′∠ = ∠ 90A AC AA M′ ′ ′∠ + ∠ = °
A M AC′ ′⊥
90ACB∠ = ° BC⊥ ACC A′ ′
B C′ ′ ⊥ ACC A′ ′
AM′ ⊂ ACC A′ ′ B C A M′ ′ ′⊥
AM′ ⊥ AB C′ ′ AM AB′ ′⊥
ABC∆ 1BC= 90ACB∠ = ° 30BAC∠ = °
3AC = B C′ ′ ⊥ ACC A′ ′
ACC A′ ′ 1 1 36 3 32 2 2MA AS AA AC′∆ ′= ⋅ = ⋅ ⋅ =
1 1 3 33 13 3 2 2A AMB B A MA A MAV V S B C′ ′ ′ ′ ′− − ∆ ′ ′= = ⋅ = × × =
( ) ( ) ( ), 1ax xg x f ax x a e x a g x ae= − − = − =′− −
0a≤ ( ) ( )0,g x g x′ < R 0a > 1 lnx aa
< − ( ) ( )0,g x g x′ < 1 lnx aa > − ( ) ( )0,g x g x′ >
0a≤ ( )g x R
0a > ( )g x 1, lnaa
−∞ −
1 ln ,aa
− +∞
( ) 3 4lnf x x x x
+ + > ( )ln 4 3 0xx x e x+ − + >
1a= 1 0xe x− − ≥ 1xe x≥ +
1 0x + > ( )ln 1 ( 1)x x x+ ≤ > −
1x− x ln 1( 0)x x x≤ − > 1 1ln 1( 0)xx x
≤ − > 1ln 1 ( 0)x xx
≥ − >
( ) 1ln 4 3 1 1 3 4xx x e x x x xx
+ − + > − + + + −
，
即原不等式成立.
21．解：（1）得圆 的圆心为 ，半径 ；圆 的圆心 ，半径 .
设圆 的圆心为 ，半径为 .因为圆 与圆 外切并与圆 内切，所以
由椭圆的定义可知，曲线 是以 为左右焦点，长半轴长为 2，短半轴为 的椭圆（左
顶点除外），其方程为
（2）假设存在 满足 .设
联立 得 ，由韦达定理有
①，其中 恒成立，
由 （显然 的斜率存在），故 ，即 ②，
由 两点在直线 上，故 代入②得：
即有
③
将①代入③即有： ④，要使得④与 的取
值无关，当且仅当“ ”时成立，综上所述存在 ，使得当 变化时，总有
22．解：（1）因为直线 的极坐标方程为 ，即 ，
( )22 2 2 4 1 4 1x x x x x= + + − = + − + ( ) ( )2 2
2 4 1 2 1 0x x x≥ − + = − ≥
M ( )1,0M − 1 1r = N ( )1,0N 2 3r =
P ( ),P x y R P M N
1 2 1 2 4PM PN R r r R r r+ = + + − = + =
C ,M N 3
( )2 2
1 24 3
x y x+ = ≠ −
( ),0T t OTS OTR∠ = ∠ ( ) ( )1 1 2 2, , ,R x y S x y
( )
2 2
1{
3 4 12 0
y k x
x y
= −
+ − = ( )2 2 2 23 4 8 4 12 0k x k x k+ − + − =
2
1 2 2
2
1 2 2
8
3 4{
4 12
3 4
kx x k
kx x k
+ = +
−= +
0∆ >
OTS OTR∠ = ∠ ,TS TR 0TS TRk k+ = 1 2
1 2
0y y
x t x t
+ =− −
,R S ( )1y k x= − ( ) ( )1 1 2 21 , 1y k x y k x= − = −
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
1 2 1 21 2 2 1
1 2 1 2
2 1 21 1 0
k x x t x x tk x x t k x x t
x t x t x t x t
− + + +− − + − − = =− − − −
( )( )1 2 1 22 1 2 0x x t x x t− + + + =
( ) ( )2 2 2
2 2
8 24 1 8 2 3 4 6 24 03 4 3 4
k t k t k t
k k
− − + + + −= =+ + k
4t = ( )4,0T k OTS OTR∠ = ∠
l cos 24
πρ θ − = cos sin 2ρ θ ρ θ+ =
所以直线 的直角坐标方程为 ；因为 （ 参数， ）
所以曲线 的普通方程为 ，
由 消去 得， ，
所以 ，解得 ，故 的取值范围为 .
（2）由（1）知直线 的直角坐标方程为 ，
故曲线 上的点 到 的距离 ，
故 的最大值为 由题设得 ，解得 .又因为 ，
所以 .
23．解：(1)不等式 f(x)＜x+1,等价于|2x﹣1|＜x+1,即﹣x﹣1＜2x﹣1＜x+1,
求得 0＜x＜2,故不等式 f(x)＜x+1 的解集为(0,2).
(2) ,
所以 f(x)=|2x﹣1|=|2(x﹣y﹣1)+(2y+1)|≤|2(x﹣y﹣1)|+|(2y+1)|≤2 + ＜1.
l 2x y+ = ,x tcos
y sin
α
α
=
=
α 0t >
C
2
2
2 1x yt
+ =
2
2
2
2,
1,
x y
x yt
+ = + =
x ( )2 2 21 4 4 0t y y t+ − + − =
( )( )2 216 4 1 4 0t t∆ = − + − < 0 3t< < t ( )0, 3 l 2 0x y+ − = C ( )cos ,sint α α l cos sin 2 2 td α α+ −= d 2 1 2 2 t + + 2 1 2 1 6 222 t + + = + 2t = ± 0t >
2t =
1 11 , 2 13 6x y y− − ≤ + ≤因为
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