辽宁省葫芦岛市2020届高三数学（理）下学期第一次模拟试题（扫描版带答案）

2020 年葫芦岛市普通高中高三第一次模拟考试 数学（理） 参考答案及评分标准 第 I 卷（选择题) 一、选择题（本小题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求） 1．D 2．A 3．C 4．B 5．D 6．C 7．C 8．C 9．A 10．C 11．B 12．B 第 II 卷（非选择题) 二、填空题(本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分) 13．3 14．1 15．8 16． 三、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17－21 题为必考题，每个试题考生都必 须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题，共 60 分。 17．(本小题满分 12 分) 由题 .--------------------------4 （1） , .--------------6 （2） , ,所以 ,---------------8 在 中,由余弦定理 可得： ,即 ,-------------------10 又因为在 中, , 所以,综上可得： 的取值范围是 .--------------------------------------12 (3, 5) ( ) 1 3 1sin sin cos2 2 4x x xf x  = ⋅ + −    21 3 1sin sin cos2 2 4x x x= + − 1 1 3 1 1cos2 sin 2 sin 24 4 4 4 2 6x x x π = − + − = −   1 1sin6 2 3 6 4f π π π   = − =       2 2T π π= = 1 1sin2 2 6 4 Af A π   = − =       0, 2A π ∈   3A π= ABC∆ 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − ( ) ( ) ( )2 2 22 24 3 3 4 b cb c bc b c bc b c += + − = + − ≥ + − 4b c+ ≤ ABC∆ 2b c+ > b c+ ( ]2,418．(本小题满分 12 分) （1）在三棱柱 中，由 平面 ，所以 平面 ， 又因为 平面 ，所以平面 平面 ，交线为 . 又因为 ，所以 ，所以 平面 . 因为 平面 ，所以 又因为 ，所以 ， 又 ，所以 平面 .-----------------------------4 （2）由（1）知 底面 ， ，如图建立空间直角坐标系 ， 由题意得 ， ， ， . 所以 ， . 所以 . 故异面直线 与 所成角的大小为 .---------------------------8 1 1 1ABC A B C− 1BB ⊥ ABC 1BB ⊥ 1 1 1A B C 1BB ⊂ 1 1B BCC 1 1B BCC ⊥ 1 1 1A B C 1 1B C AB BC⊥ 1 1 1 1A B B C⊥ 1 1A B ⊥ 1 1B BCC 1BC ⊂ 1 1B BCC 1 1 1A B BC⊥ 1 2BB BC= = 1 1B C BC⊥ 1 1 1 1A B B C B= 1BC ⊥ 1 1A B C 1BB ⊥ ABC AB BC⊥ B xyz− ( )0,0,0B ( )2,0,0C ( )1 0,2,2A ( )1 0,0,2B ( )1 2,0, 2B C = − ( )1 0, 2, 2A B = − − ( ) 1 1 1 1 1 1 1cos , 2| || | A B B CA B B C BA B C ⋅= =      1B C 1A B 3 π（3）易知平面 的一个法向量 ， 由 ，得 . 设 ，得 ，则 因为 平面 ，所以 ， 即 ，解得 ，所以 .-----------------------------12 19．(本小题满分 12 分)[ （1）解：由频率分布直方图可知， 家庭人均年收入在[2000,3000)元的家庭数为:0.04×50=2 户; 家庭人均年收入在[3000,4000)元的家庭数为:0.10×50=5 户; 家庭人均年收入在[4000,5000)元的家庭数为:0.32×50=16 户; 家庭人均年收入在[5000,6000)元的家庭数为:0.30×50=15 户; 家庭人均年收入在[6000,7000)元的家庭数为:0.18×50=9 户; 家庭人均年收入在[7000,8000)元的家庭数为:0.06×50=3 户; 共计 50 户,其中家庭人均年收入不足 5000 元的特困户有:2+5+16=23 户;----------------2 由题意:X 满足参数为 50,23,10 的超几何分布,所以 EX=10×23 50=4.6 户； 即这 10 户中含有“特困户”的户数 X 的数学期望为 4.6（户）；---------------4 （ 2 ） 解 ： 由 题 意 得 ： x - =1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 6 =3.5, y - = 1 1A ACC ( )1,1,0n = 1 1 B M B C λ= (2 ,0,2 2 )M λ λ− 1 1 A N A B µ= (0,2 2 ,2 2 )N µ µ− − ( 2 ,2 2 ,2 2 )MN λ µ λ µ= − − − / /MN 1 1A ACC 0MN n⋅ =  ( 2 ,2 2 ,2 2 ) (1,1,0) 0λ µ λ µ− − − ⋅ = 1µ λ= − 1 1 1A N A B λ= −275 + 365 + 415 + 450 + 470 + 485 6 =2460 6 =410 Σ 6 i = 1xi2=1+4+9+16+25+36=91 6× x - 2=6×3.52=73.5 所以： b^ =xiyi - 6 xi2 - 62=9310 - 6×3.5×410 91 - 73.5 =9310 - 8610 91 - 73.5 =700 17.5 =40 a^ = y - - b^ x - =410-40×3.5=270 所以回归直线方程为： y^ =40x+270------------------------------6 令 x=12,则可知 2019 年 12 月份该家庭人均月纯收入为 40 x12+270=750（元） 由此可知 2020 年第一季度（1 月份，2 月份，3 月份）该家庭人均月纯收入为 750 x 2 3=500（元） ∵从 2020 年 3 月份起，每月的增长率为 a,设从开始 3 月份到 12 月份的月纯收入之和为 S10, 则 S10=500+500 x(1+a)+500 x(1+a)2+…+500 x(1+a)9=500 x[1 - (1 + a)10] 1 - (1 + a) =500 x[(1 + a)10 - 1] a 由题意应有：∴500+500+500 x[(1 + a)10 - 1] a ≥8000 即： (1 + a)10 - 1 a ≥14----------------------------8 显然 S10 是以 a 为自变量的增函数，∴(1 + a)10 - 1 a 是以 a 为自变量的增函数 ①当 a≥0.15 时，(1 + a)10 - 1 a ≥1.1510 - 1 0.15 ≈3.05 0.15=201 3>14 显然成立---------------10 ②当 0  2 1 1 2 7 1 08 1 kF M F N k −⋅ = >−   2 1 7k > 2 1 8k < l 7 2 2 7, ,0 0, ,7 4 4 7        −∞ − ∪ − ∪ ∪ +∞                     ∴fmax(x)=f(-2)= 4 e2,无最小值； (2) g(x)>f(a)⇔ lnx-ax-a2-3a+1> mea(a+1) ⇔ lnx-ax> mea(a+1) +a2+3a-1 ⇔(lnx-ax)min> mea(a+1) +a2+3a-1 令φ(x)= lnx-ax ∵a∈[-1,0) ∴φ(x)= lnx-ax 在[1,+∞)上单调递增 φmin(x)=φ(1)=-a ∴(lnx-ax)min> mea(a+1) +a2+3a-1⇔-a> mea(a+1) +a2+3a-1⇔ mea(a+1) +a2+4a-10,∴h(a)在[-1,0)上单调递增，若使 h(a)