高三下 4 月模拟考试
数学（理）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．已知 ，则复数 在复平面上所对应的点位于（ ）
A．实轴上 B．虚轴上 C．第一象限 D．第二象限
2．已知集合 ，集合 ，则集合 中元素的个数为
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．已知命题 ： ，则 ；命题 ： ， ，则下列判断正确的是
（ ）
A． 是假命题 B． 是假命题 C． 是假命题 D． 是真命题
4．下列函数中，其图象与函数 的图象关于点 对称的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知数列 中， ， ，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
6．函数 的部分图象如图所示，现将此图象向左平
移 个单位长度得到函数 的图象，则函数 的解析式为（ ）
A． B． C．
11
zi ii
= +− z
{ }1,2,3A = { }, ,B z z x y x A y A= = − ∈ ∈ B
p a b> 2 2a b> q x R∀ ∈ 2 1 0x x+ + >
p¬ q p q∨ ( )p q¬ ∧
lgy x= ( )1,0
( )lg 1y x= − ( )lg 2y x= − ( )0.1log 1y x= − ( )0.1log 2y x= −
{ }na 1 1a = 2 2a = ( )2 1n n na a a n N ∗
+ +⋅ = ∈ 2019a
2 1 1
2
1
4
( ) cos( )( 0, 0,| | )f x A x Aω φ ω φ π= + > > <
12
π ( )g x ( )g x
( ) 2sin2=−g x x 7( ) 2cos 2 12g x x
π = − ( ) 2sin 2g x x=D．
7．执行如图的程序框图，已知输出的 。若输入的 ，则实数 的最大值
为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知双曲线 C： （ ， ）的右焦点为 ，点 A、B 分别在直线
和双曲线 C 的右支上，若四边形 （其中 O 为坐标原点）为菱形且其面积为
，则 ( )
A． B． C．2 D．
9．2019 年成都世界警察与消防员运动会期间，需安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去
三个场馆参与服务工作，要求每个场馆至少一人，则甲乙被安排到同一个场馆的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．已知三棱锥 的外接球的表面积为 ， ，则三棱锥
体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
11．定义在 上的偶函数 满足 ，且当 时， ，函
5( ) 2cos 2 6g x x
π = −
[ ]0,4s∈ [ ],t m n∈ n m−
2 2
2 2 1x y
a b
− = 0a > 0b > ( ),0F c
2ax c
= − OABF
3 15 a =
3 5 6
, ,A B C
1
12
1
8
1
6
1
4
D ABC− 128π 4, 4 2AB BC AC= = =
D ABC−
27
32
10 8 6
3
+ 16 6
3
+ 32 2 16 6
3
+
R ( )f x ( 1) ( 1)f x f x− = + [ 1,0]x∈ − 2( )f x x=数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则函数 的零
点的的个数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
12．已知直线 不过坐标原点 ，且与椭圆 相交于不同的两点 的
面积为 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．不能确定
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．设函数 ，则 的值为__________．
14．已知平面向量 满足 ， ， ，则 与 的夹角为
__________．
15．设 满足约束条件 且 的最小值为 7，则 ＝__________．
16．在各项均为正数的等比数列 中， ，当 取最小值时，则数列 的前
项和为__________．
三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12 分）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，
， ， 且 的面积为 .
（1）求 ；
（2）求 的周长 .
18．（12 分）如图， 是半圆 的直径， 是半圆 上除点 外的一个动点， 垂直
于 所在的平面，垂足为 ， ，且 ， .
（1）证明：平面 平面 ；
( )g x R 0x > ( ) lgg x x= ( ) ( ) ( )h x f x g x= −
l O
2 2
: 14 3
x yC + = , ,A B OAB∆
3 2 2OA OB+
4 7 3
( ) ( )
( ) ( )
2 2 , 0
3 , 0
xx xf x f x x
− ≤= − >
( )5f
a b ， (1, 1)a = − | | 1b = 2 2a b+ = a b
x y、 ,1
x y a
x y
+ ≥
− ≤ −
z x ay= + a
{ }na 3 1 8a a− = 4a 2{ }nna n
ΔABC A B C a b c
( )( ) ( )sin sin sin sinA B a b c C B+ − = − 2 7a = ABC△ 6 3
A
ABC△
AB O C O ,A B DC
O C / /DC EB 1DC EB= = 4AB =
ADE ⊥ ACD（2）当 为半圆弧的中点时，求二面角 的余弦值.
19．（12 分）已知点 到直线 的距离比点 到点 的距离多 .
（1）求点 的轨迹方程；
（2）经过点 的动直线 与点 的轨迹交于 ， 两点，是否存在定点 使得
？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
20．（12 分）已知函数 .
（1）若 是定义域上的增函数，求 的取值范围；
（2）设 ， 分别为 的极大值和极小值，若 ，求 的取值范围.
21．(12 分）有人玩掷均匀硬币走跳棋的游戏，棋盘上标有第 0 站（出发地），第 1 站，第 2
站，……，第 100 站. 一枚棋子开始在出发地，棋手每掷一次硬币，这枚棋子向前跳动一次，
若掷出正向，棋子向前跳一站，若掷出反面，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第 99 站（获胜）
或跳到第 100 站（失败）时，该游戏结束. 设棋子跳到第 站的概率为 .
（1）求 ， ， ，并根据棋子跳到第 站的情况写出 与 、 的递推关系式
（ ）；
（2）求证：数列 为等比数列；
（3）求玩该游戏获胜的概率.
(二)、选考题：共 10 分．请考生从 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题
计分．
22．【极坐标与参数方程】（10 分）
在直角坐标系 中，曲线 C 的参数方程为 (t 为参数)，以坐标原点 O 为极点，x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ．
（1）求 C 的普通方程和 的直角坐标方程；
（2）求 C 上的点到 距离的最大值．
23．【选修 4-5：不等式选讲】（10 分）
C D AE B− −
P 3y = − P ( )0,1A 2
P
( )0,2Q l P M N R
MRQ NRQ∠ = ∠ R
( ) 2ln ( )af x ax x a Rx
= − − ∈
( )f x a
3
5a > ,m n ( )f x S m n= − S
n nP
0P 1P 2P n nP 1nP − 2nP −
2 99n≤ ≤
{ }1n nP P −− ( 1,2,3, ,100)n =
xOy
2
2
2
1
1
2
1
tx t
ty t
－＝ ，＋
＝ ＋
l cos 3 sin 4 0ρ θ ρ θ＋ ＋ ＝
l
l已知 ， ， 为一个三角形的三边长.证明：
（1） ；
（2） .
a b c
3b c a
a b c
+ + ≥
( )2
2a b c
a b c+ +
>+ +高三 4 月考试数学试题答案（理 ）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．
1-5BBDDA 6-10CDACD 11-12CC
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13． -16 14． 15． 16．
16.【解析】等比数列 中， ，所以 ， ，令
，则 ，令 ，解得 ，因为
各项均为正数的等比数列 ，所以 ，当 时， ，当 时，
，
所以在 时 取得最小值，设 ，代入 化简可得
，
所以 ，
，
，
两式相减得 ，
， ， .
三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17 ． 【 解 析 】 （ 1 ） ， 由 正 弦 定 理 可 得 ：
， 即 ： ， 由 余 弦 定 理 得
. …………………6 分
3
4
π
2 2 (8 4)3 4n
nS n= − +
{ }na 3 1 8a a− = 1 2
8
1a q
= −
3
3
4 1 2
8
1
qa a q q
= = −
( ) 3
2
8
1
qf q q
= −
( ) ( )
( )
2 23
42 2
8 38' '1 1
q qqf q q q
− = = − −
( )' 0f q = 3q = ±
{ }na 3q = 3q < ( )' 0f q < 3q >
( )' 0f q >
3q = ( ) 3
4 2
8
1
qa f q q
= = −
2
n nb na= 3q =
116 3n
nb n −= ×
1 2 3 2 1n n n nS b b b b b b− −= + + +⋅⋅⋅ + +
( ) ( )0 1 2 3 2 116 1 3 2 3 3 3 2 3 1 3 3n n n
nS n n n− − − = × + × + × +⋅⋅⋅+ − × + − × + ×
( ) ( )1 2 3 2 13 16 1 3 2 3 3 3 2 3 1 3 3n n n
nS n n n− − = × + × + × +⋅⋅⋅+ − × + − × + ×
( )1 2 3 2 12 16 1 3 3 3 3 3 3n n n
nS n− −− = + + + +⋅⋅⋅+ + − ×
1 32 16 31 3
n
n
nS n
−− = − × − 8 3 4 3 4n n
nS n= × − × + ( )8 4 3 4n
nS n= − × +
( )( ) ( )sin sin sin sinA B a b c C B+ − = − ∴
( )( ) ( )a b a b c c b+ − = − 2 2 2b c a bc+ − =
( )1cos , 0,2 3A A A
ππ= ∈ ∴ =（2 ）∵ ， 所 以 ， ， 又 ， 且
， ， ， 的 周 长 为
. …………………12 分
18．【解析】（1）证明：因为 是半圆 的直径，所 .因为 垂直于 所在
的平面， ，
所以 ，所以 平面 .因为 ，且 ，所以四边形
为平行四边形.所以 ，所以 平面 ，因为 平面 ，所以平面
平面 . ………6 分
（2）由题意， ， 、 、 两两互相垂直，建立如图所示空间直角
坐标系.
则 ， ， ， ，所以 ，
， ， .设平面 的一个法向量为
，
则 即 令 ，则 .
设平面 的一个法向量为 ，则 即
则 ，则 .
因 为 二 面 角 是 钝 角 ， 所 以 二 面 角 的 余 弦 值 为
. …………………12 分
19．【解析】（1）由题知， 点 到直线 的距离，故 点的轨迹是以 为焦点、
3A
π= 1 sin 6 32 3ABCS bc
π
∆ = = 24bc∴ = 2 2 2b c a bc + − =
2 7a = ( )2 23 100b c bc a∴ + = + = 10b c∴ + = ABC∴∆
10 2 7+
AB O BC AC⊥ DC O
BC O⊂
DC BC⊥ BC ⊥ ACD / /DC EB 1DC EB= = BCDE
/ /BC DE DE ⊥ ACD DE ⊂ ADE
ADE ⊥ ACD
2 2AC BC= = CA CB CD
(0,0,1)D (0,2 2,1)E (2 2,0,0)A (0,2 2,0)B ( 2 2,2 2,0)AB = −
(0,0,1)BE = (0,2 2,0)DE = (2 2,0, 1)DA = − DAE
( )1 1 1 1, ,n x y z=
1
1
0,
0,
n DE
n DA
⋅ = ⋅ =
1
1 1
2 2 0,
2 2 0,
y
x z
=
− = 1 1x =
1 (1,0,2 2)n =
ABE ( )2 2 2 2, ,n x y z= 2
2
0,
0,
n BE
n AB
⋅ = ⋅ =
2
2 2
0,
2 2 2 2 0,
z
x y
=− + =
2 (1,1,0)n = 1 2
1 2
1 2
1 2cos , 69 2
n nn n
n n
⋅= = =
⋅
D AE B− − D AE B− −
2
6
−
PA = P 1y = − P A为准线的抛物线，所以其方程为 ；…………………5 分
（2）根据图形的对称性知，若存在满足条件的定点 ，则点 必在 轴上，可设其坐标为
.
此时 ，设 ， ，则
，
由题知直线 的斜率存在，设其方程为 ，与 联立得 ，
则 ， ，
，
故 ，即存在满足条件的定点 . ………………12 分
20．【解析】（1） 的定义域为 ，
∵ 在定义域内单调递增，∴ ，即 对 恒成立.
则 恒成立. ∴ ，∵ ，，∴ .
所以， 的取值范围是 . …………………5 分
（2）将 表示为关于 的函数，由 且 ，得 ，
设方程 ，即 得两根为 ， ，且 .
则 ， ，∵ ， ,∴ ,∴ ,
，
1y = − 2 4x y=
R R y
( )0,r
0MR NRMRQ NRQ k k∠ = ∠ ⇔ + = ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y
1 2
1 2
0y r y r
x x
− −+ =
l 2y kx= + 2 4x y= 2 4 8 0x kx− − =
1 2 4x x k+ = 1 2 8x x = −
1 2 1 2
1 2 1 2
2 2y r y r kx r kx r
x x x x
− − + − + −+ = + ( )( ) ( )1 2
1 2
2 22 2 02
r x x k rk kx x
− + −= + = − =
2r = − ( )0, 2R −
( )f x ( )0, ∞+ ( ) 2
2 2
2 2a ax x af x a x x x
− +′ = + − =
( )f x ( ) 0f x′ ≥ 2 2 0ax x a− + ≥ 0x >
2
2
1
xa x
≥ + 2
max
2
1
xa x
≥ + 2
2 11
x
x
≤+ 1a ≥
a [ )1,+∞
S 1x 24 4 0a∆ = − > 3
5a > 3 15 a< <
( ) 0f x′ = 2 2 0ax x a− + = 1x 2x 1 20 x x< <
( )1m f x= ( )2n f x= 1 2 1=x x 1 2
2x x a
+ = 1
1
1 2 102 3x x a
< + = <
1
1 13 x< <
1 1 2 2
1 2
2ln 2lna aS m n ax x ax xx x
= − = − − − − −
1 1 1 1 1 1
1 1 1
2ln 2ln 2 2lna a aax x ax x ax xx x x
= − − − − + = − −
∵ ,
∴ 代入得 ,
令 ，则 ，得 ， ，则 ,
, ∴ 而且 上递减，从而 ,
即 , ∴ . ………………12 分
21．【解析】（1）棋子开始在第 0 站是必然事件， ；
棋子跳到第 1 站，只有一种情况，第一次掷硬币正面向上，
其概率为 ；棋子跳到第 2 站，有两种情况，①第一次掷硬币反面向上，其概率为
；②前两次掷硬币都是正面向上，其概率为 ；
依题意知，棋子跳到第 （ ）站有两种情况：
第一种，棋子先跳到 站，又掷出反面，其概率为 ；
第二种，棋子先跳到 站，又掷出正面，其概率为 .
∴ ………………6 分
（2）由（1）知， ， ，
又 ，数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.
（3）由（2）知， ，
∴
2
1 12 0ax x a− + =
1
2
1
2
1
xa x
= +
2 2
21 1
1 12 2
1 1
1 1 14 ln 4 ln1 1 2
x xS x xx x
− −= − = − + +
2
1x t= 1 19 t< < ( ) 1 1 ln1 2
tg t tt
−= −+
1 19 t< < ( )4S g t=
( ) ( )
( )
2
2
1 0
2 1
tg t
t t
− −′ = <
+
( )g t 1 ,19
( ) ( ) 11 9g g t g < <
( ) 40 ln3 5g t< < − 160 4ln3 5S< < −
0 1P∴ =
1 ,2 1
1
2P∴ =
1
2
1 1 1 ,2 2 4
× = 2
1 1 3
2 4 4P∴ = + =
n 2 99n≤ ≤
2n − 2
1
2 nP −
1n − 1
1
2 nP −
( )1 2
1 1 2 992 2n n nP P P n− −= + ≤ ≤
1 2
1 1
2 2n n nP P P− −= + ( )1 1 2
1
2n n n nP P P P− − −∴ − = − −
1 0
1
2P P− = − { }1 ( 1,2, ,100)n nP P n−− =
1
2
− 1
2
−
1
1
1 1 1
2 2 2
n n
n nP P
−
−
− = − − = −
( ) ( ) ( ) ( )99 0 1 0 2 1 3 2 99 98P P P P P P P P P P= + − + − + − + + −.
∴玩该游戏获胜的概率为 . ………………12 分
(二)、选考题：共 10 分．请考生从 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题
计分．
22.【答案】 （1）解：曲线 的参数方程为: 为参数)，
转换为普通方程为: ，
转换为极坐标方程为: .……………………5 分
（2）解：直线 的极坐标方程为 .转换为参数方程为: (为参数).
把直线的参数方程代入 ，
得到: ，( 和 为 ， 对应的参数)，
故: ， ，
所以 .………………………………10 分
23.【答案】 解：（1）当 时，不等式即 ，等价于
或 或
解得 或 或
即不等式 的解集为 .…………………………5 分
（2）当 时， ，不等式 可化为 ，
若存在 ，使得 ，则 ，
所以 的取值范围为 ……………………………………10 分
2 991 1 11 2 2 2
= + − + − + + −
100
100
11 2 12 11 3 21 2
− − = = − +
100
2 113 2
−
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