高三年级数学试卷 第 1 页（共 4 页） 高三年级数学试卷 第 2 页（共 4 页）
温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分。
考试时间 120 分钟。祝同学们考试顺利！
第Ⅰ卷 选择题（共 45 分）
注意事项:
1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。
3. 本卷共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分。
如果事件 互斥,那么 如果事件 相互独立,那么
.
柱体的体积公式 . 球体的体积公式 .
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）设全集 ， ， ，则 ( )
A． B． C． D．
（2）“ ”是“ ”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
（3）已知 表示不超过实数 的最大整数， 为取整函数， 是函数
的零点，则 （ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
（4）已知双曲线 的两条渐近线与抛物线
的准线分别交于 ， 两点．若双曲线 的离心率为 ，△AOB 的面积为 ，
为坐标原点，则抛物线 的焦点坐标为 ( )
A． B． C． D．
（5）某班 50 名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是：
[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].从样本成绩不低于 80 分的学生中随机
选取 2 人,记这 2 人成绩在 90 分以上
(含 90 分)的人数为 ξ,则 ξ 的数学期望为( )
A． B．
C． D．
（6）已知函数 ，给出下列四个结论，其中正确的结论是
（ ）.
A．函数 的最小正周期是
B．函数 在区间 上是减函数
C．函数 的图象关于 对称
D．函数 的图象可由函数 的图象向左平移 个单位得到
（7）函数 是定义在 上的奇函数，对任意两个正数 ，都有
，记 ， ， ，则 大小
关系为（ ）
A． B． C． D．
（8）国际高峰论坛，组委会要从 6 个国内媒体团和 3 个国外媒体团中选出 3 个媒体团进
行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能
连续提问，则不同的提问方式的种数为 ( )
A．378 B．306 C．268 D．198
（9）已知圆 的半径为 2， 是圆 上任意两点，且 ， 是圆 的一
条直径，若点 满足 （ ），则 的最小值为（ ）
A．-1 B．-2 C．-3 D．-4
• BA， • BA，
)()()( BPAPBAP += )()()( BPAPABP =
• ShV = • 3
3
4 RV π=
{ }3 3,I x x x Z= − < < ∈ { }1,2A = { }2,0,2B = − ( )IA C B =
{ }1,1,2− { }1 { }2 { }0,1,2
( )3 k k Z
πα π= + ∈ 3tan 6 3
πα − =
[ ]x x ( ) [ ]g x x= 0x
( ) ln 4f x x x= + − ( )0g x =
A B C 2 3 O
( 2,0) (1,0) ( 2 ,02 ) 1( ,0)2
1
3
1
2
2
3
3
4
2( ) sin 2 2sin 1f x x x= − +
( )f x 2π
( )f x 5,8 8
π π
( )f x
( )f x 2 sin 2y x=
4
π
( )f x R ( )1 2 1 2, ,x x x x<
( ) ( )1 2
1 2
f x f x
x x
> ( )225 0.2a f= ( )1b f= 5 1
3
log 3 log 5c f
= −
, ,a b c
c b a> > b c a> > a b c> > a c b> >
O ,P Q O 060POQ∠ = AB O
C ( )1OC OP OQλ λ= − + Rλ ∈ •CA CB 2C高三年级数学试卷 第 3 页（共 4 页） 高三年级数学试卷 第 4 页（共 4 页）
第Ⅱ卷 非选择题（共 105 分）
注意事项:
1. 用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。
2. 本卷共 11 小题，共 105 分。
二、填空题：本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卷上.
(10)已知 a 为实数，i 为虚数单位，若复数 z=(a2-1)+(a+1)i 为纯虚数，则 __ .
(11) 若 的展开式中 的系数为 -448，则实数 ____________.
(12) 已知一个体积为 8 的正方体内接于半球体，即正方体的上底面的四个顶点在球面上，
下底面的四个顶点在半球体的底面圆内.则该半球体的体积为 ．
(13) 函数 的图象在 处的切线被圆 截
得弦长为 ，则实数 的值为________.
(14）若 ， ，且 ，则此时 ，
的最小值为__________．
(15)已知函数 ，则 若方程
在区间[-2,4]有三个不等实根，则实数 的取值范围为 .
三、解答题：本大题共 5 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(16) (本小题满分 14 分)
在 中，内角 的对边分别为 ，
.
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）若 .求：
（ⅰ）边长 ;（ⅱ） 的值.
(17)(本小题满分 14 分)
如图所示，平面 ABCD⊥平面 BCEF，且四边形 ABCD 为矩形，
四边形 BCEF 为直角梯形，BF∥CE，BC⊥CE，DC=CE=4，
BC=BF=2．
(Ⅰ)求证：AF∥平面 CDE；
(Ⅱ)求平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的大小；
(Ⅲ)求直线 EF 与平面 ADE 所成角的余弦值．
(18) (本小题满分 15 分)
已知椭圆 C：x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的离心率为 2
2 ，左、右焦点分别为 F1、F2，以原点 O
为圆心，椭圆 C 的短半轴长为半径的圆与直线 x－y＋2＝0 相切．
（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；
（Ⅱ）设 Q 为椭圆 C 上不在 x 轴上的一个动点，过点 F2 作 OQ 的平行线交椭圆 C 于
M、N 两个不同的点，记△QF2M 的面积为 S1，△OF2N 的面积为 S2，令 S＝S1＋S2，
求 S 的最大值．
(19) (本小题满分 16 分)
数列 是等比数列，公比大于 ，前 项和 ， 是等差数列，已知
， ， ， .
（Ⅰ）求数列 的通项公式 ， ；
（Ⅱ）设 的前 项和为 ：
（ⅰ）求 ；
（ⅱ）若 ，记 ，求 Rn 的取值范围.
(20)(本小题满分 16 分)
已知函数 f(x)＝ ex，a，b∈R，且 a>0.
（Ⅰ）若函数 f(x)在 x＝－1 处取得极值 ，求函数 f(x)的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数 f(x)的单调区间；
（Ⅲ）设 g(x)＝a(x－1)e x－f(x)，g′(x)为 g(x)的导函数．若存在 x0∈(1，＋∞)，
使 g(x0)＋g′(x0)＝0 成立，求b
a
的取值范围．
2020
1
a i
i
+ =+
8
3
ax
x
+
4x a =
( ) lnf x x x a= + 1x = 2 2: 2 4 4 0C x y x y+ − + − =
2 a
0x > 0y > 2 2 4log 3 log 9 log 81x y+ = 2 3
3
x y
x y
++
[ ]
( )
1 1 , 2,0( ) 2 ( 2), 0,
x xf x f x x
− + ∈ −= − ∈ +∞
( )f x x a= +
ABC∆ 、 、A B C a b c， ，
( )2 cos cos cos 0C a B b A c+ + =
C
2 2a b= =，
( )sin 2B C−
{ }na 0 n nS ( )n N ∗∈ { }nb
1
1
2a =
3 2
1 1 4a a
= + 3
4 6
1a b b
= + 4
5 7
1
2a b b
= +
{ } { },n na b na nb
{ }nS n nT ( )n N ∗∈
nT
1 1 3
1 2
( )n n n
n
n n
T b bc b b
+ + +
+ +
−=
1
n
n n
n
R C
=
= ∑
ax b
x
+
e
1
______;3 256log )3( =f
=+ yx 2
a
1高三年级数学答案 第 1 页（共 6 页） 高三年级数学答案 第 2 页（共 6 页）
和平区 2019-2020 学年度第二学期高三年级第一次质量调查
数学学科参考答案
一、选择题：（45 分）.
1.A 2.C 3.D 4.B 5.B 6.B 7.C 8. D 9.C
二、填空题：（30 分）
10. 11. -2 12. 13. 或 2.
14. 2; 15.81;
三、解答题：（75 分）
(16) (本小题满分 14 分)
解:（Ⅰ）由已知及正弦定理得 ……… (2 分)
∴ ，∴ ，∵ ，…………(4 分)
∴ ………………… (5 分)
（Ⅱ）（ⅰ）因为 ， ，由余弦定理得
，
∴ ………………… (7 分)
（ⅱ）由 ，………………… (9 分)
因为 为锐角，所以 ………………… (10 分)
， ………………… (12 分)
……(14 分)
(17) (本小题满分 14 分)
解:(Ⅰ)证明：∵四边形 BCEF 为直角梯形，四边形 ABCD 为矩形，
∴BC⊥CE，BC⊥CD，
又∵平面 ABCD⊥平面 BCEF，且平面 ABCD∩平面 BCEF=BC，
∴DC⊥平面 BCEF．………………… (2 分)
以 C 为原点，CB 所在直线为 x 轴，CE 所在直线为 y 轴，CD 所在直线为 z 轴建立如图所
示空间直角坐标系．则：
A(2, 0，4)，B(2, 0，0)，C(0, 0，0)，D(0,0，4)，E(0, 4，0)，F(2, 2，0)，
则 ， ………………… (3 分)
∵BC⊥CD，BC⊥CE，
∴ 为平面 CDE 的一个法向量．………………… (4 分)
又∵
AF 平面 CDE，
∴AF∥平面 CDE. ………………… (6 分)
(Ⅱ)设平面 ADE 的一个法向量为 ，
则
，
，取 z1=1，得 … (8 分)
∵DC⊥平面 BCEF，∴平面 BCEF 一个法向量为 ，
设平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的大小为 α，
则 ．………………… (10 分)
因此，平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的大小为 ．………………… (11 分)
(Ⅲ)根据（Ⅱ）知平面 ADE 一个法向量为 ， ，
设直线 EF 与平面 ADE 所成角为θ,则
因此，直线 EF 与平面 ADE 所成角的余弦值为 ………………… (14 分)
4 6π 6−
( )2 cos sin cos sin cos sin 0C A B B A C+ + =
2 cos sin sin 0C C C+ = 2cos 2C = − 0 C π< <
3
4C
π=
2 2a b= =， 3
4C
π=
2 2 2 22 cos 2 4 2 2 2 102c a b ab C
= + − = + − × × × − =
10c =
5sinsin sin 5
c b BC B
= ⇒ =
B 2 5cos 5B =
5 2 5 4sin 2 2 5 5 5B = × × = 2 2 3cos2 cos sin 5B B B= − =
( ) 4 2 3 2 7 2sin 2 sin 2 cos cos2 sin 5 2 5 2 10B C B C B C
− = − = × − − × = −
(0,2, 4)AF = − (2,0,0).CB =
CB
0 2 2 0 ( 4) 0 0AF CB⋅ = × + × + − × =
1 1 1 1( , , )n x y z=
1
1
0
0.
AD n
DE n
⋅ = ⋅ =
( 2,0,0), (0,4, 4)AD DE= − = −
1
1 1
2 0
4 4 0
x
y z
− =∴ − = 1 (0,1,1)n =
(0,0,4)CD =
1
1
4 2cos 24 2
CD n
CD n
α ⋅= = =
×⋅
4
π
1 (0,1,1)n = (2, 2,0)EF = −
2
3sin1cos
2
1
222
2,cossin
2
1
1
1
=−=∴
=
•
−=•==
θθ
θ
nEF
nEFnEF
2
3
……………… (12 分)
2
3
662 + { }12
1, ∪
−∞−高三年级数学答案 第 3 页（共 6 页） 高三年级数学答案 第 4 页（共 6 页）
(18) (本小题满分 15 分)
解：（Ⅰ）由题意知:
又以原点 O 为圆心，椭圆 C 的短半轴长为半径的圆为
且与 直线相切，
所以 ，…………( 3 分)
所以 ，故椭圆 C 的标准方程为 . …………( 4 分)
（Ⅱ）设 直线
则直线 …………( 5 分)
因为点 O 到直线 的距离
(19) (本小题满分 16 分)
解:（Ⅰ）设数列 的公比为 ，
因为 ， ，可得 ，整理得 ，
解得 （舍）或 ……………… (3 分)
所以数列 通项公式为 ，……………… (4 分)
设数列 的公差为 ，因为 ， ，
可得 ，即 ，解得 ，……………… (6 分)
所以数列 的通项公式为 .……………… (7 分)
（Ⅱ）（ⅰ）由等比数列的前 n 项和公式，可得 ，………(8 分)
所以 ，……(10 分)
（ⅱ）由（ⅰ），可得
，
所以 的前 项和
22 2,2
2 baa
ce =∴==
=+
+=
124
2
22 yx
myx
由
( )
2
2
2
22
02222
221221
22
+
−=+−=+∴
=−++
myym
myy
myym得
( )
( )
2
14
411
2
2
21
2
21
2
21
2
+
+=
−++=−+=∴
m
m
yyyymyymMN
2
122
2
1
2
2
+
+==∴
m
mdMNS
).1(1,1 222 ≥−=+= ttmmt 则令
.2
11,21
1
22
1
22
2
==
==≥+
+
=+=
maxS0,m
.ttttt
ttt
tS
此时
时等号成立，即当且仅当
{ }na ( 0)q q >
1
1
2a =
3 2
1 1 4a a
= +
1
2
1 1
1
2
1 1 4
a
a q a q
=
= +
2
1 1 2 0q q
− − =
1q = −
{ }na 1
2n na =
{ }nb d 3
4 6
1a b b
= + 4
5 7
1
2a b b
= +
( )1
1
1 1
8 2 4
1 1
16 3 16
b d
b d
= +
= +
1
1
4 4
3 16 16
b d
b d
+ =
+ =
1 0
1
b
d
=
=
{ }nb 1nb n= −
1 11 12 2 11 21 2
n
n nS
− = = −
−
2
1 1 1 1 1(1 1 1) 1 12 2 2 2 2n n n nT n n = + + + − + + + = − − = − +
1 1 3
1
1
1
2
1
1 ( 2) ( 2) 1 12
( 1) ( 1)
( )
2 2 ( 1) 2
n n n
n
n n
n
n n n
n n n nT b bc b b n n n n n n
+ + +
+
+ +
+ +
+ − ⋅ + + = = = −⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅
−=
{ }nc n
1 2 2 3 12
1 1 1 1 1 1
1 2 2 2 2 2 3 2 2 ( 1) 2n n nn nc c nR c +
= − + − + + − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅
+
= + +
( ) 121
1
2
1
+•+
−=
nn
( ) ,2
1
21
1
2
1
1
<
•+
− +nn
易知
( )
.2
1,8
3
.8
3
,21
1
2
1
1
1
∈
=≥∴
•+−= +
n
n
nn
R
RR
nnR
从而
的单调递增函数是关于又
… (12 分)
……………… (14 分)
……………… (16 分)
……………… (1 分)
222 byx =+
02 =+− yx
2=a 124
22
=+ yx
( ) 2
11
2
22
=
−+
=b
……………… (6 分)
……………… (9 分)
……………… (13 分)
……………… (15 分)
( ) ( ),,,, 2211 yxNyxM .: myxOQ =
2: += myxMN
OMN
MOFMQF
SSSS
SSOQMN
∆
∆∆
=+=∴
=∴
21
22
,//
2: += myxMN .
1
2
2
hMN
m
d 上的高即为
+
=
……………… (12 分)
,2
1=q高三年级数学答案 第 5 页（共 6 页） 高三年级数学答案 第 6 页（共 6 页）
(20)(本小题满分 16 分)
解:（Ⅰ）函数 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
f′(x)＝ ex，由题知
即 解得 a＝2，b＝1，
所以函数 (x≠0)．……………… (4 分)
（Ⅱ）
令 f′(x)>0 得 x1
2
，
令 f′(x)1，
x2＝ (舍去)，x3＝0(舍去)，得 u(x1)＝b>0，……… (15 分)
又 u(1)＝－a－b1，使 2ax30－3ax20－2bx0＋b＝0 成立，此时b
a>0.
综上有 b
a 的取值范围为(－1，＋∞)．……………… (16 分)
2
2
ax bx b
x
+ −
=−
=−
ef
f
1)1(
0)1('
=•−
+−
=−
−
−
eeba
eba
1
1
)(
0)2(
1
1
2 1( ) xxf x ex
+=
xx ex
xxex
xxxf •−+=•−+=′
22
)12)(1(12)(
),2
1( +∞
)2
1,0(
xeax
baxxg )2()( −−=
xeax
baxx
bxg )()( 2
−−+=′∴
0)()2( 2
=−−++−− xx eax
baxx
beax
bax
23 9 16
4
a a ab
a
+ + 23 9
4
a a
a
+
23 9 16
4
a a ab
a
− +
……………… (2 分)
…… (5 分)
…… (7 分)
…… (8 分)
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