高三下学期 4 月模拟考试
数学试题（文）
时间：120 分钟 满分：150 分
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知 ，则复数 在复平面上所对应的点位于（ ）
A．实轴上 B．虚轴上 C．第一象限 D．第二象限
3．若 为两条不同的直线， 为平面，且 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分
也不必要条件
4．如图，在一个棱长为 2 的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周
与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，
则“鱼食落在圆锥外面”的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．下列函数中，其图像与函数 的图像关于直线 对称的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量 ，则 在 方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
7．设 、 、 是三个不同的平面， 、 、 是三条不同的直线，已知 ，
， .给出如下结论：
①若 ，则 ；②若 ，则 ；
{ }2, 1,0,1,2A = − − { }|B x y x= = − A B =
{ }1,2 { }0,1,2 { }2, 1− − { }2, 1,0− −
11
zi ii
= +− z
l m， α l α⊥ //m α m l⊥
π1 4
− π
12
π
4
π1 12
−
lny x= 1x =
ln(1 )y x= − ln(2 )y x= − ln(1 )y x= + ln(2 )y x= +
( ) ( )4, 7 , 3, 4a b= − = − 2a b− b
2 2− 2 5− 2 5
α β γ a b c aα β∩ =
bβ γ = cα γ∩ =
/ /a b / /b c a b A= b c A=③若 ， ，则 ， ；④若 ， ，则 ， .
其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知 满足 ， 的最大值为 ，则直线
过定点（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数 ，则下列判断错误的是（ ）
A． 为偶函数 B． 的图像关于直线 对称
C． 的值域为 D． 的图像关于点 对称
10．抛物线 的焦点 是椭圆 的一个焦点，且它们的交点 到
的距离为 ，则 的值为（ )
A. 4 B. 2 C. D.
11．已知函数 f(x)＝ ，若函数 g(x)＝f(x)－ax 恰有 2 个零点，则 a 的取值
范围是（ ）
A.(1，＋∞) B.[1.2] C.[1，2) D.(0，2)
12．若函数 f(x)=alnx-ex 有极值点,则实数 a 的取值范围是（ ）
A (-e,+∞) B (1,e) C (1,+∞) D (0,+∞)
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则
= ．
14．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 5 次试验，根
据收集到的数据（如表），
ba ⊥ b c⊥ α β⊥ α γ⊥ α β⊥ α γ⊥ ba ⊥ b c⊥
,x y
2 0
2 0
8 0
x
y
x y
− ≥
− ≥
+ − ≤
( )0z ax by a b= + > > 2 1 0ax by+ - =
( )3,1 ( )1,3− ( )1,3 ( )3,1−
( ) 22cos 2 3sin 46 3f x x x
π π = + + +
( )f x ( )f x
4x
π=
( )f x [ ]1,3− ( )f x ,08
π −
2 4y x= F
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > M
F 5
3
a
3
1
9
1
( )n 2 0
0,
1
1
l
x x
x x
e
+ >
≤
−
，
)(xf R 0>x xxxf 4log)( 2 += )2
1(−f零件数 个 10 20 30 40 50
加工时间 62 75 81 89
由最小二乘法求得回归直线方程 .由于后期没有保存好，导致表中有一个数
据模糊不清，请你推断出该数据的值为
15．已知球的直径 SC＝2。A，B 是该球球面上的两点，AB＝ ，∠ASC＝∠BSC＝45°，
则棱锥 S－ABC 的体积为 。
16．在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，已知 c＝4，(2a＋b)cosC＋ccosB＝
0。则△ABC 面积的最大值是 。
三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12 分）某高校在 2019 的自主招生考试中，考生笔试成绩分布在 ，随机抽取 200
名考生成绩作为样本研究，按照笔试成绩分成 5 组，第 1 组成绩为 ，第 2 组成绩为
，第 3 组成绩为 ，第 4 组成绩为 ，第 5 组成绩为 ，
样本频率分布直方图如下：
（1）估计全体考生成绩的中位数；
（2）为了能选拨出最优秀的学生，该校决定在笔试成绩高的第 3，4，5 组中用分层抽样抽取
6 名学生进入第二轮面试，从这 6 名学生中随机抽取 2 名学生进行外语交流面试，求这 2 名学
生均来自同一组的概率．
18．（12 分）已知数列 是等比数列， ， 是 和 的等差中项.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
19．（12 分）如图，平面 平面 ，四边形 是菱形， ，
x
(min)y
546.0ˆ += xy
2
[ ]160,185
[ )160 165,
[ )165 170, [ )170 175, [ )175,180 [ ]180,185
{ }na 2 4a = 3 2a + 2a 4a
{ }na
22log 1n nb a= − { }n na b n nT
ACEF ⊥ ABCD ABCD 60ABC∠ = ， ， . （1）求四棱锥 的体积；
（2）在 上有一点 ，使得 ，求 的值.
20．（12 分）在平面直角坐标系 中，抛物线 ： ，直线 与 交于
， 两点， .
（1）求 的方程；
（2）斜率为 （ ）的直线 过线段 的中点，与 交于 两点，直线
分别交直线 于 两点，求 的最大值.
21．（12 分）已知函数 .
（1）若 是定义域上的增函数，求 的取值范围；
（2）设 ， 分别为 的极大值和极小值，若 ，求 的取值范围.
(二)、选考题：共 10 分．请考生从 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题
计分．
22.（10 分）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为: ( 为参数)，
以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为
.
（1）求 的极坐标方程；
（2）若直线 与曲线 相交于 两点，求 .
23.（10 分）已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
/ /AF CE AF AC⊥ 2 1AB AF CE= = = B ACEF−
BF P / /AP DE BP
PF
xOy C 2 2 ( 0)x py p= > y x= C
O T | | 4 2OT =
C
k 10 2k< ≤ l OT C ,A B ,OA OB
2y x= − ,M N | |MN
( ) 2ln ( )af x ax x a Rx
= − − ∈
( )f x a
3
5a > ,m n ( )f x S m n= − S
xoy 1C
=
+=
α
α
sin5
cos51
y
x α
o x 2C
)(4 R∈= ρπθ
1C
2C 1C NM , MN
21)( −−++−= xaxxxf
1=a 0)( >xf（2）设 ，且存在 ，使得 ，求 的取值范围.1−>a [ )1,0 ax −∈ 0)( 0 ≤xf a高三 4 月考试数学试题（文）
时间：120 分钟 满分：150 分
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
DBAAB BDADB CD
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13． -1 14．53 15． 16．
三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17． 【解析】（1）样本中位数为 ，从频率分布直方图可知 ，
从而有 ，解得 ,
故全体考生成绩的中位数约为 172.50． ………………5 分
（2）记 A 为事件“这两名学生均来自同一组”，用分层抽样第 3 组抽取 2 人，第 4 组抽取 3 人，
第 5 组抽取 1 人， 记第 3 组学生为 ，第 4 组学生为 ，第 5 组学生为 ；
从这 6 人中抽取 2 人有 15 种方法，分别为：
其中事件 A 共有 4 种，为
由古典概型公式得 ,故这两名学生均来自同一组的概率为 ．………………12 分
18．【解析】（1）设数列 的公比为 ，因为 ，所以 ， ．
因为 是 和 的等差中项，所以 ．即 ，化简
得 ．
因为公比 ，所以 ．所以 （ ）．………………6
分
（2）因为 ，所以 ． ．
0x [ )0 170,175x ∈
( )00.05 0.35 170 0.04 0.5x+ + − × = 0 172.50x =
1 2,a a 1 2 3, ,b b b c
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 1 2 1 3 1 2 1 2 2 2 3 2
1 2 1 3 1 2 3 2 3
, , , , , , , , , , , , , , , , , ,
, , , , , , , , , , , ,
a a a b a b a b a c a b a b a b a c
b b b b b c b b b c b c
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 3 2 3, , , , , , ,a a b b b b b b
( ) 4
15P A = 4
15
{ }na 2 4a = 3 4a q= 2
4 4a q=
3 2a + 2a 4a ( )3 2 42 2a a a+ = + ( ) 22 4 2 4 4q q+ = +
2 2 0q q− =
0q ≠ 2q = 2 2
2 4 2 2n n n
na a q − −= = × = *n N∈
2n
na = 22log 1 2 1n nb a n= − = − ( )2 1 2n
n na b n= −则 ，①
.②
①－②得，
， 所 以
．………………12 分
19．【解析】（1）∵四边形 是菱形，∴ ，
又∵平面 平面 ,平面 平面 , 平面
∴ 平面 ，在 中, ,设 ,计算得
，在梯形 中,
梯 形 的 面 积 ， ∴ 四 棱 锥 的 体 积 为
.………………6 分
（2）在平面 内作 ,且 ,连接 交 于 ，则点 满足 ,
证明如下：∵ ,∴ ,且 ,
∴四边形 是平行四边形.∴ ,
又菱形 中, .∴ ,
∴四边形 是平行四边形 ,∴ ,即 .
∵ ,∴ ,又 ,∴ .
………………12 分
( ) ( )2 3 11 2 3 2 5 2 2 3 2 2 1 2n n
nT n n−= × + × + × +⋅⋅⋅+ − + −
( ) ( )2 3 4 12 1 2 3 2 5 2 2 3 2 2 1 2n n
nT n n += × + × + × +⋅⋅⋅+ − + −
( )2 3 12 2 2 2 2 2 2 2 1 2n n
nT n +− = + × + × + ⋅⋅⋅+ × − −
( ) ( ) ( )
1
1 14 1 2
2 2 2 1 2 6 2 3 21 2
n
n nn n
−
+ +
−
= + × − − = − − −−
( ) 16 2 3 2n
nT n += + −
ABCD BD AC⊥
ACEF ⊥ ABCD ACEF ∩ ABCD AC= BD ⊂ ABCD
BD ⊥ ACEF ABC∆ 60 , 2ABC AB∠ = ° = BD AC O∩ =
2, 3AC BO= = ACEF / / , , 2, 1AF CE AF AC AC AF CE⊥ = = =
ACEF ( )1 1 2 2 32S = × + × = B ACEF−
1 1 3 3 33 3V S BO= × × = × × =
ABF / /BM AF 1BM = AM BF P P / /AP DE
/ / , 1AF CE CE = / /BM CE BM CE=
BMEC / / ,BC ME BC ME=
ABCD / / ,BC AD BC AD= / / ,ME AD ME AD=
ADEM / /AM DE / /AP DE
/ /BM AF BPM FPA∆ ∼ ∆ 1BM = 1
2
BP BM
PF AF
= =20．【解析】（1）由方程组 得 ，解得 ，
所以 ，则 ，又 ，所以 ，故 的
方程为 .………………5 分
（2）由（1） ，则线段 的中点坐标 ，
故直线 的方程为 ，由方程组 得 ，设
，则 ，
直线 的方程 ，代入 ，解得 ，所以 ，同理
得 ，所以
.因为 ，所以 ，当
时， 取得最大值 . ………………12 分
21．【解析】（1） 的定义域为 ，
∵ 在定义域内单调递增，∴ ，即 对 恒成立.
则 恒 成 立. ∴ ，∵ ， ，∴ .所 以 ， 的 取 值 范 围 是
.………………5 分
（2）将 表示为关于 的函数，由 且 ，得
2 2
y x
x py
=
=
2 2 0x px− = 1 20, 2x x p= =
( ) ( )0,0 , 2 ,2O T p p 2 2OT p= 2 2 4 2OT p= = 2p = p
2 4x y=
( ) ( )0,0 , 4,4O T OT ( )2,2
l ( )2 2y k x− = − 2
2
4
y kx k
x y
= + −
=
2 4 8 8 0x kx k− + − =
2 2
1 2
1 2, , ,4 4
x xA x B x
1 2 1 24 , 8 8x x k x x k+ = = −
OA 1
4
xy x= 2y x= −
1
8
4x x
= −
1
1 1
28 ,4 4
xM x x
− −
2
2 2
28 ,4 4
xN x x
− −
( )
( )( )
( )
( )
2
1 2 1 21 2
1 2 1 2 1 2 1 2
8 488 82 2 24 4 4 4 16 4
x x x xx xMN x x x x x x x x
+ −−= − = =− − − − − + +
( )
( ) ( )
2
2
8 16 32 1 12 4 2 116 16 8 1 1
k k
k k k
− −
= = +− + − −
10 2k< ≤ 8 4 10MN< <
1
2k = MN 4 10
( )f x ( )0, ∞+ ( ) 2
2 2
2 2a ax x af x a x x x
− +′ = + − =
( )f x ( ) 0f x′ ≥ 2 2 0ax x a− + ≥ 0x >
2
2
1
xa x
≥ + 2
max
2
1
xa x
≥ + 2
2 11
x
x
≤+ 1a ≥ a
[ )1,+∞
S 1x 24 4 0a∆ = − > 3
5a > 3 15 a<
微信/支付宝扫码支付